2020年河南省郑州市八校联考高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年河南省郑州市八校高一下学期期中联考数学试题
2020-2021学年河南省郑州市八校高一下学期期中联考数学试题考试时间：120分钟 分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．sin70cos20cos70sin20︒︒+︒︒=（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．sin50︒ 2．化简AC BD CD AB -+-得（ ） A ．AB B ．DA C ．BC D ．0 3．已知sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）A ．14-B ．4-C ．14D ．4 4．函数sin sin ||y x x =-的值域是（ ）A ．[1,1]-B ．[0,2]C ．[2,2]-D ．[2,0]-5．将cos2y x =图象向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．已知向量(5,3),(2,)a x b x =-=且a b ⊥则由x 的值构成的集合是（ ） A ．{2,3} B ．{1,6}- C ．{2} D ．{6} 7．已知函数2()sin f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称8．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在单位圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且220OA AB AC ++=，则CA CB ⋅的值为（ ） A ．2 B ．7 C 7 D ．1410．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是《算经十书》中最重要的一种，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB 等于6m ，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为27m 2，则cos AOB ∠=（ ） A ．125 B ．325 C ．15 D ．72511．已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象的一条对称轴是直线6x π=，则函数()sin 2cos2g x a x x =--的图象（ ）对称A ．关于直线12x π=对称 B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线2x π=对称 D ．关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称12．已知()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦ B ．2260,7,33⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．26507,,1933⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D ．2500,,1933⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()sin 2f x x =，若()f x t +为偶函数，则最小的正数t 的值为________． 14．已知向量(3,1)a =-，(2,1)b =，则a 在b 方向上的投影为________．15．若一个扇形的周长是为定值，则当该扇形面积最大时，其中心角的弧度数是______．16．函数23()sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分） 已知22ππα-<<，22ππβ-<<，且tan α、tan β是方程2670x x ++=的两个根，求αβ+的值．18．（本小题满分12分）已知向量(3,2),(1,0)a b =-=-， （1）求|2|a b +；（2）当[(3)]//(2)xa x b a b +-+时，求x 的值． 19．（本小题满分12分）已知直线12l l //，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ．B 是直线2l 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，求ABC 面积的最小值．20．（本小题满分12分）设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，已知它的图象的一条对称轴是直线8x π=．（1）求ϕ；（2）求函数()f x 的单调递减．．区间． 21．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,1),(cos ,sin 2)m x n x x ==，()f x m n =⋅ （1）求()f x 的最小正周期和其图象的对称中心；（2）若3212f α⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求cos α的值． 22．（本小题满分12分）为应对“新八国联军”在南海的挑衅，海军某部在一海滨区域进行实战演练，该海滨区域的海浪高度y （米）随着时刻(024)t t 而周期性变化，为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表： t 03691215182124y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0（1）从函数y ax b =+和函数sin()y A x b ωϕ=++0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；（2）如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段（一般认为早上七点到晚上七点之间为白天）．2020-2021学年下期高一年级期中联考试题数学参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题：13．4π145 15．2 16．1 三：解答题：17．解：由题意知tan tan 6,tan tan 7αβαβ+=-=∴tan 0α<，tan 0β< 4分又22ππα-<<，22πβ-<<，∴02πα-<<，02πβ-<<．∴0παβ-<+< 6分 ∵tan tan 6()11tan tan 17an αβαβαβ+-+===--， 8分∴34παβ+=-10分 18．解：（1）2(3,2)(2,0)(1,2)a b +=-+-=-|2|14a b +=+= 6分（2）(3)(3,2)(3,0)(43,2)xa x b x x x x x +-=-+-=-- 当(3)//2xa x b a b +-+时，2(43)(2)0x x ----=，解得：1x = 12分19．解：过A 作直线分别交12,l l 于点E ，D ，设ABD α∠=，02πα⎛⎫<<⎪⎝⎭则CAE α∠=，故21,sin cos h hAB AC αα==， 4分 所以1212sin 2ABCh hSAB AC α=⋅⋅= 8分 所以，当22πα=，即4πα=时，ABC 面积的最小值为12h h 12分20．解：（1）因为函数()f x 的一条对称轴是直线8x π=，所以282k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ．因为0πϕ-<<，所以34πϕ=-5分 （2）由（1）知3()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 33222242k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ， 即5988k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z 10分 所以函数()f x 的递减区间为59,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 12分 21．解（1）依题意得：2()2cos sin 21cos2sin 2124f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 2分则2|2|T ππ==，最小正周期为π 3分 对称中心横坐标满足：24x k ππ+=，k Z ∈可得28k x ππ=-，k Z ∈ 5分 故对称中心为,128k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈ 6分（2）由125a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭可得3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 7分∴sin cos αα+=1812sin cos 25αα+=，∴sin cos 0αα< ∵,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴cos 0,sin 0αα>< ∴,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴4cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 9分∴72cos cos 4410ππαα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12分 22．解：（1）作出y 关于t 的变化图象如下图所示，由图，可知选择sin()y A x b ωφ=++函数模型较为合适 2分由图可知 1.40.6225A -==，12T =， 1.40.612b +==，则2126ππω==，2sin 156y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4分由0t =时，1y =，得026k πφπ⨯+=，k Z ∈，所以2k φπ=，k Z ∈，又||2πφ<，所以0φ=，所以2sin 1(024)56y t t π=+． 6分 （2）由24sin 1(024)565y t t π=+， 得1sin62t π-，则722666k t k πππππ-++，k Z ∈， 得112712k t k -++，k Z ∈，从而07t 或1119t 或2324t ． 10分所以在白天11时~19时进行训练较为恰当． 12分。
2020年河南省郑州市八校联考高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin（-600°）的值是（）A. B. - C. D. -2.若，则sin2θ=（）A. B. C. D.3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin 2C.D. 2sin 14.已知向量，，若，则锐角α为（）A. 30°B. 60°C. 45°D. 75°5.已知tanα=3，则=（）A. B. C. D.6.对于非零向量，，下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则，的夹角为锐角7.若A为三角形ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则这个三角形是（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 正三角形8.已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A. A、B、DB. A、B、CC. B、C、DD. A、C、D9.若α、β是锐角△ABC的两个内角，则有（）A. sinα＞sinβB. cosα＞cosβC. sinα＞cosβD. sinα＞cosβ10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A. B. C. D.11.已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A. A=4B. ω=1C. φ=D. B=412.若，则tanα•tanβ=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若的最小正周期为，则的最小正周期为______．14.已知平面向量满足，，则在方向上的投影等于______．15.已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（θ+）=，则x1x2+y1y2的值为______．17.设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若，求λ的值；（Ⅱ）若，求λ的值．18.计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．