山东大学 高等数学 【三套试题汇总】
大一上微积分试题(山东大学)
数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）3、 计算I=dx e x e x x ⎰-+2241sin ππ=（ ） 4、 设y=xe x 1sin 1tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212xy x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是（ ）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．20()x f t dt ⎰ Ｂ．20()xf t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()xt f t f t +-⎰dt１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dyＣ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分 （１）222220sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）0π（５分）（３）x →∞（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。
山东大学网络教育期末考试试题及答案-高等数学(1)模拟试卷
《高等数学》模拟题（1）年级_____________ 姓名_______________ 学号________________ 成绩__________第一题 名词解释1．区间：2. 邻域;3. 函数的单调性：4. 导数：5. 最大值与最小值定理：第二题 选择题1．函数21arccos1++-=x x y 的定义域是（ ）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .2、函数)(x f 在点0x 的导数)(0x f '定义为（ ）（A ）xx f x x f ∆-∆+)()(00；（B ）xx f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 000；（C ）xx f x f x x ∆-→)()(lim 00；（D ）0)()(lim 0x x x f x f x x --→； 3、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ） （A ） 它们都给出了ξ点的求法 .（B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
（C ） 它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .（D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 4、设)(,)(21x F x F是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（ ）(A) C x F x F =+)()(21； （B ） C x F x F =⋅)()(21；(C) )()(21x CF x F =； (D) C x F x F =-)()(21.5、=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n n n n n n nn Λ ( ) （A ）0； （B ）21；（C ）4π； （D ）2π .6、曲线xyln =与直线ex 1=，e x=及0=y 所围成 的区域的面积=S （ ）； （A ）)11(2e-； （B ）e e 1-；（C ）e e 1+； （D ）11+e.7、 若→a ，→b 为共线的单位向量，则它们的数量积 =⋅→→b a （ ）.（A ） 1； （B ）-1； （C ） 0； （D ）),cos(→→b a . 8、二元函数22221arcsin 4ln y x y x z +++=的定义域是( ).（A ）4122≤+≤y x ； （B ）4122≤+<y x ；（C ）4122<+≤y x ； （D ）4122<+<y x .9、⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(=(D )(A)⎰⎰-110),(dx y x f dy x ； (B)⎰⎰-xdx y x f dy 101),(；(C)⎰⎰11),(dx y x f dy ； (D)⎰⎰-ydx y x f dy 101),(.10、设L 为230,0≤≤=y x x ,则⎰Lds 4的值为( B).(A)04x ， (B),6 (C)06x .第三题.)16(log 2)1(的定义域求函数x y x -=-第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题.2sin 120⎰-πdx x 求《高等数学》模拟试卷 （1） 参考答案第四题).0(),100()2)(1()(f x x x x x f '---=求设Λ第五题解)0()(lim)0(0--='→x f x f f x )100()2)(1(lim 0---=→x x x x Λ!100=.)1(51lim 520x x x x +-+→求极限第六题.4932⎰-dx xx xx 求第七题解.2的次数为分子关于x Θ515)51(51x x +=+∴)()5()151(51!21)5(51122x o x x +⋅-⋅++=)(2122x o x x +-+=)1()](21[lim2220x x o x x x x +-+-+=→原式.21-=⎰-=dxxx1)23()23(2原式解⎰-=1)23()23(23ln 12x xd ⎰-123ln 12t dt ⎰+--=dt t t )1111(23ln21Ct t ++--=11ln )2ln 3(ln 21.2323ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=tx =)23(令解 ]5)1[ln(2'+++x x Θ,112x+=]5)1[ln(5)1ln(22+++⋅+++=⎰x x d x x 原式.]5)1[ln(32232C x x ++++=)1221(1122xx xx ++⋅++=1. .2sin 120⎰-πdx x 求解⎰-=20cos sin πdxx x 原式⎰⎰-+-=2440)cos (sin )sin (cos πππdxx x dx x x .222-=。
山东大学网络教育专升本入学模拟考试高等数学模拟题及1
山东大学网络教育专升本入学考试高等数学（二）模拟题 (1)一、 选择题：本大题5个小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1、函数291)(xx f -=的定义域是（ A ）A 、（-3，3）B 、[-3，3 ]C 、（3,3-，）D 、（0，3）2、x1sin lim x ∞→=（A ） A. 0 B. 1 C.∞ D. 不存在 3、设4)3)(2)1)-x -(x -(x -x(x f(x)=则)2('f =（D ）A 、0B 、1C 、2D 、4 4、设函数x f(x)=，则)1(f '等于 ( C )A.1B.－1C.21D.－21 5、曲线3x y =在点)1,1(M 处的切线方程是 ( C ) A. 023=-+x y B. 03231=-+x y C.023=+-x y D. 043=--x y二、填空题：本大题共15个小题，共15个空，每空3分，共45分。
把答案填在题中横线上。
1、设1)1(2--=+x x x f ，则=)(x f231x x -+2、判断函数的奇偶性：cosx )(3x x f = 是 偶函数 3、=-+∞→531002lim 33x x x x 234、13+=x y 的反函数是 3y=log (1)(1,)x x -∈+∞5、已知32)tan(lim 0=→xkx x ，则k = 6 6、=++∞→xx x x )12(lime 7、设x x x y -=ln ，则y '＝ Inx8、曲线22xy =在)2,1(处的切线方程是 y=-4x+69、设x x y sin =，则''y = 2cosx-xsinx10、=-=dy x y 则设,)1(43 ()332121x x dx -11、不定积分⎰=+dx x 121()1212In x c ++ 12、不定积分⎰dxx xe = ()1xx e c -+ 13、定积分dx x⎰-+11211＝ 2∏ 14、定积分=⎰exdx 1ln 115、⎰-+⋅=x dt t t x 0321)(φ设，)('x φ则=三、计算题：本大题共10个小题，每小题6分， 共60分。
山东大学化学系大一数学期中试题
高等数学期中试题（化学）一、填空（每小题3分）1．设⎩⎨⎧≤+>++=0 , 20 , )1ln()(x bx x x a x f ，要使)0('f 存在，则=a . 2．设123lim ()21x x x x +→∞++= 。
3．21lim 3,1x x ax bx →++=-则a b += 。
4．2x x 0tan x xlim x (e 1)→-=- 。
5．已知2t 0t sin x f(x)=lim ()t t →-，则()f x ' .二、选择题（每小题3分）1．当0x →时，23()4f x x =是()g x =的（ ） （A ）高阶无穷小量 （B ）等价无穷小量（C ）低阶无穷小量（D ）以上都不对2．方程014=--x x 至少有一个根的区间是（ ）（A ）),0(21（B ）)1,(21 （C ）)3,2( （D ）)2,1( 3．20()(0)lim 1x f x f x →-=-设则f (x )在x =0取得 （ ）（A ）不取极值;（B ）取极大值;（C ）取极小值;（D ）与点0x 无关.4．关于曲线)0(ln +∞<<=x x x y 的凹凸性，正确的判断是( )。
(A) 在),0(+∞内是向下凸的 (B)在)1,0(内是向下凸的，在),1(+∞是向下凹的(C) 在),0(+∞内是向下凹的 (D) 在)1,0(内是向下凹的，在),1(+∞是下凸的5．22xy , (x,y)(0,0)x y(y)0, (x,y)=(0,0)f x ⎧≠⎪+=⎨⎪⎩二元函数，在点（0,0）处（ ）（A ）连续，偏导数存在 ; （B ）连续，偏导数不存在 ;（C ）不连续，偏导数存在; （D ）不连续，偏导数不存在.三、计算题（每小题7分）1．21ln(1)0lim (cos )x x x +→.2．求极限0lim ln(12x )x →-3.设ln y ''=x=0求y |.4.设函数322y y(x)2y 2y 2xy x 1,y y x =-+-=由方程所确定求=()的驻点，并判定它是否为极值点。
山东省高考数学三模试卷文科含答案
山东省高考数学三模试卷文科含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年山东省高考数学三模试卷（文科）含答案2017年山东省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则UA=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3} C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．4．等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣27．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a= ．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．14．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．15．下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②若m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③命题“x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，求边长c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD 的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．19．已知数列{an }满足a1=1，且点P（an，an+1）在直线y=x+2上；数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn =2bn﹣2，n∈N*（Ⅰ）求数列{an }、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn }满足cn=anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．20．已知函数f（x）=xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围．21．已知椭圆，F为椭圆C的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞a）于M，N两点，（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）若以线段MN为直径的圆过点F，求实数m的值．