复变函数的基概念及运算

lim
z 0
w z

lim
0
u(

, )

iv(
,) ( )e i

u(,)

iv( , )

lim
u(

x0

,)

u(,)

i
v(

,)

v(,)
e
i
ei ( u i v )

二 复函数可导的必要条件
2 极坐标系的柯西――黎曼方程
(2) z 沿 一定的弧线 0 的情况, z ei iei 0, ( 0)
lim
z 0
w z

lim
0
u(,

)

iv(, ) iei

u(,)
i[v(x x, y y) v(x, y)] u(x, y) ， v(x, y) 在 z 点的一阶导数存在且连续，

w

u x
x

u y
y

1x

2y
i
(
v x
x

v y
y


3x


4y)
三 复函数可导的充分条件
证明：
其中当 x, y 0 时， 1 、 2 、 3 、 4 0 。 u 、 v 满足 C R 方程，
x
y
v ex sin y, v ex sin y, v ex cos y
x
y
四 求导规则及初等函数的导数都与实变 函数的相应公式一致
例： de z e z dz
1 满足 C — R 方程 2 u 、 u 、 v 、 v 连续
x y x y e z 可导，且： dez u i v e x cos y iex sin y e z dz x x
第1章 复变函数
本章内容提要
1 复数与复数的运算 2 复变函数 3 复数的导数 4 解析函数 5 小结
一 复变函数积分定义 1 代数式 z x iy
2 三角式 z (cos i sin)
z e 3 指数式
i
欧拉公式的证明
二 复数的几何意义
y z(x,y)或(ρ,φ)
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程 (3)在 z 点可导，这两个极限必须相等，即：
u v ， v u x y x y
二 复函数可导的必要条件
2 极坐标系的柯西――黎曼方程
(1) z 沿极轴 0 的情况，z ()ei 0, ( 0)

iv( , )

lim
0
e i

v(,

) v(,)
i
u(,

)
u(,)

ei v u ( i )

三 复函数可导的充分条件
如果柯西—黎曼方程在 z 点处成立，且 u(x, y) 、 v(x, y) 在 z 点 的 一 阶 偏 导 数 存 在 并 连 续 ， 则 w f (z) u iv 在 z 点可导，其导数为：
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
1 多项式： a0 a1z a2 z 2 an z n ，n∈N+
2
有理函数： a0 a1z1 a2 z 2 an z n b0 b1z b2 z 2 bm z m
，m、n∈N+
3 指数函数： e z e xiy e x (cos y i sin y) ，周期 2i
2 x x2 y2 C
f (z)
2 cos C i 2 sin
2
2
2 (cos i sin ) C 2z C
2
2
二 解析函数的性质
解：方法二
v(x, y) 2 sin
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
界点（或边界点）。
3 境界线：境界点的集合称为境界线。
三 区域、闭区间、单连域或复连域
4 区域：区域是一种集合，该集合全部由内 点组成并且这个集合是连通的。所谓“连通”是指 集合中的任意两点都可以用完全属于集合的一条 折线，把它们连接起来。
5 闭区间：区域及其境界线。
三 区域、闭区间、单连域Βιβλιοθήκη Baidu复连域
z0 z x0
x

lim
u(x
x 0

x, y) x

u(x,
y)

i
v(x

x, y) x

v(x,
y)

u i v x x
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程
(2) z 沿竖直轴 0 的的情况, z iy 0, (x 0)

w

u x
x

v x
y

1x

2 y
i
(
v x
x

u x
y


3x


4y)
u
四 求导规则及初等函数的导数都与实变 函数的相应公式一致
例： de z e z dz
证明： e z e x cos y iex sin y
u ex cos y, u ex cos y, u ex sin y
求实部 u(x, y) 和这个解析函数。
二 解析函数的性质
解：方法一
v(x, y) x x2 y2 cos (1 cos) 2 sin
2
u v 2 1 sin sin

