《双曲线的几何性质》学案共三课时
双曲线的几何性质导学案
双曲线的几何性质（一）导学案学习目标：1、用类比的方法分析双曲线的范围，对称性，顶点等几何性质。
2、明确标准方程中a,b,c 的几何意义。
学习过程：复习巩固：1、已知a=3,b=4焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为2、已知a=3,b=4焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为3、a=25，经过点A （2,5），焦点在Y 轴上，双曲线的标准方程为一、定向自学： 阅读教材P 49---P 51页内容（独学） 1 、双曲线 的几何性质（1）、范围 方程中的x 的范围是 y 的范围是 （2）、对称性 双曲线的图象关于 成轴对称图形，关于 成中心对称图形。
（3）、顶点：作出图形，然后指出顶点坐标，实轴是 长度是 实半轴长是虚轴 长度是 虚半轴长是（4）、渐近线：（作图指出渐近线） 双曲线 的渐近线方程是 双曲线 的渐近线方程是问题：什么是等轴双曲线？它的方程是什么？（5）、离心率e= 其范围是例1、（1）求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）求双曲线9y2－16x2=－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；)0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x ),b (a b x a y 00 1 >>=-2222二、 小组讨论（对学、群学）对独学的中存在的问题进行讨论三、 全班交流（展示，提出疑问或质疑）展示组在黑板上展示内容，其他组认真倾听并提出疑问或质疑四、 归纳小结这节课我们学到了什么知识?五、 巩固提升1、 求下列双曲线的实轴，虚轴的长顶点的、焦点的坐标和离心率：（1）X 2-8y 2=32 (2)9 X 2- y 2=81(3) X 2- y 2=-4 (4) 492x -252y =-12.方程 表示双曲线时，则m 的取值范围是_________________.3求以椭圆492x +252y =1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
双曲线的几何性质学案
双曲线的几何性质学案
知识目标：
一、双曲线性质的理解：
1、 填写下表：
3、由性质总结出由曲线的方程判断曲线是否关于x,y 轴及原点对称的方法：
4. 如何由离心率刻画双曲线的开口程度：
5、你是如何理解渐近线概念的，能否用一句话概括：
为什么在学椭圆时没提及渐近线，通过对比椭圆与双曲线，你认为什么样的曲线才有可能存在渐近线：
6、把双曲线的渐近线方程化为一般式，再与双曲线的标准方程对比，你能否得出一种由双曲线标准方程直接得到渐近线方程的方法：
根据上面的方法，逆向思考，可否得出一种已知渐近线方程设双曲线标准方程的方法： 7、等轴双曲线定义：
注意等轴双曲线标准方程 与圆心在原点的圆方程 的联系与区别：
二、例题的理解：
8、（1）求曲线方程有直接法，待定系数法，相关点法，参数法，例5使用了什么方法？
（2）例5与P47例6相比较可以得到结论：
9、例6解答中应用到了两点间距离公式（A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)）AB= 用两点间距离公式可以求出P60例6思考中的三角形周长为 ， 联系椭圆性质学案“练习与巩固”4，如何用弦长公式求出弦长AB ：
练习与巩固：
1、 求下列曲线坐标中x,y 的范围：
2、已知双曲线渐近线为
y =±23x ，且经过点A （4，3），求双曲线的标准方程。
3、（2）x 2-2x -3y 2
=0(1)(x -1)225-(y +2)29=1。
高中数学 第八章 双曲线的几何性质教学案 苏教版 学案
双曲线的几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．)2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解．)三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：X围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为7 六、板书设计。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
2《双曲线》课时3 一等奖创新教学设计
2《双曲线》课时3 一等奖创新教学设计《双曲线》教学设计课时3双曲线的简单几何性质(2)必备知识学科能力学科素养高考考向双曲线及其标准方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象逻辑推理数学运算【考查内容】1.根据几何条件求出双曲线的方程. 2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用. 3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题. 【考查题型】填空题、选择题、解答题双曲线的简单几何性质(1) 数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模双曲线的简单几何性质(2) 数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,传统的处理方法是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习,在新课程教材中继续保留,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义做好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.双曲线及其标准方程2.双曲线的简单几何性质(1) 3.双曲线的简单几何性质(2) 直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析从知识上看,学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉.通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.双曲线及其标准方程2.双曲线的简单几何性质(1)3.双曲线的简单几何性质(2)【教学目标设计】1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质.2.理解直线与双曲线的位置关系.3.运用标准方程解决相关问题.