湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学(文)试题
2020—2021学年度中职高三数学月考试题卷(有答案)
2020—2021学年度中职高三数学月考试题卷姓名________________ 准考证号________________本试题卷共三大题，共4页。
满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡和试卷上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题用0.5毫米黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡规定位置上。
3.所有试题均需在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效。
4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错选、多选或未选均无分。
1.已知命题p：对∀x∈R，都有x2＞0，则⌝p是________.（）A.∃x0∈R，使得x20＜0B.∃x0∈R，使得x20≤0C.∀x0∈R，都有x20＜0D.∀x∈R，都有x2≤02.已知函数f（x）是偶函数，且其定义域是[3a，a＋4]，则a的值为________.（）A.1B.－1C.2D.－23.若二次函数f（x）＝（a－2）x2＋（a2－4）x＋2是偶函数，则a＝________.（）A.2B.－2C.±2D.无法确定4.设命题p∨q和⌝q都是真命题，则________. （）A.p真q假B.p假q真C.p假q假D.p真q真5.满足{1，2}⊂≠A⊆{1，2，3，4}的集合A有________. （）A.1个B.2个C.3个D.4个6.若函数f（x）＝3x2＋（a－1）x＋5在区间（－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是________.（）A.{－5}B.（－∞，－5]C.{5}D.[5，＋∞）7.若函数y＝f（x）（x∈R）是偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，则下列关系正确的是________. （）A.f（－1）＞f（2）＞f（－3）B.f（2）＞f（－1）＞f（－3）C.f（－3）＞f（2）＞f（－1）D.f（－3）＞f（－1）＞f（2）8.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[2，＋∞）上是增函数，在区间（－∞，2）上是减函数，则m的值是________. （）A.8B.－8C.16D.－169.下列函数中是偶函数的是________. （）A.y＝cos xB.y＝sin xC.y＝（x－1）2D.y＝a x10.已知奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f（x）在区间[－7，－3]上是________. （）A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－511.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使f（x）＜0的x的取值范围是________. （）A.（－∞，2]B.（－2，2）C.（－∞，2）∪（2，＋∞）D.（2，＋∞）12.若集合M＝{x|x≤5}，且a＝2，则下列关系式中正确的是________.（）A.a⊆MB.a⊆/MC.{a}∈MD.{a}⊆M13.若x2＋y2＋4x＋6y＋13＝0，则x－y等于________.（）A.－1B.0C.1D.214.若关于x的不等式ax2＋2ax－1＜0解集是R，则实数a的取值集合是________. （）A.（－1，0）B.（－1，0]C.（－∞，－1）D.（－∞，0）∪（0，－1]15.下列函数中，在区间[0，＋∞）内为增函数的是________.（）A.y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭B.y＝1x C.y＝x2D.y＝12log x16.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则________.（）A.a＞0，b＞0，c＜0B.a＞0，b＞0，c＞0C.a＞0，b＜0，c＜0D.a＞0，b＜0，c＞017.已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋2，则f（－1）的值是________.（）A.－3B.－1C.1D.318.若奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上的图象如图所示，则该函数在（－∞，0）上的图象可能是________.（）19.已知集合A ＝{x |－2＜x ≤1}，B ＝{x ∈Z |－1＜x ＜2}，则A ∩B 等于________. （ ）A .{x |－1＜x ≤1}B .{x |－2＜x ＜2}C .{0，1}D .{－1，0，1}20.若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的根分别是2，－3，则不等式ax 2＋5x ＋b ＜0的解集是 ________. （ ）A .（－6，1）B .（－1，6）C .（－3，2）D .（－2，3）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x ＋x 2，则当x ＜0时，f （x ）＝________.22.函数y ＝2x 2－6x ＋5在区间[－2，3]上的最大值为________.23.已知集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＞a }，且满足A ⊆B ，则a 的取值范围是________.24.已知下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；②若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ；③若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d ；④若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c .其中正确命题的序号是________.25. 已知函数f （x ）＝200x x x x ⎧⎨⎩，≥+1＜，，则f [f （－2）]＝________.三、解答题（本大题共5小题，共40分。
湖南省邵阳市2022-2023学年高一下学期第一次联考语文试题含答案
2023年邵阳市高一联考试题卷语文（答案在最后）（本试卷共四道大题，23道小题，满分150分，时量150分钟）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1-5小题。
材料一：乡愁，是中国诗歌的一个历久常新的普遍主题。
余光中多年来写了许多以乡愁为主题的诗篇，《乡愁》就是其中情深意长、音调动人的一首。
《乡愁》的美令人瞩目，特别是音乐美。
《乡愁》的音乐美，主要表现在回旋往复、一唱三叹的旋律上，其中“乡愁是……”与“在这头……在那头”的四次重复，四节中同一位置上“小小的”“窄窄的”“矮矮的”“浅浅的”等叠词的运用，使得全诗低回掩抑，如怨如诉。
而“一枚”“一张”“一方”“一湾”等数量词的运用，不仅表现了诗人的语言功力，也增强了全诗的音韵之美。
《乡愁》，犹如音乐中柔美而略带哀伤的“回忆曲”，是海外游子深情而美的恋歌。
余光中等诗人的贡献还在于，他们找回了汉字与汉语的时间性之间的联系，并探索了通过文字排列实现诗歌音乐性的种种结构的道路，这是古典诗歌没有摸索出来的。
在这个意义上，他们真正为新诗的音乐性，甚至为汉语的音乐性开辟了新的道路。
（摘编自《新诗鉴赏词典》）材料二：诗歌的音乐性一向是业界争论的热点问题。
关于诗歌的音乐性，文学评论家谢冕在接受本报记者采访时提出，包括新诗在内的所有诗歌都必须包含音乐性。
诗歌要有音乐性，没有了音乐性，就与其他的文体没有区别了。
而中国新诗缺少的恰恰是音乐性。
现在的很多诗人不懂旧体诗，甚至认为旧体诗好写，这是因为他们不知道诗歌内在的一些规律，不知道怎么用词，不知道声韵上怎么表达才动听。
北京师范大学教授李山说，现代诗没有必要像古诗那样讲究平仄、中间对偶，但讲究语言的和谐还是必要的。
李山所强调的向古诗学习，并不是要我们回到传统，而是倡导现代的散体诗如何在借鉴古代汉语有声调这一特点的基础上，创作出符合现代品位、又能充分体现汉语魅力的诗，他认为这是需要大力尝试的。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
2021届邵阳市隆回一中高三语文第一次联考试卷及答案
2021届邵阳市隆回一中高三语文第一次联考试卷及答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：2018年4月16日晚，美国商务部发布公告称，美国政府未来7年禁止中兴通讯向美国企业购买敏感产品。
2018年4月19日，针对中兴被美国“封杀”问题，中国商务部表示，中方密切关注事态进展，随时准备采取必要措施，维护中国企业的合法权益。
2018年4月20日，中兴通讯发布关于美国商务部激活拒绝令的声明，称在相关调查尚未结束之前，美国商务部工业与安全局执意对公司施以最严厉的制裁，这对中兴通讯来说极不公平，“不能接受！”2018年5月，中兴通讯公告称，受拒绝令影响，本公司主要经营活动已无法进行。
（摘编自“网易”“新浪”“凤凰网”）材料二：芯片贸易已经成为中国进出口贸易逆差的最大“黑洞”。
海关总署数据显示，最近几年集成电路进口额均超过2000亿美元，甚至长期超过石油进口额。
2017年，这一数额达到了2601亿美元，进出口贸易逆差达到最高值的1932．6亿美元。
Strategy Analytics【注】分析师杨光表示，危机肯定会刺激自主芯片产业的发展，但想依靠国产芯片帮助中兴渡过危机确实是远水解不了近渴，芯片行业的发展是个长期的过程，需要持续投入而且有些必要的学费恐怕也是绕不过去的。
在可预见的未来几年内，比如5G开始这几年，国内芯片恐怕还是要靠国际市场供应。
【注】Strategy Analytics是全球著名的信息技术、通信行业和消费科技市场研究机构。
（摘编自《“芯痛”背后国产芯片征途漫漫，“中国芯”短板何在？》《新京报》2018年4月19日）材料三：美国商务部日前对中国中兴通讯公司采取出口管制措施。
这一事件给中国科技企业敲响了警钟，促使科技界和更多企业以更长远眼光，谋求更自主、自强的发展。
近些年来，中国在全球高科技领域不断追赶的态势愈发突出，在不少领域实现“并跑”乃至“领跑”。
2020-2021学年度第一学期高三期末联考(文科数学)
第一学期期末高三联考数学科（文科）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
第一部分 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设I 是全集，I={0，1，2，3，4}，集合A={0，l ，2，3}，集合B={4}，则=B C A C I I Y（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3，4}D ．{0，1，4} 2．2)3(31i i +-= （ ）A ．i 4341+ B ．i 4341-- C ．i 2321+ D ．i 2321-- 3. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值是 （ ）A ．9B ．91C ．－9D ．－91 4．设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．π1255．如图，该程序运行后输出的结果为 （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．16 6．不等式组⎩⎨⎧≤≤-≥+--+210)1)(1(x y x y x 所表示的平面区域是 （ ） A ．一个三角形 B ．一个梯形 C ．直角三角形 D ．两个等腰直角三角形7．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表分数段 [)0,90 [)90,100 [)100,110 [)110,120 [)120,130 [)130,150人 数7681266那么分数在[)100,110中的频率和分数不满110分的累积频率约分别是 （ ） A ．0.18, 0.47 B ．0.47, 0.18 C ．0.18, 1 D ．0.38, 18．已知等比数列}{n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得1S ＝8，2S ＝20，3S ＝36，4S ＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 （ ） A ．1S B ．2S C ．3S D ．4S 9．已知 则实数 时均有 当 且a x f x a x x f a a x,21)()1,1(,)(,102<-∈-=≠>的取值范围是 （ ）A ．[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0Y B ．(]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C ．(]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D ．[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛， 441,0Y 10．定义两种运算：,22b a b a -=⊕a ⊗b=2)(b a -，则函数f(x)＝2)2(2-⊗⊕x x 为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（每小题5分，共20分，其中14小题为选做题，考生从给出的两题中选择其中一道作答，若两题全答的只计算前一题得分。
湖南省邵阳市2022-2023学年高一下学期第一次联考化学试题含解析
6.设NA为阿伏加德罗常数，下列说法正确的是
A.8g氦气含有分子数为NA
B.0.1mol/L的硫酸铝溶液中含 数目为0.3NA
C.在标准状况下，22.4LH2SO4所含的氧原子数为4NA
D.1molNa与足量O2反应，生成Na2O和Na2O2的混合物，钠失去NA个电子
【答案】D
【解析】
【详解】A．氦气是单原子分子，8g氦气物质的量为2mol，含有分子数为2NA，A错误；
2.下列化学用语正确的是
A.含12个中子的钠原子表示为12Na
B.Al3+的结构示意图为
C.次氯酸的电子式为
D.氯化镁的电子式为
【答案】D
【解析】
【详解】A．含12个中子 钠原子表示为23Na，A错误；
B．Al3+的结构示意图为 ，B错误；
C．次氯酸的电子式为 ，C错误；
D．氯化镁的电子式为 ，D正确；
C．菜刀上出现斑点，是Fe发生腐蚀生成了Fe2O3，有பைடு நூலகம்素化合价的升降，发生了氧化还原反应，C符合题意；
D．稀盐酸洒在大理石台面上产生大量气泡，发生反应 ，该反应无元素化合价升降，不是氧化还原反应，D不符合题意；
故选C。