19.已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．（1）求A和ω的值；（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．20.已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间上所有根之和．21.如图，在平行四边形ABCD中，||=3，||=2，=，=，与的夹角为．（1）若=x+y，求x、y的值；（2）求•的值；（3）求与的夹角的余弦值．22.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin（-600°）=sin（-720°+120°）=sin120°=sin（180°-60°）=sin60°=，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：若，则 sin（-θ）=-，∴sin2θ=cos（-2θ）=1-2=1-2•=，故选：C．利用诱导公式、求得 sin（-θ）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin 2θ的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题．连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为，这个圆心角所对的弧长为2×=，故选：C．4.【答案】C【解析】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，及三角函数的化简求值，其中根据两个向量平行，交叉相乘差为0，构造三角方程是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：∵tanα=3，∴===．故选：D．6.【答案】C【解析】解：A：若，则或⊥（-），故A错误；B：若，则||+||≥|+|=||，故B错误；C：⇔•=0⇔，故C正确；D：若，则，的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．对选项逐个进行分析即可本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．利用sin A+cos A=，两边平方可得sin A cosA=-，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sin A+cos A=两边平方可得：sin2A+cos2A+2sin A cosA=，化为sin A cosA=-，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，cos A＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．8.【答案】A【解析】解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．9.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质结合三角函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：∵α、β是锐角△ABC的两个内角，∴α+β＞90°，∴90°＞α＞90°-β＞0°，∴1＞sinα＞cosβ＞0，故选：C．10.【答案】D【解析】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（-）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[-，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x-）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x-∈[-，]，故y=sin（2x-）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选：C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．【解答】解：因为，所以；．故选：D．13.【答案】【解析】解：∵的最小正周期为，∴T==得ω=8，则的最小正周期为T=，即g（x）的周期为，故答案为：．结合三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算，利用正弦函数的周期公式T=以及正切函数的周期公式T=是解决本题的关键．注意两者的周期公式不相同．14.【答案】-【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的投影，属于中档题．两边平方得出，再代入投影公式计算投影．【解答】解：∵||=，∴=3，即1+2+4=3，∴=-1．∴在方向上的投影为=-．故答案为：．15.【答案】【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-，0），∴α-β∈（0，π），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】-【解析】解：依题意知=（x₁，y₁）=（x₂，y₂）•=x1x2+y1y2，另外P₁，P₂在单位圆上，||=||=1•=||•||cosθ=1•1•cosθ=cosθ，∴x1x2+y1y2=cosθ，∵sin（θ+）=sinθ+cosθ=，①sin2θ+cos2θ=1，②，且θ为钝角联立①②求得cosθ=-．故答案为：-．根据题意表示出•，根据向量数量积的运算求得x1x2+y1y2=cosθ，进而根据sin（θ+）的值，求得cosθ的值．本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用．注重了对学生基础知识的考查．17.【答案】解：（Ⅰ）则存在唯一的μ使，∴=．∴，∴当时，；（Ⅱ）则，∴化简得，∵，是两个相互垂直的单位向量，∴λ=2∴当λ=2时，．【解析】（Ⅰ）则存在唯一的μ使，解得所求参数的值．（Ⅱ）则，解得所求参数的值．本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．18.【答案】解：（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π-）+cos（π-）=cos+cos-cos-cos=0．-------------------（6分）（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°-30°）+sin（-2×360°+30°）•cos（-2×360°+60°）=sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°=×+×=1．-------------------------------------（12分）【解析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式以及两角和的正弦函数，特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．∴A=2，T=2×（-）=π∴ω==2∴A=2，ω=2（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=∴sin2α=，cos2α=1-2sin2α=-由（1）知∴=sin2α-cos2α=+=【解析】（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可本题主要考察了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题20.【答案】解：（1）=1+cos2x+sin2x+2=3+2sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y=3+2sin（4x+），再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象即g（x）=3+2sin[4（x-）+]=3+2sin（4x-），由g（x）=4得g（x）=3+2sin（4x-）=4，得sin（4x-）=，得4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，得x=+或x=+，k∈Z，∵x∈，∴k=0时，x=或，即方程g（x）=4在区间上所有根之和为+=．【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）利用三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合方程进行求即可解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）∵||=3，||=2，=，=，∴=3+2=x+y，∴x=3，y=2．（2）由向量的运算法则知，=2-3，∴．（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，又，∴====，∴====，设与的夹角为θ，可得，∴与的夹角的余弦值为．【解析】（1）由平行四边形法则得，而分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；（2）由题意可以为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求得•的值；（3）直接套用夹角公式cos＜，＞=计算．利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．22.【答案】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．。
河南省2020年高一下学期期中数学试卷(II)卷(新版)
河南省2020年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·上饶月考) 若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（）A . 重合B . 关于原点对称C . 关于轴对称D . 关于轴对称2. （2分） (2020高一上·温州期末) 已知，，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . =0.4x+2.3B . =2x﹣2.4C . =﹣2x+9.5D . =﹣0.4x+4.44. （2分）(2020·奉贤模拟) 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A . 1.5小时B . 1.0小时C . 0.9小时D . 0.6小时5. （2分）(2020·宝山模拟) 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是（）A . 当，时，辅助角B . 当，时，辅助角C . 当，时，辅助角D . 当，时，辅助角6. （2分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位7. （2分） (2017高一下·广州期中) 已知函数y=sin（2x+φ）+1的图象关于直线对称，则φ的可能取值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·珠海期末) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是（）（）A . 16平方米B . 18平方米C . 20平方米D . 24平方米9. （2分）某社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率；其中说法正确的为（）A . ①②③B . ②③C . ③④D . ①④10. （2分）已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A . -3B . -2C .D . 311. （2分）把一枚硬币掷三次，三次都出现正面的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·洛阳期中) 函数y=x﹣的值域为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·启东期末) 已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为________．14. （1分） (2017高二下·池州期末) 给出如图的程序框图，程序输出的结果是________．15. （1分） (2016高三上·浦东期中) 函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为________．16. （1分） (2016高一下·滕州期末) 某校有男生1200人，女生900人，为了解该校学生对某项体育运动的喜爱情况，采用按性别分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为70的样本，则样本中女生的人数为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2017高三上·盐城期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，，且．（1）求b的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18. （10分）(2012·重庆理) 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．19. （5分）假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（必须计算出结果）（Ⅰ）没有次品；（Ⅱ）恰有两件是次品；（Ⅲ）至少有两件是次品．20. （10分） (2020高一下·忻州月考) 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.21. （15分） (2016高一上·襄阳期中) 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性，并证明你的结论．22. （15分） (2016高二上·嘉兴期中) 设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、。