【教学策略设计】本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的,学生基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,它与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有________【教学重点难点】重点:1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.2.掌握双曲线的简单几何性质.难点:1.推导双曲线的标准方程.2.双曲线方程的简单应用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、______2.其他材料:______ _四、教学活动设计教学导入师:什么是双曲线生:一般地,我们把与平面内两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.师:双曲线的性质都有哪些请同学们填表回顾.【学生填表,教师补充】生:焦点位置焦点在轴上焦点在轴上图形范围或,或对称性对称轴:坐标轴对称中心:坐标原点顶点坐标轴线段叫做双曲线的实轴,它的长|, 线段叫做双曲线的虚轴,它的长渐近线离心率,其中【以学定教】通过填表进行对比总结,不仅使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,有助于本节教学目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边抛物线及其他知识的学习打下基础.师:本节课我们将继续利用双曲线的几何性质解决双曲线有关的问题.教学精讲探究1 双曲线的实际应用【典型例题】双曲线的实际应用例1 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图(1)).它的最小半径为,上口半径为,下口半径为,高为.试建立适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到).【求此双曲线的方程,应从何处着手分析题目条件,正确理解题意】师:双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过的哪种曲面生:旋转面.师:回忆一下立体几何中的相关概念:一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.“此双曲线”与“双曲线型冷却塔的外形”之间是什么关系【实际问题抽象成为数学问题】生:先将双曲线型冷却塔的外形抽象成一个曲面,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.反之,“双曲线型冷却塔的外形”与经过它的轴的平面的交线,就是“此双曲线”的一部分.师:题目中的“半径”是什么意思生:垂直于轴的平面与“双曲线型冷却塔的外形”相交,所得到的圆的半径.师:“最小半径”与该双曲线有什么联系生:“最小半径”等于该双曲线实轴长的一半.师:如何恰当地建立坐标系生:根据前面的分析,应在冷却塔的轴截面所在平面建立直角坐标系.具体来说,以最小半径所在的直线为轴,双曲线的虚轴所在的直线作为轴,建立平面直角坐标系.师:如何求双曲线的方程生:根据前面的分析,设出双曲线的标准方程,利用已知条件列出方程组求解.【师生共同研究,学生讲解题思路,教师板书】师解:根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上,圆心与原点重合.这时,上、下口的直径、都平行于轴,且.设双曲线的方程为,点的坐标为,则点的坐标为.得因为直径是实轴,所以,又因为点和点都在双曲线上,所以(负值舍去),代入方程①,得.化简得.③解方程③,得(负值舍去),因此所求双曲线的方程为.【以学定教】从生活中的实例出发,类比求椭圆的标准方程的坐标法,从而利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,培养学生应用数学的能力.【活动学习】利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求双曲线方程的应用,感受数学来源于生活的本质.【分析计算能力】通过典例解析,归纳基本题型,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和双曲线解决实际问题的基本步骤.发展学生分析计算能力,数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.师:我们总结一下利用双曲线解决实际问题的基本步骤.【要点知识】利用双曲线解决实际问题的基本步骤1.建立适当的坐标系.2.求出双曲线的标准方程.3.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.探究2 坐标法求双曲线的轨迹问题师:我们接下来看一道求双曲线的轨迹的问题.【典型例题】坐标法求双曲线的轨迹问题例2 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.师:如何求点的轨迹点的轨迹是什么呢生:点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.师:如何用集合表示点的轨迹生:设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是集合.师:上面集合中的等式,如何用坐标表示【师生交流,教师板书,学生动手实践】生:由两点间距离公式和点到直线距离公式,可得.师:如何化简上述方程点的轨迹是什么呢生:上述方程可化为,两边平方,并化简,得,即.则点的轨迹是焦点在轴上,实轴长为6,虚轴长为的双曲线.师:此前我们学习椭圆时,做过这样一道类似的题目:动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.比较这两题,你有什么发现生:平面内到定点的距离与到定直线(直线不经过点)的距离的比是常数的点的轨迹可能是椭圆,也可能是双曲线.【以学定教】利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求双曲线方程的应用,感受数学来源于生活的本质.【推测解释能力】通过典型例题,掌握双曲线的基本几何性质及其简单运用,掌握利用双曲线的几何性质求标准方程的思路,提升学生数学建模、数形结合、方程思想及推测解释能力.【师生共同总结坐标法解决平面几何问题的方法步骤,教师展示多媒体】【归纳总结】用坐标法解决平面几何问题的三步曲第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.探究3 直线与双曲线的位置关系师:判断直线与椭圆位置关系的方法有什么生:(1)联立方程,借助一元二次方程的判别式来判断;(2)借助直线和椭圆的几何性质判断.师:直线与椭圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与双曲线的位置关系中呢我们继续研究下面的例题.【典型例题】直线与双曲线的位置关系例3 过双曲线的右焦点,倾斜角为30度的直线交双曲线于、两点,求.