4.下列物质的分类正确的是
A.氧气、水、干冰都属于氧化物B.NaCl、CuSO4、KMnO4都属于盐
C.将稀盐酸加入氧化镁中：MgO+2H+=Mg2++H2O
D.AlCl3溶液中加入足量的氨水：Al3++3NH3·H2O=Al(OH)3↓+3
【答案】A
【解析】
【详解】A．将铁粉加入氯化铁溶液中：2Fe3++Fe=3Fe2+，A错误；
2024届湖南省邵阳市高三第一次联考语文试卷(含解析)
2024届湖南省邵阳市高三第一次联考语文试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
羌笛是一种源于古羌人的民族民间乐器，传说是秦汉之际游牧在西北高原的羌人所发明，故名羌笛，传入中原后，形制经过了改变。
从南朝至唐宋的诗词中，经常能见到它的身影。
羌笛既是唐诗中最常出现的意象之一，也是我国历史上各民族交往交流交融的重要文化符号。
《说文解字》对“笛”字的解释中有“笛，七孔箭也。
从竹，由声。
羌笛三孔”之描述。
应劭《风俗通义》引《乐记》云：“笛者，涤也，所以荡涤邪秽，纳之于雅正也。
长二尺四寸，七孔。
其后又有羌笛，马融笛赋曰：‘近世双笛从羌起，羌人伐竹未及已，龙鸣水中不见已，截竹吹之音相似，剡其上孔通洞之，以当便易持，京君明贤，识音律，故本四孔加以一，君明所加孔后出，是谓商声五音毕’。
”“京君”即西汉末学者京房，马融认为正是京房加了一个最高音按孔，使羌笛成为五孔。
沈括的《梦溪笔谈》也对“羌笛”进行了描述：“笛有雅笛，有羌笛，其形制所始。
旧说皆不同，周礼笙师教篪篷。
或云汉武帝时，丘仲始作笛，又云，起于羌人。
后汉马融所赋，长笛空洞无底，剡其上孔五孔，一孔出其背，正似今之尺八。
李善为之注云：七孔长一尺四寸，此乃今之横笛耳。
”唐代李善还曾对“双笛”进行释解：“然羌笛与笛二器不同，长于古笛，有三孔，大小异，故谓之双笛。
”元代马端临《文献通考》在“双笛”后注谓“五孔”，给人感觉“双笛”为一件乐器，其形制乃双管并列，具备五孔。
近代黄侃在《文选平点》中亦云“曰近世双笛，别于古笛也”，将“双笛”与“古笛”视为两种乐器。
清代胡彦升在《乐律表微》中认为“横笛始于羌，与竖笛为双笛。
马融《长笛赋》谓‘近世双笛从羌起’者，古笛，非出于羌。
世有双笛，乃从羌之有横笛起耳”。
概言之，羌笛本是流行于古代西北羌人日常生活中的民间乐器，后来成为南朝至唐宋诗词中的重要意象，展现了羌笛所蕴含的丰富文化属性。
2020-2021学年高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析一
最新三校联考高考数学模拟试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}2．设z=1+i（是虚数单位），则=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．6．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．17．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣D．﹣8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（）A．B．C．D．210．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B．C．12 D．1611．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= ．14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）求：（1）数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45） a 0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，4} B．{3} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义先求出∁U A，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，3，4}，∴∁U A={2，4，6}，∴（∁U A）∩B={2，4}．故选：A．【点评】本题考查了集合的简单运算问题，是基础题目．2．设z=1+i（是虚数单位），则=（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把复数z=1+i代入后直接运用复数的除法运算．【解答】解：因为z=1+i，所以．故选B．【点评】本题考查了复数的代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．【专题】计算题．【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°故选B【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．4．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（）A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题；图表型．【分析】设11时到12时的销售额为x万元，因为组距相等，所以对应的销售额之比等于之比，也可以说是频率之比，解等式即可求得11时到12时的销售额．【解答】解：设11时到12时的销售额为x万元，依题意有，故选C．【点评】本题考查频率分布直方图的应用问题．在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积代表各组的频率．5．已知向量，其中，且，则向量和的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意和垂直关系可得向量夹角余弦值的方程，解方程结合夹角的范围可得．【解答】解：∵，且，∴•（﹣）=﹣=1﹣1×2×cos＜，＞=0，解得cos＜，＞=，∴向量和的夹角＜，＞=，故选：B．【点评】本题考查向量的数量积和夹角以及垂直关系，属基础题．6．各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用a4•a14=（a9）2，各项为正，可得a9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∵a4•a14=（a9）2，∴a9=2，∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a9）2=3，故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．7．若实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，最小在y轴上的截距最大，z有最小值为．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．9．若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω的值为（）A．B．C．D．2【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．【解答】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．【点评】本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B．C．12 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥A﹣BCD中，BD=4，AC=AB==，AD==6，S△ABC=×4×4=8．S△ADC==4，S△DBC=×4×4=8，在三角形ABC中，作CE ⊥E，连结DE，则CE==，DE==，S△ABD==12．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．11．已知F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F2关于直线y=对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出过焦点F2且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合a2+b2=c2，解出e即得．【解答】解：过焦点F2且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），联立渐近线方程y=与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．12．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减．x＞1，log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．【解答】解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈时，函数f（x）=sinπx单调递增，函数值由0增加到1；x∈时，函数f（x）=sinπx单调递减，函数值由1减少到0；x＞1，∴log2015x＞0，且函数f（x）=log2015x单调递增，log20152015=1．不妨设0＜a＜b＜c，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=1，2015＞c＞1，∴a+b+c的取值范围是（2，2016）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性与值域，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（ln3）= e ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．【解答】解：∵1＜ln3＜2，∴2＜ln3+1＜3，由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为：e．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．14．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球．【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则取得最大值时，内角A的值为．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】利用三角形面积公式和余弦定理可得，由三角函数恒等变换的应用化简可得，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：在△ABC中，由题意得：，由余弦定理得：，所以，即，所以当时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式和余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，（n∈N*）求：（1）数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由，当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）由（1）可得，．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴当n=1时，a1=S1=3．（*），显然，当n=1时也满足（*）式，综上所述，．（2）由（1）可得，．其前n项和①则②①﹣②得，==﹣2n•3n+1，∴．【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族人数占本组的频率第一组[25，30）120 0.6第二组[30，35）195 p第三组[35，40）100 0.5第四组[40，45） a 0.4第五组[45，50）30 0.3第六组[50，55）15 0.3（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】（1）由题意及统计图表，利用图表性质得第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，在有频率定义知高为=0.06，在有频率分布直方图会全图形即可．（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．【解答】解：（1）第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000．由题可知，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．频率直方图如下：（2）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为P=．【点评】本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目．19．如图，在四面体ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面EFC；（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C﹣ABD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF为棱锥的高．底面为直角△ABD，代入体积公式计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD，∵AD⊥BD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．又∵CF∩EF=F，CF⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面EFC．（Ⅱ）解：∵CF⊥BD，EF⊥CF，EF∩BD=F，BD⊂平面ABD，EF⊂平面ABD，∴CF⊥平面ABD，∵CB=CD=BD=1，∴，∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴，∴．【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4；（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4，即S=2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y 轴垂直．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设g（x）=x2，求证g（x）＞f（x）﹣2ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b的值；（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ），所以…由题设知f'（1）=2﹣b=0，∴b=2…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故只需证，设，…F′（x）=2x﹣1﹣+==令F′（x）=0，得…当时，F′（x）＜0，当时，F'（x）＞0，所以，…所以，g（x）＞f（x）﹣2ln2…【点评】本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义建立方程关系，以及构造函数利用函数单调性最值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】计算题．【分析】（1）把曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程是x2+y2=2，把曲线C2的参数方程化为普通方程是．（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，由此求得t的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程是x2+y2=2，表示以原点（0，0）为圆心，半径等于的圆．曲线C2的普通方程是，表示一条垂直于x轴的线段，包括端点．…（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当时，C1，C2没有公共点，解得，即t的取值范围为（0，）∪（，+∞）．…【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。
湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期拔尖创新人才早期培养第一次联考数学试卷
湖南省邵阳市2024-2025学年高一上学期拔尖创新人才早期培养第一次联考数学试卷一、单选题1．已知集合{}()2340,{ln 10}A x x x B x x =∈--<=->Z∣∣，则A B =I （ ） A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}32．“22a -<<”是“函数()()2lg 1f x x ax =-+的值域为R ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()log 35a y x =-P ，点P 在幂函数()f x 的图象上，则()9f =（ ） A ．13B C ．3 D ．94．已知120232023202212024,log 2022,log 2023a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>5．下列说法正确的是（ ）A ．不存在值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数B ．当正整数n 越来越大时，11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的底数越来越小，指数越来越大，11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数C ．如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅≤，那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点D ．如果sin 0x >，则x 是第一象限角或第二象限角6．已知函数()2log f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是（ ）A ．)⎡+∞⎣B ．()+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞7．已知函数()()lg5,31,31x x f x x f x +≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，则()2024lg2f +=（ ）A ．2025B ．3C ．13D ．148．已知函数()113f x x x x x=--++，若关于x 的方程()()()280f x a f x a -+-=有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．154,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．15,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．()4,0-D ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()cos2sin f x x x =+，则下列四个结论正确的有（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的值域为[]0,2C ．()f x 在5π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在[]2π,2π-上恰有6个零点10．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数的解析式为e e cosh 2x xx -+=（其中e 为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A ．sinh cosh y x x =⋅是奇函数B ．()cosh cosh cosh sinh sinh x y x y x y +=⋅-⋅C ．22(sinh )(cosh )1x x +=D ．函数sinh cosh xy x=的值域为()1,1- 11．设函数()f x 的定义域为(),πf x +R 为奇函数，()2πf x +为偶函数.当[]0,πx ∈时，()sin f x x =，则下列结论正确的有（ ） A ．5π12f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在7π3π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减C ．点()8π,0是函数()f x 的一个对称中心D ．方程()lg 0f x x +=有5个实数解三、填空题12．已知函数()()ln 3,e 3xf x x xg x x =+-=+-（其中e 为自然对数的底数）.设,m n 分别为f x ,g x 的零点，则e ln n m +=.13．计算22222cos 20cos 40cos 80sin 20cos 50cos50sin20++=++o o oo o o o.14．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.结合以上推广，现有函数()323f x x x =-，则()()()()()()2221012324f f f f f f -+-++++++=L L .四、解答题15．已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域； (2)解不等式：()()2231f x f x +≤+.16．已知函数()2cos 2cos 2f x x x x ωωω=-+，其中0ω>. (1)若函数()f x 在区间[]0,1内有且仅有3个零点，求ω的取值范围；(2)当1ω=时，若对任意实数1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在实数()20,x ∈+∞，使()22213mx x f x +≤成立，求实数m 的取值范围.17．已知定义在R 上的函数()h x 满足：①()12h =；②,x y ∀∈R ，均有()()()2h x h x y y x y --=-，函数()g x ax b =+，若曲线()g x 与()h x 恰有一个交点且交点横坐标为1，令()()()g x f x h x =.(1)求实数,a b 的值及()f x ；(2)判断函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性，不用说明理由；(3)已知120x x <<，且()()12f x f x =，证明：122x x +>.18．已知函数()πsin 4f x x =，()e e 2x xg x --=，其中e 为自然对数的底数.(1)若43πf α⎛⎫-= ⎪⎝⎭41πf α⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2)设函数()()ln h x x f x =+，证明：()h x 在()0,∞+上有且仅有一个零点0x ，且()()034g f x >-.19．已知两个函数()y f x =和()y g x =，记()f x 的最大值为M .若存在最小的正整数k ，使得不等式()g x kM ≤恒成立，则称()f x 是()g x 的“k 阶上界函数”.(1)若()[]31,1,24f x x x =∈-是()g x “k 阶上界函数”，求k 的值； (2)已知()()()()()cos21cos 1,2sin21sin h x a x a x t x a x a x =+-+=---，其中0a >. （i ）设()h x 的最大值为A ，求A ； （ii ）求证：()h x 是()t x 的“2阶上界函数”.。
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析
最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。
2021高考数学一轮复习课时作业47两条直线的位置关系与距离公式理
课时作业47 两条直线的位置关系与距离公式[基础达标]一、选择题1．[2020·天津七校联考]经过点(0,1)与直线2x －y ＋2＝0平行的直线方程是( )A ．2x －y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：设所求直线的方程为2x －y ＋a ＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a ＝0，所以a ＝1，故所求直线方程为2x －y ＋1＝0.故选B.答案：B2．[2020·湖南省邵阳市高三大联考]过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －7＝0C ．3x －2y －4＝0D ．3x ＋2y －8＝0解析：由题意，设直线方程为2x ＋3y ＋b ＝0，把(2,1)代入，则4＋3＋b ＝0，即b ＝－7，则所求直线方程为2x ＋3y －7＝0.答案：B3．[2020·广东江门一模]“a ＝2”是“直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ×a ＋1＝2×3，a ×－2≠2a ×2，即a ＝2或a ＝－3.又“a ＝2”是“a ＝2或a ＝－3”的充分不必要条件，所以“a ＝2”是“直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是( )A ．4B ．1C ．1或3D ．1或4解析：由题意，知4－m m －－2＝1，解得m ＝1. 答案：B 5．[2020·宁夏银川模拟]若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823C. 3D.833解析：由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， ∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823， 故选B.答案：B 6．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－20－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 答案：D7．[2020·四川凉山模拟]若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79B.13C.79或13 D ．－79或－13解析：由点A 和点B 到直线l 的距离相等，得|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，化简得6a ＋4＝－3a －3或6a ＋4＝3a ＋3，解得a ＝－79或a ＝－13.故选D. 答案：D8．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －4＝0D ．x ＋y ＝0解析：线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，∴直线l 的斜率k l ＝－1，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0.答案：C9．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，所以l 2的斜率为2.又l 2过点(－1,1)，所以l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得：y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．答案：D10．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0得交点坐标为(2,2)，当直线l 的斜率不存在时，易知不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，∵点(5,1)到直线l 的距离为10，∴|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3. ∴直线l 的方程为3x －y －4＝0.答案：C二、填空题11．平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为____________________．解析：设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)，则d ＝|－2－c |32＋42＝1， ∴c ＝3或c ＝－7，即所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0.答案：3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝012．[2020·山东夏津一中月考]过直线2x ＋y －1＝0和直线x －2y ＋2＝0的交点，且与直线3x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0得交点坐标为(0,1)．因为直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为－3，所求直线与直线3x ＋y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为13，则所求直线的方程为y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0. 答案：x －3y ＋3＝013．[2020·广东广州模拟]若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点________．解析：由题意知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于点(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)．答案：(0,2)14．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为____________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 答案：3x －2y ＋5＝0[能力挑战]15．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．解析：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，则点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，则点P 就是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝10，故所求的点P的坐标为(12,10)．。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为 ，试求甲同学在选答题阶段，得分 的分布列.