2017年山东省高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.A=（）1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则UA．{﹣3，﹣2} B．{2，3} C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）【考点】补集及其运算．【分析】求出A中的解集确定出A，根据全集U求出A的补集即可．【解答】解：全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，A={﹣3．﹣2}．所以CU故选：A2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件．故选B．3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]= = =，故选C．4．等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z=3﹣2×0=3．max故选：B．7．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，又∵对x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，∴，∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，∴P=，故选：D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[]．故选：A．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A．B．C．D．【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量 ，其中，且，则向量 的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由及便可以得到，再由便可由向量数量积的计算公式得到【解答】解：∴∴；即，从而便可得出向量 和 的夹角的大小． ； ；；∴；∴向量 的夹角为 ．故答案为： ．12．椭圆 + =1 与双曲线 ﹣y2=1 焦点相同，则 a=．【考点】圆锥曲线的综合． 【分析】利用双曲线以及椭圆的简单性质相同，列出方程求解即可．【解答】解：椭圆 + =1 的焦点坐标（，0），与双曲线 ﹣y2=1 焦点（，0）相同，可得：，解得 a=．故答案为：．13．已知圆 C 过点（﹣1，0），且圆心在 x 轴的负半轴上，直线 l：y=x+1 被该圆所截得的弦长 为 2 ，则圆 C 的标准方程为 （x+3）2+y2=4 ． 【考点】圆的标准方程． 【分析】根据题意设圆心 C 坐标为（x，0），根据圆 C 过（﹣1，0），利用两点间的距离公式 表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d，根据已知的弦长， 利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆 C 的 标准方程即可．【解答】解：设圆心 C（x，0），则圆的半径 r=|BC|=|x+1|∴圆心 C 到直线 l 的距离|CD|=，弦长|AB|=2 ，则 r==|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或 x=﹣3， ∴圆心 C（﹣3，0），半径为 2， 则圆 C 方程为（x+3）2+y2=4． 故答案为：（x+3）2+y2=4．14．若函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足 f（1+x）=f（1﹣x），且 f（x）在[m，+∞）上单调递 增，则实数 m 的最小值等于 1 ． 【考点】指数函数单调性的应用． 【分析】根据式子 f（1+x）=f（1﹣x），对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得 出：函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a 为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断 m 的最小 值． 【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x）， ∴f（x）关于 x=1 对称， ∵函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R） x=a 为对称轴， ∴a=1， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∵f（x）在[m，+∞）上单调递增， ∴m 的最小值为 1． 故答案为：1．15．下面给出的四个命题中： ①以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1； ②若 m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0 与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0 相互垂直； ③命题“x∈R，使得 x2+3x+4=0”的否定是“x∈R，都有 x2+3x+4≠0”；④将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位，得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象．其中是真命题的有 ①②③ （将你认为正确的序号都填上）． 【考点】特称命题；命题的否定；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；抛物线的简单性质． 【分析】①先求抛物线是焦点为（1，0），可求圆的半径为 r=1，从而可求圆的方程 ②把 m=﹣2 代入两直线方程即可检验直线是否垂直 ③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为即可判断【解答】解：①抛物线是焦点为（1，0），圆的半径为 r=1，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=1， 正确；②当 m=﹣2，两直线方程为 和 ，两直线垂直所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为，所以不正确．所以正确的命题有①②③． 故答案为：①②③三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A，B，C 三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持 A支持 B支持 C20 岁以下20040080020 岁以上（含 20 岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其中有 6 人支持 A，求 n 的值． （2）在支持 C 的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体，从这 6 人中任意选取 2 人， 求恰有 1 人在 20 岁以下的概率． 【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得 n 值． （2）计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数，及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数，代入 古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人，∴=，解得 n=40；（2）从“支持 C 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 年龄在 20 岁以下的有 4 人，分别记为 1，2，3，4，年龄在 20 岁以上（含 20 岁）的有 2 人， 记为 a，b， 则这 6 人中任意选取 2 人，共有 =15 种不同情况， 分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2， a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b）， 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有： （1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共 8 种． 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= ．17．已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的最大值及取得最大值时的 x 的集合；（Ⅱ）△ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，，求边长 c 的值． 【考点】三角函数的最值；三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质 即可求出， （Ⅱ）先求出 C 的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x+ ）+1= cosxsinx﹣ sin2x+1= sin2x﹣ cos2x﹣ = sin（2x﹣ ）+ ，∵ sin（2x﹣ ）+ ≤ + = ，∴最大值为 ，当 2x﹣ = +2kπ 时，即 x=kπ+ ，k∈Z，即{x|x=kπ+ ，k∈Z}时，函数取的最大值，（Ⅱ）∵f（C）= sin（2C﹣ ）+ = ，即 sin（2C﹣ ）=1， ∴C= ， ∵ =12， ∴ =| || |cos =2a× =12， ∴a=12， 由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2abcosC=144+4﹣2×12×2× =124， ∴c=218．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 PD 的中点． （1）求证：OM∥平面 PAB； （2）平面 PBD⊥平面 PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明 BD⊥平面 PAC，即可证明平面 PBD⊥平面 PAC． 【解答】证明：（1）∵在△PBD 中，O、M 分别是 BD、PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM∥PB， ∵OM 平面 PBD，PB 平面 PBD， ∴OM∥平面 PAB； （2）∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD，∴BD⊥PA． ∵AC 平面 PAC，PA 平面 PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面 PAC， ∵BD 平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 PAC．19．已知数列{an}满足 a1=1，且点 P（an，an+1）在直线 y=x+2 上；数列{bn}的前 n 项和为 Sn，满 足 Sn=2bn﹣2，n∈N* （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足 cn=anbn，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的最小值． 【考点】数列的求和；数列与解析几何的综合．【分析】（Ⅰ）利用等差数列的定义和通项公式即可得出 an．利用“当 n=1，b1=2；当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1”和等比数列的通项公式即可得出 bn； （Ⅱ）利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出 Tn，该数列 Tn=（2n﹣3）2n+1+6 为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）∵点{an，an+1）在直线 y=x+2 上， ∴an+1=an+2，即 an+1﹣an=2，又 a1=1， ∴数列{an}是以 1 为首项，2 为公比的等差数列， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1 当 n=1，b1=2b1﹣2，则 b1=2 当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2）=2bn﹣2bn﹣1， ∴bn=2bn﹣1（n≥2）， ∴{bn}是等比数列，公比为 2，首项 b1=2． ∴bn=2n， （Ⅱ））∵cn=anbn=（2n﹣1）2n， ∴Tn=121+322+…+（2n﹣1）2n，① 2Tn=122+323+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1，② ①﹣②得：﹣Tn=21+2（22+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1=﹣2+2×﹣（2n﹣1）2n+1=﹣6+（3﹣2n）2n+1，∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6， ∵该数列 Tn=（2n﹣3）2n+1+6 为递增数列， ∴当 n=1 时，有最小值为 2，20．