基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示

基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示

一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示

傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。

经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：

其中u=0,1,2,...,M-1和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u和v用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u和v用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。

傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman原图像及其频谱分布图：

cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。

图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下：

PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)

MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时：

N=1PSNR=12.2353所取频谱系数对应图

单独取第9个系数时：

N=1PSNR=6.3108第9个频谱系数对应图

N=2PSNR= 13.1553所取频谱系数对应图

N=10PSNR=15.4961所取频谱系数对应图

N=50PSNR= 17.1111所取频谱系数对应图

N=100PSNR= 17.9232所取频谱系数对应图

N=1000PSNR= 21.5791所取频谱系数对应图

N=5000PSNR= 25.5610所取频谱系数对应图

N=20000PSNR= 31.6995所取频谱系数对应图从以上图片中可以分析得到，随着大系数的数量不断加大，PSNR值逐步增加，重构图像的效果越好，在大系数到20000个时，图像效果已经较好。

二、基于小波变换的图像稀疏表示

小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号处理和图像处理中得到了很好的应用。

而一幅图像可以看成是一个矩阵，对图像处理就是对矩阵做变换，从而可以进行以下处理。

1、首先读取图像；

2、然后做小波变换；

3、对变换系数做从大到小排序，取其第N个数max_N；

4、比max_N大的系数保留，比max_N小的系数置零；

5、然后做逆变换，恢复图像。

仿真结果：

下图为cameraman原图像与其一级小波变换：

以下图片为取不同大系数个数时的恢复图像及PSNR值：

下图为单独取第1个大系数时的恢复图像：

N=1PSNR=5.5834所取系数对应的小波变换图下图为单独取第9个大系数时的恢复图像：

N=1PSNR=5.5833所取系数对应的小波变换图以下图片为取多个大系数时的恢复图像：

N=10PSNR=5.5914所取系数对应的小波变换图

N=100PSNR= 5.6599所取系数对应的小波变换图

N=1000PSNR= 6.1578所取系数对应的小波变换图

N=5000PSNR= 8.7984所取系数对应的小波变换图

N=10000PSNR= 14.9772所取系数对应的小波变换图

N=20000PSNR= 35.2242所取系数对应的小波变换图通过选取不同的大系数个数，发现图像随着大系数个数的增加而变的清晰，并且PSNR 值也随着大系数个数在增加，这说明图像的逼近效果随着大系数个数的增加变得越来越好。

下图为cameraman图像傅里叶变换与haar小波变换大系数逼近的PSNR值与大系数个数之间的关系对比图，其中蓝线表示傅里叶大系数个数与PSNR的关系，红线表示haar小波大系数个数与PSNR的关系：

由上图可以看出，PSNR值随着大系数个数增加而变大，重构图像随着大系数个数的增加而变的清晰，并且当大系数个数小于某一个界限时，傅里叶的重构效果明显要比haar小波的好许多，但是随着大系数个数的增加，haar小波的重构效果比傅里叶的要好许多。