湖南四大名校内部资料试卷-2019-2020-师大附中高二第一学期期末

2019-2020学年度高二年级第一学期期末考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12个，每小题5分，共60分)
(一)单选题
1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足()122z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.如图，在三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OC c =u u u r
，用a ，b ，c 表示NM u u u u r ，则MN u u u u r 等于( ) A.()1+2a b c -+ B.()12a b c +- C.()1+2a b c - D.()1+2a b c -- 3.设a ，b ∈R ，则4a b +>成立的一个充分不必要是( )
A.4a b +≥
B.4a ≥
C.2a ≥且2b ≥
D.4b <- 4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定 5.在()101x -的展开式中，x 项的系数为( )
A.45-
B.90-
C.45
D.90 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020S =( )
A.8080-
B.4040-
C.8080
D.4040
7.袋中装有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A =
A.
14 B.12 C.13 D.34
8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车辆尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车(车辆尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( )
A.4
B.12
C.16
D.24
(二)多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.甲、乙两类水果得质量(单位：kg )分别服从正态分布()211,N
μσ，()222
,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.甲类水果的平均质量10.4kg μ=
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 10.设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 点为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )
A.当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6
B.当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆面积的最大值为3
C.存在点P ，使12PF PF ⊥
D.1PF 的取值范围是[]1,3
11.下列命题中为真命题的是
A.()0,x ∀∈+∞，()ln +3sin x x >
B.0x ∃∈R ，2002x x +=-
C.0x ∃∈R ，22001sin cos 333
x x += D.10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列说法正确的是( )
A.直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =
B.直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线:ln C y x =
C.直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =
D.直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x =
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.曲线()3ln 1y x x =-+在点()0,0处得切线方程是__________.
14.已知随机变量ξ的分布列为
若()2E ξ=，则p =__________.
15.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过
点A 若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为_____.
16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外界球球心，则
(1)球心O 到平面BCD 的距离为__________；
(2)球O 的体积为__________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(本小题满分10分)
ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.
(Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)若b =
，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.
已知等差数列{}n a ，满足13a =，当2n ≥时，14n n a a n -+=.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n b 满足11222n n n b b b na -+++=L ()*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
19.(本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交与M ，N .
(Ⅰ)求证：//MN 平面CDE ；
(Ⅱ)求当PF 为何值，平面PAB ⊥平面CDE .
20.(本小题满分12分)
在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6的倍数则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.
(Ⅰ)求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；
(Ⅱ)设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点()0,2M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足()4,12OA OB +=--u u u r u u u r .
(1)求直线l 和抛物线的方程；
(2)当抛物线上一动点P 从A 点运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数()21x x ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数.
(Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的单调区间
(Ⅱ)当1a >-时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值.。