组合数学复习-1.
江苏大学 组合数学期末考试复习资料
∈ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} ,
f ∈ {1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
（１） 当a （２） 当a
∈ { 3 , 5 , 7 } 时，ｆ 只有 ４ 种取法，此时有 3 ⋅ 4 ⋅ p 84 = 12 p 84
4 4 ∈ { 2 , 4 , 6 ,8 } 时， ｆ 有 ５ 种取法， 此时有 4 ⋅ 5 ⋅ p 8 = 20 p 8
能够除尽 1400 的正整数的个数为： （3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24
4． 有 5 颗红珠子和 3 颗兰珠子装在圆板的四周，有多少种方案？若兰珠子放在 一起呢？若兰珠子不相邻呢？ 解： 若不加限制，即为圆排列，有 Q88 ＝7！ 若兰珠子放在一起 ，先把兰珠子看成一个作圆排列，后对 3 个兰珠 子作全排列，有 Q66 ×P33 ＝ 5！×3！ 若兰珠子不相邻， 先把红珠子作圆排列， 然 后 对 3 个兰珠子插入， 有 Q55 ×5×4×3＝ 4!×5×4×3
第一章
习
题
1． 1)求小于 10000 的含 1 的正整数的个数 2)求小于 10000 的含 0 的正整数的个数 解： 1)小于 10000 的不含 1 的正整数可看做 4 位数,但 0000 除外. 故有 9×9×9×9－1＝6560 个. 含 1 的有：9999－6560=3439 个 （另: 全部 4 位数有 10 个,不含 1 的四位数有 94 个, 含 1 的 4 位数为两个的差 : 104 －94 = 3439 个） 2)“含 0”和“含 1”不可直接套用， 在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。 不含 0 的 1 位数有 9 个，2 位数有 92 个，3 位数有 93 个，4 位数有 94 个。不含 0 小于 10000 的正整数有 9+92 +93 +94 =9(1－94 )/(1－9)=7380 个 含 0 小于 10000 的正整数有：9999－7380=2619 个 2． 求 200000 到 900000 之间的奇数中由不同数字组成的六位数的个数。 解：设这个六位数为 ａｂｃｄｅｆ， 则a
组合数学讲义1
概述组合数学在生活中处处可见。
计算单循环、双循环赛制下比赛的场数、构造幻方、一笔画、计算扑克牌游戏中满堂红牌的手数，概率等。
扎根于数学游戏和娱乐中，计算机技术的发展促进了其发展。
解决两类问题：排列的存在性问题（这是根本性问题。
排列集合中的某些元素使其满足某些条件，其排列的存在性并非总是显而易见的，若不存在，那么什么条件下会存在）；排列的计数和分类问题。
（若存在，则会有多种方法实现，需要计数，并将其分类）。
一、棋盘的完美覆盖问题二、切割立方体三、幻方：四、四色问题五、36军官问题来自6个军团的6个军衔的军官，排成方阵，要求每行每列都有各种军衔的军官1名，并且每行每列的军官都是来自不同的军团。
六、最短路径问题组合优化的问题。
（路由选择）七、Nim 取子游戏鸽笼原理（抽屉原则）一、简单形式：把n+1个物体放入n 个盒子中，有一个盒子中至少有2个物体。
证明方法：反证法。
鸽笼原理与反证法的关系，类似于不完全归纳法与数学归纳法的关系。
例1 13个人中至少有两个人的生日在同一个月。
例2 有n 对夫妇，至少选择多少个人，才能保证至少有一对夫妇被选出？变化形式：把n 个物体放入n 个盒子中，每一个盒子中至少有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
把n 个物体放入n 个盒子中，每一个盒子中至多有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
例3 整数列a 1，a 2，〃〃〃〃〃〃，a m 中，一定有若干个连续的数的和能被m 整除。
构造∑==ij j i a b 1，构造所有被m 除所得余数的鸽笼，共有m 个若两个b i 被m 除的余数相同，则其差能被m 整除，现在笼子多一个，不用考虑余数为0的情况（此时已经满足要求）例4 大师11周训练，每天至少下一盘，每周不超过12盘，证明：有连续的若干天，刚好下了21盘棋。
证明：共77天，分别下a 1，a 2，〃〃〃〃〃〃，a 77构造则前i 天共下了∑==ij j i a b 1要证明存在b i ，b j ，使得b i - b j =21构造t i =21+b i ，变成证明存在t i = b j1≤b 1< b 2<〃〃〃〃〃〃<b 77≤13222≤t 1< t 2<〃〃〃〃〃〃<b 77≤153b 与t 混合在一起总共有154个，而结果只能有153个，从而必有两个数相同，但不可能同是t ，或同是b ，因为分别严格增加。
图论与组合数学期末复习试题含答案
图论与组合数学期末复习试题含答案组合数学部分第1章排列与组合例1：1)、求⼩于10000的含1的正整数的个数；2、)求⼩于10000的含0的正整数的个数；解：1)、⼩于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套⽤。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个不含0⼩于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0⼩于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种⽅案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满⾜条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取⼀数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数⽬等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶⼦节点从⼩到⼤的顺序依次去掉节点（包含与此叶⼦节点相连接的线），⽽与这个去掉的叶⼦节点相邻的另外⼀个内点值则记⼊序列。
如上图所⽰，先去掉最⼩的叶⼦节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶⼦节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为⽌，则最终序列为51155.。
2）、⾸先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从⼩到⼤顺序依次排列并插⼊递增序列得到：112223344567。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
李凡长版 组合数学课后习题答案 习题1
1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。
（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。