已知函数 f（x）=xlnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，求实数 k 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【分析】（1）根据导数和函数的单调的关系即可得到．（2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，即为 k＜lnx+ ，x＞0，令 g（x） =lnx+ ，x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到 k 的范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx． ∴f′（x）=1+lnx， 当 x∈（0， ）时，f′（x）＜0；当 x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0． 所以函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增． （2）由于 x＞0，f（x）＞kx﹣ 恒成立， ∴k＜lnx+ ． 构造函数 k（x）=lnx+ ． ∴k′（x）= ﹣ = ． 令 k′（x）=0，解得 x= ， 当 x∈（0， ）时，k′（x）＜0，当 x∈（ ，+∞）时，k′（x）＞0． ∴函数 k（x）在点 x= 处取得最小值，即 k（ ）=1﹣ln2． 因此所求的 k 的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．21．已知椭圆，F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知 A，B 为椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP、BP 分别 交直线 l：x=m（m＞a）于 M，N 两点， （ⅰ）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值； （ⅱ）若以线段 MN 为直径的圆过点 F，求实数 m 的值． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由 c=1， == ，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）（ⅰ）求得直线直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，由 P 在椭圆方程，则 y02=3﹣ x02，即 可求得 k1k2 为定值； （ⅱ）由题意可知 =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数 m 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=1， = 解得：a=2，b= ，= =，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意可知：由 A（﹣2，0），B（2，0），设 P（x0，y0）在椭圆方程 C 上， 则 x0≠0，y02=3﹣ x02，则 k1=，k2=，由 k1k2====﹣ ，∴k1k2 为定值﹣ ； （ⅱ）由题意可知：直线 AP、BP 的斜率一点存在，设直线 AP：y=k1（x+2）， 令 x=m，则 y=k1（m+2），即 M（m，k1（m+2））， 直线 BP：y=k2（x﹣2），令 x=m，则 y=k2（m﹣2），即 N（m，k2（m﹣2）），m＞2， 以 MN 为直径的圆过点 F（1，0）， 则 FM⊥FN，即 =0， 即 =（m﹣1，k1（m+2））（m﹣1，k2（m﹣2））， =（m﹣1）2+k1k2（m2﹣4）=0， 由（ⅰ）可知：k1k2=﹣ ，代入椭圆方程，整理得：（m﹣1）2+（﹣ ）（m2﹣4）=0，即（m2﹣4）=0，解得：m=4， 实数 m 的值 4．2017 年 4 月 15 日。
山东大学 微积分作业卷及答案(上下册)
(D)若 lim f ( x) lim g ( x) 0 ,当 0 x x0 时有 f ( x) g ( x) .
x x0 x x0
2. 当 x → 1 时,函数
(A) 等于 2
x 2 1 x1 e 1 的极限为 ( D ) x 1 (B) 等于 0 (C) 为 ∞x 1 0 NhomakorabeaD
x 1 0
)
(A) f ( x)在x 1无定义 (B) lim f ( x)不存在 (C) lim f ( x)不存在 2. 当 x → 0 时 f ( x) (A)无穷小量 1 1 sin 是 ( 2 x x (B)无穷大量
C )
x x0 x x0
(D) lim f ( x)不存在
解 lim f ( x) lim sin x 0, lim f ( x) lim a x 2 a ，故当 a=0 时 lim f ( x) 存在
x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0
此时 lim f ( x) 0
x 0
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,b =
0
时 f(x)在(-∞,+ ∞)连续.
4.若 lim
sin 6 x xf ( x) 6 x sin 6 x 6 f ( x) 0, lim 36, 则 lim 3 3 x 0 x 0 x 0 x x x2
36
.
二、选择题
x 1, 0 x 1 1. f ( x) 在 x=1 处间断是因为 ( 2 x, 1 x 3
(D) 不存在但不为 ∞ ) (D) a =-1,b =-1
x2 3. 已知 lim ax b 0 ,其中 a,b 是常数,则 ( C x x 1
山东省高考数学三模试卷文科含答案
2017年山东省高考数学三模试卷（文科）含答案2017年山东省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则?U A=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3}C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣27．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a=．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．14．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．15．下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②若m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③命题“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，求边长c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC 与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．19．已知数列{a n}满足a1=1，且点P（a n，a n）在直线y=x+2上；数列{b n}的前n项和为S n，满+1足S n=2b n﹣2，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的最小值．20．已知函数f（x）=xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围．21．已知椭圆，F为椭圆C的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞a）于M，N两点，（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）若以线段MN为直径的圆过点F，求实数m的值．2017年山东省高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则?U A=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3}C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）【考点】补集及其运算．【分析】求出A中的解集确定出A，根据全集U求出A的补集即可．【解答】解：全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，所以C U A={﹣3．﹣2}．故选：A2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件．故选B．3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选C．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z max=3﹣2×0=3．故选：B．7．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k 的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，∴，∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，∴P=，故选：D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[]．故选：A．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C．D．【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB 的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由及便可以得到，再由便可由向量数量积的计算公式得到，从而便可得出向量和的夹角的大小．【解答】解：；∴；∴；即；∴；∴向量的夹角为．故答案为：．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a=．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】利用双曲线以及椭圆的简单性质相同，列出方程求解即可．【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（，0），与双曲线﹣y2=1焦点（，0）相同，可得：，解得a=．故答案为：．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x+3）2+y2=4．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（﹣1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【解答】解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则 r==|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或 x=﹣3， ∴圆心 C（﹣3，0），半径为 2， 则圆 C 方程为（x+3）2+y2=4． 故答案为：（x+3）2+y2=4．14．若函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足 f（1+x）=f（1﹣x），且 f（x）在[m，+∞）上单调递增， 则实数 m 的最小值等于 1 ． 【考点】指数函数单调性的应用． 【分析】根据式子 f（1+x）=f（1﹣x），对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出： 函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a 为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断 m 的最小值． 【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x）， ∴f（x）关于 x=1 对称， ∵函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R） x=a 为对称轴， ∴a=1， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∵f（x）在[m，+∞）上单调递增， ∴m 的最小值为 1． 故答案为：1．15．下面给出的四个命题中： ①以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1； ②若 m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0 与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0 相互垂直； ③命题“?x∈R，使得 x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有 x2+3x+4≠0”；④将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位，得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象．