7.2 认识函数(2)
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结本节主要知识点（1）函数的概念.（2）函数的三要素与函数相等.（3）区间的概念及其表示.知识点一 函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.对函数的近代定义的理解（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.如x x y --=11就不是函数.（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到.存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y .唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.（3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集.在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者.例1. 讨论二次函数的定义域和值域.解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况:①当0>a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 442; ②当0<a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 442. 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R 上的,若二次函数的定义域是R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.知识点二 函数的三要素函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围.确定函数定义域时,要从两个方面考虑:（1）使函数解析式有意义;（2）符合客观实际.对应关系 用f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x 施以某种运算,类似于程序的作用.值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.例2. 讨论反比例函数()0≠=k x k y 的定义域和值域. 解:反比例函数()0≠=k xk y 的定义域为{}0≠x x ,值域为{}0≠y y . ()()A a a f ∈与()x f 的区别与联系)(a f 表示当a x =时()x f 的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)(x f表示自变量为x 的函数,它表示的是变量.如x x f 2)(=表示的是一个函数,()63=f 是它的一个函数值,是常量.知识点三 具体函数的定义域的确定方法所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R .（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.知识点四 函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数. 对函数的相等理解时要注意:（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.如函数2)(-=x x f 与函数x x f 2)(=的定义域都是R ,值域都是R ,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.如函数1)(2+=x x f 与函数1)(2+=t t f 表示的就是同一个函数.（5）对)(x f 中x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f 施加关系的对象不同,两个函数也不相等.如函数2)(x x f =和函数2)1(x x f =-表示的就不是同一个函数.例3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】（A ）x x f =)(,()2)(x x g = （B ）1)(2+=x x f ,()12+=t t g（C ）1)(=x f ,xx x g =)( （D ）x x f =)(,()x x g =分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.解:（A ）选项中,函数x x f =)(的定义域为R ,函数()2)(x x g =的定义域为{}0≥x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（B ）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;（C ）选项中,函数1)(=x f 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线,其定义域为R ,函数xx x g =)(的定义域为{}0≠x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（D ）选项中,函数x x f =)(与函数()x x g =的定义域均为R ,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.选择【 B 】.例4. 求下列函数的定义域:（1）2322---=x x x y ; （2）x x y -⋅-=11; （3）x y --=113; （4）2253x x y -+-=.分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-023202x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≤2120x x x 且,解之得:x ≤0且21-≠x . ∴函数2322---=x x x y 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧-≠≤210x x x 且; （2）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-0101x x ,解之得:1=x . ∴函数x x y -⋅-=11的定义域为{}1=x x ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-01101x x ,即⎩⎨⎧≠≤01x x ,解之得:x ≤1且0≠x . ∴函数x y --=113的定义域为{}01≠≤x x x 且;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-050322x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≥5533x x x 或 解之得:5-≤x ≤3-或3≤x ≤5. ∴函数2253x x y -+-=的定义域为{}5335≤≤-≤≤-x x x 或. 注意: （1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式.