【教师提示】求弦长问题有两种方法:方法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长.方法二:有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.【教师引导学生思考,学生独立做题,教师巡视给予个别指导,并展示多媒体】【典例解析】直线与双曲线的位置关系解:如图,由双曲线的方程得,两焦点分别为.因为直线的倾斜角是,且直线经过右焦点,所以,直线的方程为.(1)由消去,得.解这个方程,得.将、的值代入(1),得.于是,、两点的坐标分别为.所以.【意义学习】通过典例解析,理解直线与双曲线位置关系的判断方法,及求弦长问题的基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法.发展学生分析计算能力以及数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.【自主学习】学生思考,独立做题,对直线与双曲线的位置关系有了更深度地理解,提升学生的自主学习能力.师:我们根据例题总结一下直线与双曲线位置关系的判断方法.【方法策略】直线与双曲线位置关系的判断方法1.方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为的形式,在的情况下考察方程的判别式.(1)时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)时,直线与双曲线没有公共点.当时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.2.数形结合思想的应用(1)直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.(2)直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.提示:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.【深度学习】学生通过观察具体的图形,类比直线与椭圆位置关系得到的方法,寻找直线与双曲线的位置关系的判断方法,培养学生发现规律、寻求方法、总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生真正理解自己总结出来的知识,从而达到形成技能的目的.师:学习了直线与双曲线位置关系的判断方法,请大家巩固练习一下.【巩固练习】直线与双曲线的位置关系已知双曲线及直线,(1)若直线与双曲线有两个不同的交点,求实数的取值范围;(2)若直线与双曲线交于、两点,是坐标原点,且的面积为,求实数的值.【学生分析】直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系.【巩固练习】直线与双曲线的位置关系解:(1)联立方程组消去并整理得.∵直线与双曲线有两个不同的交点,则,解得,且.∴若与有两个不同交点,实数的取值范围为.(2)设,对于(1)中的方程,由根与系数的关系,得,,∴.又∵点到直线的距离,∴,即,解得或实数的值为或0.【综合问题解决能力】通过练习巩固直线与双曲线的位置关系的判断方法,通过学生分析解答,培养学生发现问题、解决综合问题的能力.将直线与双曲线的位置关系转化为方程组的解,体现从量变到质变的哲学思想.提升综合问题解决能力.探究4 双曲线方程的一般式师:求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出、的值.若焦点位置不确定,可按焦点在轴和轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为,通过解方程组即可确定、,避免了讨论,从而简化求解过程.【要点知识】双曲线方程的一般式.师:下面请看一道求双曲线的标准方程的例题.【典型例题】双曲线方程的一般式的应用例4 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)焦点在轴上,经过点和点;(2)过点且焦点在坐标轴上.师解:(1)因为焦点在轴上,可设双曲线方程为,将点和代入方程得解得,所以双曲线的标准方程为.(2)设双曲线的方程为.因为点、在双曲线上,则解得故双曲线的标准方程为.【简单问题解决能力】通过典例解析加深对双曲线的一般式的理解,帮助学生形成求解双曲线标准方程的通用的解题思路,让学生体会数形结合的思想方法的同时.发展学生简单问题解决能力.【整体学习】利用方程的思想判断直线与双曲线的位置关系,就是双曲线的简单几何性质的综合应用,让学生体会解题的本质,降低思维难度,提高自我获取知识的能力.师:我们来总结一下本节课所学知识.【课堂小结】双曲线的简单几何性质(2)1.双曲线的简单几何性质及其简单应用.2.直线与双曲线的位置关系.3.双曲线方程的一般式.4.体会双曲线方程的实际应用.【设计意图】通过双曲线的简单几何性质知识练习巩固,学生自主解决问题,发展数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.教学评价本节通过双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质,使学生经历知识产生与形成的过程,以及利用直线和双曲线的位置关系解决综合问题.【设计意图】学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.使学生灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点;(3),经过点.思路:本题主要考查用待定系数法求双曲线标准方程,根据条件判断双曲线的焦点的位置.根据条件判断设定方程后寻找、的关系并求解.解析:(1)由双曲线的定义知,,所以,又知焦点在轴上,且,所以,所以双曲线的标准方程为.(2)由题意得,双曲线的焦点在轴上,且.设双曲线的标准方程为,则有,解得.故所求双曲线的标准方程为.(3)当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,所以.因此,所求的双曲线的标准方程为.当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,不可能,所以焦点不可能在轴上.【分析计算能力】从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场如图所示,中,已知,试建立适当的直角坐标系,求出分别以为左、右焦点且过点的双曲线方程.思路:本题用坐标法解决双曲线的轨迹方程问题.联立三角函数的定义综合解题.解析:以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图.设以、为焦点且过点的双曲线方程为,焦点为.由,设,则,得直线和直线的方程分别为和.联立两方程,解得,即点坐标为.∵在中,上的高为点的纵坐标,∴,即点坐标为.