其中是真命题的有 ①②③ （将你认为正确的序号都填上）． 【考点】特称命题；命题的否定；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；抛物线的简单性质． 【分析】①先求抛物线是焦点为（1，0），可求圆的半径为 r=1，从而可求圆的方程 ②把 m=﹣2 代入两直线方程即可检验直线是否垂直 ③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为即可判断【解答】解：①抛物线是焦点为（1，0），圆的半径为 r=1，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=1， 正确；②当 m=﹣2，两直线方程为 和 ，两直线垂直所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为，所以不正确．所以正确的命题有①②③． 故答案为：①②③三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A，B，C 三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持 A支持 B支持 C20 岁以下20040080020 岁以上（含 20 岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其中有 6 人支持 A，求 n 的值．（2）在支持 C 的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体，从这 6 人中任意选取 2 人，求恰有 1 人在 20 岁以下的概率．【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得n 值．（2）计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数，及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人，∴=，解得 n=40；（2）从“支持 C 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 年龄在 20 岁以下的有 4 人，分别记为 1，2，3，4，年龄在 20 岁以上（含 20 岁）的有 2 人，记 为 a，b， 则这 6 人中任意选取 2 人，共有 =15 种不同情况， 分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a）， （2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b）， 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有： （1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共 8 种． 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= ．17．已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的最大值及取得最大值时的 x 的集合；（Ⅱ）△ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，，求边长 c 的值．【考点】三角函数的最值；三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质即 可求出， （Ⅱ）先求出 C 的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x+ ）+1= cosxsinx﹣ sin2x+1= sin2x﹣ cos2x﹣ = sin（2x﹣ ）+ ，∵ sin（2x﹣ ）+ ≤ + = ，∴最大值为 ，当 2x﹣ = +2kπ 时，即 x=kπ+ ，k∈Z，即{x|x=kπ+ ，k∈Z}时，函数取的最大值，（Ⅱ）∵f（C）= sin（2C﹣ ）+ = ，即 sin（2C﹣ ）=1，∴C= ， ∵ ? =12， ∴ ? =| |?| |cos =2a× =12， ∴a=12，由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2abcosC=144+4﹣2×12×2× =124， ∴c=218．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 PD 的中点． （1）求证：OM∥平面 PAB； （2）平面 PBD⊥平面 PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明 BD⊥平面 PAC，即可证明平面 PBD⊥平面 PAC． 【解答】证明：（1）∵在△PBD 中，O、M 分别是 BD、PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM∥PB， ∵OM?平面 PBD，PB?平面 PBD， ∴OM∥平面 PAB； （2）∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，∴BD⊥PA． ∵AC?平面 PAC，PA?平面 PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面 PAC， ∵BD?平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 PAC．19．已知数列{an}满足 a1=1，且点 P（an，an+1）在直线 y=x+2 上；数列{bn}的前 n 项和为 Sn，满 足 Sn=2bn﹣2，n∈N* （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足 cn=anbn，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的最小值． 【考点】数列的求和；数列与解析几何的综合． 【分析】（Ⅰ）利用等差数列的定义和通项公式即可得出 an．利用“当 n=1，b1=2；当 n≥2 时， bn=Sn﹣Sn﹣1”和等比数列的通项公式即可得出 bn；（Ⅱ）利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出 Tn，该数列 Tn=（2n﹣3）?2n+1+6 为递增数列，问题得以解决． 【解答】解：（Ⅰ）∵点{an，an+1）在直线 y=x+2 上， ∴an+1=an+2，即 an+1﹣an=2，又 a1=1， ∴数列{an}是以 1 为首项，2 为公比的等差数列， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1 当 n=1，b1=2b1﹣2，则 b1=2 当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2）=2bn﹣2bn﹣1， ∴bn=2bn﹣1（n≥2）， ∴{bn}是等比数列，公比为 2，首项 b1=2． ∴bn=2n， （Ⅱ））∵cn=anbn=（2n﹣1）?2n， ∴Tn=1?21+3?22+…+（2n﹣1）?2n，① 2Tn=1?22+3?23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1，② ①﹣②得：﹣Tn=21+2（22+…+2n）﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣2+2×﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣6+（3﹣2n）?2n+1，∴Tn=（2n﹣3）?2n+1+6， ∵该数列 Tn=（2n﹣3）?2n+1+6 为递增数列， ∴当 n=1 时，有最小值为 2，20．已知函数 f（x）=xlnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，求实数 k 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【分析】（1）根据导数和函数的单调的关系即可得到． （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，即为 k＜lnx+ ，x＞0，令 g（x）=lnx+ ， x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到 k 的范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx． ∴f′（x）=1+lnx， 当 x∈（0， ）时，f′（x）＜0；当 x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．（2）由于 x＞0，f（x）＞kx﹣ 恒成立， ∴k＜lnx+ ． 构造函数 k（x）=lnx+ ． ∴k′（x）= ﹣ = ． 令 k′（x）=0，解得 x= ， 当 x∈（0， ）时，k′（x）＜0，当 x∈（ ，+∞）时，k′（x）＞0． ∴函数 k（x）在点 x= 处取得最小值，即 k（ ）=1﹣ln2． 因此所求的 k 的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．21．已知椭圆，F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知 A，B 为椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP、BP 分 别交直线 l：x=m（m＞a）于 M，N 两点， （ⅰ）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值； （ⅱ）若以线段 MN 为直径的圆过点 F，求实数 m 的值． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由 c=1， == ，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）（ⅰ）求得直线直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，由 P 在椭圆方程，则 y02=3﹣ x02，即可求得 k1k2 为定值； （ⅱ）由题意可知 ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数 m 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=1， == =，解得：a=2，b= ，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意可知：由 A（﹣2，0），B（2，0），设 P（x0，y0）在椭圆方程 C 上， 则 x0≠0，y02=3﹣ x02，则 k1=，k2=，由 k1k2=?===﹣ ，∴k1k2 为定值﹣ ； （ⅱ）由题意可知：直线 AP、BP 的斜率一点存在，设直线 AP：y=k1（x+2）， 令 x=m，则 y=k1（m+2），即 M（m，k1（m+2））， 直线 BP：y=k2（x﹣2），令 x=m，则 y=k2（m﹣2），即 N（m，k2（m﹣2）），m＞2， 以 MN 为直径的圆过点 F（1，0）， 则 FM⊥FN，即 ? =0， 即 ? =（m﹣1，k1（m+2））（m﹣1，k2（m﹣2））， =（m﹣1）2+k1k2（m2﹣4）=0， 由（ⅰ）可知：k1k2=﹣ ，代入椭圆方程，整理得：（m﹣1）2+（﹣ ）（m2﹣4）=0，即（m2﹣4）=0，解得：m=4， 实数 m 的值 4．2017 年 4 月 15 日。
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (11)
2
k
1− r 2
(7 分)
= 4πabc ∫ r 1 − r 2 d r
0
k
4πabc 2 = 1 − 1 − k 3
(
)
3 2
(10 分)
2、解： n = ±{5,−1,−1} ,cos α = ±
5 1 1 ,cos β = ∓ ,cos γ = ∓ 27 27 27
x2 y2 5、函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 0
(A)连续但不可微； (C)可导但不可微； 1、 设Ω是由 分 I=
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
在点(0,0)处(
)
(B)可微； (D)既不连续又不可导。 ≤1 及 所确定的闭区域，(a,b,c>0;0<k≤1),试求积
《数学分析 III》期末试卷 11 答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、π 2、 3、 − ( x + y ) ≤ z ≤ x + y ，且 x + y ≠ 0
2 2 2 2 2 2
4、
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
5、I=24 6、 2 2 π 2 7、 3x + 2 y − z = 11 8、 x + 2 y + z + 2 = 0 9、
三、计算题（共 3 小题，30 分）
.