21．已知椭圆 的标准方程为 （ ），且经过点 和 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设经过定点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，若 ，求直线 的方程.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查比较指数、对数、幂的大小关系，是基础题.
5．C
【分析】
利用等差数列的通项公式可知 ，再利用 是 与 的等比中项，可列式 ，解方程可得答案.
【详解】
是公差为1的等差数列，
又 是 与 的等比中项，
，即 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的意义，考查学生的计算能力，属于基础题.
3．已知 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4．已知 ，则（）
A． B． C． D．
5．已知 是公差为1的等差数列，且 是 与 的等比中项，则 （）
A．0B．1C．3D．2
6．曲线 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
7．已知 为单位向量，且 ，则 （）
A．1B． C．2D．
8．已知曲线 ，则下面结论正确的是（）
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
2023 年邵阳市高三第一次联考数学参考答案与评分标准
2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准数㊀学一㊁单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.B2.Aʌ详解ɔ因为(2z +3)i =3z ,2z i +3i =3z ,3-2i ()z =3i ,所以z =3i 3-2i =3i (3+2i )(3-2i )(3+2i )=-6+9i 13=-613+913i ,z -=-613-913i ,故选:A .3.Aʌ详解ɔ母线长为1,设底面圆半径为r ,则2πr =π,ʑr =12,故圆锥的全面积为S =S 底+S 侧=π4+π2=3π4,故选:A .4.D ʌ详解ɔ因为|a ң+b ң|2=a ң2+2a ң㊃b ң+b ң2,|a ң-b ң|2=a ң2-2a ң㊃b ң+b ң2,以上两式相减可得,4a ң㊃b ң=|a ң+b ң|2-|a ң-b ң|2,所以|a ң+b ң|2=|a ң-b ң|2+4a ң㊃b ң=16+4=20,即|a ң+b ң|=25,故选:D .5.A ʌ详解ɔ从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6,抽到乙的概率是0.4,抽到甲车间正品的概率P 1=0.6ˑ(1-0.1)=0.54,抽到乙车间次品的概率P 2=0.4ˑ(1-0.05)=0.38,任取一件抽到正品的概率P =P 1+P 2=0.54+0.38=0.92.故选:A .6.A7.C ʌ详解ɔ令g x ()=e x -1-x ,则gᶄx ()=e x -1-1,令gᶄx ()>0,得x >1;令gᶄx ()<0,得x <1;所以g x ()在-ɕ,1()上单调递减,在1,+ɕ()上单调递增,故g x ()min =g 1()=0,又因为对于任意M >0,在-ɕ,1()总存在x =-M ,使得g -M ()=e -M -1+M >M ,在1,+ɕ()上由于y =e x -1的增长速率比y =x 的增长速率要快得多,所以总存在x =x 0,使得e x 0-1-x 0>M ,所以g x ()在-ɕ,1()与1,+ɕ()上都趋于无穷大;令h x ()=-x 2+2mx -1,则h x ()开口向下,对称轴为x =m ,所以h x ()在-ɕ,m ()上单调递增,在m ,+ɕ()上单调递增,故h x ()max =h m ()=m 2-1,因为函数f x ()=min e x -1-x ,-x 2+2mx -1{}有且只有三个零点,而g x ()已经有唯一零点x =1,所以h x ()必须有两个零点,则h x ()max >0,即m 2-1>0,解得m <-1或m >1,当m <-1时,h 1()=-12+2m ˑ1-1=-2+2m <0,则f 1()=min g 1(),h 1(){}=h 1()<0,即f x ()在x =1处取不到零点,故f x ()至多只有两个零点,不满足题意,当m >1时,h 1()=-12+2m ˑ1-1=-2+2m >0,则f 1()=min g 1(),h 1(){}=g 1()=0,所以f x ()在x =1处取得零点,结合图像又知g x ()与h x ()必有两个交点,故f x ()在-ɕ,1()与m ,+ɕ()必有两个零点,所以f x ()有且只有三个零点,满足题意;综上:m >1,即m ɪ1,+ɕ().故选:C .8.Dʌ详解ɔ如下图所示:取BC 的中点为W ,分别连接SW 和OᶄW ,因为SW ʅBC ,OᶄW ʅBC ,所以øSWOᶄ为S -BC -A 的二面角,SW =a 2-12a ()2=32a ,AW =a 2-12a ()2=32a ,所以AOᶄ=23AW =33a ,所以SOᶄ=a 2-33a ()2=63a ,在直角三角形SOᶄW 中,OᶄW =SW ()2-SOᶄ()2=36a ,所以cosøSWOᶄ=OᶄW SW =13所以二面角S -BC -A 的余弦值为13,所以二面角A -BC -D 的余弦值为-13,故A 正确因为棱长为a 的正四面体的高h =63a ,所以V =13㊃343a ()2㊃63㊃3a ()-4㊃13㊃34a 2㊃63a =23212a 3,故B 正确;设外接球的球心为O ,әABC 的中心为Oᶄ,әNPQ 的中心为Oᵡ,因为截角四面体上下底面距离为6a -63a =263a ,所以R 2-OᶄC 2+R 2-OᵡH 2=263a ,所以R 2-a 23+R 2-a 2=263a ,所以R 2-a 23=263a -R 2-a 2,所以R 2-a 23=83a 2+R 2-a 2-463a ㊃R 2-a 2,所以R 2=118a 2,所以S =4πR 2=112πa 2,故C 正确;由正四面体S -NPQ 中,题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形,4个边长为a 的正六边形构成,故S =4ˑ34a 2+4ˑ6ˑ34a 2=73a 2,故D 错误.故选:D .二㊁多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.ABDʌ详解ɔ因为函数f (x )=ð4i =1sin [(2i -1)x ]2i -1=sin x +sin3x 3+sin5x 5+sin7x7,定义域为R ,对于A ,f (π+x )=sin π+x ()+sin 3π+3x ()3+sin 5π+5x ()5+sin 7π+7x ()7=-sin x -sin3x 3-sin5x 5-sin7x 7=sin -x ()+sin -3x ()3+sin -5x ()5+sin -7x ()7=f -x (),所以函数f x ()的图象关于直线x =π2对称,故A 正确;对于B ,f (-x )=sin -x ()+sin -3x ()3+sin -5x ()5+sin -7x ()7=-sin x -sin3x 3-sin5x5-sin7x7=-f x (),所以函数f x ()为奇函数,图象关于点0,0()对称,故B 正确;对于C ,由题知f x +π()=-f x ()ʂf x (),故C 错误;对于D ,由题可知fᶄx ()=cos x +cos 3x +cos 5x +cos 7x ɤ4,故D 正确.故选:ABD .10.ABD ʌ详解ɔ对于A ,令x =y =0,代入已知等式得f 0()=f 0()g 0()-g 0()f 0()=0,得f 0()=0,再令y =0,x =1,代入已知等式得f 1()=f 1()g 0()-g 1()f 0(),可得f 1()1-g 0()[]=-g 1()f 0()=0,结合f 1()ʂ0得1-g 0()=0,g 0()=1,故A 正确;对于B ,再令x =0,代入已知等式得f -y ()=f 0()g y ()-g 0()f y (),将f 0()=0,g 0()=1代入上式,得f -y ()=-f y (),ʑ函数f x ()为奇函数,ʑ函数f 2x -1()关于点12,0()对称,故B 正确;对于C ,再令x =1,y =-1,代入已知等式,得f 2()=f 1()g -1()-g 1()f -1(),ȵf -1()=-f 1(),ʑf 2()=f 1()g -1()+g 1()[],又ȵf 2()=-f -2()=-f 1(),ʑ-f 1()=f 1()g -1()+g 1()[],ȵf 1()ʂ0,ʑg 1()+g -1()=-1,故C 错误;对于D ,分别令y =-1和y =1,代入已知等式,得以下两个等式:f x +1()=f x ()g -1()-g x ()f -1(),f x -1()=f x ()g 1()-g x ()f 1(),两式相加易得f x +1()+f x -1()=-f x (),所以有f x +2()+f x ()=-f x +1(),即:f x ()=-f x +1()-f x +2(),有:-f x ()+f x ()=f x +1()+f x -1()-f x +1()-f x +2()=0,即:f x -1()=f x +2(),ʑf x ()为周期函数,且周期为3,ȵf 1()=32,ʑf -2()=32,ʑf 2()=-f -2()=-32,f 3()=f 0()=0,ʑf 1()+f 2()+f 3()=0,ʑð2023n =1f n ()=f 1()+f 2()+f 3()+ +f 2023()=f 2023()=f 1()=32,故D 正确.故选:ABD.11.ACDʌ详解ɔ椭圆C 的离心率为e =c a=6-36=22设两条互相垂直的切线的交点为P x 0,y 0(),当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(ʃa ,b ),或(ʃa ,-b ).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是(x 0,y 0)(x 0ʂʃa ,且y 0ʂʃb ),所以可设曲线C 的过点P 的切线方程是y -y 0=k (x -x 0)(k ʂ0).由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k (x -x 0)ìîíïïï,得(a 2k 2+b 2)x 2-2ka 2(kx 0-y 0)x +a 2(kx 0-y 0)2-a 2b 2=0,由其判别式的值为0,得(x 02-a 2)k 2-2x 0y 0k +y 02-b 2=0(x 02-a 2ʂ0),因为k PA ,k PB (k PA ,k PB 为过P 点互相垂直的两条直线的斜率)是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以k PA ㊃k PB=y 02-b 2x 02-a 2,由此,得k PA ㊃k PB =-1⇔x 02+y 02=a 2+b 2,即C 的蒙日圆方程为:x 2+y 2=9;因为蒙日圆为长方形的外接圆,设r =OA =3,øAOB =θ,则矩形面积公式为S =4㊃12r 2㊃sin θ=18sin θ,显然sin θ=1,即矩形四条边都相等,为正方形时,S max =18.故答案为:ACD.12.ABDʌ详解ɔ对于A ,当x >0时,e x >1,令t =e x ,则t >1,g t ()=t -ln t ,ȵgᶄt ()=1-1t =t -1t,ʑ当t >1时,gᶄt ()>0恒成立,ʑg t ()在1,+ɕ()上单调递增;ȵt =e x 在0,+ɕ()上单调递增,ʑ根据复合函数单调性可知:g e x ()在0,+ɕ()上为增函数,A 正确;对于B ,当x >1时,ln x 2>ln 1=0,又a 为正实数,ʑax >a >0,ȵfᶄx ()=e x -1,ʑ当x >0时,fᶄx ()>0恒成立,ʑf x ()在0,+ɕ()上单调递增,则由f ax ()ȡf ln x 2()得:ax ȡln x 2,即a ȡ2ln xx,令h x ()=2ln x x x >1(),则hᶄx ()=21-ln x ()x 2,ʑ当x ɪ1,e ()时,hᶄx ()>0;当x ɪe ,+ɕ()时,hᶄx ()<0;ʑh x ()在1,e ()上单调递增,在e ,+ɕ()上单调递减,ʑh x ()max =h e ()=2e,ʑa ȡ2e ,则正实数a 的最小值为2e,B 正确;对于C ,ȵfᶄx ()=e x -1,ʑ当x <0时,fᶄx ()<0;当x >0时,fᶄx ()>0;ʑf x ()在-ɕ,0()上单调递减,在0,+ɕ()上单调递增;ʑf x ()min =f 0()=1,则t >1;不妨设x 1<x 2,则必有x 1<0<x 2,若x 1+x 2>0,则x 2>-x 1>0,等价于f x 2()>f -x 1(),又f x 2()=f x 1(),则等价于f x 1()>f -x 1();令F x ()=f x ()-f -x ()x <0(),则Fᶄx ()=e x +e -x -2,ȵx <0,ʑ0<e x <1,e -x >1,ʑe x +e -x >2e x ㊃e -x =2,即Fᶄx ()>0,ʑF x ()在-ɕ,0()上单调递增,ʑF x ()<F 0()=0,即f x ()<f -x (),ʑf x 1()<f -x 1(),可知x 1+x 2>0不成立,C 错误;对于D ,由f x 1()=g x 2()=t t >2(),x 2>x 1>0得:e x 1-x 1=x 2-ln x 2=e ln x 2-ln x 2=t t >2(),即f x 1()=f ln x 2()=t t >2(),由C 知:f x ()在-ɕ,0()上单调递减,在0,+ɕ()上单调递增;f 1()=e -1<2,ʑx 1>1,则x 2>x 1>1,ʑln x 2>0,ʑx 1=ln x 2,即e x 1=x 2,ʑln t x 2-x 1=ln t e x 1-x 1=ln t f x 1()=ln tt;令φt ()=ln t t t >2(),则φᶄt ()=1-ln tt 2,ʑ当t ɪ2,e ()时,φᶄt ()>0;当t ɪe ,+ɕ()时,φᶄt ()<0;ʑφt ()在2,e ()上单调递增,在e ,+ɕ()上单调递减,ʑφt ()max =φe ()=1e,即ln t x 2-x 1的最大值为1e,D 正确.