河南省郑州市2020-2021学年下学期期中高二年级八校联考理科数学试题
【市级联考】河南省郑州市2020-2021学年下学期期中髙二年级八校联考理科数学试题学校: ____________ 姓名：_____________ 班级：______________ 考号： _____________一、单选题1.复数Z = X的虚部是()1+ /A. 1 E. 1 C. -i D. 一12.要证明√3 + √7 <2√5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.归纳法D.类比法3.设函数/(X)在x = l处存在导数为2,则Ilm Z(I+ ^υ~zω =( ).ΔΛT°3ΔΛ2A. — E. 634.若函数y = x3 + log2x + e^v,则y'=14 1 -VA. -X + ------ + e4Xlll2 C. 3√ + -—-严XIn211C. D.-3 2).B. 1 4 1—X + ----------B. —x + ------ e4 XIn2D. 3十+丄一 +厂XllI25.由曲线y = e∖ y = w"以及x = 1所围成的图形的面积等于A. 2 E・2e-2 C. 2-- )・D. e + --26.二维空间中圆的一维测度(周长)l = 2πr.二维测度(面枳)S = πr观察发现4 Sxr) = I:三维空间中球的二维测度(表面积)S = 4πr2,三维测度(体积)V = -πP ,3观察发现y∖r) = S .则由四维空间中“超球”的三维测度V = SπP，猜想其四维测度W=( )・, 8 . 1 5」A. 24兀厂B. -πrC. -πrD. 2πr43 47.已知函数/(Λ) = OX-Iiir,若/(x)>l在区间(1,+s)内恒成立，则实数d的取值范围是( ).A. (-c<>,l)B. (-∞,1]C. (1,+s)D. [l,+∞)3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个•若以上四位老师中只有一位 老师猜对，则猜对者是()・A.甲 E •乙C •丙D. 丁9.己知α-lnb = O, c-d = l,则(a-c)2 +(b-d)2 的最小值是().A. 1 E. C. 2 D. 2√210. 设/W 是定义在R 上的奇函数，KZ(I) = O t 当X>O 时，有f (X) > xf ∖x)恒成立，则不等式h(χ)>o 的解集为().A. Y,0)U(0,1)B. (F-I)U(OJ)C. (-l,0)u(L+oo)D. (-l,0)U(0,l)11・函数y = 4cosx-ew的图象可能是()12.己知函数f(x) = xe x -e ∖函数g(x) = tnx-m (加＞0),若对任意的x 1 ∈[-2,2],总存在x 2 ∈[-2,2]使得f(x l )≈g(x 2)9则实数加的取值范围是()二、填空题13. F 2 2sin 2 -dx= __________JO2A. [-3e-∖∣]E. [e 2, + ∞) D ∙ [=, + s)14.定义运算 4 aιW b2=cιi b2一a2b l则函数/(X)= 1X -X3的图象在点∖a )处的切线方程是______ .15.观察下列各式：90401 = 3604 3Q4O5=122060505 = 302580803 = 6424根据规律，计算(5O7O4)-(7O4O5) = __________________ .16.已知函数f (X) = e3v^1, g(x) = →lιιx,若/W) = g("),则〃一加的最小值为_ •三、解答題17.己知复数Z = ^bi(beR)f且(l+3i)∙z为纯虚数.(1)求复数Z :(2)若血=右，求复数血以及模I外18.已知函数f(x) = x5+bx2+cx + d的图象过点P(0,2),且在点M(-1J(-1))处的切线方程为6x-y+7 = 0.(I)求/(-1)和广(―1)的值.(II)求函数/V)的解析式.19.在数列匕｝中，a l = -t %+1 = ,求①、①、①的值，由此猜想数列匕｝2 Qn +的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为X米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 +JF)X万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建"个桥墩，记余下工程的费用为)'万元.(I)试写出y关于X的函数关系式：(注意：(" + l)x=640)(II)需新建多少个桥墩才能使y最小？21.己知/(x) = Iax-— -(2 + a)Iii X (CI ≥ 0)X(I)当0 = 0时，求/'(X)的极值；(II)当d> O时，讨论/(Q的单调性(I)求实数α的值；(II)若keZ,且Rc丄巴对任意x〉l恒成立，求R的最大值.x-1参考答案1.D【解析】分析：化简复数z,写出它的虚部即可.详解:∙∙∙z的虎部是-1.故选D.点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设% = a + bi, 0 = C+di(a,b,c,dR), 则砒2 = (a + 勿)(c + JZ) = ac-bd + ^ad+bc)i,Z l a + bi (d + bi)(c-di) (CIC+ bd)+(bc-ad)iZ2 c + di (c + di)(c - di) c2+d22.B【解析】【分析】由题意结合所给的不等式逐一考查所给的方法是否合适即可，需要注意综合法与分析法的区别.【详解】因为要证明√3 + √7 <2√5,题中并没有相应的证明方法进行类比，故D不合理.而所给条件只有一个不等式，所以无法应用归纳法，故C不合理.因为不等式左右两端均人于0,所以将不等式两端同时平方后不等式仍然成立，得10 + 2√2T<20≈>√2TV 厉成立，属于从结论出发证明结论成立，为分析法.利用综合法证明题中的不等式显然需要用到分析法的逆过程，直接用综合法不合理•故选B.【点睛】本题主要考查分析法与综合法的区别，属于基础题•3.A【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可.反数,所以在用定积分求曲边形面枳时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.6.D【解析】因为IV = 2πr4 VV, = Sπr5 = V ,所以肘=2;FK，应选答案D・点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：VV = ∫Sπr i dr = -×Sπr4= 2πr4 ,应选答案D.47.D【详解】V∕(x) = αx -hιv, /(Λ)> 1 在(L÷oo)内恒成立，/. a > 1 +111A在(1, +S)内恒成立，设g(χ) = ∏∑ , Λχ∈(l, + oo )时，^(X) =-⅛<0,即g(x)在(l, + ∞)上是单调递X .v减的，∙∙∙g(x) vg(l) = l, ∙∙∙αni,即d的取值范围是［1, + 8),故选D∙点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由/'(x)>0,得函数单调递增，f∖χ)Vo得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为cι>h{x)或αv∕z(x)恒成立，即d>Λmax(X)或d<√7mm(x)即可，利用导数知识结合单调性求出∕g x(x)或∕7mm(x)即得解•8.C【解析】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对, 则乙也猜对，故也不满足条件•而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为C.9.C【分析】设点(b,α)是曲线Ciy = Inx上的点，点(d, C)是直线Γ.y = x+1上的点；(° —c)'+(b —d)'可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方.然后将问题转化为求曲线C上一点到直线1距离的最小值的平方，直接对函数y = inx求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线/距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式町求出最小距离，从而得出答案・【详解】设(O G)是曲线C.y = hιx±的点，(乩C)是直线∕zy = x + l±的点；(f∕-c)2+ (Z?-^)2可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方・对函数y = InX求导得F =丄，令Xy = b得x = l,所以，曲线C上一点到直线/上距离最小的点为(LO),该点到直线/的距离为J；；；］ =Q 因此’(α-c)2+(^-J)2的最小值为(√2)2 =2 .故选C.【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题・10.D【分析】由已知当X>0时，有/(x)>V,(x)恒成立，可判断函数g(χ) = ∙∆W 为减函数，由/(X)是定义在R上的奇函数，可得g (x)为(-P 0) U (0, +∞)上的偶函数，根据函数g (x)在(0, +8)上的单调性和奇偶性，结合g (x)的图象，解不等式即可【详解】设g(x)=lSΔ则£(x)的导数为g.(x)=O⅛±L∑1 •・•当x>o 时总有£ (X) < X Jrf (χ∖f(X)成立，即当x>0时，g z(x) <0, Λ当x>0时，函数g(χ) = u丄为减函数，又—力=上U = (W = g3,・•・函数名(X)为定义域上的偶函数又•・•—Xg(l) =半=0•••函数g(X)的图彖如图：数形结合可得XΛx 2∙g (x) >0Λg (x) >0 .*.0<x< 1 或-l<x<O 故选 D.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综 合题.11. A【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项. 【详解】解:当x>0时,y = 4cosx-e x,则 y =-4sinx-e x,Sin X >0,e x > 0 , y =-4SinX-e v <0 ,FI71兰3右XW y^+o° H -4<4smx≤4, £ >(2∙7)3>√I^>4,则 y = -4 SilI X - e x < 0 恒成立,即当x>0时，y=-^nx-e x < 0恒成立，则y = 4 cos X - e x 在(0,+a)上单调递减， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题・若屮号12.B【分析】由题意，可得门刃在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数f(x) = e∖x-l)的导数为f∖x) = xe∖当x>0时，Γ(x)>O,则函数/(x)为单调递增；当XVo时，f(x)<O,则函数/(x)为单调递减，即当J V = O时，函数/(x)取得极小值，且为最小值—1，又由/(一2)= -3e~2J(2) = e2t可得函数/(x)在［—2,2］的值域［—10］,由函数g(x) = IIIX一m(ιn > 0)在［-2,2］递增，可得g (x)的值域［-3∕n, m］,由对于任意的x1∈ [-2,2],总存在x2∈ [-2,2],使得f (x i) = g(X2), “-3/77 ≤-l可得[-Le2]⊂[-3∕n√∕7],即为彳 ,,解得∕w≥e2,故选BUl ≥ L【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为/(x)在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题・【分析】被积函数利用二倍角的余弦降幕，然后求出被积函数的原函数，代入区间端点值后即门J得到结论•【详解】Jr πIX ξ兰兀・π π I∫2siιf —dX=COSX)dx = (x-SinX) IJ =y-SIn y = y ^∙O 2 O故答案为:p.