2
2、求函数 u = x ln( y + 3z ) 在点（1，2，2）处沿平面 5x − y − z = 1 法线方向的方向 导数。 3、求函数 u = z ⋅ y 在点（1,2,1）处沿 a = {3,3,−2} 方向的方向导数。
高等数学三(山大网络教育模拟题)
高等数学模拟卷3一 求下列极限 1 1lim n tgn n→∞ =02 求lim x a x a x a →-- = 1 ，x →-a-1 , x →a3 求120lim x x e → =∞0sin 4lim sin x mx nx → =m/n20()0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数。
解：当x ＞0时，f(0+0)=0当x ＜0时，f(0-0)=0当x=0时，f(0)=0所以，f(0+0)= f(0-0)= f(0)=0，即f （x ）在0x =处的导数为0.三 计算下列各题1、3,tan (ln )y x y =已知求 解：y ’=3tan 2 (ln x).sec 2 (ln x).(1/x)2、2,()y f x y =已知，求 解：y ’=f ’(x 2).2x四 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰证明，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。
证明：对于320()a x f x dx ⎰ 令2x t =，则2xdxd dt =且x a =时2t a =，0x =时0t =223200()1()21()2aa a x f x dx tf t dt xf x dx ===⎰⎰⎰左边 = 右边 证毕。
五 计算反常积分2d ;1x x +∞-∞+⎰ []2d arctan ;221+x x x πππ+∞+∞-∞-∞⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰解原式六 求2(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解 解：方程化为2211arctan 11dx x y dy y y +=++ 此方程为倒线性微分方程22111121(arctan )1dy dy y y x e ye dy c y -++⎰⎰=++⎰ arctan arctan 21(arctan )1y y e ye dy c y -=++⎰arctan arctan (arctan )y y e yde c -=+⎰arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+所以方程通解为arctan arctan 1y x cey -=+-（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
山东大学继续(网络)教育高等数学(本)2020年期末考试完整解答
山东大学继续（网络）教育高等数学（本）2020年期末考试完整解答课程名称：高等数学课程代码：1108310014答案在最后几页课程层次：专升本一、单选题1.函数f(x)在点x0的导数f’(x0)定义为（B）A.B.C.D.2.一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（B）A.它们都给出了ξ点的求法.B.它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
C.它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值.D.它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法.3.设F1(x),F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)≠0，则在区间I内必有（D）A.B.C.D.4.（C）A.0B.C.D.5.曲线与直线及所围成的区域的面积s=（A）A.B.C.D.6.若为共线的单位向量，则它们的数量积（D）.A.1B.-1C.0D.7.二元函数的定义域是（A）.A.B.C.D.8.（D）A.B.C.D.二、名词解释1.导数2.最大值与最小值定理三、计算题1.2.3.4.完整答案：一、单选题1.B2.B3.D4.C5.A6.D7.A8.D二、名词解释1.导数2.最大值与最小值定理三、计算题试看结束，看完整答案请支.》付哦1.解：2.解：3.解：4.解：。
山东期末高数试题及答案
山东期末高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,4]上的最大值是（）A. 1B. 3C. 5D. 9答案：C2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-x+1，求f'(x)=（）A. 3x^2+4x-1B. 3x^2+4x+1C. 3x^2-4x+1D. 3x^2-4x-1答案：A4. 曲线y=x^3-6x+8在点(2,0)处的切线斜率是（）A. -2B. 4C. -8D. 12答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得极小值，则c的值为______。
答案：46. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_3=______。
答案：97. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f''(x)=______。
答案：6x-38. 曲线y=x^2-4x+5与直线y=2x-1的交点坐标为______。
答案：(2,3)，(3,8)三、解答题（每题15分，共60分）9. 求函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(0,+∞)上的最小值。
答案：由f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)，令f'(x)=0得x=0，当x∈(0,+∞)时，f'(x)<0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)=0。
10. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
答案：由f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，可知在[-1,0)上f'(x)>0，在(0,2]上f'(x)<0，故f(x)在[-1,0)上单调递增，在(0,2]上单调递减。
因此，f(x)的最大值为f(0)=2，最小值为f(2)=-2。
最新大一上微积分试题(山东大学)
数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。
祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1、 求极限22lim(1)(1)......(1)n n x x x →∞+++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1的斜渐近线方程是（ ）3、 计算I=dx e x e x x ⎰-+2241sin ππ=（ ） 4、 设y=x e x 1sin1tan ，则'y =（ ） 5、 已知()()()100210000ln 1212x y x t t t ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦⎰dt ，求()()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=>≠-求20()lim x f x x →＝（ ）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数1.01().12x x x f x e e x -≤<⎧=⎨-<≤⎩的连续区间为（ ）Ａ．[)0,1 Ｂ．[]0,2 Ｃ．[)(]0,11,2⋃ Ｄ(]1,2 ８、()f x 是连续函数，()F x 是的()f x 原函数下列叙述正确的是（ ）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．20()x f t dt ⎰ Ｂ．20()xf t dt ⎰ Ｃ[]0()()x t f t f t --⎰dt Ｄ．[]0()()xt f t f t +-⎰dt１０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且()f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dyＣ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分 （１）222220sin cos (1)ln(1tan )lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）0π（５分）（３）x →∞（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且"(0)f （二阶）存在，(0)f＝０，试证明函数'(0),0()(),0f x F x f x x x⎧=⎪=⎨≠⎪⎩是连续的，且具有一阶连续导数。
山大数学分析试题.doc
2000年试题一、填空。
1 1- r,2 2?(〃T)\ 91. Iim[—- H—- H --- 1 ---- —] = ?2.i im£^L±^ = ?•E X■ 23 .设x = 3cosr, y = 2sin r(0<r < 2勿),则= ?dx~4. / 心+iy?5 .设r = Jr + ),2,则JJ [ r \dxdy = ? x1 2+y2<162 26•设「表小椭圆—+ — = 1 正向，贝U f (x-y)dx + (x+ y)dy = ?4 9 廿7.级数也(1 +打的收敛范围为?〃=i n8.设/(x) = (l + x)ln(l + x),则严(0) = ?1 .设f(x)在［Q,0］上可积，令F(x)= ［/(rMr,证明：F(x)在［Q,。
］上连续。
2.求［e~x cos(2ax)dx(a为实数)。
3.试求级数£〃与〃的和函数。
〃=1三、任选两题。
f fMdx f ——dx > (h-a)2.* * i 3)1 .设f(x)在［a,b］上连续旦/(x)>0,证明:(3.-4) or xdx + ydy = ?2 .求 fcos"xsin/udx (n > 1 为正整数) 3.设 f(Q,g(x) 在 [0, +00) 上可微 H 满足■ ,(1) lim /(x) = A(0 < A < +oo), (2 Q^g(x) g(x).求证： 存 在数列XTSXTSJV —> 00{qj (c 、〃 T +00，" T 8)使得 f(c n )gf(c n ) < -g(C 〃)j'(Cn).2001年试题1 cos 2x -1 o 一、1. hm —=?jr+sirrx 2" n I 2.1im^ = ?3.设y),则紧=? 4 § x 2Vl - cos 2xdx = ? .5. 交换积分顺序f 公「'，(2知=?6.7.£〃(〃 + 1)尤"的和函数为?«=18.设 /(x) = arctan x,则 f ⑵中)(0) = ?二、1 .叙述函数fM)在［。
山东省高考数学三模试卷 文科 含答案