由两点间的距离公式,∴.又,故所求双曲线的方程为.【简单问题解决能力】通过双曲线的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.【简单问题解决能力】通过典型坐标法的例题,使学生进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义,强化坐标法解决双曲线的轨迹方程问题的步骤,提升学生数学建模、数形结合及方程思想,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.3.求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.思路:本题考查对双曲线性质的掌握.解析:把方程,化为标准方程,由此可知,实半轴长,虚半轴长,焦点坐标为,离心率,顶点坐标为,所以渐近线方程为,即.【分析计算能力】从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的基本形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线几何性质的方法.4.根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点,离心率为;(2)与椭圆有公共焦点,且离心率;(3)与双曲线有共同渐近线,且过点.思路:与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.解析:(1)若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,∵,即.①又双曲线过,②由①②得,故双曲线方程为.若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,同理有,③,④由③④得(舍去).综上,双曲线的标准方程为.(2)由椭圆方程,知半焦距为,∴焦点是.因此双曲线的焦点为.设双曲线方程为,由已知条件,有解得∴所求双曲线的标准方程为.(3)设所求双曲线方程为,将点代入得,∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为.【分析计算能力】通过例题巩固双曲线的几何性质的应用,提高解决问题的能力和计算能力.【简单问题解决能力】通过例题及时进行总结和检测,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.5.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程.解析:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为,即,由消去,整理得.设,∴为的中点,∴,即,解得.当时,满足,符合题意,∴所求直线的方程为,即.解法二:设,∵、均在双曲线上,∴两式相减,得.∵点平分弦.经验证,该直线存在.∴所求直线的方程为,即.【综合问题解决能力】设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质,在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的综合问题解决能力得到训练.【以学定教】启发并引导学生理解双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.教学反思本节教学内容,紧扣新教材,以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,突出了解析思想为主,内容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.在多媒体应用上,力求灵活实用,不跟着课件走,使得多媒体真正做到为课堂有效服务.增强运用坐标法解决几何问题的能力,不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师引导和点拨.【以学论教】为使学生更好地掌握双曲线的标准方程及其简单几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,多做例题巩固.1 / 19。
双曲线的几何性质导学案
四川省古蔺中学课改高2012级导学案课题： 2.2.2 双曲线的几何性质（理）层次： 教师评价： 学科组长评价： 检查时间： 月 日 课前预习学案一﹑ 预习目标及重难点预习目标： 1、理解双曲线的几何性质并会简单应用。
重点：双曲线的几何性质难点: 双曲线的渐近线。
二﹑ 教材助读 预习教材（1）掌握双曲线的简单几何性质，并能根据已知条件求双曲线的标准方程 （2）理解双曲线的几何性质并能简单应用。
三、知识再现（预习教材，完成以下内容） 1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双 曲线的标准方程及简单的几何性质?. 2.渐近线方程可令双曲线标准方程右边等于0得到。
在等一象限，有成立一方面，M N b bY x Y a a ==，即<M N Y Y ，另一方面，随着x 增大，M Y 距离N Y 逐渐接近，但是永远不相等。
3.渐近线斜率b a ===离心率e 越大，渐近线斜率ba 越_______,古蔺中学课改高212级班姓名：小组：第组双曲线“张口”越_______.4.等轴双曲线a=b ，渐近线方程为________,离心率=_________. 实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线．四，探究案1求双曲线 92y -162x = 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在x 轴上；⑵离心率 e = 2 ，经过点 M (-5 ,3) ；⑶渐近线方程为y = ±32x ，经过点 (29 ,-1)． 3、点 M (x , y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线l :516=x 的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．五，课后巩固1．双曲线181622=-y x 实轴和虚轴长分别是（ ）．A ． 8 、、． 4 、 、2．双曲线2x -2y = - 4 的顶点坐标是（ ）．A ．(0,± 1)B ．(0,± 2)C ．(± 1,0)D ．（ ± 2,0 ）3． 双曲线18422=-y x 的离心率为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．24．双曲线2x -42y = 1的渐近线方程是_____ ．5．求与双曲线221169x y -=共渐近线且过A （-3）的双曲线的方程. 58P 聚焦课堂★1，2，3，4，5，6 ★★ 7，8 ★★★ 9。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
