对弧长的曲线积分

性质4
（中值定理）设函数f(x,y)在曲线L上连续，则在L上必存在一点 (ξ,η)，使
其中s是曲线L的长度.
二、第一类曲线积分的性质
性质5
（奇、偶对称性）设函数f(x，y)在曲线L上连续. 若曲线L关于y轴对称，则
若曲线L关于x轴对称，则
二、第一类曲线积分的性质
其中L1=x,yx,y∈L,y≥0. 若曲线L关于x,y轴对称,则
【例2】
求半径为R,中心角为2α的圆弧L的质心(设线密度ρ=1). 解 取坐标系如图10-2所示.
图 10-2
二、第一类曲线积分的性质
由对称性知， 利用L的参数方程 于是
因此圆弧的质心为
二、第一类曲线积分的性质
【例3】
求
,其中L是以O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)为
顶点的三角形的边界（见图10-3）.
二、第一类曲线积分的性质
性质1
设α，β为常数，则
性质2
设L由L1和L2两段光滑曲线组成(记L=L1+L2)，则
二、第一类曲线积分的性质
注意
若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的， 则称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的 或分段光滑的.
二、第一类曲线积分的性质
性质3
设在L上有f(x,y)≤g(x,y)，则
又因为在L上有
所以
二、第一类曲线积分的性质
【例6】
求 解 因为
其中Γ为螺旋线
所以
谢谢聆听
其中L1=x,yx,y∈L,x≥0,y≥0.
二、第一类曲线积分的性质
性质6
（轮换对称性）设函数f(x，y)在曲线L上连续，若曲线L中将x
与y互换后，L变为L′,则
特别地，若L关于
y=x对称，则
对于积分
也有相应的性质，读者可自行写出.
三、第一类曲线积分的计算
定理
设有曲线
其中x(t),y(t)在［α,β］上具有一阶连续导数，且
即
0,使得f［x(t),y(t)］≤M.
由于函数 一致连续，即
在［α,β］上连续,所以它在［α,β］上 0,当Δt<δ时，有
从而
二、第一类曲线积分的性质
所以
因此
二、第一类曲线积分的性质
注意
（1）由于函数 上连续，所以定积分
（2）定积分的下限α一定小于上限β. 若曲线L的方程为y=y(x),a≤x≤b，则
如果当小弧的长度的最大值λ→0时，
的极限
是存在的，则称此极限为函数fx,y在曲线弧L上的第一类曲
线积分或对弧长的曲线积分，记为
（10-1）
其中fx,y称为被积函数，L称为积分弧段，ds称为弧长元素.
一、第一类曲线积分的概念
注意
函数fx,y在闭曲线L上的第一类曲线积分记为
式(10-1)中和式的极限存在的一个充分条件是函数f(x,y)
在［α,β］ 存在
二、第一类曲线积分的性质
若曲线L的方程为x=x(y),c≤y≤d，则 若曲线L的方程为ρ=ρ(θ),α≤θ≤β，则 公式(10-2)可推广到空间曲线Γ的情形.设Γ的参数方程为 则
二、第一类曲线积分的性质
【例1】
求
其中L为下半圆周
解 由于下半圆周的参数方程为
所以
二、第一类曲线积分的性质
来计算.由于该物体上各点处的线密度是变量，所以不能用上 述公式来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.
一、第一类曲线积分的概念
(1)分割在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1,把L分成n个 小段，相应地，曲线形物体也分成n个小段，每一小段的质量 为ΔMi(i=1,2,…,n)，则该曲线形物体的质量
图 10-3
二、第一类曲线积分的性质
解
二、第一类曲线积分的性质
【例4】
求
其中L为双纽线
（见图10-4）的弧.
图 10-4
二、第一类曲线积分的性质
解 双纽线的极坐标方程为
用隐函数求导得
即
，因此
结合对称性，所以
二、第一类曲线积分的性质
【例5】
设L为椭圆
，其周长为a，求
解 因为L关于y轴对称，且2xy是关于x的奇函数，所以
这种和的极限在研究其他问题时经常用到，于是将其抽 象出来，得到第一类曲线积分的定义.
一、第一类曲线积分的概念
定义
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y在L上有界.
在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1把L分成n个小段.设第i
个小段的长度为Δsi，又ξi,ηi为第i个小段上任意取定的一点.
(2)近似取其中一小段物体
（其长度记为Δsi）来
考虑,当Δsi很小时，其上的线密度可以近似看成是不变的常数，
它近似等于该小段上任一点ξi,ηi处的线密度ρ(ξi,ηi)，于是，该
小段的质量ΔMi可近似表示为
一、第一类曲线积分的概念
(3)求和该曲线形物体的质量
(4)取极限设λ=maxΔs1,Δs2,…,Δsn，当λ→0时取上述和的 极限，于是整个曲线形物体的质量
对弧长的曲 线积分
一、第一类曲线积分的概念
引例1
设有一曲线形物体所占的位置 是xOy面内的一段曲线L，它的端点 是A，B，它的质量分布不均匀，其 线密度为ρ(x,y)，试求该物体的质量 M（见图10-1）.
图 10-1
一、第一类曲线积分的概念
分析
如果该物体的线密度为常量，那么它的质量可用公式 质量=线密度×长度
在曲线L上连续.因此，以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的，
在此条件下，第一类曲线积分
总是存在的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量 当线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线 积分，即
一、第一类曲线积分的概念
曲线L的质心的坐标为
转动惯量为 上述定义可类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形， 即函数f(x,y,z)在空间曲线Γ上的第一类曲线积分为
函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则曲线积分 在，且
存 （10-2）
三、第一类曲线积分的计算
证明
根据第一类曲线积分的定义，有
其中
设点
对应于参数值
即
由弧长公式知，L上由t=ti－1到t=ti的弧长
二、第一类曲线积分的性质
由积分中值定理，有 其中 于是
二、第一类曲线积分的性质
因为复合函数f［x(t),y(t)］关于t连续，所以在［α,β］上有界，