DSP第二章卷积

且
x1(n) = x1(n)
n≥0
n<0
∞
x1(n) = 0
+∞
则
y(n) = ∑x1(k) • x2 (n − k) = ∑x1(k) • x2 (n − k)
k =−∞ k =0
b)
若：
y(n) = x1(n)*x2 (n)
x2 (n) = x2 (n) n ≥ 0
且
x2 (n) = 0
+∞
n<0
2、卷积的求法
1）卷积的图示求法
n ≤ -2, y(n)=0
n=-1
n=0
n=1
y(-1)=8
y(0)=6+4=10
y(1)=4+3+6=13
n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0
y(6)=0.5
y(n)=0, n ≥ 7
2）因果序列卷积问题 a) 若：
y(n) = x1(n)*x2 (n)
n n
−∞
a) b)
0 ≤ n ≤ N −1 y(n) = ∑x(k)h(n − k) = ∑an−k
k=0 k=0
1− a−(n+1) = an 1− a−1 1− a−N = an 1− a−1
n≥ N
y(n) = ∑x(k)h(n − k) = ∑an−k
k=0 k=0
N−1
n
x1(1 )
2 2 2 2
0 0
x1(2)
3
x1(3)
0
x1(4)
0
x2 (0) x2 (1) x2 (2) x2(3) x2 (4)
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 1 1 0
1 1 1 1
0
3 3 3 3
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
所以，y(n)=1,3,6,6,5,3 y(n)=0 当n<0
n=0,1,2,3,4,5
y(n)=0 当n>5
4）卷积的解析求法
关键是确定求和上下限
y(n) = x(n)*h(n) = ∑x(k)h(n − k)
k =−∞
x(k) 中 k的下上限分别为 L1和H1 h(n-k) 中 k的下上限分别为 L2和H2 H=MIN(H1,H2) 作为卷积上下限
∞
取L=MAX(L1,L2)
例： x(n)= u(n) – u(n-N) h(n)=
m =−∞
∑ x ( m) h ( n − m)
∞
−∞ < n < ∞
1、卷积的运算规律 、
1）交换律 2）结合律 3）分配率
y(n) = x(n)*h(n) = h(n)* x(n)
y(n) = x(n)*[h1(n) + h2 (n)] = x(n)*h (n) + x(n)*h2 (n) 1
卷积和
设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：
y ( n) =
m =−∞
∑ x ( m) h( n − m) = x ( n) ∗ h( n)
∞
1）翻褶： x(n) → x(m) h(n) → h(m) → h(− m) 2）移位
h(−m) →h(n−m)
3）相乘： x(m) ⋅ h(n − m) −∞ < m < ∞ 4）相加：
n
n<0
即2个信号均为因果信号 则
y(n) = ∑x1(k) • x2 (n − k) = ∑x1(k) • x2 (n − k)
k =−∞ k =0
d)
若：2序列之一为单位序列
则
y(n) = x(n)*δ (n) = ∑δ (k) • x(n − k) = x(n)
k −∞
+∞
e) 若：
y(n) = x(n)*δ (n − N)
x1(2) • x2 (2) x1(3) • x2 (2) x1(2) • x2 (3) x1(2) • x2 (4) x1(3) • x2 (3)
x1(3) • x2 (4) x1(4) • x2 (4)
举例：
x1(n) =n +1 x2 (n) =1 x1(0)
1 2
n=0,1,2 n=0,1,2,3 求2信号卷积
x1(0) • x2 (0) x1(0) • x2 (1) x1(0) • x2 (2) x1(0) • x2 (3) x1(0) • x2 (4)
x1(1 )
x1(1) • x2 (0) x1(1) • x2 (1) x1(1) • x2 (2) x1(1) • x2 (3) x1(1) • x2 (4)
+∞
则：
y(n) = ∑δ (k − N) • x(n − k) = x(n − N)
k−∞
3）卷积的列表求法
对因果序列
y(n) = x1(n)* x2 (n) = ∑x1(k) • x2 (n − k)
k=0
n
求和号内自变量分别为 k 和 n-k 可列表如下
,二者和为n
x1(n)
x2 (n)
x1(0)
则
y(n) = ∑x1(k) • x2 (n − k) = ∑x1(k) • x2 (n − k)
k =−∞ k =−∞
n
c)
若：
y(n) = x1(n)*x2 (n)
x2 (n) = x2 (n) n ≥ 0
且 x1(n) = x1(n) n ≥ 0
x1(n) = 0
+∞
n<0
x2 (n) = 0
an0<a<1 0 n≥
h(n)= 0 n<0
n
求y(n)=x(n)*h(n)
解： 二序列均为因果序列 1）当n<0时 y(n)=0 2) x(k)下上限分别为0，N-1 h(n-k)中k的下上限分别为
y(n) = x(n)*h(n) = ∑x(k) • h(n − k)
k =0
，n
求和下限为0，随n不同，上限不同，为n或N-1
x1(2)
x1(3)
x1(4)
x1(4) • x2 (0)
x2 (0) x2 (1 ) x2 (2) x2 (3) x2 (4)
x1(2) • x2 (0) x1(3) • x2 (0) x1(2) • x2 (1) x1(3) • x2 (1)
x1(4) • x2 (1) x1(4) • x2 (2) x1(4) • x2 (3)