工程力学第十二章

I yz
yz d A
A
为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位
为m4。
Iz
y2 d A
A
为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita
of an area)或二次轴矩，其单位为m4。
FN
dA E
A
r
y d A ESz 0
A
r
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EI yz 0
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，属于截面的几何性质，而
其中
Sz
yd A
A
为截面对于z轴的静矩(static moment of an
area)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴） (section modulus in bending)，其单位为m3。
(2)物理关系━━力与变形（应力、应变）
梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、
压弹性模量相同时，有
M
E E y r
这表明，直梁的横截面上的正应力 沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化
(截面上与正应力相应的法
向内力元素dA(图d )不可能组成轴
力( FN A d A 0 )，也不可能组成对
在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自
动满足。
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z
A
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 1 M
r EI z
上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由 于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化,
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；
2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零，A yz d A 0；
o
z
Oz
d1
h
yt,max
y
y
y
b
(a)
(b)
(c)
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应 力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的
值max为
max
（f)
推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。
〈3〉纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，
第十二章 弯曲应力
§12-1 梁弯曲时的正应力 §12-2 惯性矩的计算 §12-3 梁弯曲时的强度计算 §12-4 梁弯曲时的切应力 §12-5 提高弯曲强度的措施
梁横截面上 与弯矩M对应， 与剪力F对应。
M
FQ
F
FQ
M
C F
M
C FA
12-1 梁弯曲时的正应力
一、弯曲分类
纯弯曲 (pure bending) ━━ 梁或梁上的某段内各横截面上 无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。
力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正
应力为拉应力还是压应力；在此情况下
可以把式中的 y 看作求应力的点离中性
轴 z 的距离。
纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还
使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲
横力弯曲 (bending by transverse force) ━━ 梁横截面上既 有弯矩又有剪力；相应的，横截面既有正应力又有切应力。
二、 纯弯曲时的正应力
计算公式的推导 (1) 几何关系━━变形与应变
观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况
<1>. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的 纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面 的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；
所以纯弯曲梁段轴线为一段圆弧。
将上式代入得出的式子
E
y
r
即得弯曲正应力计算
公式：
My
Iz
My
Iz
应用此式时，如果如图中那样取 y 轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正
负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正
负的情况下，所得正应力的正负自动表
示拉应力或压应力。但实际应用中往往
直接根据横截面上弯矩的转向及求正应
两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的横截
面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为
B1B B1B y d
AB1 O1O2 d x
若中性层的半径为r(如图c)，则有
(c)
dx r d
y r
即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变
与该点至中性轴的距离 y 成正比。
时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不
再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形
截面简支梁，当其跨长与截面高度之比
l h
大于5时，梁的
跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超
过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用
于横力弯曲情况.
b
d2
yc,max
h d
oz
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧 的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一 层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与 横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━ 中性轴 (neutral axis)。
(d)
于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的
轴)的内力偶矩( M y AzdA 0 )，只
能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即
M z
y d A M
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz 0
A
r
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EI yz 0