故选:ABD.三㊁填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.128ʌ详解ɔx -2y ()3y -2z ()5z -2x ()7利用二项展开式的通项公式进行展开,设x -2y ()3项为k ,y -2z ()5项为n ,z -2x ()7项为m.展开后得C k 3x 3-k -2y ()k ㊃C n 5y 5-n -2z ()n ㊃C m 7y 7-m -2z ()m 对每一项进行合并得C k 3C n 5C m7-2()m +k +n x 3-k +m y 5-n +k z 7-m +n ,因为展开式中不含z ,所以7-m +n =0,又m 得取值为0,1,2,3,4,5,6,7{},n 得取值为0,1,2,3,4,5{},故得m =7,n =0.代入展开式得C k 3C 05C 77㊃-2()7+k x 10-k y 5+k =C k3-2()7+k x 10-k y 5+k ,又k 得取值为0,1,2,3{},分别带入后各项系数之和为C 03-2()7+C 13-2()8+C 23-2()9+C 33-2()10=-2()7+3㊃-2()8+3㊃-2()9+-2()10=128.故答案为:12814.π6ʌ详解ɔ设阴影左侧最高点为A ,右侧最高点为D ,过A作x 轴的垂线,垂足为B ,过D 作x 轴的垂线,垂足为C ,由题设可得四边形ABCD 为矩形且其面积为12ˑπ2,故1ˑθ=π4,故θ=π4,T =πʑw =2,故g x ()=sin 2x +π2+φ(),而g π6()=sin 2ˑπ6+π2+φ()=0,故2ˑπ6+π2+φ=k π,k ɪZ ,解得φ=k π-5π6,kɪZ ,而φ<π2,故φ=π6,故答案为:π6.15.y =-1,2ʌ详解ɔ由题意AB 所在的直线方程为:x 2+y 2+2x -4y -5()-x 2+y 2+2x -1()=0,即y =-1,因为圆x 2+y 2+2x -1=0的圆心O -1,0(),半径为r =2,所以圆心O -1,0()到直线y =-1的距离为1,所以AB =22-1=2.故答案为:y =-1,2ʌ详解ɔȵB 1P ң=x B 1A ң+y B 1C ң+z B 1D 1ң,且x +y +z =1,ʑP 在平面ACD 1上,设CD 1ɘC 1D =O ,连接B 1D ,AO ,且B 1D ɘAO =O 1,因为B 1C 1ʅ平面C 1D 1DC ,又CD 1⊂平面C 1D 1DC ,所以B 1C 1ʅCD 1,又CD 1ʅC 1D ,B 1C 1ɘC 1D =C 1,C 1D ⊂平面B 1C 1DA ,B 1C 1⊂平面B 1C 1DA ,所以CD 1ʅ平面B 1C 1DA ,B 1D ⊂平面B 1C 1DA ,所以CD 1ʅB 1D ,同理可得B 1D ʅAC ,又AC ɘCD 1=C ,AC ⊂平面ACD 1,CD 1⊂平面ACD 1,所以B 1D ʅ平面ACD 1,设正方体的棱长为1,则可知B 1-ACD 1为棱长为2的正四面体,所以O 1为等边三角形ACD 1的中心,由题可得AO =32ˑ2=62,得AO 1=23AO =63,所以B 1O 1=233,又ȵB 1P 与平面ACD 1所成角为π3,则B 1O 1O 1P =tan π3=3,可求得O 1P =23,即P 在以O 1为圆心,半径r =23的圆上,且圆在平面ACD 1内,由B 1D ʅ平面ACD 1,又ȵB 1D ⊂平面AB 1C 1D ,ʑ平面AB 1C 1D ʅ平面ACD 1,且两个平面的交线为AO ,把两个平面抽象出来,如图,作PM ʅAO 于M 点,过点M 作MN ʅAD 交AD 于N 点,连接PN ,ȵ平面AB 1C 1D ʅ平面ACD 1,PM ⊂平面ACD 1,平面AB 1C 1D ɘ平面ACD 1=AO ,ʑPM ʅ平面AB 1C 1D ,AD ⊂平面AB 1C 1D ,ʑPM ʅAD ,又MN ʅAD ,MN 与PM 为平面PMN 中两相交直线,故AD ʅ平面PMN ,PN ⊂平面PMN ,ʑAD ʅPN ,ʑøPNM 为二面角P -AD -B 1的平面角,即为角θ,设AM =x ,当M 与点O 1不重合时,在RtәPMO 1中,可求得PM =(23)2-(x -63)2=-x 2+263x -29,若M 与点O 1重合时,即当x =63时,可求得PM =PO 1=23,也符合上式,故PM =-x 2+263x -29,ȵMN ʅAD ,OD ʅAD ,ʑMN ʊOD ,ʑMN OD =AM AO,ʑMN =OD ˑAM AO =22x62=33x ,ʑtan θ=PMMN =-x 2+263x -2933x =3-291x()2+263ˑ1x ()-1令y =-291x()2+263ˑ1x ()-1,则y =-291x -362()2+2ɤ2,当1x =362,即x =69时等号成立,ʑtan θ=3㊃y ɤ3ˑ2=6,故tan θ的最大值是6.四㊁解答题17.(10分)ʌ详解ɔ(1)因为a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +2ˑ3n n ɪN ∗(),b n =a n +a n +1,可得b 1=a 1+a 2=3,a n +2-a n =2ˑ3n ,(1分)……………………………………………又b n +1-b n =a n +1+a n +2-a n +a n +1()=a n +2-a n =2ˑ3n ,(2分)………………………则当n ȡ2时,b n =b 1+b 2-b 1()+b 3-b 2()+ +b n -b n -1()=3+2ˑ3+2ˑ32+ +2ˑ3n -1=1+21-3n ()1-3=3n ,(4分)…………………………………………………………上式对n =1也成立,所以b n =3n ,n ɪN ∗;(5分)…………………………………………(2)由b n c n =4(n +1)4n 2-1n ɪN ∗(),可得c n =4n +4n =1n -1-1n ,(7分)………………………则数列c n {}的前n 项和为130ˑ1-131ˑ3+131ˑ3-132ˑ5+ +13n -1(2n -1)-13n (2n +1)(9分)…………………=1-13n (2n +1).(10分)……………………………………………………………………18.(10分)ʌ详解ɔ(1)已知2m +n ()sin β=3n cos β,由正弦定理可得2sin αsin β+sin 2β=3sin βcos β,由sin βʂ0,(1分)……………………………………ʑsin α=32cos β-12sin β⇒sin α=sin π3-β(),(3分)…………………………………α,βɪ0,π3(),π3-βɪ0,π3(),(4分)………………………………………………………α=π3-β,α+β=π3⇒øAPB =2π3.(5分)…………………………………………………(2)在әAPB 中,由余弦定理得知:AB 2=AP 2+BP 2-2AP ㊃BP ㊃cosøAPB ㊀即12=AP 2+4+2AP ⇒AP =2(8分)………………………………………………………S әABC =S әAPB +S әAPC +S әBPC =12ˑ2ˑ2ˑsin 2π3+12ˑ2ˑ3ˑsin θ+12ˑ2ˑ3ˑsin (4π3-θ)(9分)……………=3+3[sin θ+sin (4π3-θ)]=3+3(32sin θ-32cos θ)(10分)…………………=3+3sin (θ-π6)(0<θ<π)(11分)……………………………………………………ʑ当θ=2π3时,(S әABC )max =3+3.(12分)………………………………………………19.(12分)ʌ详解ɔ(1)点N 为DE 中点,证明如下:如图,连接BD ,MN ,(1分)…………………………………………因为M ,N 分别为BE ,DE 的中点,所以MN 为әEBD 的中位线,所以MN ʊBD ,(2分)………………又MN ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以MN ʊ平面ABCD.所以N 为DE 的中点时满足条件;(4分)…………………………(2)取AB 的中点O ,连接OE ,因为侧面ABEF 为菱形,且øEBA =60ʎ,所以在әEBO 中,EO 2=BO 2+EB 2-2BO ㊃EB cos 60ʎ,解得EO =3BO ,所以OE 2+OB 2=BE 2,即OE ʅAB.(5分)…………………………………………………又因为平面ABEF ʅ平面ABCD.平面ABEF ɘ平面ABCD =AB ,OE ⊂平面ABEF 所以OE ʅ平面ABCD ,过O 作AB 的垂线,交BD 于H 并延长,分别以OH ,OA ,OE 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ,(6分)…………………………………………………………………………………………设AD =4,则AB =BC =12AD =2,故E (0,0,3),D (4,1,0),A (0,1,0),F (0,2,3),B (0,-1,0),则M 0,-12,32(),MA ң=0,32,-32(),MD ң=4,32,-32(),EF ң=(0,2,0),ED ң=(4,1,-3).设平面MAD 的法向量为m ң=x 1,y 1,z 1().则m ң㊃MA ң=32y 1-32z 1=0m ң㊃MD ң=4x 1+32y 1-32z 1=0ìîíïïïï即x 1=0z 1=3y 1{令y 1=1,则m ң=(0,1,3),(8分)……设平面EFD 的法向量为n ң=x 2,y 2,z 2(),则n ң㊃EF ң=2y 2=0n ң㊃ED ң=4x 2+y 2-3z 2=0{,即y 2=04x 2=3z 2{令z 2=43,则x 2=3,则n ң=(3,0,43),(10分)………………………………………………………………………………………cos m ң,n ң⓪=m ң㊃n ң|m ң||n ң|=25719,(11分)……………………………………………………故:平面MAD 与平面EFD 所成二面角的正弦值为13319.(12分)………………………20.(12分)ʌ详解ɔ(1)X 可取1,2, ,8,9,(1分)……………………………………………则P (X =k )=A k -19A k 10=110,k =1,2, ,8,(3分)……………………………………………P (X =9)=A 89A 810=15,(5分)…………………………………………………………………所以E (X )=110ˑ(1+2+ +8)+15ˑ9=275.(6分)…………………………………(2)把采用方案乙,直到能确定感染人员为止,检测的次数记为Y ,则Y 可取2,3,4,5.P (Y =2)=12ˑ15+12ˑ15=15,(7分)…………………………………………………P (Y =3)=12ˑ45ˑ14+12ˑ45ˑ14=15,(8分)………………………………………P (Y =4)=12ˑ45ˑ34ˑ13+12ˑ45ˑ34ˑ13=15,(9分)……………………………P (Y =5)=1ˑ4ˑ3ˑ2+1ˑ4ˑ3ˑ2=2,(10分)……………………………2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)㊀第11㊀页(共14页)则E (Y )=15ˑ(2+3+4)+25ˑ5=195.(11分)…………………………………………设每次检测的费用均为m m >0(),则方案甲的平均费用为275m ,方案乙的平均费用为195m ,因为275m >195m ,所以应选择方案乙.(12分)………………………………………………21.(12分)ʌ详解ɔ(1)[方法一]:利用二次函数性质求最大值由题意知,F 0,p 2(),设圆M 上的点N x 0,y 0(),则x 20+y 0+3()2=1.所以x 20=1-y 0+3()2-4ɤy 0ɤ-2().(1分)……………………………………………从而有|FN |=x 20+p2-y 0()2=1-y 0+3()2+p2-y 0()2=-(p +6)y 0-8+p 24.因为-4ɤy 0ɤ-2,所以当y 0=-4时,|FN |max =p 24+4p +16=5.(2分)……………又p >0,解之得p =2,因此p =2.(3分)……………………………………………………抛物线C 的方程为:x 2=4y (4分)…………………………………………………………[方法二]ʌ最优解ɔ:利用圆的几何意义求最大值抛物线C 的焦点为F 0,p 2(),FM =p2+3,(1分)………………………………………所以,F 与圆M :x 2+(y +3)2=1上点的距离的最大值为p2+3+1=5,解p =2(3分)抛物线C 的方程为:x 2=4y (4分)…………………………………………………………(2)[方法一]:切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得yᶄ=x2,设点A x 1,y 1()㊁B x 2,y 2()㊁P x 0,y 0(),直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1(),即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0(5分)………同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0{,所以,点A ㊁B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,(7分)…………………………………………联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24ìîíïïï,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)㊀第12㊀页(共14页)由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以,AB =1+x 02()2㊃x 1+x 2()2-4x 1x 2=x 20+4()x 20-4y 0(),(8分)………点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4,(9分)…………………………………………所以,S әPAB=12AB ㊃d =12x 20+4()x 2-4y 0()㊃x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0()32,(10分)……………………………………………………………………………………………ȵx 20-4y 0=1-y 0+3()2-4y 0=-y 20-10y 0-8=-y 0+5()2+17,由已知可得-4ɤy 0ɤ-2,所以,当y 0=-4时,әPAB 的面积取最大值12ˑ(24)32=32.