（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。
（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。
所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。
如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。
求n 和m 。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。
因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
高中数学组合数学与排列数学知识点总结
高中数学组合数学与排列数学知识点总结组合数学和排列数学都是高中数学中的重要内容，它们不仅在学科内部有深入的应用，还在许多实际问题中发挥着重要的作用。
本文将对高中数学中的组合数学与排列数学知识点进行总结和归纳。
一、组合数学知识点总结1.1 定义及性质组合数学是研究离散结构的一门学科，其中组合数是其中的一个重要概念。
组合数表示从n个不同元素中选取r个元素的所有可能情况的个数，记作C(n,r)或者(nCr)。
组合数有以下性质：- C(n,0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素，只有一种情况，即空集。
- C(n,n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素，只有一种情况，即全集。
- C(n,r) = C(n,n-r)，表示从n个元素中选取r个元素与选取剩下的n-r个元素是等价的。
1.2 组合的计算方法计算组合数可以使用以下方法：- 递推公式：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，即组合数等于上一层的左上方和正上方的组合数之和。
- 公式法：C(n,r) = n! / [(n-r)! * r!]，即组合数等于n的阶乘除以剩下的n-r个元素的阶乘和r个元素的阶乘的乘积。
1.3 组合数的应用组合数在实际问题中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：组合数可以用于计算事件发生的概率。
- 集合的子集计数：组合数可以计算集合的子集个数。
- 礼物分配问题：组合数可以用于计算礼物分配的方式。
- 编码组合问题：组合数可以用于计算编码方式的组合数。
二、排列数学知识点总结2.1 定义及性质排列数学是研究有序排列的一门学科，其中排列数是其中的一个重要概念。
排列数表示从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的所有可能情况的个数，记作P(n,r)。
排列数有以下性质：- P(n,1) = n，表示从n个元素中选取1个元素进行排列，排列结果个数等于元素个数。
- P(n,n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，排列结果个数等于n的阶乘。
组合数学第四版卢开澄标准答案-第一章
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
最新组合数学复习资料(前两章)
组合数学复习资料第一章什么是组合数学略第二章鸽巢原理2.1 鸽巢原理：简单形式鸽巢原理的简单形式：若在n个盒子中放有n+1个物件，则至少有一个盒子中放有两个或更多的物体。
应用1，应用2（对应第4题），应用3（略），应用4（对应第1题），应用5（对应第7题），应用6（略）。
课后题第1题题目：关于本节中的应用4，证明对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋（情形k=21是在应用4中处理的情况）。
能否论断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？解答：令是在第一天所下的盘数，是第一天和第二天所下的总盘数，以此类推，是前n天所下的总盘数。
由于每天至少要下一盘棋，故数值序列是一个严格递增的序列，即数列的每一项大于它前面的那一项。
此外，，而且由于每周下棋最多12盘，。
因为，我们有。
同样，序列也是一个严格递增序列：于是，这个数中每一个都是[1，132+k]内的一个整数。
区间内共有132+k个整数，故当132+k<154时，即k<22时，根据鸽巢原理的简单形式，这154个数中至少存在一对相等的数。
若则无法断定至少存在一对相等的数。
又因为数值序列和都是严格递增的，所以不存在相等的2个数，所以相等的2个数必然分别属于2个数值序列。
则存在，使得，也就是说从第i+1天至第j天，这位大师一共下了k盘棋。
所以命题“对于每个k=1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋”成立。
对于k=22的情况，无法论断。
课后题第4题题目：证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1个整数，那么总存在两个整数，他们之间相差为1。
解答：对于集合{1，2，...，2n}可以划分为n个互不相交的子集：{1，2}，{3，4}，...，{2n-1，n}，且这些子集包含了原集合的全部元素。
故从原集合中选择n+1个整数，等价于从这n 个子集中选择n+1个整数。
研究生组合数学复习要点
(1)若首位是2,则此类三进制串有 an-1个； (2)若首位是1,则第二位必是1或2. 若第二位是2,则此类串有an-2个； 若前二位是1,则第三位必是1或2. 若第三位是2,则此类串有 an-3个；
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……；若前n-2有 a1个； 若前n-1位是1,则第n位必是1或2，则此类串有2个.
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m 1种涂 法.故所求的涂色方案有m(m 1)n1 种.
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若题目改成：用m(m 2)种颜色去涂1 n(n 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少?
7
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有 多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
解 （1）男士有n!种排法, 女士也有n!种排 法, 男女相间又分男在前或女在前两种,所以共有 2 (n!)2 种.
(2) 先安排男士，有(n 1)!种, 然后在这n位 男士所形成的n个间隔中安排n位女士,有n!种, 所 以共有(n 1)!(n!)种.