（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.知识点五 区间的概念及其表示设b a ,是两个实数,且b a <,规定:（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合,叫做闭区间,表示为[]b a ,;（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合,叫做开区间,表示为()b a ,;（3）满足不等式a ≤x b <或x a <≤b 的实数x 的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为)[b a ,,](b a ,.这里的实数b a ,叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.区间的数轴表示（几何表示）实数集R 可以用区间表示为()+∞∞-,.“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”,“∞+”读作“正无穷大”.把满足不等式a x >,x ≥a ,b x <,x ≤b 的实数x 的集合,分别表示为()+∞,a ,)[∞+,a ,()b ,∞-,](b ,∞-.对区间的概念及其表示的理解:（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合{}3,2,1就不能用区间来表示.（2）区间的左端点必须小于右端点.（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.（4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.（6）若a 为区间的左端点,b 为区间的右端点,则把a b -叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.（因为a b >）（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.例5. 函数513)(-+-=x x x f 的定义域是【 】 （A ）)[∞+,3 （B ）)()[+∞,44,3（C ）()+∞,3 （D ）)[4,3分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠-+≥-05103x x ,即⎩⎨⎧-≠≠≥643x x x 且,解之得:x ≥3且4≠x . ∴函数513)(-+-=x x x f 的定义域用集合表示为{}43≠≥x x x 且,用区间表示为)()[+∞,44,3 .选择【 B 】.知识点六 复合函数与抽象函数复合函数的概念如果y 是u 的函数,记为)(u f y =,u 又是x 的函数,记为)(x g u =,且)(x g 的值域与)(u f 的定义域的交集非空,那么y 通过u 的联系也是自变量x 的函数,我们称y 为x 的复合函数,记为))((x g f y =.其中u 叫做中间变量,)(x g u =叫做内层函数, )(u f y =叫做外层函数.对复合函数概念的理解由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.例6. 下列函数中,是复合函数的是【 】（A ）32)(x x x f += （B ）1)(+=x x f（C ）x x f =)( （D ）xx f 2)(= 分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的. 解:函数1)(+=x x f 是由函数u y =和1+=x u 两个函数复合而成的,是复合函数.选择【 B 】.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.知识点七 求抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:（1）函数)(x f 的定义域是自变量x 的范围.（2）函数))((x g f 的定义域是自变量x 的范围,而不是)(x g 的范围.（3）)(x f 、))((x g f 两个函数中,x 、)(x g 在对应关系f 下的范围相同. 求抽象函数或复合函数定义域的方法（1）已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域,其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ,求)(x g 的范围（值域）,此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先按（2）求出)(x f 的定义域. 例7. 已知函数xx x f 3)(+=,则函数)1(-x f 的定义域为【 】 （A ）{}1,4-≠-≥x x x 且 （B ）{}1,2≠-≥x x x 且（C ）{}0,2≠-≥x x x 且 （D ）{}1,4≠-≥x x x 且分析:本题需要根据具体函数)(x f 的解析式,先求出函数)(x f 的定义域,然后再确定抽象函数)1(-x f 的定义域:函数)(x f 中自变量x 的取值范围与()1-x 的范围相同,从而列出关于x 的不等式（组）,解集即为函数)1(-x f 的定义域. 解:∵函数xx x f 3)(+= ∴⎩⎨⎧≠≥+003x x ,解之得:x ≥3-且0≠x . ∴函数xx x f 3)(+=的定义域为{}03≠-≥x x x 且. 对于函数)1(-x f ,则有:⎩⎨⎧≠--≥-0131x x ,解之得:x ≥2-且1≠x . ∴函数)1(-x f 的定义域为{}1,2≠-≥x x x 且.选择【 B 】.例8. 已知()12-x f 的定义域为[]3,0,则)(x f 的定义域为_________. 分析:函数()12-x f 的定义域为[]3,0,指的是x 的取值范围是[]3,0,而不是()12-x 的范围.先根据[]3,0∈x ,求出()12-x 的范围,此范围即为函数)(x f 的定义域. 解:∵()12-x f 的定义域为[]3,0∴0≤x ≤3,根据二次函数的知识可得:1-≤12-x ≤8∴)(x f 的定义域为[]8,1-.例9. 若函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21,则函数()1-x f 的定义域为__________. 分析:本题为已知已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先确定)(x f 的定义域.解:∵函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 ∴21-≤x ≤2,∴121+-≤1+x ≤12+ ∴21≤x ≤3 ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21. 对于函数()1-x f ,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-31211x x ,解之得:23≤x ≤4 ∴函数()1-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23. 知识点八 求函数的函数值（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;（2）求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.