(12分)………………………………………………………………………………………[方法二]ʌ最优解ɔ:切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0.(7分)………………………………………………过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ,则Q x 0,x 202-y 0().(8分)………………………………S әPAB =12|PQ |㊃x 1-x 2=1212x 20-2y 0()㊃4x 20-16y 0=12x 2-4y 0()32.(9分)……P 点在圆M 上,则x 0=cos α,y 0=-3+sin α,{(10分)………………………………………………S әPAB =12x 20-4y 0()32=12cos 2α-4sin α+12()32=12-(sin α+2)2+17[]32.(11分)………………………………………………………………………………………………故当sin α=-1时әPAB 的面积最大,最大值为32.(12分)……………………………[方法三]:直接设直线AB 方程法设切点A ,B 的坐标分别为A x 1,x 214(),B x 2,x 224().设l AB :y =kx +b ,联立l AB 和抛物线C 的方程得y =kx +b ,x 2=4y ,{整理得x 2-4kx -4b =0.(5分)…………………………………………………………………………………………判别式Δ=16k 2+16b >0,即k 2+b >0,且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b.(6分)………………抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,有yᶄ=x2.则l PA :y -x 214=x 12x -x 1(),整理得y =x 12㊃x -x 214,同理可得l PB :y =x 22㊃x -x 224.(7分)………………………………………………………………………………………………2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)㊀第13㊀页(共14页)联立方程y =x 12㊃x -x 214,y =x 22㊃x -x 224,ìîíïïïï可得点P 的坐标为P x 1+x 22,x 1x 24(),即P (2k ,-b ).(8分)………………………………………………………………………………………………将点P 的坐标代入圆M 的方程,得(2k )2+(-b +3)2=1,整理得k 2=1-(b -3)24.(9分)………………………………………………………………………………………由弦长公式得|AB |=1+k 2x 1-x 2=1+k 2㊃x 1+x 2()2-4x 1x 2=1+k 2㊃16k 2+16b.点P 到直线AB 的距离为d =2k 2+2b k 2+1.(10分)…………………………………………所以S әPAB =12|AB |d =1216k 2+16b ㊃2k 2+2b=4k 2+b ()3=41-(b -3)24+b[]3=4-b 2+10b -84()3,(11分)……………………………………其中y P =-b ɪ[-4,-2],即b ɪ[2,4].当b =4时,S әPAB ()max =32.(12分)…………………………………………………………22.(12分)解:(1)由题意得函数的定义域为(0,+ɕ)fᶄ(x )=a -a 2+1x +1x 2=(a -a 2)x 2+x +1x 2=(ax +1)[(1-a )x +1]x 2(1分)…………①当a <0时,x ɪ(0,-1a )时,fᶄ(x )>0,f (x )在(0,-1a)单调递增,x ɪ(-1a ,+ɕ)时,fᶄ(x )<0,f (x )在(-1a,+ɕ)单调递减;(2分)……………………②当0ɤa ɤ1时,fᶄ(x )>0恒成立,f (x )在(0,+ɕ)上单调递增;(3分)………………③当a >1时,x ɪ(0,1a -1)时,fᶄ(x )>0,f (x )在(0,1a -1)单调递增,x ɪ(1a -1,+ɕ)时,fᶄ(x )<0,f (x )在(1a -1,+ɕ)单调递减;(4分)…………………综上,当a <0时,f (x )在(0,-1a )单调递增,在(-1a,+ɕ)单调递减;当0ɤa ɤ1时,fᶄ(x )>0恒成立,f (x )在(0,+ɕ)上单调递增;当a >1时,f (x )在(0,1a -1)单调递增,在(1a -1,+ɕ)单调递减.(5分)………………(2)当a =1时,g (x )=xf (x )+x 2+1=x 2+x ln x (6分)…………………………………ʑgᶄ(x )=2x +ln x +1,ʑgᶄ(x )单调递增,又gᶄ(12)=2-ln 2>0,gᶄ(16)=43-ln 6<0所以存在唯一的x 0ɪ(16,12),使得gᶄ(x 0)=2x 0+ln x 0+1=0(7分)…………………2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)㊀第14㊀页(共14页)且当x ɪ(0,x 0)时,gᶄ(x )<0,g (x )单调递减;当x ɪ(x 0,+ɕ)时,gᶄ(x )>0,g (x )单调递增;(8分)……………………………………所以g (x )min =g (x 0)=x 02+x 0ln x 0=x 02+x 0(-2x 0-1)=-x 02-x 0,(9分)………设φ(x 0)=-x 02-x 0,x 0ɪ(16,12),则φ(x 0)在(16,12)上单调递减,所以φ(12)<g (x 0)<φ(16),即-34<g (x 0)<-736,(10分)…………………………若关于x 的不等式t ȡg (x )有解,则t ȡ-34,又t 为整数,所以t ȡ0所以存在整数t 满足题意,且t 的最小值为0.(12分)……………………………………。
2021-2022学年湖南省邵阳市雨山中学高三语文联考试卷含解析
2021-2022学年湖南省邵阳市雨山中学高三语文联考试卷含解析一、现代文阅读（35分，共3题）1. 阅读下面的文字，完成下列小题。
“古风”一词特指古代风尚，古人风度。
时下所说的“古风”，是近年来因网络传播而流行起来的一个新鲜词汇。
其以时间为标识，试图凸显“古今”之分。
古风作品是部分小众群体对传统文化产生向往后，结合现代元素所创造出来的一种较为直接和表面的仿古风格作品的统称。
其涉及的范围广泛，包含诗词、音乐、绘画、服饰、建筑等方面。
其中，音乐以其受众面广等诸多优势，成为古风作品中影响最为突出的表现形式。
古风音乐最初是由古风爱好者和仙侠游戏粉丝群体以音乐为载体抒发怀古之情而进行的自发性创作，是当今网络盛行的一种具有新型音乐风格的音乐。
其依附于游戏、小说和古典诗词存在，追求故事性和画面感。
古风音乐的创作手法多以中国传统音乐元素与现代音乐表现手法相结合。
近日，一些90后将白居易的长篇乐府诗《琵琶行》谱曲演唱并上传于网络之后，获得大批青少年网友点赞。
甚至有网友留言说，能不能将高考语文必背古诗词全部演绎成歌。
但这首歌曲的意义并不在于对应试的帮助，这种融合了网络技术的传播方式对传统文化所进行的创新，适应了青少年群体的生活、学习和思维方式，为传统文化的传播拓宽了新的、也是最为重要的受众群体范围。
移动网络的便捷，切实弥补了传统媒介信息传播的不足，给人以更多的选择和自由空间。
在网络音乐界，有越来越多的原创音乐人和音乐团队致力于融合古体与现代诗词的文字精华，打造出富有现代气息并不失古韵的音乐作品，呈现创作者所理解的中国式美感。
这些青年创作人对古风的推崇，体现了其对于民族自信心的追寻，是一种渴望通过“尚古”而完成的自我建构与文化认同。
网络不是将电脑连在一起，而是将人连在了一起。
健康的大众文化能以通俗的形式承载高雅的内容。
在知识界探讨传统与现代、东方与西方等传承与弘扬传统文化中不可回避的问题之时，正如古风歌曲《琵琶行》所呈现的那样，网友的“自发”“自转”行为，为传承与创新传统文化提供了新的启示。
2024-2025学年邵阳市高三语文上学期第一次联考试卷附答案解析
2024-2025学年邵阳市高三语文上学期第一次联考试卷试卷满分150分。
考试时间150分钟。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5小题。
材料一：2024年7月10日，“萝卜快跑”遽然登上热搜。
武汉市交通运输局向媒体表示，“萝卜快跑”在武汉投放了400多辆无人车。
支持者为AI技术的运用欢呼，反对者则对无人车的高歌猛进表现出不安和抵触情绪。
有出租车司机联名求助“给一条活路”。
10公里3.9元、L4级自动驾驶技术、不拒载、车内无异味……萝卜快跑着实不简单。
但随着时间的推移，在出租车司机或网约车司机群体里，嘲讽萝卜快跑无人车不善“变通”的声音也高了起来，甚至盖过了最初的“恐惧感”。
7月16日前后，网传萝卜快跑停运，但官方回应称，武汉系订单被自动取消，而合肥系技术原因需要调整。
短短十几天工夫，情绪的落差之大，观点的纷繁复杂，也折射着萝卜快跑无人车在极速发展过程中的一丝“震颤”。
但显然，当无人车恪守规则意识“不争不抢”“安全第一”却让不少人类司机感到不适应时，我们应该展开的思考显然超越了技术层面。
首先，无人车是新质生产力的典型代表。
不必讳言，它在一定程度上直接冲撞了传统产业，对于传统产业的劳动者形成直接的“威胁”。
有人说，对于新技术，就该无条件地欢迎，“有什么好嚎的？”理由是，火车和汽车代替马车时，人的感受并不重要。
这当然是一种事实，但另一个事实是，被颠覆的传统产业的劳动者在短暂的痛苦之后，从各个方面适应了残酷的现实，并重新找到了生存所需要的岗位。
争议开启的思考是有益的：发自传统产业深处的痛感，是在“呼唤”一种良性的关系，这就是：在新技术力量“攻城掠地”之时，也要允许和倡导温情的力量进行某种改善和修补。
具体而言，关键是在政策层面保持开放和引导的态度。
既要允许“先行先试”，从基础设施建设等方面提供帮助，也要抓紧完善相关规则，加强监管，让无人车在公共交通领域里规范地发挥作用，不至于“裸奔”。
湖南省邵阳市2021学年-有答案-高三上学期第一次联考语文试题
湖南省邵阳市2021学年高三上学期第一次联考语文试题一、现代文阅读)1.阅读下面文本，完成下列各题。
技术时代的文化问题技术一方面提高了生产力，丰富了人的日常生活，但另一方面也导致了技术与人文生活之间的日益分裂。
我们知道在古代社会，科学与人文尚未明显分化，因而是能够融洽共存的，譬如中国古代的周王官学就明确要求学生掌握六种基本才能，即“六艺”——礼、乐、御、射、书、数。
这其中的“御”“射”就是一种技术要求。
古时候人被要求“全面发展”，既要懂礼，又要懂乐，还要懂得射箭、赶车、书法、数学等知识。
古希腊，数学、几何学是被归为人文学科领域的。
由此可见自然科学与人文原本是整个人类的知识之树统一的整体。
这个大树上既有科学，又有技术以及人文。
要从人的发展与社会的实际需要去开发人的潜质，塑造人格。
这就为古代人的“全面发展”奠定了物质前提，每个人能够学习到各种技能，以适应有机的社会生活。
唯如此，古希腊才涌现出亚里士多德这样的百科全书式的思想家。
但是随着生产力的发展和科学技术的不断进步，社会分工不断细化。
一方面，分工提高了生产力，生产出了更多的物质财富和精神产品，体现着社会的发展程度；但另一方面，分工却又将人束缚在某个固定的职位上，无暇顾及其他，久而久之导致了人的片面性发展。
而且，人文学科与自然科学开始了越来越分裂的态势，自然科学越来越专业化，技术理性主宰着自然科学的发展，人文关怀让位于商业利润以及人的各种欲望追求。
当工业技术文明处在上升的时期，人类欢呼雀跃，憧憬着理性与技术能让人类渐入佳境，过上美好生活。
但冷静思考我们会看到，人类性在今天也的确产生了诸多的社会问题。
有人曾统计，20世纪死于交通事故的人数远高于20世纪死于战争的人数。
科学技术这把双刃剑并不是包治社会百病的良药，不能包打天下。
因为它只能解决日常生活中的有限问题，而人类生活中的更多问题如精神与社会问题，科学技术常常是无能为力的。
人是一种二重性存在，我们每个人既有肉体，也有心灵。
湖南省邵阳市2021-2022学年高三上学期第一次联考数学试题
一、单选题二、多选题1. 世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）A ．磅B．磅C．磅D．磅2. 林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于（ ）A ．一级B ．二级C ．三级D ．不是古树3. 设，为复数，则下列说法正确的为（ ）A ．若，则B．若，则，互为共轭复数C ．若，为虚数单位，则为纯虚数D ．若，则4.若为纯虚数，则实数的值为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的部分图象如图所示，若，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，6. 点和是双曲线的两个焦点，则A．B ．2C．D ．47. 已知向量，，若，则（ ）A．B．C ．3D ．58. 已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（ ）A．B．C．D．9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列说法不成立的是（ ）A ．若且，则B ．若，则C ．若，则D ．若且，则湖南省邵阳市2021-2022学年高三上学期第一次联考数学试题湖南省邵阳市2021-2022学年高三上学期第一次联考数学试题三、填空题四、解答题10.若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（ ）A．B ．的最大值为4C．的单调递减区间为D ．若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为11.已知函数部分图像如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位到的图像，则下列关于的成立是（）A ．图像关于y 轴对称B．图像关于中心对称C．在上单调递增D ．在最小值为12. 一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）A ．事件，为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件C．D．13. ______．14.若，，则的值为______．15. 如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中， BB 1⊥AB ，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ，则△APC 1周长的最小值是___________.16. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的单调递增区间．17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．18. 已知椭圆C：过点，点B为其上顶点，且直线AB斜率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足．(1)求角C的大小；(2)若，求的面积．20. 由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题（1）完成列联表，并回答“是否有的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.了解情况了解不了解合计性别男生女生合计100（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为，求出的分布列及数学期望.附：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82821. 某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为．①；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．。