2017年山东省高考数学三模试卷（文科）含答案2017年山东省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则?U A=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3}C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣27．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a=．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．14．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．15．下面给出的四个命题中：①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1；②若m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直；③命题“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”；④将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象．其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，求边长c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC 与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．19．已知数列{a n}满足a1=1，且点P（a n，a n）在直线y=x+2上；数列{b n}的前n项和为S n，满+1足S n=2b n﹣2，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的最小值．20．已知函数f（x）=xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围．21．已知椭圆，F为椭圆C的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l：x=m（m＞a）于M，N两点，（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）若以线段MN为直径的圆过点F，求实数m的值．2017年山东省高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，则?U A=（）A．{﹣3，﹣2} B．{2，3}C．（﹣3，﹣2）D．（2，3）【考点】补集及其运算．【分析】求出A中的解集确定出A，根据全集U求出A的补集即可．【解答】解：全集U={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，所以C U A={﹣3．﹣2}．故选：A2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件．故选B．3．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选C．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．6．设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时z max=3﹣2×0=3．故选：B．7．已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k 的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，∴，∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，∴P=，故选：D．8．已知函数g（x）=|e x﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项．【解答】解：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．9．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[]．故选：A．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C．D．【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB 的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量，其中，且，则向量的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由及便可以得到，再由便可由向量数量积的计算公式得到，从而便可得出向量和的夹角的大小．【解答】解：；∴；∴；即；∴；∴向量的夹角为．故答案为：．12．椭圆+=1与双曲线﹣y2=1焦点相同，则a=．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】利用双曲线以及椭圆的简单性质相同，列出方程求解即可．【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（，0），与双曲线﹣y2=1焦点（，0）相同，可得：，解得a=．故答案为：．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x+3）2+y2=4．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（﹣1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可．【解答】解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则 r==|x+1|，整理得：x=1（不合题意，舍去）或 x=﹣3， ∴圆心 C（﹣3，0），半径为 2， 则圆 C 方程为（x+3）2+y2=4． 故答案为：（x+3）2+y2=4．14．若函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足 f（1+x）=f（1﹣x），且 f（x）在[m，+∞）上单调递增， 则实数 m 的最小值等于 1 ． 【考点】指数函数单调性的应用． 【分析】根据式子 f（1+x）=f（1﹣x），对称 f（x）关于 x=1 对称，利用指数函数的性质得出： 函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a 为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断 m 的最小值． 【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x）， ∴f（x）关于 x=1 对称， ∵函数 f（x）=2|x﹣a|（a∈R） x=a 为对称轴， ∴a=1， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∵f（x）在[m，+∞）上单调递增， ∴m 的最小值为 1． 故答案为：1．15．下面给出的四个命题中： ①以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1； ②若 m=﹣2，则直线（m+2）x+my+1=0 与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0 相互垂直； ③命题“?x∈R，使得 x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有 x2+3x+4≠0”；④将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位，得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象．其中是真命题的有 ①②③ （将你认为正确的序号都填上）． 【考点】特称命题；命题的否定；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；抛物线的简单性质． 【分析】①先求抛物线是焦点为（1，0），可求圆的半径为 r=1，从而可求圆的方程 ②把 m=﹣2 代入两直线方程即可检验直线是否垂直 ③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为即可判断【解答】解：①抛物线是焦点为（1，0），圆的半径为 r=1，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=1， 正确；②当 m=﹣2，两直线方程为 和 ，两直线垂直所以正确；③根据特称命题的否定是全称命题可知正确；④函数向右平移 ，得到的函数为，所以不正确．所以正确的命题有①②③． 故答案为：①②③三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A，B，C 三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持 A支持 B支持 C20 岁以下20040080020 岁以上（含 20 岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，其中有 6 人支持 A，求 n 的值．（2）在支持 C 的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体，从这 6 人中任意选取 2 人，求恰有 1 人在 20 岁以下的概率．【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得n 值．（2）计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数，及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人，∴=，解得 n=40；（2）从“支持 C 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的 6 人中， 年龄在 20 岁以下的有 4 人，分别记为 1，2，3，4，年龄在 20 岁以上（含 20 岁）的有 2 人，记 为 a，b， 则这 6 人中任意选取 2 人，共有 =15 种不同情况， 分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a）， （2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b）， 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有： （1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共 8 种． 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= ．17．已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的最大值及取得最大值时的 x 的集合；（Ⅱ）△ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边，，求边长 c 的值．