【点睛】本题考查了定积分，解答此题的关键是把被积函数降幕，此题为基础题.14.6x-3y-5 = 0【分析】由题意先写出函数/(χ)的解析式，然后对/(x)求导，求出切线的斜率，进而可求出切线方程.【详解】所以切线方程为y-∣ = 2(x-l),整理得6x-3y-5 = O,故答案为6x-3y-5 = O【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.15.708【分析】分析各式找到规律即可求解【详解】根据规律可得，50704的最前两位是5×7 = 35,紧接着的两位是7x4 = 2&则5O704=3528,同理得7Q4Q5=2820,故(50704)—(70405) = 708故答案为708【点睛】本题考查合情推理，找到规律是关键，是基础题2+ hι316. -----3【分析】设f = /(〃» = g(")(r > 0)得到加,n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数, 求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.【详解】设f = /(〃?) = g(")(r>0),则 m = 1 +^1IZ ,H = e ~3 .令∕?(f) = “一m = e 3 一 1 (f > 0),则 h ,(t) = e 3 »(1 \•••//(f)在(0,+S)上单调递增，且N - =0,∖ J・・・当0</<扌时，Λ,(r)<O,Λ(f)单调递减；当r>∣时，F(f)>0∕(/)单调递增.= h[~} =13丿故n-ιn 的最小值为土Q.3 口小…2 + ln3 故答杀为—^—.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究 函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度・17.【分析】(1)将(l + 3z)∙z 表示为a + bi 的形式，结合纯虎数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入 Q =二一化简为cι + bi 的形式，结合复数的模长公式即可求解.2 + i【详解】⑴将Z = 3+bi 代入(l+3∕)∙z 得(1+引)∙z = (l + 3f ∙)(3 +仞)= 3-3b+(b+9)d,因为2 + lιι3 •••〃(/)(1 + 3Z)^为纯虚数,所以W 3_3b =0、 b + 解得b = l.所以复数2 = 3 + 1.7(1) z = 3 + ι; (2) ^3+ f _ (3 + Q(2-0 _7-z_ 7 /2 + l~ (2 + i)(2-i)~~Γ~5~5本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.18. (1) /(-1) = 1,/(-1) = 6; (2) f(x) = x 3-3x 2-3x+2【解析】分析：(1)利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可.(2)利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可.详解：(1) Vf(X)在点M ( - 1, f (・1))处的切线方程为6χ-y+7二0.故点(・1, f ( - 1))在切线6χ-y+7二0上，且切线斜率为6.得 f ( - 1)二 1 且 f' ( - 1) =6.(2) Vf (x)过点 P (0, 2)・•・d=2Vf (X)=χ3+bx"+cx+d∙a . f , (x) =3x 2+2bx+c 由 f' ( - 1) =6 得 3 - 2b+c=6又由 f ( - 1)二1,得-l÷b - c+d=l4=2联立方程! 3-2b+c=6k l≡-l+b"c+d d≡2故 f (x) =x 3 - 3x - - 3x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力・319・Cl n = ---- ,证明见解析•/7 + 5 Z⑵由⑴知z = 3+ι,所以^ =—=【点睛】【解析】3试题分析：利用递推式直接求。
2020-2021学年河南省郑州一中高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年河南省郑州一中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知角α的终边经过点P(2a+1,a−2)，且cosα=−35，则实数a的值是()A. −2B. 211C. −2或211D. 22.周长为9，圆心角为1rad的扇形的面积为()A. 92B. 94C. πD. 23.从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知样本中最小的编号为007，则样本中最大的编号应该为()A. 382B. 483C. 482D. 4834.某公司为了解该公司800名员工参加运动的情况，对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过100小时的员工有()A. 360人B. 480人C. 600人D. 240人5.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x4+5x3+6x2+79x−8在x=−4时的值，v2的值为()A. −845B. 220C. −57D. 346.执行如图所示的程序框图，如果输出S=132，则判断框中应填()A. i≥10？B. i≥11？C. i≥12？D. i≤11？7.将53化为二进制的数，结果为()A. 10101(2)B. 101011(2)C. 110011(2)D. 110101(2)8.从甲、乙、丙、丁、戊五人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中的概率为()A. 25B. 14C. 12D. 239. 已知变量x 和y 之间的几组数据如表若根据上表数据所得线性回归方程为ŷ=0.65x +m ，则m =( ) A. −1.6 B. −1.7C. −1.8D. −1.910. 已知点P (sinθ,3sinθ+1)(θ∈(0,π2))在直线y =−x +3上，则θ=( )A. 5π12B. π3C. π4D. π611. 设M 是△ABC 所在平面内的一点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −1B. 1C. −2D. 212. 已知f(x)=√2sin(x +π4)在x ∈[0,π2]上的最大值为( )A. 1B. √22C. √2D. 2二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知tanα=−12，则cos 2α−sin 2α的值为________．14. 设x ，y ∈R ，向量a ⃗ =(x,1)，b ⃗ =(1,y)，c →=(2,−4)，且a →⊥c →，b →//c →，则|a⃗ +b ⃗ |=________．15. 已知点P(3,0)，在⊙o:x 2+y 2=1上任取一点Q ，则|PQ |≤√13的概率为________． 16. 已知函数f(x)=x 3−3x 2+bx +c 有极值，且导函数f’(x)的极值点是f(x)的零点，给出命题： ①c > −1；②若c >0，则存在x 0<0，使得f(x 0)=0；③若f(x)有两个极值点x 1，x 2，则f(x 1)+f(x 2)>0；④若−1<c <0，且y =kx 是曲线C ：y =|f(x)|(x <0)的一条切线，则k 的取值范围是(−274,−2)．则以上命题正确序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.根据下面的要求，求S=1+2+22+23+⋯+263值．(Ⅰ)请完成执行该问题的程序框图(图1)；(Ⅱ)图2是解决该问题的程序，请完成执行该问题的程序．18.已知向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,1)(x∈R)．(1)若a⃗,b⃗ 的夹角为锐角，求x的范围；(2)当3a⃗−2b⃗ =(4,y)时，求x+y的值．19. 已知tanx =−2，(1)若x 为第二象限角，求cos x 的值 (2)求sinx−cos(π2+x)sin(π−x)−2cosx的值．20. 如图是某台大型设备使用时间x(单位：年)与维护费用y(单位：千元)的散点图．(1)根据散点图，求y 关于x 的回归方程y ^=b ^x +a^； (2)如果维护费用超过120千元，就需要更换设备，那么根据(1)中模型的预测，估计该设备最多可以使用多少年？附：①参考数据y −=75，∑(6i=1x i −x −)(y i −y −)=63②对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −21. 已知二次函数f(x)=ax 2−bx +1，A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|1≤x ≤4}.若a 是从集合A 中随机取的一个实数，b 是从集合B 中随机取的一个实数，求关于x 的方程f(x)=0一根在区间(0 , 12)内，另一根在[0 , 12]外的概率．22. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2−2cos 2x +√22．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移π24单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[π6,2π3]上的值域．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数，属于基础题．由已知求出|OP|，然后结合余弦函数的定义及已知求解即可．【解答】解：由已知|OP|=√(2a+1)2+(a−2)2=√5a2+5，又cosα=−35，所以2a+1<0，a<−12，则cos α=2a+1|OP|=√5a2+5=−35，结合a<−12，解得a=−2．故选A．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=9，则r=3，l=3，则对应的扇形的面积S=12lr=12×3×3=92．故选A．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【详解】∵样本中编号最小的编号为007，容量为16，=25，∴样本数据组距为40016则对应的最大的编号数x=7+25(16−1)=382，故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用频率分布直方图计算频率和频数的应用问题，属于基础题．根据频率分布直方图，计算对应的频率和频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，运动时间超过100小时的频率是(0.016+0.008)×25=0.6，所求的频数为800×0.6=480(人)．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题．由于函数f(x)=3x4+5x3+6x2+79x−8=(((3x+5)x+6)x+79)x−8，当x=−4时，分别算出v0=3，v1=−4×3+5=−7，v2=34，即可得出．【解答】解：由于函数f(x)=3x4+5x3+6x2+79x−8=(((3x+5)x+6)x+79)x−8，当x=−4时，分别算出v0=3，v1=−4×3+5=−7，v2=−4×(−7)+6=34，故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．解答时可模拟运行程序，即可得出结论．【解答】解：程序执行过程中的数据变化如下：i=12，s=1，12≥11，s=12，i=11，11≥11，s=132，i=10，10≥11，不成立，输出s=132．故选：B．7.【答案】D【解析】解：53÷2=26 (1)26÷2=13 013÷2=6 (1)6÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故53(10)=110101(2)故选：D．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．先求出基本事件总数，再求出甲没被选中包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲被选中的概率． 【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊五人任选两人参志愿活动，基本事件总数n =C 52=10，甲没被选中包含的基本事件个数m =C 42=6，∴甲被选中的概率p =1−m n=1−610=25．