特殊方程的解法

-------------绝对值方程

1、掌握形如| x | = a（a≥0）方程的解法；

2、掌握形如| x – a | = b（b≥0）方程的解法。

知识结构

绝对值的代数和几何意义。

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

a a > 0）

用字母表示为| a | = 0 （a = 0）

– a （a < 0）

绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负数。

我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程简称绝对值方程

解绝对值方程的基本方法有：

1、设法去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的，方程求解

2、数形结合，借助于图形的直观性求解

说明：前者是通法，后者是技巧。解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法

（1）| x | = 7；（2）5 | x | = 10；

解：（1）x =±7；

（2）x = ±2；

我来试一试！

（3）| x | = 0；

答案：x = 0

解方程：（1）19 – | x | = 100 – 10 | x |

（2）2||3

3|| 4

x

x

+

=-

解：（1）– | x | + 10 | x | = 100 – 19 （2） 2 | x | + 3 = 12 – 4 | x |

9 | x | = 81 2 | x | + 4 | x | = 12 – 3

| x | = 9 6 | x | = 9

x = ±9 | x | = 1.5

x = ±1.5

、思考：如何解| x – 1 | = 2

分析：用换元（整体思想）法去解决，把x – 1 看成一个字母y，则原方程变为：| y | = 2，这个方程的解为y = ±2，即x – 1 = ±2，解得x = 3或x = – 1. 解：x – 1 = 2 或x – 1 = – 2

x = 3 x = – 1

例题小结：

形如| x – a | = b（b≥0）的方程的解法：

解：x – a = b 或x – a = – b

x = a + b x = a – b

解方程：| 2x – 1 | – 3 = 0

解：| 2x – 1 | = 3

2x – 1 = 3 或2x – 1 = – 3

2x = 4 2x = – 2

x = 2 x = – 1

把绝对值内的式子看成一个整体，用一个字母表示的方法叫换元法，形如

| mx – n | = a（m，n，a为已知数，且a ≥0）方程分为两步解

（1）先解| y | = a（a≥0）

（2）再解mx – n = y的方程

解：mx – n = ±a

mx – n = a或mx – n = – a

x = n a

m

+

x =

n a

m

-

我来试一试！

1、解方程：3

|21|6

2

y-=（y = 2.5或– 1.5）

——无理方程

1、学习无理方程的解法（含一个根式、含两个根式的方程的解法）；

2、学习根据无理方程的意义，解决有关无理方程根的意义问题；

知识结构

一、无理方程的定义：含根式的方程为无理方程。 二、无理方程的解法：

1、含有一个根号的无理方程的解法： 在两边平方前先整理方程，把含根号的项放到等号的左边，把不含根号的项移到等号的右边。

2、含两个根号的无理方程：

这种类型的无理方程需要对方程两边两次平方，在第一次平方前要检查一下两个根号是否放在等号的两边，第二次两边平方前，要仿照前面第一种类型的解题方法。 以后类推。

1解方程

1x -=

分析：移项、平方，转化为有理方程求解．

解：1x =+ 两边平方得：2

721x x x +=++

移项，合并同类项得：260x x +-=

解得：3x =-或2x = 检验：把3x =-代入原方程，左边≠右边，所以3x =-是增根． 把2x =代入原方程，左边 = 右边，所以2x =是原方程的根． 所以，原方程的解是2x =．

说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．

2解方程

3+=

分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．

解：3=-

两边平方得：3293x x -=-+

整理得：1427x x =-⇒=- 两边平方得：29(3)4914x x x +=-+

整理得：2

23220x x -+=，解得：1x =或22x =．

检验：把1x =代入原方程，左边=右边，所以1x =是原方程的根． 把22x =代入原方程，左边≠右边，所以22x =是增根．

所以，原方程的解是1x =．

3解方程

解 移项得

两边平方后整理得

再两边平方后整理得x 2＋3x-28＝0，

所以 x 1=4，x 2=-7．

经检验知，x 2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．

说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：

①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．

2．换元法解无理方程