双曲线的几何性质 精品教案
双曲线的几何性质学案 （一）教学目标1．知识与技能（1）复习双曲线的定义，几何图形及标准方程（2）知道双曲线的几何性质，并会简单应用2．过程与方法（1）会利用信息技术画双曲线的几何图形（2）会利用信息技术感受渐近线的意义及离心率的变化对双曲线形状的影响3．情感、态度与价值观理解数形结合的思想 （二）教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及简单应用难点：双曲线渐近线的意义及离心率的变化对双曲线形状的影响（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、小组合作，引导学生总结双曲线的几何性质，分析、讨论、探究双曲线渐近线的意义及离心率的变化对双曲线形状的影响，并能依照要求加深对双曲线几何性质的掌握．通过数据的计算对比，培养数形结合的思想。
【知识回顾】(1)双曲线的定义.①平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离_____________为常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_____,两焦点间的距离叫做_____.②集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.(ⅰ)当_________时,M 点的轨迹是双曲线;(ⅱ)当_________时,M 点的轨迹是两条射线;(ⅲ)当_________时,M 点不存在.【活动探究】 活动一 怎样精准的画一个双曲线？例：122=-y x活动二类比椭圆的几何性质总结并展示双曲线的几何性质活动三请设计数学实验探究双曲线渐近线的意义及离心率的变化对双曲线形状的影响【巩固练习】 (1)(选修2-1P61A 组T1改编)双曲线 上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是_______.(2)(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆22x y 143+=的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为_______.22222222x y x y A. 1 B.15202053x 3y 3x 3y C. 1 D.12510010025====－－－－【课堂小结】22x y 1169-= 【真题小试】 (1)(2014·天津高考)已知双曲线 12222=-by a x (a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) (2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C:x 2-my 2=3m(m>0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ).3 C (3)(2014·广东高考)若实数k 满足0<k<9，则曲线 与曲线 的( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等22x y 1259k =－－22x y 125k 9=－－。
双曲线的几何性质数学教案设计
双曲线的几何性质数学教案设计一、教学目标1. 理解双曲线的定义和标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、离心率等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义和标准方程介绍双曲线的定义，即所有到两个固定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合。
推导双曲线的标准方程，即\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)）。
2. 双曲线的焦点和准线解释双曲线的焦点概念，即双曲线上每个点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率。
推导双曲线的焦点坐标，即\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
介绍准线的概念，即与双曲线对称的直线，其方程为\(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
3. 双曲线的离心率定义双曲线的离心率\(e\) 为\(e = \frac{c}{a}\)。
解释离心率与双曲线的形状的关系，即\(e > 1\) 表示双曲线开口向外，\(e < 1\) 表示双曲线开口向内。
4. 双曲线的渐近线介绍双曲线的渐近线概念，即当\(x\) 趋于无穷大或无穷小时，双曲线的曲线趋近于一条直线。
推导双曲线的渐近线方程，即\(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
5. 双曲线的对称性和周期性解释双曲线的对称性，即双曲线关于\(x\) 轴和\(y\) 轴对称。
介绍双曲线的周期性，即双曲线在\(x\) 轴和\(y\) 轴上具有无限周期。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索双曲线的几何性质，激发学生的学习兴趣和主动性。
2. 使用图形和实例进行直观的解释和演示，帮助学生理解和记忆双曲线的几何性质。
3. 组织小组讨论和合作，鼓励学生之间的交流和思考，培养学生的团队合作能力。
四、教学评估1. 课堂讲解和提问：通过观察学生在课堂上的参与和回答问题的表现，评估学生对双曲线几何性质的理解程度。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
双曲线的几何性质优秀教案
2.3.2双曲线地简单几何性质（学案）一、学习目标：（1）了解双曲线地范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质.（2）利用双曲线地实轴、虚轴、离心率和渐近线等概念及其几何性质能解决一些简单地双曲线问题.学习重点：双曲线地简单几何性质. 学习难点：双曲线地离心率和渐近线.三、学习方法：自主探究 合作交流 四、学习思路：通过类比椭圆地几何性质及利用双曲线地图象探究双曲线地几何性质，再利用几何性质解决一些简单问题.五、知识链接：复习1：双曲线地标准方程是什么？复习2：椭圆有哪些简单几何性质？以焦点在x 轴上地椭圆 为例.六、 自主学习：探究一：思考：如果我们也按照椭圆地几何性质地研究方法来研究双曲线，那么双曲线2222+=1(>>0)x y a b a b渐近线：新知： 练习：（1） ___________________________（2） ___________________________总结两种标准方程地双曲线地几何性质，并填表.by x a 直线叫做双曲线的渐近线.=±22-=143x y的渐近线为：22-=122x y 的渐近线为：探究二：性质地应用例1.求双曲线22169144x y -=地实轴长和虚轴长，顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程.跟踪训练1：写出下列双曲线地实轴长,虚轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程 （1）（2）例2.221169y x -=422-=-y x跟踪训练2M-求双曲线地标准方程；已知离心率七：本课总结：你学到了什么？八：课后作业：教材61页练习1（2）（4）习题2.3第二题（1）（2）版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。
