量子力学的数学准备

量子力学的数学准备(暑期读物)

写在前面的话

06光信、电科的同学们：

暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。

有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！

刘骥 谨此

I. 一个积分的计算

计算积分⎰+∞

∞

--≡

dx e I x

2

⎰⎰+-+∞

∞

--+∞

∞--=≡

e

dy e

dx e

I x y x (2

22

2

θπ

=

+∞-⎰

⎰

020

2

r dr rd e π=∴I

由此我们可以得到积分公式：

πn

x n n dx e

x

2

!

)!12(2

2-=⎰+∞

∞

--

02

21221222!

)!12(2)32)(12(212212212

22

I n I n n I n dx

e x n de x dx e

x

I n

n n x n x n x n

n -==--=-=

-=-=≡

--∞

∞

---∞

∞---+∞

∞

--⎰⎰⎰Λ 问题：对于积分⎰--≡1

1

2

dx e J x

可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值？

II. 厄密多项式及相关问题

在处理线性谐振子时会碰到求解下列方程的有限解问题

0)()()

(22

2=-+x y x dx

x y d λ[

2)

(x y 是待求的有限函数，λ下面尝试用级数法求解方程将n

x x

y =)(代入方程(1)

会出现n x

因而方程(1)① 考察方程(1)在区间),

(+∞-∞两端±∞

→x 由于

λ是常数，相对)(2

+∞→x 可忽略，方程(1)在±∞→x 的渐近式为

02=-''

y x y 观察可发现2

/2

x e

-是方程(2)的近似解。2

/2

x

e -当然不是方程(1)的解)(x y ，但当±∞→x 时)(x y 应表现出2

/2

x

e

-的渐近行为，于是我们可以

合理地假设

)(x y 中应包含因子2e

-② 令

2

/2)()(x e

x h x y -=，

代入(1)，得

0)()1()(2)(=-+'-''x h x h x x h λ (3)

方程(3)称为Hermit ③ 级数法求解Hermit 方程 令∑∞

=

)(k k

x a

x h ，代入(3)，

(0∑∞

=k k [(0

∑∞

=k k

Λ,2,1,0,

)

2)(1(122=++-+=

+k a k k λ

k a k k (4)

由递推公式(4)可以看出，0a 确定后，2a 、4a 、…等所有下标为偶数的展开系数随之确定，1a 确定后，

3a 、5a 、…等所有下标为奇数的展开系数随之确定。

不妨令⎩⎨

⎧==奇数

，为偶数

为,21k b C a k b C a k k k k ，21,C C 为任意常数，

则不管k 为偶数还是奇数都有k k b k k λ

k b )

2)(1(122++-+=+ (5)

于是

)

)

11)(7)(3()7)(3(!33()!

6)

9)(

5)(1(!4)5)(1(!21()(7151311260402001ΛΛ+---+--+-+++---+--+-+

=x b x b x b x b C x b x b x b b C x h λλλλλλλλλλλλ (6)

)()(2211x h C x h C +≡ ④)(x y 当λ取任意常数值(λi.对任一有限的x ii. ±∞→x 时，无穷级数)(1x h 或)(2x h 有限，即使趋向无穷大也不能快于2

/x e 。

由式(5)，)(1x h 或)(2x h 的相邻项系数比(后项比前项)

k

k k λk b b k k k 2)2)(1(122−−→−++-+=∞

→+，根据无穷级数收敛判别法则，条件i 是满足的，即)(1x h 或)(2x h 是收敛的。至于是否满足条件ii ，难以直接看出。为此我们考察函数2

x e

的泰勒展开式ΛΛ++++++=)!

2/(!3!21642

2

k x x x x e

k

x ，其相邻项系数比

k

k k k k 21)2(1]!1)2[()!2(−−→−+=+∞

→。一个无穷级数在±∞→x 时的渐近行为取决于其高次项， )(1x h 或

)(2x h 与2

x e 有相同的(∞→k )相邻项系数比，因而2

2

1201)(,)(x x x x xe b x h e b x h −−−→−−−−→−±∞

→±∞

→。显然

这不满足上述的条件ii ，即12+≠n λ时，方程(1)没有有限解。

⑤12+=n λ时，方程(1)有有限解