《新编基础物理学》第1章习题解答和分析
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《新编基础物理学》第1章习题解答和分析
第1章 质点运动学
1-1. 一质点沿x 轴运动,坐标与时间的变化关系为x =8t 3-6t (m ),试计算质点
(1) 在最初2s 内的平均速度,2s 末的瞬时速度;
(2) 在1s 末到3s 末的平均加速度,3s 末的瞬时加速度. 分析:平均速度和瞬时速度的物理含义不同,分别
用x t ∆=∆v 和d d x t =v 求得;平均加速度和瞬时加速度的物理含义也不同,分别用a t
∆=∆v 和d d a t =
v 求得. 解:(1) 在最初2s 内的平均速度为
31(2)(0)(8262)0
26(m s )
2
x x x t t -∆-⨯-⨯-====⋅∆∆v
2s 末质点的瞬时速度为 2
1
2
d 24690(m s )d x t t
-==-=⋅v (2) 1s 末到3s 末的平均加速度为
22(3)(1)(2436)(246)96(m s )
2
a t t -∆-⨯---====⋅∆∆v v v
3s 末的瞬时加速度 2
3
d 48144(m s )d a t t
-===⋅v
1-2.一质点在xOy 平面内运动,运动方程为
22(m),48(m)
x t y t ==-.
(1)求质点的轨道方程并画出轨道曲线;
(2)求=1 s =2 s t t 和时质点的位置、速度和加速度. 分析:将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ,
便可得到质点的轨道方程.写出质点的运动学方程
)(t r ρ表达式.对运动学方程求一阶导、二阶导得
()
t r v 和
()
a t r ,把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、
加速度.
解:(1) 由2,x t = 得:,2x
t = 代入2
48
y t
=-
可得:2
8y x =-,即轨道方程. 画图略
(2)质点的位置矢量可表示为
2
2(48)r ti t j =+-v v v
则速度
d 28d r i t j t
==+v v v v v 加速度
d 8d a j
t
==v v v v
当t =1s 时,有
12
24(m),28(m s ),8m s r i j i j a j --=-=+⋅=⋅v r r r r r r r r
当t =2s 时,有
1
2
48(m),216(m s ),8m s r i j i j a j --=+=+⋅=⋅v r r r r r r r r
1-3.一质点的运动学方程为2
2
(1)x t y t ==-,,x 和y 均以m 为单位,t 以s 为单位. 求:
(1)质点的轨迹方程;
(2)在2s t =时质点的速度和加速度. 分析: 同1-2.
解:(1)由题意可知:x ≥ 0,y ≥ 0,由
2
x t =,可得t =
,
代入2
(1)y t =- 整理得:
1=
即轨迹方程
(2)质点的运动方程可表示为
2
2
(1)r t i t j =+-r r r
则
d 22(1)d r
ti t j t ==+-v r r v v
d 22d a i j
t
==+v r r v v
因此, 当2s t =时,有
1
242(m s ),22(m s )
i j a i j --=+⋅=+⋅r r r r r r v
1-4.一枚从地面发射的火箭以2
20m s -⋅的加速度竖直上升0.5min 后,燃料用完,于是像一个自由质点一样运动. 略去空气阻力并设g 为常量,试求: (1)火箭达到的最大高度; (2)它从离开地面到再回到地面所经过的总时间. 分析:分段求解:030s t ≤≤时,2
20m s a -=⋅,可求出11
,x v ;t >30s 时,g a -=.可求出2()t v ,2()x t .当2
0=v 时,火箭达到的最大高度, 求出t 、x . 再根据0x =,求出总时间. 解:(1)以地面为坐标原点,竖直向上为x 轴正方
向建立一维坐标系,设火箭在坐标原点时,t =0s ,且0.5min=30s.则当0≤ t ≤30s ,由d d x
x
a t =v ,得
30
20d d x
x
t =⎰
⎰v v , 解得
20x t
=v 当1
30s
=v
时
1
1600m s -=⋅v 由d d x
x t
=
v
, 得
1
300
20d d x t t x
=⎰
⎰,
则
1
9000m x =
当火箭未落地, 且t >30s, 又有
2
2
1
30
9.8d d x t
x t -=⎰⎰v v v
解得
28949.8x t
=-v
同理由d d x
x
t
=v 得 1
30
(8949.8)d d t
x
x t t x
-=⎰
⎰
解得
24.989413410
x t t =-+- …
①
由2
0x =v ,得91.2s t =,代入①得
max 27.4km
x ≈
(2)由①式可知,当0x
=时,解得 1166s t ≈
2
16s<30s t ≈(舍去)