【考点】三角函数的最值；三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再根据正弦函数的性质即 可求出， （Ⅱ）先求出 C 的值，再根据向量的数量积的运算和余弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x+ ）+1= cosxsinx﹣ sin2x+1= sin2x﹣ cos2x﹣ = sin（2x﹣ ）+ ，∵ sin（2x﹣ ）+ ≤ + = ，∴最大值为 ，当 2x﹣ = +2kπ 时，即 x=kπ+ ，k∈Z，即{x|x=kπ+ ，k∈Z}时，函数取的最大值，（Ⅱ）∵f（C）= sin（2C﹣ ）+ = ，即 sin（2C﹣ ）=1，∴C= ， ∵ ? =12， ∴ ? =| |?| |cos =2a× =12， ∴a=12，由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2abcosC=144+4﹣2×12×2× =124， ∴c=218．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点，M 是 PD 的中点． （1）求证：OM∥平面 PAB； （2）平面 PBD⊥平面 PAC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行； （2）先证明 BD⊥平面 PAC，即可证明平面 PBD⊥平面 PAC． 【解答】证明：（1）∵在△PBD 中，O、M 分别是 BD、PD 的中点， ∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM∥PB， ∵OM?平面 PBD，PB?平面 PBD， ∴OM∥平面 PAB； （2）∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面 ABCD，BD?平面 ABCD，∴BD⊥PA． ∵AC?平面 PAC，PA?平面 PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面 PAC， ∵BD?平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 PAC．19．已知数列{an}满足 a1=1，且点 P（an，an+1）在直线 y=x+2 上；数列{bn}的前 n 项和为 Sn，满 足 Sn=2bn﹣2，n∈N* （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足 cn=anbn，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的最小值． 【考点】数列的求和；数列与解析几何的综合． 【分析】（Ⅰ）利用等差数列的定义和通项公式即可得出 an．利用“当 n=1，b1=2；当 n≥2 时， bn=Sn﹣Sn﹣1”和等比数列的通项公式即可得出 bn；（Ⅱ）利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出 Tn，该数列 Tn=（2n﹣3）?2n+1+6 为递增数列，问题得以解决． 【解答】解：（Ⅰ）∵点{an，an+1）在直线 y=x+2 上， ∴an+1=an+2，即 an+1﹣an=2，又 a1=1， ∴数列{an}是以 1 为首项，2 为公比的等差数列， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1 当 n=1，b1=2b1﹣2，则 b1=2 当 n≥2 时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2）=2bn﹣2bn﹣1， ∴bn=2bn﹣1（n≥2）， ∴{bn}是等比数列，公比为 2，首项 b1=2． ∴bn=2n， （Ⅱ））∵cn=anbn=（2n﹣1）?2n， ∴Tn=1?21+3?22+…+（2n﹣1）?2n，① 2Tn=1?22+3?23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1，② ①﹣②得：﹣Tn=21+2（22+…+2n）﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣2+2×﹣（2n﹣1）?2n+1=﹣6+（3﹣2n）?2n+1，∴Tn=（2n﹣3）?2n+1+6， ∵该数列 Tn=（2n﹣3）?2n+1+6 为递增数列， ∴当 n=1 时，有最小值为 2，20．已知函数 f（x）=xlnx． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，求实数 k 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【分析】（1）根据导数和函数的单调的关系即可得到． （2）对于任意正实数 x，不等式 f（x）＞kx﹣ 恒成立，即为 k＜lnx+ ，x＞0，令 g（x）=lnx+ ， x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到 k 的范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx． ∴f′（x）=1+lnx， 当 x∈（0， ）时，f′（x）＜0；当 x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．（2）由于 x＞0，f（x）＞kx﹣ 恒成立， ∴k＜lnx+ ． 构造函数 k（x）=lnx+ ． ∴k′（x）= ﹣ = ． 令 k′（x）=0，解得 x= ， 当 x∈（0， ）时，k′（x）＜0，当 x∈（ ，+∞）时，k′（x）＞0． ∴函数 k（x）在点 x= 处取得最小值，即 k（ ）=1﹣ln2． 因此所求的 k 的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．21．已知椭圆，F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于一点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）已知 A，B 为椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP、BP 分 别交直线 l：x=m（m＞a）于 M，N 两点， （ⅰ）设直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值； （ⅱ）若以线段 MN 为直径的圆过点 F，求实数 m 的值． 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由 c=1， == ，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆 C 的方程；（Ⅱ）（ⅰ）求得直线直线 AP、BP 的斜率分别为 k1，k2，由 P 在椭圆方程，则 y02=3﹣ x02，即可求得 k1k2 为定值； （ⅱ）由题意可知 ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数 m 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=1， == =，解得：a=2，b= ，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意可知：由 A（﹣2，0），B（2，0），设 P（x0，y0）在椭圆方程 C 上， 则 x0≠0，y02=3﹣ x02，则 k1=，k2=，由 k1k2=?===﹣ ，∴k1k2 为定值﹣ ； （ⅱ）由题意可知：直线 AP、BP 的斜率一点存在，设直线 AP：y=k1（x+2）， 令 x=m，则 y=k1（m+2），即 M（m，k1（m+2））， 直线 BP：y=k2（x﹣2），令 x=m，则 y=k2（m﹣2），即 N（m，k2（m﹣2）），m＞2， 以 MN 为直径的圆过点 F（1，0）， 则 FM⊥FN，即 ? =0， 即 ? =（m﹣1，k1（m+2））（m﹣1，k2（m﹣2））， =（m﹣1）2+k1k2（m2﹣4）=0， 由（ⅰ）可知：k1k2=﹣ ，代入椭圆方程，整理得：（m﹣1）2+（﹣ ）（m2﹣4）=0，即（m2﹣4）=0，解得：m=4， 实数 m 的值 4．2017 年 4 月 15 日。
(完整)山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)
山东大学《数学分析III 》期末复习参考题一.选择题（共 10 小题，40 分） 1.函数⎩⎨⎧+=,1,),(22y x y x f 00≠=xy xy 在（0，0）点处（ ）。
A ）不存在偏导数； B ）存在函数极限；C ）存在两个偏导数但不连续；D ）存在两个偏导数且连续。
2.下列命题关于),(y x f 在),(000y x P 的全微分描述错误的是（ ）。
A ）dz 是x ∆与y ∆的线性函数；B ）dz 与z ∆之差比ρ为高阶无穷小；C ）),(y x f 在),(000y x P 可微，则),(y x f 在),(000y x P 连续；D ）),(y x f 在),(000y x P 存在两个偏导数，则在),(y x f 在),(000y x P 一定可微。
3.函数)0(>=x x z y，而,cos ,sin t y t x ==则=dtdz（ ）。
A ）x t x t yx y y ln sin cos 1--； B ）x t x t yx y y ln sin cos 1+-； C ）x t x t yxy y ln cos sin 1--； D ）x t x t yx y y ln sin sin 1--。
4.如果函数),(y x f 在),(000y x P 的邻域G ( ),则),(),(00''00''y x f y x f yx xy =.A ）),(),,(''y x f y x f yx xy 存在且在),(000y x P 连续； B ）),(),,(''y x f y x f yx xy 存在且可导;C ）),(),,(''''y x f y x f yx xy 存在且在),(000y x P 连续；D ）),(),,(''''y x f y x f yx xy 存在。
山东大学2023年强基计划数学试题真题答案解析(精校打印版)
2023年山东大学强基计划数学试题考试时间2023年7月2日，考试时长60分钟.1.如何定义有界数列，举例说明.2.如何定义无界数列，举例说明.3.判断1111234-+-+ 是否有界，若有界求出此值.4.求22221111123n+++ 的值.5.是否存在奇数,a b 偶数c ，使得222a b c +=。
6.已知点(.)A x y 满足569112x y x y +++≤，求点A 围成得面积.7.已知数列{}n a 满足12n n nS a a =+，则50a 是多少.8.已知{}{}1210123,,,,,A B a a a A a a a == 则(,)A B 共有多少组?9．已知,p q 为正质数，且p q <，求证：p q是有限小数或无限循环小数.10.1S 为有限集，{}{}**11,,,,,,n k n S x x x S n N S x C x x S k N =∈∈=∈∈∈证明：S 是有限集，当且仅当m ∃为正整数，令n n S m S +=对n ∀恒成立.11.ABC ∆中，,,a b c 成等比数列，求sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的范围是多少？12.求3log2023年山东大学强基计划测数学试题解析1.如何定义有界数列，举例说明.解：若数列{}n a 满足：对一切n 有n a M ≤（M 是与n 无关的常数）称数列{}n a 有界并称M 是它的一个上界.Eg：0n a =可取M 为任意正数；1n a n =可取M 为任意大于1的正数.2.如何定义无界数列，举例说明.解：对于数列{}n a ，如果不存在某个正数能使n a 的绝对值都小于它，这样的数列叫做无界数列.对一切n 有n a M ≤（M 是与n 无关的常数）称数列{}n a 有界并称M 是它的一个上界.Eg：n a n =，对于任意M ，取[]1n M =+，则[]1n a M M =+>，所以不存在M 使n a M ≤对任意都n 成立.3.判断1111234-+-+ 是否有界，若有界求出此值.解：1111111000111(1)1(1)()ln 21n n n n n n n x dx x dx dx n x -∞∞∞---===-=-=-==+∑∑∑⎰⎰⎰注：由于一致收敛性，所以积分和极限可以交换顺序，本质为ln(1)x +的Taylor 级数展开.4.求22221111123n+++的值.5.是否存在奇数,a b 偶数c ，使得222a b c +=。