例10. 已知xx f +=11)(()1-≠x ,2)(2+=x x g . （1）求)2(f 和()2g ;（2）求()()2f g ,())(x g f ;（3）若()4)(1=x g f ,求x . 分析:函数的本质是对应关系f ,()f 表示的是对括号里的内容施以某种运算.计算())(a f f 的值时,应从内到外依次计算.解:（1）31211)2(=+=f ,()62222=+=g ; （2）()()9192313122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g f g ()31211)(11)(22+=++=+==x x x g x g f ;（3）∵()4)(1=x g f∴43112=+x ,432=+x ,解之得:1±=x . 例11. 已知函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f +=成立. （1）求()0f ,()1f 的值;（2）若()()q f p f ==3,2（q p ,为常数）,求()36f 的值. 解:（1）∵函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f += ∴令0==b a ,则有:()()()000f f f += ∴()00=f .令0,1==b a ,则有:()()()010f f f += ∴()01=f .（2）∵()()q f p f ==3,2∴()()()()()p f f f f f 22222224==+=⨯=()()()()()q f f f f f 23233339==+=⨯=∴()()()()q p f f f f 22949436+=+=⨯=.例12. 已知函数()x f 的定义域为()+∞,0,对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=,且()24=f ,则()=2f_________.解:∵()()()y f x f xy f +=,且()24=f∴令2==y x ,则有:()()()()222224=+=⨯=f f f f ,∴()12=f . 令2==y x ,则有:()()()()122222=+=⨯=f ff f∴()212=f.知识点九 求函数的值域求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.方法1 观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域. 如函数211xy +=,因为12+x ≥1,所以y <0≤1,即该函数的值域为{}10≤<y y .方法2 配方法常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 方法3 分离常数法形如bax dcx y ++=的函数常用分离常数法求值域.分离过程为: ()b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++= ∵0≠+-b ax a bcd ,∴a c y ≠ 所以函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y .方法4 换元法形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令d cx t +=（t ≥0）,用t 表示出x ,并标明t 的取值范围,并代入函数解析式,将y 表示成关于t 的二次函数,最后用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.方法5 图象法有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.方法6 判别式法形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于x 的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式∆≥0,求出y 的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.方法7 反表示法根据函数解析式用y 表示出x ,根据原函数中x 的取值范围列出关于y 的不等式,不等式的解集即为原函数的值域. 例13. 求函数1-=x y 的值域. 分析:采用观察法求其值域. 解:∵x ≥0（x ≥0） ∴1-x ≥1-∴函数1-=x y 的值域为)[∞+-,1.例14. 求函数322+-=x x y 的值域,其中)[3,0∈x .分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解. 解:∵()213222+-=+-=x x x y∴函数图象的顶点坐标为( 1 , 2 ) ∵)[3,0∈x ,1)[3,0∈ ∴函数的最小值为2.∵()()633233,303=+⨯-==f f∴函数的值域为)[6,2. 例15. 求函数312-+=x x y 的值域. 分析:求形如bax dcx y ++=的函数的值域,常用分离常数法.解:()3723732312-+=-+-=-+=x x x x x y∵037≠-x ,∴2≠y ∴函数312-+=x x y 的值域为()()+∞∞-,22, .例16. 函数12++=x x y 的值域为__________.分析:形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域. 解:令12+=x t ,则t ≥0∴212-=t x∴()1121211222-+=+-=++=t t t x x y ∵t ≥0,01<- ∴y 随t 的增大而增大 ∴当0=t 时,21min -=y ,无最大值.∴y ≥21-. ∴函数12++=x x y 的值域为)⎢⎣⎡∞+-,21.注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,例17. 求下列函数的值域:（1）123422--+-=x x x x y ;（2）3274222++-+=x x x x y . 分析:对于形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.要求会用十字相乘法分解二次三项式.解:方法一（分离常数法）:∵123422--+-=x x x x y∴()()()()()()1227211227122112312131+-=+-+=+-=+---=x x x x x x x x x y （1≠x 且21-≠x ）. ∵()01227≠+x ,∴21≠y当1=x 时,3211231-=+⨯-=y∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .方法二（反表示法）:由上面的方法得到:123+-=x x y （1≠x ） ∴y y x 213-+=（21≠y ） ∵1≠x ,∴1213≠-+y y ,解之得:32-≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .（2）∵3274222++-+=x x x x y∴整理得:()()0732222=++-+-y x y x y . 