故选A ．9.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 根据上表数据计算x −、y −，代入线性回归方程中求得m 的值． 【解答】解：根据上表数据，计算x −=15×(4+6+8+10+12)=8， y −=15×(1+2+3+5+6)=3.4， 代入线性回归方程ŷ=0.65x +m 中， 计算m =3.4−0.65×8=−1.8． 故选：C ．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，直线方程的应用，属于基础题． 将点P 代入直线y =−x +3，求解即可． 【解答】解：由题意点P (sinθ,3sinθ+1)在直线y =−x +3上，∴3sinθ+1=−sinθ+3,解得sinθ=12,θ∈(0,π2) 所以θ=π6． 故选D ．11.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴M 是BC 的中点， ∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 ∴|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∴MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−1， 故选：A ．根据题意，画出图形，结合图形，得出M 为AB 的中点，从而求出的值． 本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题目．12.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了两角和差及二倍角公式，三角函数公式，属于基础题． 【解答】解：f(x)=√2sin(x +π4)， ∵x ∈[0,π2]， ∴x +π4∈(π4,π2)，∴sin (x +π4)∈(1,√2],即函数值域为(1,√2],∴最大值为√2．故选C．13.【答案】35【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系．【解答】解：cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−141+14=3454=35，故答案为3514.【答案】√10【解析】【分析】本题考查了向量平行、垂直的坐标运算和向量的模，属于基础题．利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出x，y，再求模即可．【解答】解：∵a⃗⊥c→，b→//c→，∴a⃗·c⃗=2x−4=0，2y+4=0，则x=2，y=−2，∴a⃗+b⃗ =(3,−1)，∴|a⃗+b⃗ |=√32+(−1)2=√10，故答案为√10．15.【答案】23【解析】【分析】本题考查了几何概型问题，考查余弦定理的应用，是一道中档题．【解答】解：如图所示：由余弦定理得：13=1+9−6cos∠POQ，解得：∠POQ=120°，故∠QOQ′=240°，故满足条件的概率p=240360=23，故答案为：23．16.【答案】①②④【解析】【试题解析】解：∵函数f(x)=x3−3x2+bx+c的导函数为f′(x)=3x2−6x+b，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点，令ℎ(x)=f′(x)，ℎ′(x)=6x−6=0，得x=1，当x<1时，ℎ′(x)<0，f′(x)单调递减；当x>1时，ℎ′(x)>0，f′(x)单调递增，故x=1是导函数f′(x)的极小值点，∴f(1)=0，即1−3+b+c=0，∴b=2−c．∵函数f(x)=x3−3x2+bx+c有极值，∴f′(x)=3x2−6x+(2−c)中，△=36−4×3×(2−c)>0，解得：c>−1，故①正确；当c>0时，f′(x)=3x2−6x+(2−c)有两个不等的实根，设为x1，x2；∵由①知，x=1是f′(x)的极小值点；∴x1<1<x2∴f′(1)=−1−c<−1<0，当x∈(−∞,x1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1,x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增当x=0时，f(0)=c>0当x=1时，f(1)=0，结合图象：可得存在x0<0，使得f(x0)=0，故②正确；∵f(x)有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2−6x+(2−c)=0的两个不等的实根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1x2=2−c3，f(x)的两个极值f(x1)+f(x2)=(x13+x23)−3(x12+x22)+b(x1+x2)+2c，=(x1+x2)[x12+x22−x1x2]−3[(x1+x2)2−2x1x2]+b(x1+x2)+2c=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−3[(x1+x2)2−2x1x2]+b(x1+x2)+2c=2[22−3×2−c]−3[22−2×2−c]+b×2+2c=2b+2c−4=2(2−c)+2c−4=0，故③错误；f(x)=x3−3x2+(2−c)x+c=(x−1)3+(1+c)(1−x)，当x<0时，y=|f(x)|=|(x−1)3+(1+c)(1−x)|若−1<c<0.f′(x)=3(x−1)2−(1+c)=0解得x=1±√1+c3，如图：则y=kx是y=g(x)=−(x−1)3+(1+c)(x−1)(x<0)的一条切线，设切点坐标(x0,y0)(x0<0)，则g′(x)=−3(x−1)2+(1+c)，∴k=−3(x0−1)2+ (1+c)，因为k=y0x0=−(x0−1)3+(1+c)(x0−1)x0=−3(x0−1)2+(1+c)，∴1+c=−(x0−1)3+3x0(x0−1)2，∴k=−3(x0−1)2+(1+c)=−3(x0−1)2−(x0−1)3+3x0(x0−1)2=2(x0−1)3，∴1+c=−(x0−1)3+3x0(x0−1)2=(x0−1)2(2x0+1)∈(0,1)∴x0−1∈(−32,−1)，∴k=2(x0−1)3∈(−274,−2)，故④正确．故答案为：①②④．列出关系式求解b与c的关系，化简函数的解析式，利用函数的零点判断①的正误；通过c的范围，结合函数的图象判断②的正误；求出极值之和判断③正误；利用函数的导数结合函数的切线方程，转化推出斜率的范围判断④的正误即可．本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，数形结合等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．17.【答案】解：(1)说明：每一个空(1分)【解析】(1)分析题目中的要求，发现这是一个累加型的问题，故可能用循环结构来实现，在编写算法的过程中要注意，累加的初始值为0，累加值每一次增加1，退出循环的条件是i >63，把握住以上要点不难得到正确的流程图．(2)根据流程图利用DO L00P UNTIL 语句可完成执行该问题的完整程序．可利用循环语句来实现数值的累加(乘)常分如下步骤：①观察S 的表达式分析，循环的初值、终值、步长②观察每次累加的值的通项公式③在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加(乘)第一项的相关初值④在循环体中要先计算累加(乘)值，如果累加(乘)值比较简单可以省略此步，累加(乘)，给循环变量加步长⑤输出累加(乘)值． 18.【答案】解：(1)向量a ⃗ =(2,−1)，b ⃗ =(x,1)， 当a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为锐角时，a ⃗ ⋅b ⃗ >0， 即2x −1>0， 解得x >12；(2)∵3a ⃗ −2b ⃗ =(6−2,x −5)， 当3a ⃗ −2b ⃗ =(4,y)时， 有{6−2x =4−5=y ， 解得x =1，y =−5，∴x +y =1−5=−4．【解析】(1)根据a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为锐角时a ⃗ ⋅b ⃗ >0，列出不等式求出x 的取值范围； (2)根据向量相等与坐标运算，列出方程组求出x 、y 的值即可． 本题考查了平面向量的数量积与坐标运算的应用问题，是基础题目．19.【答案】解：(1)由tanx =−2，得sinxcosx =−2，即sinx =−2cosx ，又sin 2x +cos 2x =1，且x 为第二象限角，解得cosx =−√55；(2)sinx−cos(π2+x)sin(π−x)−2cosx =sinx+sinx sinx−2cosx =2sinx sinx−2cosx =2tanx tanx−2=−4−4=1．【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．(1)由已知结合平方关系即可求得cos x 的值； (2)利用诱导公式变形，然后化弦为切求解．20.【答案】解：(1)由题意得：x −=1+2+3+4+5+66=3.5，∑(6i=1x i −x −)2=(1−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+(4−3.5)2+(5−3.5)2+(6−3.5)2=17.5， ∴b̂=∑(6i=1x i −x −)(y i −y −)∑(6i=1x i −x −)2=6317.5=3.6，∵y −=75，∴a ̂=y −−b ̂x −=75−3.6×3.5=62.4．∴y 关于x 的回归方程为ŷ=3.6x +62.4； (2)由题意得：3.6x +62.4≤120，解得x ≤16． ∴估计该设备最多可以使用16年．【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题． (1)由已知散点图中的数据结合公式，求得b ̂,a ̂的值，则线性回归方程可求； (2)由已知得关于x 的不等式，求解不等式得答案．21.【答案】解：设事件A 为“关于x的方程f(x)=0一根在区间(0 , 12)内，另一根在[0 , 12]外”.…1分试验的全部结果所构成的区域为Ω={(a,b)|1≤a ≤3，1≤b ≤4}.…2分 ∵f(0)=1>0…3分∴若满足事件A ，须 f(12)<0…6分 即 14a −12b +1<0即a −2b +4<0 …7分 ∴构成事件A 的区域为{1≤a ≤31≤b ≤4a −2b +4<0 …8分 表示的区域如图所示的阴影部分其中A(1,1)，B)3，1)，C(3,4)，D(1,4)，E(3,3.5)，F(1,2.5)， 阴影部分的面积为S =12+322×2=2 …9分区域Ω的面积为2×3=6 …10分 ∴事件A 的概率为26=13 …11分∴关于x 的方程f(x)=0一根在区间(0 , 12)内，另一根在[0 , 12]外的概率为13.…12分【解析】由题意，本题符合几何概型，只要明确所有实验对应的区域面积以及关于x 的方程f(x)=0一根在区间(0 , 12)内，另一根在[0 , 12]外对应区域的面积，利用面积比求概率．本题考查了几何概型概率的求法；关键是明确事件的测度，利用公式解答．22.【答案】(本题满分为12分)解：(Ⅰ)∵f(x)=(sinx +cosx)2−2cos 2x +√22=1+sin2x −(1+cos2x)+√22=sin2x −cos2x +√22=√2sin(2x −π4)+√22， ∴f(x)的最小正周期T =2π2=π，由2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k ∈Z ， 即可解得f(x)的单调递增区间为：[kπ−π8,kπ+3π8]，(k ∈Z)，…6分(Ⅱ)将函数y =f(x)的图象向左平移π24个单位，得到g(x)=√2sin[2(x +π24)−π4]+√22=√2sin(2x −π6)+√22，∵x ∈[π6,2π3]，可得：2x −π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，可得：g(x)=√2sin(2x−π6)+√22∈[0,3√22].…12分【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的正弦函数公式化简可得函数解析式，由正弦函数的图象和性质即可得解．(Ⅱ)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得到函数g(x)，结合x的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．。