2020-2021学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期11月联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期11月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，{}|12=-<<B x x ，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】B【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】解：∵{}1,2A =，{}|12=-<<B x x ，∴{}1A B ⋂=， 故选：B ．2．命题“x N ∀∈，20x x +>”的否定是（ ） A ．x N ∀∉，20x x +< B ．x N ∀∈，20x x +≤ C ．x N ∃∈，20x x +< D ．x N ∃∈，20x x +≤【答案】D【分析】根据全称命题的否定的结构特点写出即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，命题“x N ∀∈，20x x +>”为全称命题， 它的否定是：x N ∃∈，20x x +≤. 故选：D ．3．设()3,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，则()()1f f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代入，即可求出函数值. 【详解】()3,01,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，()11∴-=f ，()()()11134∴-==+=f f f ，故选：A ．4．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．33a b >C ．21a b -<D ．11a b< 【答案】B【分析】利用不等式的性质，结合函数的单调性对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ，当0b a <<，22a b <，故A 错误；对于B ，由3y x =在R 上单调递增，若a b >，则33a b >，故B 正确；对于C ，a b >，0a b ∴->，由2x y =在R 上单调递增，0221-∴>=a b ，故C错误； 对于D ，11b a a b ab --=，当0a b >>时，0,0-<<b a ab ，0b aab ->，即11a b>，故D 错误. 故选：B5．已知:1p x >，:1q x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解出1x >即可判断.【详解】由1x >解得1x <-或1x >， 因此p 是q 的必要不充分条件. 故选：B ．6．函数1y x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用分类讨论思想写出函数的解析式，再根据解析式选出图像即可.【详解】由2,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，221,011,0x x y x x x x ⎧+≥∴=+=⎨-<⎩， 根据函数解析式画出函数图像，如选项B 所示， 故选：B ．7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时()23f x x x =-，则不等式()0f x <的解集是（ ） A ．()0,3 B ．()3,+∞C ．()(),30,3-∞-D ．()()3,03,-⋃+∞【答案】C【分析】先解当0x >时，()0f x <的解集，由()f x 是奇函数，求出当0x <时，()f x 的解析式，再解()0f x <，取并集即为所求.【详解】当0x >时，()23f x x x =-，()2300<⇒-<f x x x ，解得：03x <<，又()f x 是奇函数，图像关于原点对称，当0x <时，()23f x x x =--，()2300⇒-<<-x x f x ，解得：3x <-，故不等式()0f x <的解集是()(),30,3-∞-故选：C ．8．已知m ，R n ∈，且有222m n m n ++=，则12m n m n ++++的最小值是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【分析】由题设结合基本不等式可知24m n +≥，即2m n +≥，再结合不等式的性质可知结论. 【详解】20,20>>m n ，利用基本不等式知2222222++≥⋅=m n m n m n ，又222m n m n++=，()2224224++++∴≥⇒≥⨯⇒≥m nm n m n m n ，即2m n +≥，当且仅当1m n ==时等号成立．由不等式的同向可加性知：2122127m n m n ++++≥++=． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，解答本题的关键是利用基本不等式转化已知条件得到24m n +≥，即2m n +≥，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，属于基础题.二、多选题9．下列命题中是假命题的有（ ） A ．函数()1f x x x=+的最小值为2 B ．若21x ≤，则1x ≤ C ．不等式210ax ax 对任意R x ∈恒成立，则实数a 的范围是()4,0-D ．若0a b >>，则c c a b< 【答案】ACD【分析】A.取1x =-判断；B.解不等式21x ≤判断；C 由0a =时判断；D 取0c ≤时判断.【详解】A.当1x =-时, ()2f x =-,故错误； B.因为21x ≤，解得11x -≤≤,故正确； C 当0a =时，不等式显然恒成立，故错误； D 当0c ≤时，c ca b≥，故错误． 故选：ACD ．10．已知集合{}2|1A x y x ==+，{}2|1B y y x ==+，下列关系正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ≠C ．AB A = D ．A B B =【答案】BD【分析】化简集合A ,B ,再逐项判断即可得解. 【详解】化简得R A =，[)1,B =+∞， 所以B A ⊆，所以A B ≠，A B B =，故选：BD ．11．关于函数()()21R xf x m m =--∈，下列结论正确的有（ ）A ．若01m <≤，则()f x 的图象与x 轴有两个交点B ．若1m ，则()f x 的图象与x 轴只有一个交点C ．若0m <，则()f x 的图象与x 轴无交点D ．若()f x 的图象与x 轴只有一个交点，则1m 【答案】BC【分析】作出21xy =-的图象,平移21xy =-的图象，可得m 取不同值时()f x 的图象与x 轴的交点的个数.【详解】()f x 的图象可由21xy =-通过上下平移得到，作出21xy =-的图象如下图：可知下移小于1个单位则()f x 图象与x 轴有两个交点，所以A 错误； 下移超过1个单位，则只有一个交点，故B 正确； 若上移则没有交点，所以C 正确；只有一个交点时，显然可以不平移，或者下移超过1个单位，故D 错误． 故选：BC ．12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭，当10x -<<时，()0f x >，则以下结论正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 为单调递减函数D ．()f x 为单调递增函数【答案】ABC【分析】A.令0x y ==求解判断；B.令y x =-求解判断；CD.令1x x =，2y x =-，且12x x <，由()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-=⎪-⎝⎭判断其符号即可.【详解】令0x y ==得()()()000f f f +=，即得()00f =，A 正确；在定义域范围内令y x =-得()()()00f x f x f +-==，即得()f x 是奇函数，B 正确；令1x x =，2y x =-，且12x x <，所以()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，又120x x -<且111x -<<，211x -<<，所以()()()()1221121110x x x x x x ---=+->，即1212101x x x x --<<-，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是单调减函数，C 正确，D 错误．故选：ABC ．三、填空题13．)102419-⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】52【分析】运用指数幂运算公式进行运算即可.【详解】)1102249351119422-⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：5214．已知幂函数()R y m x m α=⋅∈的图象过点()，则m α+=______.【答案】53【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.【详解】由函数为幂函数知1m =，又代入点得(2α=，即31222α=，解得23α=，所以函数为23y x =，所以25133m α+=+=．故答案为：5315．股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券，它可以作为买卖对象和抵押品，是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌，在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%，当日上涨10%称为涨停，当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元，若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天，则4天后每股的价格是______元. 【答案】1470.15【分析】根据题意列出关系式：()()221500110%110%⨯+⨯-，计算即可求解. 【详解】依题意可知，四天后的价格为()()221500110%110%1470.15⨯+⨯-=． 故答案为：1470.1516．已知函数()22f x x kx =+-，若对于任意的1x 、2x 、352,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形，则实数k 的取值范围为______.【答案】1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】本题首先可根据题意得出当52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x >恒成立，即2k x x >-恒成立，解得1k >-，然后根据二次函数性质得出()f x 在522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增以及()min f x 和()max f x 的值，最后根据三个值中两较小值的和大于最大值即可得出结果. 【详解】由题意易知，当52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x >恒成立， 即220x kx +->在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，化简为2k x x>-恒成立， 因为函数2=-y x x 在52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以max 21x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1k >-， 因为二次函数()22f x x kx =+-的对称轴为122k x =-<，所以()f x 在522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，()()min 222f x f k ==+，()max 5517224f x f k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，要使以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段能围成三角形， 只需三个值中两较小值的和大于最大值， 即()51722224k k +>+，解得16k >，综上所述，实数k 的取值范围为1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 故答案为：1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查二次函数性质，能否根据题意得出()1f x 、()2f x 、()3f x 三个值中两较小值的和大于最大值是解决本题的关键，考查二次函数在区间上的单调性以及最值的判断，考查计算能力，是中档题.四、解答题17．已知全集U =R ，集合5|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}|4,0B x a x a a =≤≤>. （1）求UA ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|1U A x x =≤-或}5x >；（2）50,4⎛⎤⎥⎝⎦． 【分析】（1）解分式不等式求出集合A ，再根据集合的补运算即可求解. （2）根据集合的包含关系可得1a >-且45a ≤，解不等式即可. 【详解】（1）依题意化简得{}|15A x x =-<≤， 又全集U =R ，所以{|1UA x x =≤-或}5x >．（2）因为{}|4,0B x a x a a =≤≤>，B A ⊆， 所以1a >-且45a ≤， 解得514a -<≤，又0a >，所以a 的取值范围是50,4⎛⎤⎥⎝⎦．18．已知二次函数()224f x x ax =++.（1）若函数()f x 在区间3,2单调，求实数a 取值范围；（2）若函数()f x 是偶函数，函数()()1g x f x =+，[]4,6x ∈-，求函数()g x 的值域.