2.3.2 双曲线的简单几何性质(共3课时)
双曲线的简单几何性质
双曲线标准方程： x2 a2
y2 b2
1
y
双曲线性质：
1、范围： x a 或 x a
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称.
3、顶点：A1（-a，0），A2（a，0） 线段A1A2叫实轴 . 线段B1B2叫虚轴 .
B2
A1
A2
F1 O
F2
x
实轴长|A1A2|=2a ，虚轴 |B1B2|=2b .
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
离心率 e c 5 . a4
渐近线方程为:
y
4 3
x
.
-3 O 3
x
-4
应用举例:
例1.求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
解：原方程可化为 :
y2 42
x2 32
1
y
实半轴长 a 4，虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
离心率 e c 5 . a4
渐近线方程为:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.2.2双曲线的简单几何性质 鹤壁高中 蔡凤敏 2011.10.20一、复习回顾----椭圆的几何性质二、探究互动-------双曲线的简单几何性质 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得： ．这说明双曲线在不等式 所表示的区域； ②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心；2．顶点：双曲线有 个顶点,是特殊点：实轴：21A A 长为 , a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为 ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有 个顶点，这是两者的又一差异3.渐近线：直线 叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）． 4.等轴双曲线：1）定义： 。
定义式：a b =2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为： ；②渐近线互相 ；两条渐近线的夹角是 ③e=3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。
5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是： 或写成6．双曲线的草图具体做法是：7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越 ，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1※ 典型例题题型一 由方程研究双曲线的几何性质例1．求双曲线191622=-y x 与221916y x -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.求已知双曲线的渐近线方程的方法小结：题型二 用双曲线的性质求双曲线方程：例2．求与双曲线2244x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程.说明：（1）与双曲线221x y m n-=（0mn >）有共同渐近线的所有双曲线方程为22x y m nλ-=（0λ≠） （2）0-0x y x ym n m n+==以直线或为渐近线的双曲线标准方程【练习】与双曲线22143y x -=有共同的渐近线且经过点(3,2)M -的双曲线方程是例3．求中心在原点，一条渐近线方程为230x y -=，且一焦点为(4,0)-的双曲线标准方程。
例4．已知双曲线的渐近线方程为23y x =±，实轴长为12，求它的标准方程。
例5选择题1.双曲线与椭圆164y 16x 22=+有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x ，则双曲线方程为（ ）（A ）96y x 22=- （B ）160x y 22=-（C ）80y x 22=- （D ）24x y 22=-2.双曲线的渐近线为x 43y ±=，则双曲线的离心率是（ ）（A ）54 （B ）2 （C ）54或35 （D ）25或3153.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线的方程为（ ）（A ）112y -4x 22=（B ）14y -12x 22=（C ）16y -10x 22=（D ）110y -6x 22= 4.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（ ）（A ）14y -4x 22=（B ）14x -4y 22=（C ）18x -4y 22=（D ）14y -8x 22=5.焦点为（0，6）且与双曲线1y -2x 22=有相同的渐近线的双曲线方程为（ ）（A ）124y -12x 22=（B ）124x -12y 22=（C ）112x -24y 22=（D ）112y -24x 22= 6.若双曲线1m y -4x 22=的渐近线方程为x 23y ±=，则双曲线的焦点是 7.已知双曲线13x -ay 222=的离心率为2，求双曲线的渐近线方程。
8.已知双曲线1by -a x 2222=（a>0,b>0）的离心率e=332，过A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23，求此曲线的方程。
9. 已知双曲线1by -a x 2222=（b>a>0）的半焦距为c ，直线L 过点（0，b ）和（a ，0）已知原点到直线L 的距离为3c ，求此曲线的离心率。