解 用 hn 表示所求方法数.易知 h2 m(m 1). 用m种颜色去涂 1 n (n m) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m 1)n1 种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn1 种, 所以
hn m(m 1)n1 hn1 (n 2)
从而
11
hn m(m 1)n1 hn1 m(m 1)n1 m(m 1)n2 (1)2 hn2
关系
2
三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
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Mathematics Modeling
Lianyungang
鸽巢原理：加强形式应用
一篮子水果装有苹果、香蕉和橘子。为 了保证篮子或者至少 8 个苹果或者至少 6 个香蕉或者至少 9 个橘子，则放入篮 子中的水果的最小件数是多少？ 8+6+9-3+1=21
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Mathematics Modeling
Lianyungang
鸽巢原理：加强形式
设 q1,…, qn 都等同于一个正整数 r。 1.将 q1 + … + qn n + 1=n(r-1)+1 个物体放入 n 个盒子， 则至少有 1 个盒子含有 r 个物体或更多。 2. 如果 n 个非负整数的平均数大于 r-1， 那么至少有 一个整数大于或等于 r。 3.如果 n 个非负整数的平均数小于于 r+1， 那么至少 有一个整数小于r+1。
组合数学
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Lianyungang
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棋 盘 完 美 覆 盖 问 题
组合数学
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Liany盖 iff m 和 n 中至少 有一个是偶数。 –当 m 是偶数时，每块多米诺骨牌竖放。 –当 m 是奇数且 n 是偶数时，每块多米诺骨 牌横放。 –当 m 和 n 都是奇数时，棋盘的方格数 mn 是奇数。
Lianyungang
鸽巢原
理
鸽巢原理：简单形式 鸽巢原理：加强形式
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Lianyungang
鸽巢原理：简单形式
【定理】 若将 n+1 个物体放入 n 个盒 子，则至少有一个盒子中的物体数大 于 1。
组合数学知识点归纳总结
组合数学知识点归纳总结一、集合和排列集合和排列是组合数学中最基本的概念。
集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。
在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。
1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。
2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。
3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。
二、组合组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。
在组合中，有一些重要的性质和定理。
1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =n!/(k!(n-k)!)。
2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。
Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。
例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。
三、图论图论是研究图和网络结构的数学理论。
在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。
1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。
图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。
2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。
组合数学总复习
第一章:1一一对应的应用、排列、组合、圆周排列排列：n个不同的球取r个放进r个不同的盒子，P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!组合：n个不同的球去r个放进r个相同的盒子，C(n,r)=n!/[r!(n-r)!]圆周排列：将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。
Q(n,r)=P(n,r)/r，例1.19：5颗不同的红色珠子，3颗不同的蓝色珠子装在圆板的四周,试问有多少种方案？若蓝色珠子不相邻又有多少种排列方案？蓝色珠子在一起又如何？例1.20：5对夫妇出席一宴会，围一圆桌而坐，试问有几种不同的方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种方案?2.排列的生成算法、组合的生成算法。
排列的生成算法:对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的排列无重复无遗漏地枚举出来。
（1）.序数法的概要：1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{a n-1, a n-2,…, a1}m=a n-1(n-1)!+a n-2(n-2)!+…a2 *2!+a1*1!2、由{a n-1, a n-2,…, a1}确定排列序列p1p2…p na n-1,确定n的位置，a n-2确定n-1的位置，………………………a1确定2的位置，剩下的是1的位置。
（2）字典序法的概要1、求满足关系式p j<p j+1的下标j的最大值，设为i , i=max{j︱p j<p j+1}例如：839647521中i=5注:该位置值为42、求出i后，再求满足关系式p i<p k的k的最大值，设为h, h=max{k︱p i<p k}例如：839647521中h=7注:该位置值为53、p i与p h互换。
得新排列P1P2…P i-1P i P i+1…P n例如：839647521换成8396574214、将新排列P1P2…P i-1P i P i+1…P n中的P i+1…P n顺序逆转，得到P1P2…P i P n… P i+1组合的生成算法：例1: 将m=4000展开。
组合数学第一节鸽巢原理
