《双曲线的几何性质》学案共三课时

§2.2.2双曲线的简单几何性质 鹤壁高中 蔡凤敏 2011.10.20

一、复习回顾----椭圆的几何性质

二、探究互动-------双曲线的简单几何性质 1．范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵

的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线

的中心

①范围：由双曲线的标准方程得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得： ．

这说明双曲线在不等式 所表示的区域； ②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心；

2．顶点：双曲线有 个顶点,是

特殊点：

实轴：21A A 长为 , a 叫做半实轴长

虚轴：21B B 长为 ，b 叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有 个顶点，这是两者的又一差异

3.渐近线：直线 叫做双曲线22

221x y a b

-=的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）． 4.等轴双曲线：

1）定义： 。 定义式：a b =

2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为： ；②渐近线互相 ；

两条渐近线的夹角是 ③e=

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x

当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。 5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±

=)0(>±=k x ka

kb

，那么此双曲线方程就一定是： 或写成

6．双曲线的草图

具体做法是：

7．离心率

双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率范

围：

双曲线形状与e 的关系：1122

2

22-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越 ，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，

双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；

8．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同

共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

※ 典型例题

题型一 由方程研究双曲线的几何性质

例1．求双曲线191622=-y x 与22

1916

y x -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.

求已知双曲线的渐近线方程的方法小结：

题型二 用双曲线的性质求双曲线方程：

例2．求与双曲线2244x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程.

说明：

（1）与双曲线

22

1x y m n

-=（0mn >）有共同渐近线的所有双曲线方程为22

x y m n

λ-=（0λ≠） （2）0-0x y x y

m n m n

+==以直线或为渐近线的双曲线标准方程

【练习】与双曲线22

143

y x -=有共同的渐近线且经过点(3,2)M -的双曲线方程是

例3．求中心在原点，一条渐近线方程为230x y -=，且一焦点为(4,0)-的双曲线标准方程。

例4．已知双曲线的渐近线方程为2

3

y x =±，实轴长为12，求它的标准方程。

例5选择题

1.双曲线与椭圆164

y 16x 2

2=+有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x ，则双曲线方程为（ ）

（A ）96y x 22=- （B ）160x y 22=-（C ）80y x 22=- （D ）24x y 22=-

2.双曲线的渐近线为x 43

y ±=，则双曲线的离心率是（ ）

（A ）54 （B ）2 （C ）54或3

5 （D ）25或315

3.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为（ ）

（A ）

112y -4x 22=（B ）14y -12x 22=（C ）16y -10x 22=（D ）110

y -6x 2

2= 4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为

（0，2），则双曲线的标准方程为（ ）

（A ）

14y -4x 22=（B ）14x -4y 22=（C ）18x -4y 22=（D ）14

y -8x 2

2=

5.焦点为（0，6）且与双曲线1y -2

x 22

=有相同的渐近线的双曲线方程为（ ）

（A ）

124y -12x 22=（B ）124x -12y 22=（C ）112x -24y 22=（D ）112

y -24x 2

2= 6.若双曲线

1m y -4x 2

2=的渐近线方程为x 23y ±=，则双曲线的焦点是 7.已知双曲线13x -a

y 2

22=的离心率为2，求双曲线的渐近线方程。

8.已知双曲线1b

y -a x 22

22=（a>0,b>0）的离心率e=332，过A （0，-b ）和B （a ，

0）的直线与原点的距离为2

3

，求此曲线的方程。

9. 已知双曲线1b

y -a x 22

22=（b>a>0）的半焦距为c ，直线L 过点（0，b ）和（a ，

0）已知原点到直线L 的距离为

3

c ，求此曲线的离心率。 第2课题：双曲线的几何性质（2）

1.．双曲线的第二定义：平面上到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数

)0(>>=

a c a

c

e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．

例1．点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离与到c a x l 2

:=的距离之比为常数)0(>>a c a

c ，求

M 的轨迹方程。