2020-2021学年河南省郑州市、新乡市部分学校高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年河南省郑州市、新乡市部分学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列各式中值为12的是()A. sin230°+cos230°B. sin230°−cos230°C. 2sin30°cos30°D. 2cos230°−12.已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为()A. 2B. 4C. 6D. 83.已知α∈[0,2π)，直线l1：xsinα−2y+5=0与l2：3x+(4−2sinα)y+1=0平行，则α=()A. 3π2B. 5π4C. 5π6D. π24.已知角α的终边经过点P(−32,2tan5π4)，则cosα的值为()A. −35B. 35C. −45D. 455.已知a=2021sin1，b=log2021(sin1)，c=sin1，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. c<b<aD. b<a<c6.已知平面向量a⃗=(1,2)，|b⃗ |=3，a⃗⋅b⃗ =6，则向量a⃗，b⃗ 夹角的余弦值为()A. 25B. √55C. 45D. 2√557.在△ABC中，点E，F分别在边BC和AC上，且BE=EC，AF=2FC，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. −16AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. 16AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗8.函数f(x)=4x3cosx2x−sinx的部分图象大致是()A.B.C.D.9. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +cos2x +2m ，若x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为5，则m =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =120°，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √13B. √17C. 4√3D. 2√2111. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则f(x)在区间(−π,0)上零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知函数f(x)=cos|x|−|cosx|，则下列结论中正确的个数为( )①f(x)为偶函数；②f(x)的一个周期为π；③f(x)在[π2,π]上单调递减；④f(x)的值域为[−2,0]．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−3,4)，b ⃗ =(1,−3)，若−a ⃗ +2b ⃗ 与c ⃗ =(−2,m)垂直，则m 的值为______ ． 14. 已知α，β∈(0,π2)，cos(α+β)=−35，sin(α−π3)=−513，则sin(β+π3)= ______ ．15. 将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)的图象，记f(x)与g(x)的图象在y轴的右侧的所有公共点为(x i ,y i )(i ∈N ∗)，则x i 的最小值为______ ．16. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD =5π6，∠BAC =π6，AB =√3，AD =2，AC =4.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知tan(α−π4)=12．(Ⅰ)求tanα的值； (Ⅱ)求cos2α−1sin2α−1的值．18. 已知向量a ⃗ =(3cosθ,sinθ)，θ∈[−π2,π2]，向量b ⃗ =(√3,−13). (Ⅰ)若a ⃗ //b ⃗ ，求θ的值；(Ⅱ)若θ=π6，求a ⃗ ，b ⃗ 夹角的余弦值．19. 如图，半圆O 的直径AB =4，P ，Q 为半圆弧上的两个三等分点．(Ⅰ)求向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影； (Ⅱ)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).20.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示)．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin(2π3x−φ)(A>0,0≤φ<π2)的振幅为2，且经过点(1,2)．(Ⅰ)求降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(Ⅱ)试探究g(t)+g(t+1)+g(t+2)是否为定值.若是，求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数g(x)=asin(2x+π6)+b(a>0,b∈R).若函数g(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．(1)求函数g(x)的解析式；(2)求出g(x)在(0,π)上的单调递增区间．22.某同学用”五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表所示．(Ⅰ)直接写出表格中空格处的数以及f(x)的解析式；(Ⅱ)将y=f(x)图象上所有的点向右平移θ(0<θ<π)个单位长度，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)图象的一条对称轴方程为x=−2π3，求θ的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对任意的0≤x1<x2≤t，恒有f(x1)−f(x2)<g(x2)−g(x1)，求t的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵sin 230°+cos 230°=(12)2+(√32)2=1，故不满足题意，故排除A ；∵sin 230°−cos 230°=−cos60°=−12，不满足题意，故排除B ； 2sin30°cos30°=sin60°=√32，不满足题意，故排除C ；2cos 230°−1=cos60°=12，故D 满足题意，故选：D ．由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，属于基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积． 本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力． 【解答】解：设扇形的半径为R ， 所以2R +2R =8，所以R =2，扇形的弧长为4，半径为2， 扇形的面积为S =12×4×2=4． 故选B ．3.【答案】A【解析】解：∵直线l 1：xsinα−2y +5=0与l 2：3x +(4−2sinα)y +1=0平行， ∴sinα3=−24−2sinα≠51，∴sin 2α−2sinα−3=0，∴sinα=−1或sinα=3(舍)，∵α∈[0,2π)，∴α=3π2．故选：A．由直线与直线平行的性质得sin2α−2sinα−3=0，求出sinα=−1，再由α∈[0,2π)，能求出α．本题考查角的求法，涉及直线与直线平行的性质、三角函数等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角α的终边经过点P(−32,2tan5π4)，即点P(−32,2)，则cosα=−32√94+4=−35，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，求出cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：0<sin1<1，∴2021sin1>20210=1，log2021(sin1)<log20211=0，∴b<c<a．故选：B．可看出0<sin1<1，然后根据对数函数和指数函数的单调性即可得出2021sin1>1，log2021(sin1)<0，然后即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了正弦函数的图象，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：平面向量a⃗=(1,2)，|a⃗|=√5，|b⃗ |=3，a⃗⋅b⃗ =6，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角：cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=63√5=2√55． 故选：D ．求出向量的模，利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角的求法，是基础题．7.【答案】A【解析】解：如图所示：，∵BE =EC ，AF =2FC ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：A ．利用向量的线性运算性质求解．本题主要考查了平面向量的基本定理，考查了平面向量的线性运算，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=4x 3cosx2x−sinx，有2x −sinx ≠0，则x ≠0，即函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ，D ，又由f(−x)=4(−x)3cos(−x)2(−x)−sin(−x)=4x 3cosx2x−sinx =f(x)，即函数为偶函数，其图象关于原点对称， 排除B 、D ， 故选：C ．根据题意，先分析函数的定义域，排除A 、D ，再分析函数的奇偶性，排除B ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及性质的应用，属于基础题．【解析】解：∵函数f(x)=2√3sinxcosx +cos2x +2m =√3sin2x +cos2x +2m =2sin(2x +π6)+2m ， 若x ∈[0,π2]时，则2x +π6∈[π6,7π6]，故当2x +π6=7π6时，f(x)取得最小值为−1+2m =5，则m =3，故选：B ．由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最小值，可得m 的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘和数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．根据条件可得出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得出|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，然后进行数量积的运算即可． 【解答】 解：如图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +52AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AB =AD =4，∠BAD =120°， ∴|AE⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +52AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +52AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+254AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+10AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√64+100−10×4×4×12=2√21． 故选D ．【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，3T 4=5π6−π12=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=π，由“五点法”画图知，(π12,0)是第一个点，所以2×π12+φ=0，解得φ=−π6，所以f(x)=Asin(2x−π6)；又x∈(−π,0)，所以2x−π6∈(−13π6,−π6)，结合正弦型函数的图象知，函数f(x)=Asin(2x−π6)有2个零点．故选：C．由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象求出f(x)的解析式，再结合x的取值范围和正弦函数的图象与性质，判断f(x)的零点个数．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想与推理判断能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)=cos|x|−|cosx|，对于①，函数f(−x)=f(x)，故函数f(x)为偶函数；故①正确；对于②，函数y=cos|x|的最小正周期为2π，函数y=|cosx|的最小正周期为π，所以函数f(x)的最小正周期为2π，故②错误；对于③，函数y=cos|x|在[π2,π]上单调递减，函数y=|cosx|在[π2,π]上单调递增，故f(x)在[π2,π]上单调递减；故③正确；对于④，当函数y=cos|x|取得最小值为−1时，函数y=−|cosx|的最小值也为−1，故函数f(x)的最小值为−2，当cos|x|=|cosx|时，函数取得最大值为0，故f(x)的值域为[−2,0]，故④正确．