第1章鸽巢原理鸽巢原理〔又叫抽屉原理〕指是一件简单明了事实：为数众多一群鸽子飞进不多巢穴里，那么至少有一个巢穴飞进了两只或更多鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见，但利用它可以解决许多有趣组合问题，得到一些很重要结论，它在数学历史上起了很重要作用。
1.1 鸽巢原理简单形式鸽巢原理简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把个物品放入个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多物品。
证明如果每个盒子中至多有一个物品，那么个盒子中至多有个物品，而我们共有个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，那么只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，那么必有两人属相一样。
例2 在边长为1正方形内任取5点，那么其中至少有两点，它们之间距离不超过。
证明把边长为1正方形分成4个边长为小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，那么这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间距离小于或等于小正方形对角线长度。
例3 给出个整数，证明：必存在整数，使得证明构造局部与序列那么有如下两种可能：〔i〕存在整数，使得，此时，取即满足题意。
〔ii〕对任一整数i，均有，令，那么有，这样，个余数均在1到m-1之间。
由鸽巢原理知，存在整数，使得。
不妨设，那么综合〔i〕与〔ii〕，即知题设结论成立。
例4 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，一周中下棋次数不能多于12次，证明：在此期间连续一些天中他正好下棋21次。
证明令分别为这11周期间他每天下棋次数，并作局部与根据题意，有且所以有〔1.1.1〕考虑数列它们都在1与之间，共有154项，由鸽巢原理知，其中必有两项相等，由〔1.1.1〕式知这77项互不相等，从而这77项也互不相等，所以一定存在，使得因此这说明从第天到第天这连续天中，他刚好下了21盘棋。
组合数学引论课后复习资料部分
组合数学引论课后答案习题一1.1任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。
1.2任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数1.3任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数1.4在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋1.5将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题1.6从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除1.7从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除1.8任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。
1.10上题中若改成9个整点，问是否有相同的结论？试证明你的结论1.11证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。
1.12 证明：对任意的整数N ，存在着N 的一个倍数，使得它仅有数字0和7组成。
（例如，N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）1.13(1)在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为12；(2)在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1 3；(3)确定nm，使得在一边长为1的等边三角形中任取nm个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1n；1.14一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。
1.15从1,2,…,2n中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为11.16针对1.1节的例6，当m,n不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一定成立习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
中科大-组合数学复习知识点
中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。
若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。
若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。
定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。
解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。
组合数学讲义及课后答案 1章 排列组合
8 1 6 3 5 7 4 9 2
2 7 6 9 5 1 4 3 8
图1.1.1 3 阶幻方 奇数阶幻方的生成方法： 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把 1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的
1/69Leabharlann 《组合数学》第一章
组合数学基础
(n× n－1)个数 (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底 行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在 最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列， 那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前 一个数的下一行同一列的格内。
算法分类： 第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、
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《组合数学》
第一章
组合数学基础
解方程组、求积分等，其数学基础是高等数学与线性代数。 第二类：组合算法，解决搜索、排序、组合优化等问题， 其数学基础就是组合数学。 按所研究问题的类型，组合数学所研究的内容可划分为： 组合计数理论 组合设计 组合矩阵论 组合优化 本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。 （三） 研究方法