当2=y 时,0723≠+⨯,不符合题意,舍去;当2≠y 时,∵函数3274222++-+=x x x x y 的定义域为R∴()[]()()2734222-+--=∆y y y ≥0,解之得:29-≤y ≤2. 综上,函数的值域为)⎢⎣⎡-2,29.例18. 已知函数41)(xx x f -+=,求函数)(x f 的值域. 分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的图象,由图象得出函数的值域.解:∵41)(xx x f -+= ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=021101)(x x x x f ,其图象如图所示.由图象可知,函数的只有为](1,∞-.例19. 求函数122+--=x x xx y 的值域.解:方法一（配方法）:∵122+--=x x xx y∴4321111111112222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=+--+-=x x x x x x x y ∵43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥43,∴4321102+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ≤34∴31-≤14321112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.方法二（判别式法）:∵122+--=x x xx y∴x x y xy y x -=+-22,整理得:()()0112=+-+-y x y x y∵函数122+--=x x xx y 的定义域为R∴关于x 的方程()()0112=+-+-y x y x y 有实数根.当1=y 时,01≠,不符合题意,舍去;当1≠y 时,有()()1412---=∆y y y ≥0,解之得:31-≤y ≤1综上,31-≤1<y∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.★例20. 已知)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求())(21)(x f x f x F -+=的值域.解:∵)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83∴83≤)(x f ≤94,∴98-≤)(2x f -≤43-,∴91≤1)(2x f -≤41 ∴31≤)(21x f -≤21. 令)(21x f t -=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴()212t x f -=∴()()112121)(22+--=+-==t t t t F x F . ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴)(t F 随着t 的增大而增大.∴当31=t 时,()971131212min =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F当21=t 时,()871121212max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F ∴)(t F 的值域即()x F 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.。
函数的概念及其表示教案-人教课标版(优秀教案)
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量变量之间有什么关系.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，此时是的函数，是自变量，是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.;二、讲授新课：.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例：.一枚炮弹发射，经秒后落地击中目标，射高为米，且炮弹距地面高度（米）与时间（秒）的变化规律是21305h t t =-..近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书页图）.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量变量的变化范围分别是什么两个变量之间存在着这样的对应关系 三个实例有什么共同点归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都与唯一确定的和它对应，记作：:f A B →》③定义：设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合到集合的一个函数（），记作：(),y f x x A =∈.其中，叫自变量，的取值范围叫作定义域（），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（）.④讨论：值域与的关系构成函数的三要素一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域 ⑤练习：2()23f x x x =-+，求()、()、()、(－)的值。
初二数学《认识函数》知识点解读
初二数学《认识函数》知识点解读在初二数学教学中，《认识函数》是一个重要的知识点。
函数作为数学中的基本概念之一，对于同学们建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将对《认识函数》这一知识点进行解读，帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和方法。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义函数是互相关联的输入和输出量之间的对应关系。
在数学上，我们用字母表示函数，例如f(x)。
其中，x是自变量，表示输入量；而f(x)则是因变量，表示输出量。
函数可以用一个具体的规则或公式来表示，也可以通过给出一组输入输出的对应关系来定义。
2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，通常用D表示。
（2）值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域，通常用R表示。
（3）单调性：函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种。
（4）奇偶性：函数在定义域上的对称性，可以分为奇函数和偶函数两种。
二、函数的表示方法1. 函数的显式表示法函数的显式表示法是指通过公式或规则直接给出函数表达式的表示方法。
例如，y = 2x + 1就是一个显式表示的函数，其中2x + 1就是函数的表达式。
2. 函数的隐式表示法函数的隐式表示法是指通过方程等式或条件来表示函数的方法。
例如，x^2 + y^2 = 1就是一个隐式表示的函数，其中方程x^2 + y^2 = 1表示了一个以x和y为变量的函数。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像函数的图像是指将函数的输入和输出对应关系表示在直角坐标系中的一系列点的集合。