故选：C．直接利用三角函数的关系式的应用，函数的性质的应用判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的应用，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(−3,4)，b ⃗ =(1,−3)，则−a ⃗ +2b ⃗ =(5,−10)，若−a ⃗ +2b ⃗ 与c ⃗ =(−2,m)垂直，则(−a ⃗ +2b ⃗ )⋅c ⃗ =−10+(−10)m =0，解可得：m =−1，故答案为：−1．根据题意，求出−a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，由数量积的坐标计算公式可得关于m 的方程，解可得m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．14.【答案】3365【解析】解：因为α，β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π)，α−π3∈(−π3,π6)，因为cos(α+β)=−35，sin(α−π3)=−513，所以sin(α+β)=45，cos(α−π3)=1213，则sin(β+π3)=sin[(α+β)−(α−π3)]=sin(α+β)cos(α−π3)−cos(α+β)sin(α−π3)=45×1213−(−35)×(−513)=3365．故答案为：3365由已知结合同角平方关系先sin(α+β)，cos(α−π3)，然后结合两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系，两角差的正弦公式，解题的关键是拆角技巧的应用，属于基础题．15.【答案】π24【解析】解：函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=2cos(2x −π3)的图象， 由于f(x)与g(x)的图象在y 轴的右侧的所有公共点为(x i ,y i )(i ∈N ∗)，故2cos(2x +π6))=2cos(2x −π3)，所以2x +π6+2kπ=−2x +π3，所以4x =−2kπ+π6(k ∈Z)，解得x =−kπ2+π24(k ∈Z)，当k =0时，x i 的最小值为π24．故答案为：π24．直接利用三角函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】6【解析】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(√3,0)，D(−√3,1)，C(2√3,2)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)， 由条件可知{√3λ−√3μ=2√3μ=2，解得{λ=4μ=2， 因此λ+μ=6．故答案为：6．以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，分别求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据已知可得关于λ和μ的方程组，解方程组即可求解．本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，考查转化思想与方程思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan(α−π4)=12=tanα−11+tanα，求得tanα=3． (Ⅱ)cos2α−1sin2α−1=1−2sin 2α−12sinαcosα−sin 2α−cos 2α=−2tan 2α2tanα−tan 2α−1=92．【解析】(Ⅰ)由题意利用两角差的正切公式，求得tanα的值．(Ⅱ)由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，计算求得结果．本题主要考查两角差的正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．18.【答案】解：∵向量a ⃗ =(3cosθ,sinθ)，θ∈[−π2,π2]，向量b ⃗ =(√3,−13). (Ⅰ)a ⃗ //b ⃗ ⇒−cosθ−√3sinθ=0⇒tanθ=−√33， ∴θ=−π6，(Ⅱ)θ=π6⇒a ⃗ =(3√32，12)， ∴|a ⃗ |=√(3√32)2+(12)2=√7，|b ⃗ |=√(√3)2+(−13)2=2√73，a ⃗ ⋅b ⃗ =3√32×√3+12×(−13)=133， ∴a ⃗ ，b ⃗ 夹角的余弦值为：133√7×2√73=1314．【解析】(Ⅰ)根据向量的平行的条件以及特殊角的三角函数值即可判断，(Ⅱ)直接代入向量的夹角计算公式求解即可．本题考查了向量的平行的条件以及向量夹角的求解，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．19.【答案】解：(Ⅰ)如下图，连接BQ ，OP ，∵P ，Q 为半圆弧上的两个三等分点，AB 为半圆的直径，且AB =4，∴∠PAQ =∠QAB =30°，AQ =2√3，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|AQ|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cos150°=2√3×(−√32)=−3， (Ⅱ)由图可得AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为P ，Q 为半圆弧上的两个三等分点，所以∠POA =∠ABQ =60°，|BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8+4×2×120°+16+4×2×cos120°=16．【解析】(Ⅰ)利用向量数量积的几何意义即可求出．(Ⅱ) 利用向量三角形法则得到得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合图形，结合平面向量数量积的运算性质代入即可．本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)曲线f(x)=Asin(2π3x −φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2，且经过点(1,2)， 故sin(2π3−φ)=1，由于0≤φ<π2，解得：φ=π6．所以f(x)=2sin(2π3x −π6).故g(x)=−2sin(2π3x −π6).(Ⅱ)由(Ⅰ)得：g(t)=−2sin(2π3t −π6)=−√3sin2π3t +cos 2π3t ， g(t +1)=−2sin(2π3t +2π3−π6)=−2cos 2π3t ， g(t +2)=2sin(2π3t +4π3−π6)=√3sin 2π3t +cos 2π3t ，故g(t)+g(t +1)+g(t +2)=0(定值)．【解析】(Ⅰ)首先利用已知条件求出函数的解析式；(Ⅱ)利用三角函数的关系式的变换求出各自的函数的值，进一步求出结果为定值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的解析式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)由题意知，若x∈[0,π2]，则π6≤2x+π6≤7π6，所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，又因为a>0，所以{ a+b=3−12a+b=0，得a=2，b=1；所以g(x)=2sin(2x+π6)+1；(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，得到kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，当k=0时，−π3≤x≤π6；当k=1时，2π3≤x≤7π6，所以g(x)在(0,π)上的单调递增区间为(0,π6]和[2π3,π)．【解析】本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)+b的图象及性质，属于中档题．(1)由题意知，利用正弦函数的性质可得sin(2x+π6)∈[−12,1]，又a>0，可得{ a+b=3−12a+b=0，解得a，b的值，即可求g(x)的函数解析式；(2)根据正弦函数的单调性即可求解．22.【答案】解：(Ⅰ)由题意空格处的x=12(8π3−2π3)=5π3，A=2，周期T=2πω=11π3−(−π3)=4π，故ω=12，当x=−π3时，ωx+φ=12⋅(−π3)+φ=2kπ(k∈Z)，而|φ|<π2，解得：φ=π6，故f(x)=2sin(12x+π6)；(Ⅱ)由题意g(x)=2sin[12(x−θ)+π6]，当x=−2π3时，12(−2π3−θ)+π6=kπ+π2，k∈Z，解得：θ=−2kπ−4π3，k∈Z，由于0<θ<π，故θ=2π3；(Ⅲ)由(Ⅱ)知：g(x)=2sin(12x−π2)，原问题转化为f(x1)+g(x1)<f(x2)+g(x2)对任意的0≤x1<x2≤t恒成立，即y=f(x)+g(x)在[0,t]上单调递增，由y=f(x)+g(x)=2sin(12x+π6)+2sin(12x−π2)=2sin(12x−π3)，令12x−π3=π2，解得：x=5π3，故t的最大值是5π3．【解析】(Ⅰ)根据三角函数的性质求出x的值，A，周期，ω，从而求出f(x)的解析式；(Ⅱ)根据图像的平移变换求出θ的值即可；(Ⅲ)求出g(x)的解析式，问题转化为y=f(x)+g(x)在[0,t]上单调递增，结合三角函数的性质求出t的最大值即可．本题考查了三角函数的性质，考查求函数的解析式问题，考查函数的单调性，是中档题．。
八校高一数学下学期期中联考试题(扫描版)(2021年整理)
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2020-2021郑州市高一数学下期中试卷(含答案)
C．截面是一个菱形
D．截面是一个三角形
4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A． 20 2π
B． 20 3π
C． 24 2π
D． 24 3π
5．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D．四边形确定一个平面
键．
7．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
因为线段 AB 的垂直平分线上的点 x, y 到点 A ， B 的距离相等，
所以 (x 1)2 ( y 2)2
(x 3)2 ( y 1)2 ．
即： x2 1 2x y2 4 4 y x2 9 6x y2 1 2y ， 化简得： 4x 2y 5 ． 故选 B ． 8．D
锥 D ABC 体积的最大值为（ ）
A． 27 32
B． 10 8 6 3
C． 16 6 3
D． 32 2 16 6 3
3．一正四面体木块如图所示，点 P 是棱VA 的中点，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱
VB 和 AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A．满足条件的截面不存在
B．截面是一个梯形
6．直线 y k(x 2) 4 与曲线 x 3 2y y2 0 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范
围是（ ）
A． ( 5 , 3] 12 4
B． ( 5 , 1] 12 2
C． (1 , 3] 24
D．[1 , ) 2
7．已知点 A（1，2），B（3，1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ）
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
河南省郑州市八校近年-近年学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)(最新整理)
= × + × =1．
19.已知函数 在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为 ．
（1）求 和 值；
(2)已知 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） . . （2） 。
【解析】
分析：（1）函数 的图象的最高点的坐标为 ，可得 ,依题意得 的周期为 从而可得 ;（2）根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，结合二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可求出 .