A(0,0) 图1.1.3 最短路径
（2）对应为（元素可重复的）排列问题：一条从 A 到 B 的 路线对应一个由 7 个 x，5 个 y 共 12 个元素构成的排列。 蓝色路径 <——> ｘｙｙｘｘｙｙｘｘｘｘｙ 反之，给定一个排列，按照 x、y 的含义，必对应一条从 A 到 B 的行走路线。例如，排列
一坐上行正中央，依次斜填切莫忘， 上边出格往下填，右边出格往左填， 右上有数往下填，右上出格往下填。 例：将 2，4，6，8，10，12，14，16，18 填入下列幻方：
组合数学知识点归纳总结
组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科，它涉及离散数学的一部分内容。
组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关，它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。
在实际应用中，组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。
一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列，组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。
组合数学的基础知识就是排列组合。
其中，排列的计算公式为：$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为：$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。
在代数表达式$(a +b)^n$中，展开后的每一项的系数称为二项式系数。
根据二项式定理，二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。
具体来说，二项式系数可以表示为：$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。
简单来说，抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时，至少存在一个抽屉中放置了多个物体。
抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些排列组合问题。
四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。
容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。
具体来说，对于两个集合A和B，容斥原理可以表示为：$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。
生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数，从而方便求解数列的性质。
通过生成函数，我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。
在组合数学中，生成函数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种组合问题。
六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。
例如，图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。
组合数学1
组合数学1一、填空题1．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个元素（可以重复）的组合.这样的组合叫做相异元素可重复的组合,其个数为 m n 。
2．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个全不相同的元素,并且将这些元素放在圆周上进行排列,即排列好的元素列没有头尾,则其排列的个数为 ()!!n m n m -。
3．从88⨯的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”型,如图问共有 196 种不同的取法.4．计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧2n = 121n -- 。
5．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1n n = ()12n n - 。
6．计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧24= 11 。
7．6321)32(x x x +-中23231x x x 的系数是 1440- . 8、在多项式()7521...x x x +++的展开式中的项534321x x x x 的系数是 420 。
9．不定方程N x a x a x a n n =+++ 2211有整数解的充分必要条件是 ()1,2,0,n a a a N .二、选择题1．8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排队方法数是（ B ）。
A !63⋅ B !64⋅ C !66⋅ D !68⋅2．由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为（ D ）.A 4B 8C 12D 24.3．把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（ 16 ）种 A 45 B 36 C 28 D 204．从n 3个相邻的正整数中选出三个数，使它们的和能被3整除，共有不同选法种数为（ C ）.A 33n C ； B 313)(C ； C 333n C ； D 313)(3n n C C +.5．仅由数字1, 2, 3组成的七位数中, 相邻数字均不相同的七位数的个数是 ( D ). A 576 B 504 C 343 D 1926、8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形共有（ A ）种. A 15； B 30 ； C 48 ； D 60.7．设x ，y 均为正整数且y x +≤20，则这样的有序数对),(y x 共有（ A ）个。
2015级组合数学复习题解答
解 设所求的数为an,则{an}的指母函数为
x2 x3 Ge ( x ) ( x )9 ( e x 1)9 2! 3! n 9 9 9 9 x ( 1)k e (9k ) x ( 1)k (9 k )n n! k 0 k k 0 k n 0
解得
13 3 65 13 3 65 n an (5 65) (5 65) n 52 52
20
12. 在一圆周上均匀地取2n个点，用n条两两 不相交的弦把这些点配成对，求所有这种配对的
方式数.