【答案】（1）(][),23,-∞-+∞；（2）[]4,53． 【分析】（1）求出二次函数的单调区间，根据题意只需3a -≤-或2-≥a ，即求. （2）根据题意可得0a =，从而求出()()214g x x =++，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为()f x 在(],a -∞-上递减，在[),a -+∞上递增， 所以()f x 要在3,2单调需满足3a -≤-或2-≥a ，解得a 的取值范围是(][),23,-∞-+∞．（2）由()f x 偶函数得0a =，所以()24f x x =+， 所以()()214g x x =++，[]4,6x ∈-， 所以()g x 在[]4,1--上递减，在(]1,6-上递增， 又()14g -=，()653g =，()413g -=， 所以()g x 值域是[]4,53． 19．已知a ，R b ∈.（1）求证：222(1)a b a b +≥+-； （2）若0a >，0b >，3a b +=，求证：14914a b ++≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）用比较法进行证明即可；（2）把3a b +=变形为()14a b ++=，然后运用基本不等式进行证明即可. 【详解】（1）()()()()()222222212121110a b a b a a b b a b +-+-=-++-+=-+-≥，当且仅当1a b ==时等号成立，所以222(1)a b a b +≥+-，当且仅当1a b ==时等号成立；（2）由条件有()14a b ++=，且0a >，10+>b ，又()141141141514141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()119554444⎛⨯+=⨯+= ⎝≥， 当且仅当141b aa b +=+，即12b a +=时等号成立， 此时由3a b +=得43a =，53b =，即证．20．已知函数()212mxx f x -+=.（1）若1m =，判断()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性并证明；（2）若()f x 的值域是)+∞，求m 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，证明见解析；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）将1m =代入解析式，记21u x x =-+，利用函数的单调性定义证出()u x 的单调性，再利用指数函数的单调性即可证明. （2）将问题转化为()2min112mx x -+=，讨论m 的值，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）1m =时，()212x x f x -+=，()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增．证明如下：记21u x x =-+，任取1212x x ≤<， 则()()()()221211221212111u u x x x x x x x x -=-+--+=-+-，因为1212x x ≤<，所以120x x -<，1210x x +->， 所以()()121210x x x x -+-<，即有120u u -<，12u u <，所以1222u u <， 即()()12f x f x <，所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．（2）()f x 的值域是)+∞，即211222mx x -+=≥，所以2112mx x -+≥且取到最小值12，所以有()2min 112mx x -+=，①0m =时，不符合要求； ②0m ≠时，则有0m >且41142m m -=，解得12m =， 综上可知：12m =，即m 的取值范围是12⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产x 万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为21485y x x =+，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130． 【分析】（1）可得出平均每万箱的成本为80485x W x=++，再利用基本不等式可求； （2）可得利润为()2152805h x x x =-+-，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设生产x 万箱时平均每万箱的成本为W ，则218048805485x xx W x x++==++， 因为0x >，所以8085x x +=≥， 当且仅当805x x=，即20x 时等号成立．所以min 84856W =+=，当20x时取到最小值，即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元． （2）设生产x 万箱时所获利润为()h x ，则()2110048805h x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即()2152805h x x x =-+-，()0x ≥，即()()2113033005h x x =--+， 所以()()min 1303300h x h ==，所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．22．已知函数()y f x =对任意1x ，()212R x x x ∈≠有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒成立，函数()2020y f x =-的图象关于点()2020,0成中心对称图形.（1）解不等式211202x f x ⎛⎫-+< ⎪-⎝⎭； （2）已知函数()y f x =是3y x =，1y x x=+，4y x =-中的某一个，令()22x x ag x =+，求函数()()()F x g f x =在(],2-∞上的最小值.【答案】（1）()()5,23,-⋃+∞；（2）当162a ->时，()min F x =162a -≤时，()88min 22F x a -=+．【分析】（1）首先由条件判断函数是单调递减奇函数，利用奇函数的性质()00f =，再利用单调性解不等式，转化为211202x x -+>-，解不等式；（2）由（1）中函数是单调递减的奇函数可知()4f x x =-，()4422xxa F x --=+，利用换元，设42x t -=，在(],2-∞上82t -≥，则()aG t t t=+，讨论a 的取值，由函数的单调性，确定函数的最小值.【详解】（1）由条件可知函数()f x 在R 上单调递减，且是奇函数，所以()00f =，则不等式即为()211202x f f x ⎛⎫-+<⎪-⎝⎭， 因为()f x 在R 上单调递减，所以不等式等价为211202x x -+>-，即221502x x x +->-，即为2215020x x x ⎧+->⎨->⎩或2215020x x x ⎧+-<⎨-<⎩，解得52x -<<或3x >，所以不等式的解集为()()5,23,-⋃+∞．（2）由（1）得()4f x x =-，函数()()()4422xxa F x g f x --==+，令42x t -=，在(],2-∞上82t -≥，设函数()a G t t t=+， ①当0a ≤时，()a G t t t=+在)82,-⎡+∞⎣上递增，所以()()888min 222G t G a --==+，所以函数()()()F x g f x =在(],2-∞上的最小值为8822a -+；②当162a ->时，()aG x t t=+≥所以函数()()()F x g f x =在(],2-∞上最小值为 ③当1602a -<≤时，()aG x t t=+在)82,-⎡+∞⎣上递增， 所以()()888min 222G t G a --==+，所以函数()()()F x g f x =在(],2-∞上的最小值为8822a -+．综上，当162a ->时，函数()F x 在(],2-∞上最小值为 当162a -≤时，函数()F x 在(],2-∞上的最小值为8822a -+．【点睛】关键点点睛：本题第二问第一个关键点是确定()4f x x =-，第二个关键点是通过换元设函数()aG t t t=+，82t -≥，第三关键点是当0a >时，由对勾函数的极值点是否在定义域内为分界，讨论a ，求得函数的最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
20．半圆 的直径的两端点为 ,点 在半圆 及直径 上运动,若将点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点 ,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程;
(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线 的“直径”.
其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， .
参考答案
1．A
【分析】
分别求出A与B中方程的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【详解】
解：由A中方程解得： 或 ，
即 ，
由B中方程解得： 或 ，源自即 ，则 ．故选：A．
【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．A
【解析】
9．已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．在长方体 中， ，点 为棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 的准线上一点，且 的纵坐标为正数， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则直线 的方程为（）
“采用促销”的销售网点
“不采用促销”的销售网点
（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 的把握认为“精英店与采促销活动有关”；
采用促销
无促销
合计
精英店
非精英店
合计
50
50
100
（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 （单位：元）和日销量 （单位：件）（ ）的一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若x,y满足约束条件 的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
7．已知函数 ，则当 时函数 的图象不可能是（）
A． B．
C． D．
8．在数列 中，若 ，则该数列的前50项之和是（）
A．18B．8C．9D．4
湖南省邵阳市2020-2021学年高三第一次联考数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 则 ( )
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A． B． C． D．
4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图， 为 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）
A． B． C． D．
5．设 ，则“ ”是“ ”成立的（）
4．D
【分析】
利用扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】
设扇形的圆心角为 ，大扇形的半径长为 ，小扇形的半径长为 ，
则 ， ， .
根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
【分析】
设z＝a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b，则答案可求．
【详解】
设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝5+12i，得a2﹣b2+2abi＝5+12i，
∴ ，解得 或 ．
∴z＝3+2i或z＝﹣3﹣2i．
故选：A．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
45.8
395.5
2413.5
4.6
21.6
①根据上表数据计算 ， 的值；
②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价 定为多少时日利润 可以达到最大.
附①：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
附②：对应一组数据 ，
②抽取的总人数的最小值为__________．
四、解答题
17．已知数列 的前 项和 ，且满足 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求使 成立 的最小值.
18．已知函数 .
（1）求 的单调递减区间；
（2）若 在区间 上的最小值为 ，求 的最大值.
19．如图，在平面图形 中， 为菱形， ， 为 的中点，将 沿直线 向上折起，使 .
A． B．
C． D．
12．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意 ，有 ，且 .设 ，则（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在 中， ，则 的面积为__________．
14．已知函数 ,若存在四个不同的实数 满足 ,且 ,则 __________．
15．已知 为坐标原点，圆 ： ， 圆 ： ． 分别为圆 和圆 上的动点，则 的最大值为_______．
21．已知 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组： ， ， ， ， ，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
三、双空题
16．为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;
（ii）中年人的人数多于青年人的人数;
（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.
①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.
3．D
【分析】
根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体的体积.
【详解】
根据三视图画出其立体图形:
由三视图可知,其底面面积为: ,其柱体的高为:
根据柱体的体积公式求得其体积为:
故选:D.
【点睛】
本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.