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一 求下列极限 11lim sin n n n→∞ 1sin ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0sin 1lim =∞→n n n 2 求lim x xx → 1lim 0-=-→xx x 1lim 0=+→xx x ∴0lim x x x→不存在3 求1lim xx e→,lim 10+∞=+→xx e 0lim 10=-→xx e ∴10lim xx e →不存在0sin 4limsin 5x x x x x →++ 原式=15sin 1sin 1lim 0=++→xx x xx 一 求下列极限11lim cos n n n→∞ ,1cos ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0cos 1lim =∞→n n n2 求22lim 2x xx→-- ,122lim 22lim22-=--=--++→→x x x x x x 122lim 2=---→xx x∴22lim 2x xx →--不存在3 求10lim 2xx →,22lim 1lim100+∞==+→+→x xx x 022lim 1lim100==-→-→x xx x∴10lim 2xx →不存在02sin 4lim 3sin x x x x x →++求 原式=43sin 31sin 21lim 0=++→x x x x x 一 求下列极限11lim n tgn n→∞ 不存在 2 求limx ax a x a→--,1lim lim=--=--++→→a x a x ax a x ax a x ,1lim lim -=--=----→→a x xa a x a x a x a x ∴lim x a x a x a→--不存在3 求120lim xx e→,lim 210+∞=+→xx e0lim 210=-→xx e∴ 120lim xx e→不存在0sin 4limsin x mxnx → 原式=nmnx mx nx nx nx mx mx mx x x ==⋅⋅⋅→→00lim sin sin lim二a 取什么值，0()0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续)ii 0x =时，(0)f a =(00)1f -= (00)f a +=所以1a =时(0)(0)1f f ±==，()f x 在0x =处连续综上所述，a=1时()f x 连续解： ()1sin lim 0==+→x x x f x ()1sin lim 0==-→xxx f x∴ ()x f 在0=x 处不连续，0点为可去间断点。
20()0xx f x xx >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数解：(),10='+f (),00='-f ∴ ()x f 在0=x 处不可导。
三 计算下列各题 1 已知2sin ln y x x=⋅ 求,y 解：xx x x y 1sin 2ln cos 2⋅+=' 2 (),()x f x y f e e y =⋅已知，求解：()()()()()()()()()()x f e f e f e e e x f e f e e f e y x x x x f x f x x f x x '+'='+'='23x xe dx⎰求解：⎰⎰+==c e dx e dx xe x x x 222212121,ln[ln(ln )]y x y=求 解：()xx x y 1ln 1ln ln 1⋅⋅='2,,y x x y y =求两边取对数：y x x y ln ln =两边分别求导：y yx y x y x y '⋅+=⋅+'ln 1ln 整理得：()()x y x x yy x y y ln ln --='解：原式=()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e xx x x x arctan 11221、3,tan(ln )y x y =已知求 解：()()xx x y 1ln sec ln tan 322⋅⋅=' 2、2,()y f x y =已知，求 解：()22x f x y '='=⎰+-=-C x x d x 1sin 11cos解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --⋅-=-⋅-2'2sec ()(1)2x y y -⋅-='21(1)sec ()y x y -=-所以'221cos ()sin ()y x y x y =--=-2222010022010490480cos limsin cos lim22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dtx x t dtx x x x x x x →→→→--=-⋅=-=⎰⎰四求解原式34704sin 1lim 4010x x x x →==证明：对于320()a x f x dx ⎰令2x t =，则2xdxd dt =且x a =时2t a =，0x =时0t =2232000()1()21()2aa a x f x dxtf t dt xf x dx ===⎰⎰⎰左边= 右边 证毕。
五 求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积 解：12201223(2)(2)121101231814123376A x x dx x x dxx x x =-+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=+--+=⎰⎰五 求225y x =-和4y x =-所围平面图形的面积解：)82(4)A x dx =+--⎰⎰28331242222126323218x x ⎫=+-+⎪⎭=+-+=[]2d arctan ;221+x x x πππ+∞+∞-∞-∞⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰解原式六22(1)24dyx xy x dx++=解：此方程为一阶非齐次线性微分方程22()1x P x x =+224()1x Q x x =+2222231122414()()113xxdx dx xx x y ee dx c c x x x -++⎰⎰=+=+++⎰所以原方程通解为3214()13y c x x =++六 求2(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解解：方程化为2211arctan 11dx x y dy y y+=++此方程为倒线性微分方程22111121(arctan )1dy dy yy x eye dy c y-++⎰⎰=++⎰arctan arctan 21(arctan )1yyeye dy c y-=++⎰arctan arctan (arctan )yyeydec -=+⎰arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+所以方程通解为arctan arctan 1yx cey -=+-题外：证明：令x t -=2π，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→→→0,22,0t x t x ππ ，dx dt -=且()()()()⎰⎰⎰⎰==-=2020220cos sin cos sin ππππdx x f dt t f dt t f dx x f 得证解：x Cx C x x C dx xe ey xdx xdxcos cos 32cos 32cos 12sin 23tan tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-21n +++二解：n 项n 项n n n nn n n n n n n n n 11112111111222222+++++++++++++++又 nn n ++∞→21lim=111lim =∞→n故1111lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n nnn n五、求'tan sin 2y y x x +=的通解解：x C x x C dx xe e y xdx xdx cos 32cos 32cos 12sin 23tan tan +-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-解：21arcsin arcsin 110102π===--⎰⎰--xx d xdx一 求下列极限解： 111lim 11lim 11-=--=----→→x x x x x x 111lim 11lim 11=--=--++→→x x x x x x∴ 111lim x x e-→不存在解： -∞=--→11lim 1x x +∞=-+→11lim 1x x ∴111lim x x e-→不存在解： 212sin lim cos 1lim 020==-→→x x xx x x原式=565021cos sin 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫⎝⎛→x x xx x 求 ()ctgxx x sin 21lim 0+→()()2cos 2sin 21sin 21lim sin 21lim e x x x xx ctgxx =+=+⋅→→求 原式=212lim122100121lim e ex x x xx x x x ==⎪⎭⎫⎝⎛-+--⋅-→→三、计算下列各题1解：22222212211ax a x xa x x y +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅++=''y解：()()()()()()()()()()322323213263132333232131+++⋅+++⋅=+++-++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅='-x x x x x x x x x xx x x x y3解：C x x xd xdx x +==⎰⎰322ln 31ln ln ln 1求⎰dx ex x 23解：()()()C x e C e x e xdx e x e de x dx e x x x x x x x x+-=+-⋅=-⋅==⎰⎰⎰121212212122223222222234sin xdx ⎰求 解：原式=()⎰++-=--C x x x d x 3cos cos cos cos 132"4()xf x dx⎰求 解：原式=()()()()()⎰⎰+-'='-'='C x f x f x dx x f x f x x f xdln xdx ⎰求解：⎰⎰+-=-=C x x x x xd x x xdx ln ln ln ln。