解 设所求配对的方式数为hn,则h1 = 1,则h0 = 1,
，v2k， ，v2n , 连接 设2n个点依次为 v1，v2， v1，v2k , 则将圆周一分为二,一边有2(k -1)个点,
中，要求a与b的个数之和为偶数，求这样的单词
的个数.
解 这样的单词有两类：一类包括偶数个a与 偶数个b；另一类包括奇数个a与奇数个b.设所求 的数为an,则{an}的指母函数为
2 3 x2 x4 x x Ge ( x ) (1 ) 2 (1 x ) 3 2! 4! 2! 3! 2 3 x 3 x5 x x (x ) 2 (1 x ) 3 3! 5! 2! 3!
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 =14 x1 0，x7 0，xi 1, i 2, 3, , 62Fra bibliotek作变量代换
y1 x1，y7 x7，yi xi 1, i 2, 3, , 6
则原方程变成
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 9 yi 0, i 1, 2, 3, , 7
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8.求 的通解
9.求 的通解
定理设 ,且 则S的可重组合数的母函数为：
其中，r可重组合数为 的系数
3.组合的母函数：r-无重组合的母函数为？
4.组合的母函数：r-无限可重组合的母函数为？
5.组合的母函数：每个元素至少取一个，则r-可重组合的母函数为：
6.组合的母函数：每个元素出现非负偶数次，则r-可重组合的母函数为：？
7.指数型母函数：
（2）上述安排方案中假定该学者每天至少工作5小时，最多可以工作5+15=20小时。若限制除了要求的5小时外，第i天最多再工作 小时（ ），则答案是多项式
中 的系数 。
10.r个质点放到n个盒子里去，（１）ｒ个质点是不同的，任何盒子可以放任意个；
分析：第一个质点有n种放法，…第r个质点有n种放法。共 种分法：重复排列问题
11.有18张戏票分给甲，乙，丙，丁四个班，其中甲乙两班至少1张，甲班最多5张，乙班最多六章；丙班最少2张，最多7张；丁班最少4张，最多10张。可有几种分配方案？
解：这实质上是由甲，乙，丙，丁四类共28个元素中可重复地选取18个元素的组合问题。其中
由推论6知相应的母函数为
共有140种分配方案
12.例：从n双互相不同的鞋中取出r只，要求其中没有任何两只是成对的，问共有多少种不同的取法？
对于数列 把形式幂级数
称为数列 的指数型母函数，而数列 则称为指母函数 的生成序列。
8.排列的母函数：重集S的r-可重排列的指母函数为？
定理2.3.1设重集 ，且 ，则S的r可重排列的指母函数为
其中r可重排列数为 的系数 。
9.排列的母函数：集合S的r-无重排列的指母函数为？
10.排列的母函数：集合S的r-无限可重排列的指母函数为？
所以，从中取4个球的排列方案有70种。
15.例五个数字1，1，2，2，3能组成多少个四位数？
解用 表示组成r位数的个数， 的指母函数为
16.证明序列C(n,n),C(n+1,n),C(n+2,n),…的母函数为
17.设 ，求序列 的母函数，其中 是S的满足下列条件的n-组合数；
（1）S的每个元素都出现奇数次；
（2）S的每个元素出现3的倍数次；
（3） 不出现， 至多出现一次；
（4） 只出现1，3，11次； 只出现2，4，5次；
（5）S的每个元素至少出现10次。
递推关系
1.常系数线形递推关系： 或 分别称为k阶齐次递推关系和k阶非齐次递推关系。
对于齐次递推关系：
2.特征根法
