湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学(文)试题
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3．D
【分析】
根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体的体积.
【详解】
根据三视图画出其立体图பைடு நூலகம்:
由三视图可知,其底面面积为: ,其柱体的高为:
根据柱体的体积公式求得其体积为:
故选:D.
【点睛】
本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
20．半圆 的直径的两端点为 ,点 在半圆 及直径 上运动,若将点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;
(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线 的“直径”.
②抽取的总人数的最小值为__________．
四、解答题
17．已知数列 的前 项和 ，且满足 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求使 成立 的最小值.
18．已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 在区间 上的最小值为 ，求 的最大值.
19．如图，在平面图形 中， 为菱形， ， 为 的中点，将 沿直线 向上折起，使 .
45.8
395.5
2413.5
4.6
21.6
①根据上表数据计算 ， 的值；
②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价 定为多少时日利润 可以达到最大.
附①：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附②：对应一组数据 ，
三、双空题
16．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;
（ii）中年人的人数多于青年人的人数;
（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.
①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.
A． B．
C． D．
12．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 ，有 ，且 .设 ，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 中， ，则 的面积为__________．
14．已知函数 ,若存在四个不同的实数 满足 ,且 ,则 __________．
15．已知 为坐标原点，圆 ： ， 圆 ： ． 分别为圆 和圆 上的动点，则 的最大值为_______．
【分析】
设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．
【详解】
设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，
∴ ，解得 或 ．
∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
21．已知 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组： ， ， ， ， ，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
A． B． C． D．
4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）
A． B． C． D．
5．设 ，则“ ”是“ ”成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若x,y满足约束条件 的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
7．已知函数 ，则当 时函数 的图象不可能是（）
A． B．
C． D．
8．在数列 中，若 ，则该数列的前50项之和是（）
A．18B．8C．9D．4
湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则 ( )
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
4．D
【分析】
利用扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】
设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 ，小扇形的半径长为 ，
则 ， ， .
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
9．已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．在长方体 中， ，点 为棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 的准线上一点，且 的纵坐标为正数， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则直线 的方程为（）
“采用促销”的销售网点
“不采用促销”的销售网点
（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 的把握认为“精英店与采促销活动有关”；
采用促销
无促销
合计
精英店
非精英店
合计
50
50
100
（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 （单位：元）和日销量 （单位：件）（ ）的一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的
其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， .
参考答案
1．A
【分析】
分别求出A与B中方程的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【详解】
解：由A中方程解得： 或 ，
即 ，
由B中方程解得： 或 ，
即 ，
则 ．
故选：A．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．A
【解析】
【分析】
根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体的体积.
【详解】
根据三视图画出其立体图பைடு நூலகம்:
由三视图可知,其底面面积为: ,其柱体的高为:
根据柱体的体积公式求得其体积为:
故选:D.
【点睛】
本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
20．半圆 的直径的两端点为 ,点 在半圆 及直径 上运动,若将点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;
(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线 的“直径”.
②抽取的总人数的最小值为__________．
四、解答题
17．已知数列 的前 项和 ，且满足 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求使 成立 的最小值.
18．已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 在区间 上的最小值为 ，求 的最大值.
19．如图，在平面图形 中， 为菱形， ， 为 的中点，将 沿直线 向上折起，使 .
45.8
395.5
2413.5
4.6
21.6
①根据上表数据计算 ， 的值；
②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价 定为多少时日利润 可以达到最大.
附①：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附②：对应一组数据 ，
三、双空题
16．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;
（ii）中年人的人数多于青年人的人数;
（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.
①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.
A． B．
C． D．
12．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 ，有 ，且 .设 ，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 中， ，则 的面积为__________．
14．已知函数 ,若存在四个不同的实数 满足 ,且 ,则 __________．
15．已知 为坐标原点，圆 ： ， 圆 ： ． 分别为圆 和圆 上的动点，则 的最大值为_______．
【分析】
设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．
【详解】
设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，
∴ ，解得 或 ．
∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
21．已知 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组： ， ， ， ， ，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
A． B． C． D．
4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）
A． B． C． D．
5．设 ，则“ ”是“ ”成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若x,y满足约束条件 的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
7．已知函数 ，则当 时函数 的图象不可能是（）
A． B．
C． D．
8．在数列 中，若 ，则该数列的前50项之和是（）
A．18B．8C．9D．4
湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则 ( )
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
4．D
【分析】
利用扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】
设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 ，小扇形的半径长为 ，
则 ， ， .
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
9．已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．在长方体 中， ，点 为棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 的准线上一点，且 的纵坐标为正数， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则直线 的方程为（）
“采用促销”的销售网点
“不采用促销”的销售网点
（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 的把握认为“精英店与采促销活动有关”；
采用促销
无促销
合计
精英店
非精英店
合计
50
50
100
（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 （单位：元）和日销量 （单位：件）（ ）的一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的
其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， .
参考答案
1．A
【分析】
分别求出A与B中方程的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【详解】
解：由A中方程解得： 或 ，
即 ，
由B中方程解得： 或 ，
即 ，
则 ．
故选：A．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．A
【解析】