图像可以帮助我们更好地理解函数的性质和规律。
通常，我们使用折线图、曲线图等方式来表示函数的图像。
2. 奇偶性与图像函数的奇偶性与函数的图像存在一定的关系。
奇函数的图像关于原点对称，即满足f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即满足f(-x) = f(x)。
3. 单调性与图像函数的单调性与函数的图像上的斜率有关。
学为中心展过程 突出本质蕴思想——浙教版八上《7.2认识函数》教学实录及其评析
．
师： 同学 们 计算 能 力真 强 ！确 实 ， 天 数不 同 ， 每
个 月的 中餐费不 同 ！最 近有 个 好 消 息 ， 快 餐 公 司决
谓“ 确定 ”、 指 的是 自变 量在 某 一 时刻 变 为常 量 ， “ 唯
一
上课 开 始 ， 教 师和学 生从 “ 中餐 费 ” 的话题 开始．
教学片 断如 下 ： 师： 你 们 中 午 在 校 就 餐 吗 ？ 每 天 中餐 费 是 多
少？
生（ 众） ： ８ 元． 师： 每 个月 的 中餐 费相 同吗 ？ 生（ 众） ： 不 同． 师： 是 什么原 因 导致不 同 呢？ 生（ 众） ： 因为每个 月在校 的天 数不 同．
路， 进行 了充分 的课 前准备 展开 教学．
２ 教 学实况 简录 ２ ． １ 情景 导入 ， 激 发兴 趣
为什 么教 师感 到难 教？ 围绕这 ３个 问题 展开 了深入 探讨 ， 整 理如 下 ： ． 如何 理解 函数 概念 ？浙教 版教 材 中对 函数 概念 的叙 述是 “ 在某 一个 变化过 程 中 ， 对 的每一 个 确定 的值 ， Ｙ 都 有 唯一确 定 的值 ， 称Ｙ 是 的函数． ”函数研 究 的对 象是 变化 过程 中两 个 变量 间 的依 存 关 系 ， 所
０
确 定 的值 ， 那 么就 说 Ｙ是 的 函数 ， 其 中 叫做 自
函数． 是先介 绍 函数概念 ， 然后 再 和 盘托 出它 的三种 形式 ？还 是将 函数概 念贯 穿于 函数 的三种 表 现形 式
考， 课 后受 到与会 教师 的广 泛 好评 ． 现将 本课 的教 学 研究 、 教学 过程 整理 如下 ， 和各位 同行 交流．
再谈初中数学教学中难点突破若干对策
再谈初中数学教学中难点突破若干对策作者：王尧兴来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第14期教学难点一般是指教师较难讲清楚，学生较难理解或容易产生错误的那部分教材内容。
一节课中难点内容是教师教学的着力点，更是造成学生成绩差距的分化点。
而一节课中难点问题处理是衡量教师教学水平的试金石，是判断一节课成功是否重要标准。
是数学课程改革深入发展过程中一个值得研究的课题。
笔者在多年教学实践中，对初中数学课堂教学中难点突破也有几点体会。
供同行借鉴。
一、利用生活实例理解难点数学源于生活，根值于生活。
数学教学要联系生活和学生已有知识点，创设多样化的教学情境，是突破教学中难点问题的关键。
案例1：浙教八上7.2认识函数教学。
本节教学中难点是：函数概念的建立.为帮助学生突破此难点，我在教学中引入以下三个情景。
情景1：上虞到杭州的路程为90千米，老师开车的速度为v千米/小时，用的时间为t小时。
你能用含v的代数式表示t吗？情景2：绍兴古城旅游门票优惠价130元/张，如果设门票张数为a张，应付金额为b元，请填写下表：你能写出b与a的关系吗？情景3：国家发改委通知，自11月16日零时起，将汽油、柴油的价格下调，下调后的93#汽油零售价为7.43元/升.如果设加油为x升，应付的金额为y元，你能完成下表吗？（1）在上述变化过程中，有几个变量：（2）当加油量x确定时，应付金额y能确定吗？（3）你能用含x的代数式表示y的值吗？通过以上三个通俗易懂，学生具有一定生活经验的情景引入和解讲，使函数概念的引出水到渠成.这样既有利于学生初步理解函数概念，同时也使学生认识到数学概念的产生来源于实际生活的需要.从而激发学生学习数学的积极性。
数学实验教学是指恰当运用数学实验，在教师指导下学生利用实物模型、计算器、或计算机软件等数学素材进行观察、实验、比效、猜想及证明来进行探索验证学习数学的教学形式。
囿于学生数学知识的局限和思维能力的局限，有些数学问题，尤其是几何问题，一经操作实验，胜抵教师的千言万语，在折、剪、拼中，难点的神秘面纱荡然无存。
认识函数公开课(鱼雅聪)
废塑料质 汽油质量 量X（吨） Y（千克）
1 2 3 4 5 600 1200 1800 2400 3000
480
6
7 8
3600
4200 4800
画一画 查一查
…
…
我国是一个严重缺水的国家，大家应倍加珍惜水资 源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下 2滴水，每滴水0.05mL．小明同学在洗手时，没有把水 龙头拧紧，当小明离开x秒后水龙头滴了y mL水.
399
…
…
用函数解析式表示函 数的方法叫解析法 y=1.25x
这个函数用等式来表示， 像y=1.25 x这种表示函数 关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式。
列表法
废塑料质 量X（吨）
1 2 3 4 5
汽油质量 Y（千克）
600 1200 1800 2400 3000
图象法
6
7 8 …
3600
4200 4800 …
函数的常用 表示方法
解析法 列表法 图象法
环保事例1
您可以在马桶水箱里放一个装满水的 可乐瓶，你的这一小小行动每次 可节 约 1.25 升水，在这个过程中，假设每 天冲马桶x次,则可以节约水y升。 1、在节约水过程中，哪些是常量，哪些是变量？
2、你能用含x的代数式来表示y的值吗?
y=1.25 x
3：计算当x分别为4，8，20时，相应的y是多少? x y 4
3600
4200 4800 …
两个变量之间的关系有什么 共同点吗?
当其中一个变量的大小确定时，另一个变量就有唯一确定的值
一般地,在某个变化过程中,设有两个变量 x, y, 如果对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值, 那么就说 y 是 x 的函数(function), x 叫做自变量.
数学：浙教版八年级上7.2《认识函数》课件(2)
如 y 1 是不是函数？
x
x是不是可以取所有的实数 x的取值范围：x≠0的实数
工作时间x(时) 1 2 3 4 5 6 … 报酬y(元) 4 8 12 16 20 24 …
请写出y关于x的函数解析式： y=4(使函数式有意义):
当 x = 6时, y =10 - 2 x
的值是多少?对本例有意义吗?
当 x = 2 呢?
游泳池应定期换水. 某 游泳池在一次换水前存水936 立方米,换水时打开排水孔, 以 每时312立方米的速度将水放 出.设放水时间为 t 时,游泳池 内的存水量为Q立方米. (1)求Q关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围; (2)放水 2 时20分后,游泳池内还剩水多少立方米? (3)放完游泳池内全部水需要多少时间?
子总数为 S.
n2 n3
s4 s8
n4
s 12
n5
s 16
图中棋子的排列有什么规律? S与 n 之间能用 函数解析式表示吗?自变量的取值范围是什么?
如果排成的是五边形有什么规律? 能用函数解析式表示吗?
如图,正方形EFGH内接于边长为1 的正方形ABCD.
设AE= x ,试求正方形EFGH的面积 y 与 x 的函数式,
写出自变量 x的取值范围,并求当AE= 1 时,正方形
EFGH的面积.