（1）特征根为单根情形
设 是互补相同的特征根，则式的通解为
其中求和是在使 的所有非负整数列上进行的。
8.不同的5个字母通过通信线路被传送，每两个相邻字母之间至少插入3个空格，但要求空格总数必须等于15，共有多少种不同的传送方式。
解5个字母的全排列为5！先将12个空格均匀的放入4个间隔内，再将剩余的3个空格插入4个不同的间隔内，方案数为从4个相异元素中可重复的选3个元素：
，其中 为任意常数（待定）。
（2）重根情形
一般情况下，设q是3.2.1的k重根，则式3.2.1的通解为
（3）复根情形
（3.1）若存在一对复根， ，则通项为：
（3.2）若存在一对m重复根， ，则通项为：
3.求递推关系 的通解。
4.求递推关系 的通解。
5.求定解
6.非齐次方程:定理3.2.2设 是式3.2.2的一个特解， 是式3.2.1的通解，则式3.2.2的通解为
解法二母函数法，由定理2.1.1得
由于每类元素最多只能出现1次，故 中不能有 项，再由同双的两只鞋子有区别，x的系数应为2。
13.数列｛ ｝的指母函数为
普母函数为：
14.例.盒中有3个红球，2个黄球，3个蓝球，从中取4个球，排成一列，问共有多少种不同的排列方案。
球的种类3种， ，r=4,由排列母函数定理知
排列组合
1.相异元素不允许重复的排列数为？
2.相异元素允许重复的排列？
3.不尽相异元素的全排列？
当r=n时，首先视为n个不同元素的全排列，共有n!种。但对每个排列实际重复统计了n1!, n2!...nt!次。原因是当元素不同时，同类元素相互交换位置，对应不同的排列，而当同类元素相同时，同类元素互相交换位置，该排列不变。
(6.1) （b为常数）
，其中m表示1是式3.2.1的m重特征根。若1不是特征根，即m=0，则
(6.2) （b为常数）
，其中m表示b是式3.2.1的m重特征根。若b不是特征根，即m=0，则
(6.3) ( 为关于n的r次多项式，b为常数)
，其中 是与 同次的多项式，m仍然是b为特征根的重数若b不是特征根，即m=0，
（２）ｒ个质点完全相同，每一个盒子可放任意个；
分析：因为r个质点相同，故不分先后顺序，是组合问题。
属于相异元素允许重复的组合数：
（３）ｒ个质点都完全相同，每盒不得超过一个。
分析：不允许重复的组合数：
14.组合等式中：加法公式，乘法公式（证明）
（关键是把元素分成几类）15.求 的展开式？16. 的展开式中， 的系数是？
按照乘法法则：总的传输方式有5！.20种
9.一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？
解：（1）是重复组合问题。（相异元素允许重复的组合）。每周按7天计算，先拿出5*7=35小时平均分配到每一天，只有一种安排方案，其次将其余的50-35=15小时安排到7天之中，每天的小时数不受限制，则有：C(n+r-1,r)=C( 7+15-1,15)中安排方案。
4.相异元素不允许重复的圆排列和项链排列的方案数？
圆排列：从n个元素中不重复的取r个围成的圆排列
项链排列：对于圆排列，将所穿的环翻过来，是另一种圆排列，但对于项链排列是同一种，故除以2。
5.相异元素不允许重复组合数
6.相异元素允许重复的组合问题
7.多项式系数的求法？
定理1：设n与t均为正整数，则有
（2）
17.今天是星期日，再过 天是星期几？
解：
可以看出后50项都是7的倍数，第一项又可以表示为：
所以，再过 天是星期4
母函数
1.普母函数的定义
定义对于数列 ，称无穷级数 为该数列的普通型母函数，简称普母函数或母函数，同时称 为 的生成数列。
有限数列 ，r=0,1,2,…,n的普母函数是
证：
2.组合的母函数：r-可重组合的母函数为？