第2课题：双曲线的几何性质（2）1.．双曲线的第二定义：平面上到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．例1．点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离与到c a x l 2:=的距离之比为常数)0(>>a c ac ，求M 的轨迹方程。
2.．准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 22:=位置关系：2>>≥ca a x 焦点到准线的距离p= （也叫焦参数）3.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1MF = ;2MF = 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1MF = ;2MF = 焦半径公式的推导：4．焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点),(),(2211y x B y x A当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： AB过右焦点与右支交于两点时：AB当双曲线焦点在y 轴上时，过上焦点与上支交于两点时： AB过下焦点与下支交于两点时：AB5．通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 d=练习：1．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于( ) （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1652．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（ ）（A ）10 （B （C ）27 （D ）3253．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ） （A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=84．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .⊗【例1】1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是( )（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y =1 （D ）23x ―y 2=1与22139y x -=2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有( )（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为( ) （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 4．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（ ）（A ）32 （B ）―32（C ）1 （D ）―15．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 . 6．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .7．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3,y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .【例2】 根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)两准线间的距离是2，焦距为6；(2)与椭圆x 2+2y 2=2共准线，且离心率为2；(3)已知P 点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P 到两焦点的距离分别为4和2，过P 作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点.(4)双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过A ；(5)双曲线的一条渐近线经过点(1,2)P【例3】．已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线左支上有一点P ，设P 到左准线的距离为d ，且12,||,||d PF PF 恰成等比数列，试求P 点的坐标。
第3课题：双曲线的几何性质（3）1. 直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y =kx +m (m ≠0), 双曲线12222=-by a x ,联立、化简得：222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=（1）当2220b a k -=即k= 时，直线l 与双曲线的渐近线 ，直线l 与双曲线 （2）当2220b a k -≠即k ≠ 时，∆=若∆>0⇒l 与c 若∆=0⇒l 与c 若∆<0⇒l 与c2. 弦长计算计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，从而|P 1P 2|= = 题型一 由位置关系求参数的值例1. 已知直线y =k （x ―1），双曲线x 2―y 2=4，试讨论实数k 的取值范围. （1）直线与双曲线有两个公共点； （2）直线与双曲线有且只有一个公共点； （3）直线与双曲线没有公共点；练习：1．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）不充分不必要条件2.直线y =kx +2与双曲线x 2―y 2=6的右支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）(―3, 3) （B ）(0, 3) （C ）(―3, 0) （D ）(―, ―1) 题型二 确定直线条数例2．直线l 过点(1, 1)，与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则满足条件的l 有（ ）（A ）1条（B ）2条 （C ）4条（D ）无数条 题型三 点差法求直线方程例3．过点A (8, 1)且被A 点平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是例4．已知双曲线的方程2212y x -=，试问是否存在被点(1, 1)所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。