4
G
D
C
F H
A xE B
如图,每个图形都是由若干个棋子围 成的正方形图案的每条边(包括两个顶点)
上都有 n(n 2)个棋子,设每个图案的棋
如图,OB⊥OA于O,以OA为半径画弧,交 OB于B,点P是半径OA上的动点.已知OA=4cm,设 OP= x(cm),阴影部分的面积为y(cm2), 求:
积极参与和有效参与缺一不可
积极参与和有效参与缺一不可参与有两个维度：积极参与和有效参与。
积极参与是个情感问题，有效参与是个认知问题。
教学过程既是认知过程，又是情感过程，在这个过程中，认知与情感相伴相随，相辅相成。
因此说，积极参与和有效参与二者都缺一不可。
1、积极参与是学生自主学习的前提积极参与旨在培养学生良好的情感、态度与人际关系智力。
学生从情感上愿意不愿意参与教学，可以说是衡量自主学习的标准。
从情感上愿意学习就是积极学习，积极的情绪状态下学习效果最佳。
因此积极参与是学生自主学习的前提。
积极参与有三种表现：（1）情绪饱满。
学生的参与应该是积极的、活跃的、主动的，而不是被迫的参与。
学生在课堂教学中的这种积极的情绪状态主要表现为浓厚的学习兴趣与高昂的学习热情。
如讲座中的《一次函数与一元一次不等式》教学片断，王老师设计了两个问题让学生独立去做，由于这两个问题是学生用原有的知识可以解决的，学生主动参与成为可能。
教师及时引导学生比较两个问题之间有何联系，通过比较使学生初步感受到二者实际上是同一个问题，使学生的主动、积极的参与成为现实。
王老师又及时引导学生用数形结合的思想用函数来求解方程组、不等式的问题，把学生积极参与的欲望引向了高潮，学生们跃跃欲试，去体验数形结合的优越性，在这个过程中学生的参与是积极的、主动的、情绪始终处于非常活跃中，因此学生的自主性充分的发挥出来，所以让学生情绪饱满的学习是保证自主学习很重要的一个因素。
（2）交往互动。
要让学生积极参与就应该为学生提供更广阔的交往空间，使学生在主动的交往中获得知识和体验。
这种交往应该是多向式、交互式的，既有师生的交往，又有生生的交往。
这种师生与生生间的多向交往既能满足学生的求知欲，又能发挥学生的主观能动性，还能提高学生的智力活动水平。
在讲座中王老师非常注重学生的组内交流和同桌交流，在这种交流的过程中，给学生提供了自主的空间。
（3）参与面广。
让绝大多数学生都能参与教学，而不是少数学生，这一点非常重要。
认识函数数学教案
认识函数数学教案
标题：认识函数数学教案
一、教学目标
1. 学生能够理解函数的基本概念。
2. 学生能够掌握函数的表示方法。
3. 学生能够解决与函数有关的问题。
二、教学重点和难点
1. 教学重点：函数的概念和表示方法。
2. 教学难点：理解和应用函数的概念。
三、教学过程
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入函数的概念，如身高与年龄的关系，距离与时间的关系等。
2. 讲授新课：
（1）定义函数：讲解什么是函数，函数的输入和输出，以及函数的基本性质。
（2）函数的表示方法：介绍如何用图像、表格和解析式表示函数。
（3）函数的应用：通过实例让学生了解函数在现实生活中的应用。
3. 练习与实践：
设计一些练习题，让学生自己动手解题，以此检验他们对函数的理解程度。
4. 小结：
总结本节课的主要内容，强调关键知识点。
5. 布置作业：
设计一些相关的作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
四、教学反思
对本节课的教学效果进行反思，分析学生的学习情况，为下一次教学提供参考。
7.2认识函数(2)
(使函数式有意义):
(1) y 1 x 1
(2)y x 1
(3)y 1 x 2 x 1
1、求函数自变量的取值范围时，要 从两方面考虑： ①代数式要有意义； ②符合实际
2、函数的三类基本问题： ①求解析式；
②求自变量的取值范围；
③已知自变量的值求相应的函数值或 者已知函数值求相应的自变量的值
n=2 n=3 s =4 s =4
n=4 s =12
n=5 s =16
图中棋子的排列有什么规律？S与n之间能 用函数解析式表示吗？自变量n的取值范 围是什么?
