第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答

第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

一、填空题（每小题3分，共30分）

1. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 61

23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim

2

20

=+-+→→y

x y

x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ϕ可导且(0)1ϕ=，二元函数()xy

z x y e ϕ=+满足

0z z x y

∂∂+=∂∂，则()u ϕ=2

4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π-

x 和直线2

π

-=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=⎰⎰D

dxdy y x f y x I )](1[223 －2 .

6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++ ⎪⎝⎭

L 2ln 21- .

7. 数项级数

∑∞

=--1

)!

2()!

2()1(n n

n n n n 的和=S －1+cos1+ln2.

8. 计算积分⎰⎰⎰++π=

1

021

01

0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23

1

41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线

方程为

4

1537-=

+=+z y x . 10. 设曲线2

2

2

:a y xy x C =++的长度为L , 则=++⎰C y x y x ds e e e b e a )sin()sin()

sin()sin(L b a 2

+ . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．

证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根．

下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，

()()'()()'()()f x f a f x a f a x a ξ-=-≤-， 即 ()()'()()f x f a f a x a ≤+-，

上式右端当x →+∞时，趋于-∞，因此当x 充分大时，()0f x <，于是存在b a >，使得()0f b <，由介值定理存在()a b ηη<<，使得()0f η=．综上所述，知()0f x =在(,)a +∞有而且只有一个实根． 三、(10

分)

设

),(y x f 有二阶连续偏导数,

),(),(22y x e f y x g xy +=, 且

))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极

小值, 并求出此极值.

解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=, 由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f .

x f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xy

y 221

⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xy

xy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy

xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''

2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy

xy xy xy y

'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x ， 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy ，2)0,1(2)0,0(22

-='=''=f g C y 032

>=-B AC , 且0

四、(10分) 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使

)1()(n

x f x f n n +=．

证明 令.,]1

1,0[)(),1()()(m M n

x n x f x f x 及最小值所以有最大值上连续在-+

-=φφ 于是有 ,1,,1,0,)(-=≤≤n k M n k m Λφ 所以 .)(1

1

M n

k

n

m n k ≤≤

∑

-=φ

故存在],1

1,0[n

x n -

∈ 使 .0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]

1

()1()0([1)(1)(10=-=--++-+-=-+++==∑-=f f n

f n n f n f n f n f f n n n n n n k n x n k n ΛΛφφφφφ

)1()(n

x f x f n n +=．