山东大学 高等数学 【三套试题汇总】
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一 求下列极限 1
1
lim sin n n n
→∞ 1sin ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0sin 1lim =∞→n n n 2 求
lim x x
x → 1lim 0
-=-
→x
x x 1lim 0
=+
→x
x x ∴0
lim x x x
→不存在
3 求
1
lim x
x e
→
,lim 10
+∞=+→x
x e 0lim 10
=-→x
x e ∴10
lim x
x e →不存在
0sin 4
lim
sin 5x x x x x →++ 原式=1
5sin 1sin 1lim 0=+
+
→x
x x x
x 一 求下列极限
1
1
lim cos n n n
→∞ ,1cos ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0cos 1lim =∞→n n n
2 求2
2lim 2x x
x
→-- ,122
lim 22lim
22-=--=--++→→x x x x x x 122lim 2=---
→x
x x
∴2
2lim 2x x
x →--不存在
3 求10
lim 2
x
x →
,2
2
lim 1lim
10
0+∞==+→+
→x x
x x 02
2lim 1
lim
10
0==-→-→x x
x x
∴
10
lim 2
x
x →不存在
02sin 4
lim 3sin x x x x x →++求 原式=43sin 3
1sin 21lim 0=++→x x x x x 一 求下列极限
1
1
lim n tgn n
→∞ 不存在 2 求lim
x a
x a x a
→--
,1lim lim
=--=--+
+
→→a x a x a
x a x a
x a x ,1lim lim -=--=----→→a x x
a a x a x a x a x ∴lim x a x a x a
→--不存在
3 求120lim x
x e
→
,lim 210
+∞=+→x
x e
0lim 21
0=-
→x
x e
∴ 120
lim x
x e
→不存在
0sin 4lim
sin x mx
nx → 原式=n
m
nx mx nx nx nx mx mx mx x x ==⋅⋅⋅→→00
lim sin sin lim
二
a 取什么值，0
()0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续
)ii 0x =时，(0)f a =
(00)1f -= (00)f a +=
所以1a =时(0)(0)1f f ±==，
()f x 在0x =处连续
综上所述，a=1时()f x 连续
解： ()1sin lim 0==+
→x x x f x ()1sin lim 0==
-
→x
x
x f x
∴ ()x f 在0=x 处不连续，0点为可去间断点。
2
0()0
x
x f x x
x >⎧=⎨≤⎩二已知
，讨论f （x ）在0x =处的导数
解：
(),10='+f (),00='-f ∴ ()x f 在0=x 处不可导。
三 计算下列各题 1 已知
2sin ln y x x
=⋅ 求,
y 解：x
x x x y 1
sin 2ln cos 2⋅+=' 2 (),()x f x y f e e y =⋅已知，求
解：
()()()()()()()()()
()
x f e f e f e e e x f e f e e f e y x x x x f x f x x f x x '+'='+'='
2
3
x xe dx
⎰求解：
⎰⎰+==c e dx e dx xe x x x 2
22
21212
1
,
ln[ln(ln )]
y x y
=求 解：
()x
x x y 1
ln 1ln ln 1⋅
⋅=
'
2
,,y x x y y =求
两边取对数：
y x x y ln ln =
两边分别求导：
y y
x y x y x y '
⋅+=⋅
+'ln 1ln 整理得：()()x y x x y
y x y y ln ln --='
解：原式=
()
⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x
x x x x arctan 1
122
1、3
,
tan
(ln )y x y =已知求 解：
()()x
x x y 1
ln sec ln tan 32
2⋅⋅=' 2、2,
()y f x y =已知，求 解：
()
2
2x f x y '='
=⎰+-=-C x x d x 1
sin 11cos