为了加强公民的节水意识，某市 制定了如下用水收费标准：每户每月 的 用水 不超 过 10 吨 时 ， 水价 为每吨 1.2元；超过10吨时，超过的部分按 每吨1.8元收费，该市某户居民5月份 用水x吨（x >10），应交水费y元， 请用方程的知识来求有关x和y的关系 式，并判断其中一个变量是否为另一 个变量的函数？
的正方形ABCD. 设AE= x ,试求正方
形EFGH的面积 y 与x 的函数式,写出
自变量 x 的取值范围, D G
C
并求当AE= 1 时,
F
4
H
正方形EFGH12cm小 x(cm)的正方形的面积,求:
(1)y关于x的函数解析式和自变量 x的取值范围;
1、求函数自变量的取值范围时，要 从两方面考虑： ①代数式要有意义； ②符合实际
2、函数的三类基本问题： ①求解析式；
②求自变量的取值范围；
③已知自变量的值求相应的函数值或 者已知函数值求相应的自变量的值
1、已知一个梯形的下底长是上底
长的2倍，高为10cm ,则梯形的面
积S(cm2)关于上底边长x(cm)的
八年级数学上册 7.2.1 认识函数教案 浙教版
认识函数〖教学目标〗知识目标：了解函数、自变量、函数解析式、函数值的概念及函数的三种常用表示法。
能力目标：初步认识函数的概念，理解函数值的实际意义。
情感目标：通过用函数来表示一些实际问题，说明生活离不开数学，数学的发展来源于社会的发展。
〖教学重点与难点〗教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．〖教学过程〗教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2s (0<v<10.5) ．.0v085然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）(2)计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果保留3个有效数字)?(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗?教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应．本环节设计的意图：通过对课本上的两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概念，又为本节课学习函数的概念作好准备．1．探究新知（1）函数的概念问题1 ：小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表：工作时间t（时） 1 5 10 15 20 …t…报酬m（元）问题2 ：跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2085.0vs=(0<v<10.5) ．问题：在第一个环节的基础上，你能概括出上面各问题中两个变量（t与m，s与t）之间关系的共同点吗？教师归纳得出函数的概念：一般地，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．例如，上面的问题1中，m是t的函数，t是自变量；问题2中，s是对v的的函数，v是自变量．教师指出：①函数概念的教学中，要着重引导学生分析问题中一对变量之间的依存关系——当其中一个变量确定一个值，另一个变量也相应有一个确定的值．②函数的本质是一种对应关系——映射，由于用映射来定义函数，对初中生来说是难以接受的，所以课本对函数概念采取了比较直观的描述．这种直观的描述也和传统教材有所区别：描述中改变了过去那种“y都有唯一确定的值和它对应”的说法，即避开“对应”的意义．（这段话教师只需点一下，无需给学生补充用映射来定义函数）③实际问题中的自变量往往受到条件的约束，它必须满足①代数式有意义；②符合实际．如问题1中自变量t表示一个月工作的时间，因此t不能取负数，也不能大于744（24×31=744）；如问题2中自变量v表示助跑的速度v，它的取值范围为0<v<10.5．（2）函数的表示法①解析法：问题1、2中，m=16t和2085.0vs=这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．完成课内练习1，作业题A组第1题、C组第4题（课本146页）②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如表（7-2）表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．（表7-2）月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温T（℃）3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.628.23.3 17.1 12.2 6.3③图象法: 我们还可以用法来表示函数，例如图7-1中的图象就表示骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．（图7-1）教师指出：①解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．②对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．3、课堂练习（节节高升）节：1. 设正方形周长为p ,边长与为 a ,则 p 与 a的函数关系式为___________;当a=2 时, p =____.节：2.当 a=2时,函数y=kx-2和y=2x+k的值互为相反数,求k 的值。
初中数学认识函数(2)PPT课件
函数解析式表示吗?自变量的取值范围是什么?
如果排成的是正五边形有什么规律?
能用函数解析式表示吗?
解:(1) S= x(50-x)
x
(2) ∵ x＞0
50-x＞0
(50-x)
∴ 0<x<50
(3)当x=20时,S=20(50-20)
=20×30
当x=55时, S= x(50-x)的值是多少?
=600 cm2
（4）y 1 2x 4
∵2x- 4≥0
☆求自变量的
∴x ≥2
取值范围时,
代数式本自变量x的取值范围：
（1）y＝3x－1
(2) y＝2x2＋7
(3) y x 2
(4) y 1 x2
(5) y 5 4x 1 3x 2
y 5 x4 3x 2
对本题有意义吗?
做一做：等腰直角△ABC的直
角边长与正方形MNPQ的边长均 为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC 向右运动，最后A点与N点重 合．试写出△ABC运动过程中， 重 叠 部 分 面 积 ycm2 与 MA 长 度 x cm之间的函数关系式,并写出自 变量x的取值范围．
(2)列表法 (3)图象法
如 x 1 2 3 0 -1 y 3 5 7 1 -1
如
1.求下列函数自变量的取值范围 (使函数式有意义):
(1) y 1 有分母,分母不能为零 x 1
(2)y 10 2x
∵x-1≠0
x 可以取任意实数
∴x≠1 开2次方,被开方数是非负数
(3) y= 2x 4
4.重要数学思想与方法：转化、数形结合.