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的 解析式是解决本题的关键．
21。如图，在平行四边形 中， ， ， , 与 的夹角为 ．
（1)若 ,求 、 的值；
（2）求 值；
（3）求 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】
河南省郑州市八校2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）
编辑整理：
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【详解】若 ，则 ,
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
3。已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为（ )
A. 2B。 C. D。
【答案】C
【解析】
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期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.sin（-600°）的值是（）2.A.若B.-，则sin2θ=（）C. D.-3.A. B. C. D.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）A.2 B.sin2 C. D.2sin14.已知向量，，若，则锐角α为（）A.30°B.60°C.45°D.75°5.已知tanα=3，则=（）6.A. B. C. D. 对于非零向量，，下列命题正确的是（）A.B.C.D.若若若若，则，则，则，则，的夹角为锐角7.若A为三角形ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.正三角形8.已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D9.若α、β是锐△角ABC的两个内角，则有（）A.sinα＞sinβB.cosα＞cosβC.sinα＞cosβD.sinα＞cosβ10. 同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A. B. C. D.11. 已知函数y=A sin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A.A=4B.ω=1C.φ=D.B=412. 若，则tanα•tanβ=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若期为______．的最小正周期为，则的最小正周14. 已知平面向量______．满足，，则在方向上的投影等于15. 已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα=______．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知P（x，y），P（x，y）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P OP=θ（θ为钝角）．若sin（θ+）=，则x x +y y的值为______．17. 设，是两个相互垂直的单位向量，且，．（Ⅰ）若（Ⅱ）若，求λ的值；，求λ的值．11122212121218. 计算下列各式的值：（1）cos+cos+cos+cos；（2）sin420°cos330°+sin（-690°）cos（-660°）．19. 已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．（1）求A和ω的值；（2）已知α∈（0，），且，求f（α）的值．20. 已知函数．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所上所有得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间根之和．，=，与的夹角为．21. 如图，在平行四边形ABCD中，||=3，||=2，=（1）若=x+y，求x、y的值；（2）求•的值；（3）求与的夹角的余弦值．22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（△R t FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20 米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin（-600°）=sin（-720°+120°）=sin120°=sin（180°-60°）=sin60°=，故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：若∴sin2θ=cos（-2θ）=1-2，则sin（-θ）=-，=1-2•=，故选：C．利用诱导公式、求得sin（-θ）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题．连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可．【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度，故半径为，这个圆心角所对的弧长为2×故选：C．4.【答案】C=，【解析】解：向量，，，∴=sin2a∴sinα=±，又∵α为锐角，∴α=45°，故选：C．根据两个向量平行，交叉相乘差为0，易得到一个三角方程，根据α为锐角，我们易求出满足条件的值本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，及三角函数的化简求值，其中根据两个向量平行，交叉相乘差为0，构造三角方程是解答本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．把要求值的式子化弦为切求解．【解答】解：∵tanα=3，∴== =．故选：D． 6.【答案】C【解析】解：A：若，则或⊥（-），故A错误；B：若，则||+||≥|+|=||，故B错误；C：⇔•=0⇔，故C正确；D：若，则，的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．对选项逐个进行分析即可本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．利用sinA+cos A=，两边平方可得sin A cosA=-，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sin A+cos A=两边平方可得：sin2A+cos2化为sinA cosA=-，∵A∈（0，π），∴sin A＞0，cos A＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．8.【答案】AA+2sin A cosA=，【解析】解：由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．9.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质结合三角函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：∵α、β是锐△角ABC的两个内角，∴α+β＞90°，∴90°＞α＞90°-β＞0°，∴1＞sinα＞cosβ＞0，故选：C．10.【答案】D【解析】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（-）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[-，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x-）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x-∈[-，]，故y=sin（2x-）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（-）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ-∵∴φ=故选：C．先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中-求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12.【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式，化简，求出sinαsinβ与cosαcosβ的关系，然后求出tanα•tanβ．本题考查两角和与差的余弦函数，弦切互化，考查计算能力，是基础题．【解答】解：因为，所以；故选：D．13.【答案】【解析】解：∵∴T==得ω=8，则．的最小正周期为T=的最小正周期为，，即g（x）的周期为，故答案为：．结合三角函数的周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的计算，利用正弦函数的周期公式T=以及正切函数的周期公式T=是解决本题的关键．注意两者的周期公式不相同．14.【答案】-【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的投影，属于中档题．两边平方得出【解答】，再代入投影公式计算投影．解：∵|∴=-1．∴|=，=3，即1+2+4=3，∴在方向上的投影为故答案为：．15.【答案】=-．【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-∴α-β∈（0，π），，0），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+ ×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．16.【答案】-【解析】解：依题意知=（x，y）=（x，y）₁₁₂₂1212第9 页，共14 页另外 P ₁，P ₂在单位圆上，||=| |=1•=| |•||cos θ=1•1•cos θ=cos θ，∴x x +y y =cos θ， ∵sin （θ+ ）= sinθ+ cosθ= ，①sin 2θ+cos 2θ=1，②，且 θ 为钝角联立①②求得 cos θ=-．故答案为：-．根据题意表示出 • ，根据向量数量积的运算求得 x x +y y =cosθ，进而根据 sin （θ+ ） 的值，求得 cos θ 的值．本题主要考查了是平面向量的运算，平面向量数量积的应用．注重了对学生基础知识的 考查．17.【答案】解：（Ⅰ），∴时， ；∴当（Ⅱ）则，则存在唯一的 μ 使 ，∴ =．∴化简得∵ ， 是两个相互垂直的单位向量， ∴λ=2，∴当 λ=2 时，．【解析】（Ⅰ）则存在唯一的 μ 使，解得所求参数的值．（Ⅱ）则，解得所求参数的值．本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式得应用．18.【答案】解：（1）cos +cos +cos +cos =cos +cos +cos （π- ）+cos （π- ）=cos +cos -cos -cos =0．-------------------（6 分）（2）原式=sin （360°+60°）cos （360°-30°）+sin （-2×360°+30°）•cos （-2×360°+60°） =sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°1 2 1 21 2 1 2=×+×=1．-------------------------------------（12分）【解析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式以及两角和的正弦函数，特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（，2）（，-2）．-）=π∴A=2，T=2×（∴ω==2∴A=2，ω=2（2）∵α∈（0，），且，∴cosα=∴sin2α=，cos2α=1-2sin2α=-由（1）知∴=sin2α-cos2α=+=【解析】（1）由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值（2）先利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式计算sin2α、cos2α的值，再利用（1）中结论，将f（α）化简，代入sin2α、cos2α的值求值即可本题主要考察了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，属基础题20.【答案】解：（1）=1+cos2x+sin2x+2=3+2sin（2x+），由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，（2）将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y=3+2sin（4x+），再将所得的图象向右平移个单位y=g（x）的图象即g（x）=3+2sin[4（x-）+]=3+2sin（4x-），由g（x）=4得g（x）=3+2sin（4x-）=4，得sin（4x-）=，得4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，得x=+或x=+，k∈Z，∵x∈，∴k=0时，x=或，即方程g（x）=4在区间上所有根之和为+=．【解析】（1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．（2）利用三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合方程进行求即可解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式是解决本题的关键．21.∴【答案】解：（1）∵||=3，||=2，==3+2=x+y，，=，∴x=3，y=2．（2）由向量的运算法则知，∴=2-3，．（3）∵与的夹角为，∴与的夹角为，又，∴====，∴====，设与的夹角为θ，可得．∴与的夹角的余弦值为【解析】（1）由平行四边形法则得，而，分别是，再结合数乘运算、平面向量基本定理中的“唯一性”不难求出x、y；（2）由题意可以得•的值；为基底，将用基底表示，再利用内积的定义及运算可求（3）直接套用夹角公式cos＜，＞=计算．利用平面向量基本定理解题，一般先以不共线的、模长及夹角都知道的两个向量作为基底，然后利用基底把已知的、所求的向量表示出来，再进行有关的运算化简和证明；数量积的考查是重点也是热点，一般是距离和角的计算居多，要以数量积的定义为出发点进行思考，要注意结合图形寻找解题思路．22.【答案】解：（1），，由于．，，所以，所以．所以（2）当，时，．，（米）．（3）设sinθ+cosθ=t，，则，所以．由于，所以．由于所以当在即上单调递减，或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L 关于θ的函数，是解答本题的关键．。