2 2
22
u 1 v 1 2 1 cos 1 cos 2 2 2 2
ei 1 (i)n
i 2k

2k
i 2k1
2k 1
n0 n!
k0 (2k)!
k0 (2k 1)!
(1)k 2k i (1)k 2k1
k0 (2k)!
k0 (2k 1)!
cos i sin
一 基本初等函数的定义
df u i v ，或 v i u ， dz x x y y
或 ( u i v )ei ，或 1 ( v i u )ei


三 复函数可导的充分条件
证明：
w f (z z) f (z)
u(x x, y y) u(x, y)
6 单连域与复连域：一个区域 B，如果在其中 任作一简单闭合曲线，曲线内部总属于 B，就称为 单连通区域，反之称为复连通区域。如图所示。
y
y
y
单连通区域 x
复连通区域 x
区域的连通性
非连通区域 x
四 复变函数极限
定义 1：函数 f (z) 在 z0 点及其邻域内有定义，
如果存在复数 w0 ，对任意给定的 0 ，总能找到
0 ， 使 得 ： 当 0 z z0 时 ， 恒 有
f (z0 ) w0 成立，则称当 z 趋近于 z0 时 f (z)
的极限为
w0
，记为
lim
zz0
f
(z)

w0 。
定义
2：如果 lim zz0
f (z)
f (z0 ) ，则称
f (z) 在
z0 点连续。 f (z) 在 z0 连续 u(x, y) 、 v(x, y) 在
一 基本初等函数的定义
7 三角函数
sin z 1 (eiz eiz ) , cos z 1 (eiz eiz ) , 周
2i
2
期为 2 ，实三角函数的一些重要公式在复三角函数中均
成立，复正弦、余弦函数值的模可以>1。
8 反三角函数 其定义与实反三角函数类似，但实反三角函数是基
为 f (z) 或 df 。 dz
二 复函数可导的必要条件
如果函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 B 中的
z 点可导，则 u,v 在 z 点必须满足以下的柯西—黎曼方
程（Cauchy-Riemann Equation）

u x

v y

v


u
定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数，因此复函数将具有独特的性质。
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
ρ φ
x
复平面
三 复数的四则运算
若 z1 1ei1 和 z2 2ei2 ，则
积： z

z1 z2

ei(12 ) 12
商： z1 e 1 i(12 ) z2 2
采用指数表示可方便乘除运算
四 乘方、方根
若 z ei ，则 乘方： z n nein
x y
或

u

1 u
1 v

v

二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程 (1) z 沿水平轴 0 的情况， z x 0, (y 0)
lim w lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
w
u(x, y y) iv(x, y y) u(x, y) iv(x, y)
lim lim
z z0
y0
iy
v(x, y y) v(x, y) u(x, y y) u(x, y)
lim y0
y
i
y

v i u y y
du u d u d 1 cos d sin d

2 2
22
2 cos d 2d cos 2d( cos )
2
2
2
二 解析函数的性质
解：方法一
u 2 cos C (1 cos) C cos C
本初等函数，而复反三角函数不是基本初等函数，可用 其它基本初等函数表示。
二 复变函数的定义
若在复数平面上存在点集 E ，对 E 的每个点 z x iy 都有复数 w u iv 与之对应，则称 w 为 z 的函数， z 为 w 的宗量，定义域为 E ，记为：
w f (z) u(x, y) iv(x, y) ， z E
(x0 , y0 ) 点连续。
一 导数的定义
设 w f (z) 是在区域 B 中定义的单值函数。若
在 B 内的某点 z ，极限：
lim w lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
存在，且与 z 0 的方向无关，则称函数 w f (z)
在 z 点可导，称该极限为函数 f (z) 在 z 点的导数，记
一 基本初等函数的定义
4 双曲函数
sinh z 1 (e z ez ) , coshz 1 (e z ez ) , 周期
2
2
5 对数函数
ln z ln z eiArgz ln z iArgz ln i , 多值函数
6 幂函数: z s es ln z , ( s 为复数), 多值函数