(1)求Q关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围;
认识函数(2)公开课共23页文档
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
23
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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1、求下列函数自变量的取值范围（使函数式有意义）： 求下列函数自变量的取值范围（使函数式有意义）：
（2）y=(3X+2)0 （儿童节的时候，每人发2颗糖果，总人数x与总发的 1）y＝3x－1 每人发2颗糖果，总人数x 2、儿童节的时候，
y= 2x 1 糖果数y的函数关系式为____________,其中人数x 糖果数y的函数关系式为____________,其中人数x的取 ____________,其中人数 （4 ） y = （3）y = x − 2 x+2 值范围是___________ ___________。 值范围是___________。 x为正整数
等腰三角形ABC的周长为 底边 长为 y , 的周长为10,底边 等腰三角形 的周长为 底边BC长为 腰AB长为 长为 (1)
x ,求: 求
的函数解析式; 的函数解析式
x B
A
y关于 x
x y C
(2)自变量的取值范围 (2)自变量的取值范围; 自变量的取值范围; (3)腰长 腰长AB=3时,底边的长 底边的长. 腰长 时 底边的长 当 当
问题征答
某中学要在校园内划出一块面积是100平方米 的矩形土地作花圃，设这个矩形的相邻两边的 长分别为x(米)和y(米)。 １、写出y关于x的函数表达式。 2、你能说出自变量的取值范围吗？
一个小球有静止开始在一个斜坡上向下滚 动，其速度每秒钟增加2米。到达坡底时， 小球的速度达到40米/秒。 请问：1、小球速度v（米/秒）与时间t（秒） 之间的函数关系式是怎样的？ ２、求t的取值范围。 3、求3.5秒时小球的速度。 4、求几秒时小球的速度为16米/秒
1 D、 D、y = 180 − (0＜x＜90) 2x
例2:游泳池应定期换水， 某游泳池在一次换水前 存水936立方米，换水 时打开排水孔，以每小 时312立方米，放水时 间为t时，游泳池内的 存水量为Q立方米。 关于t的函数解析式和自变量 （1）求Q关于 的函数解析式和自变量 的取值 ） 关于 的函数解析式和自变量t的取值 范围； 范围； 分后， （2）放水 时20分后，游泳池内还剩水多少立 ）放水2时 分后 方米？ 方米？ （3）放完游泳池内全部水需要多少时间？ ）放完有什么规律? 与 图中棋子的排列有什么规律 S与 n 之间能用 函数解析式表示吗?自变量的取值范围是什么 自变量的取值范围是什么? 函数解析式表示吗 自变量的取值范围是什么
如果排成的是五边形有什么规律? 如果排成的是五边形有什么规律 能用函数解析式表示吗? 能用函数解析式表示吗
谈谈我们这节课学了 什么？ 什么？
③已知自变量的值求相应的函数值或者已知 函数值求相应的自变量的值
1、设等腰三角形顶角度数为y，底角度数为 ，则（ C ） 、设等腰三角形顶角度数为 ，底角度数为x， A、y＝180－2x（x可为全体实数） 、 ＝ － （ 可为全体实数） 可为全体实数 B、y＝180－2x（0≤x≤90） 、 ＝ － （ ） C、y＝180－ 2x （0＜x＜90） 、 ＝ － ＜ ＜ ）
时 x = 6时, y =10 - 2 x
的值是多少?对本例有意义吗 的值是多少 对本例有意义吗? 对本例有意义吗
x = 2 呢?
求函数的解析式时， 求函数的解析式时，可以先得到函数与自变量之间 的等式， 的等式，然后解出函数关于自变量的函数解析式 求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑： 求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑： ①代数式要有意义 函数的三类基本问题： 函数的三类基本问题： ①求解析式 ②求自变量的取值范围 ②符合实际
1、函数的概念： 函数的概念：
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y， 如果对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的 值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。
1
2.函数的三种表达式： 函数的三种表达式： 图象法； 列表法； （1）图象法；（2）列表法；（3）解析法
2
求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑： 求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑： ①代数式要有意义 ②符合实际
2、如果一个圆筒形水管的外径是R，内径是 ，它的横截 、如果一个圆筒形水管的外径是 ，内径是6， 面积S关于外径 的函数关系式为S＝ （ 关于外径R的函数关系式为 ），那么 面积 关于外径 的函数关系式为 ＝π（R2－36），那么 ），那么R 的取值范围为（ 的取值范围为（ D） A、全体实数 、 C、全体非负实数 、 B、全体正实数 、 D、所有大于6的实数 、所有大于 的实数
如图,每个图形都是由若干个棋子围 如图 每个图形都是由若干个棋子围 成的正方形图案的每条边(包括两个顶点 成的正方形图案的每条边 包括两个顶点) 包括两个顶点 上都有 n ( n 子总数为 S. 个棋子,设每个图案的棋 ≥ 2) 个棋子 设每个图案的棋
n=2
s=4
s =8
n=3
s = 12
n=4
s = 16