北京专用2019版高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和课件文
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
,解得
2.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= ( B )
A.4×
3 2
n
C.4×
2 3
n
B.4× D.4×
3 n1 2 2 n1 3
答案 B 由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,
故a1=4,a2=6,所以q= 3
2
,则an=4×
6.(2017北京朝阳期中)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2,
S4=5S2,则a1的值为
,S4的值为
.
答案 1 1 ;5
22
解析 当等比数列的公比等于1时,由a3=2,得S4=4a3=4×2=8,5S2=5×2a3=5 ×2×2=20,与题意不符. 设各项均为正数的等比数列的公比为q(q>0且q≠1),
如果一个数列从① 第二项 起,每一项与前一项的比等于② 同一个常数 , 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的③ 公比 ,通常用字
母④ q 表示,定义的表达式为a n 1 =q(n∈N*).
an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤
a qn-1 1
.
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,那么G叫做a与b的等比中项.
解析 本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算 求解能力. (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
a b
n n
仍 是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=⑨ na1 ;
a 1 (1 q n )
当q≠1时,Sn=⑩ 1 q =
a1 anq
1 .q
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数 列,其公比为 qn .
由a3=2,S4=5S2,得
a1q2 a1 (1
2, q4)
1 q
5(a1
a1q),
整理得
a q
1 q解2 得2 ,
2 4,
则S4=
1 2
(1
=
2
4)
.
15
1 2
2
或 a 1
1 2
(, 舍).
a
1
1 2
,
q 2 q 2
考点突破
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (2017北京,15,13分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1 =1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
S奇
(4)三个数成等比数列,通常设为 x ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为x ,
q
q3
x ,xq,xq3.
q
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
1 4
,则公比q=(D
)
A.- 1
B.-2 C.2 D1.
2
2
答案
D
由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4=
1 4
q= 1 .故选D.
2
②,由②÷①得q3=1
从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1= 3 n . 1
2
方法指导 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,
当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn= a 1 (1= q n )
与等比数列有关的结论
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*). (3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之
和为S偶,则 S 偶 =q.
第三节 等比数列及其前n项和
教材研读
总纲目录
1.等比数列的定义 2.等比数列的通项公式
3.等比中项
4.等比数列的常用性质 5.等比数列的前n项和公式
6.等比数列前n项和的性质
考点突破
考点一 等比数列的基本运算 考点二 等比数列的性质及其应用 考点三 等比数列的判定与证明
教材研读
1.等比数列的定义
1 q
a 1 .a n q
1 q
1-1 (2016北京西城期末)已知数列{an}是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公 差为-3的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n,记Sn为数列{bn}的前n项和,证明:Sn< 1 6 .
3 2
n 1
.
3.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B )
A.10 B.25 C.50 D.75
答案 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
4.(2016北京丰台一模)已知等比数列{an}中a1=1,且
a4 a1
=aa825,那 aa么58 S5
的值是 ( B )
A.15 B.31 C.63 D.64
答案 B ∴q=2.
∵ a4 =a5 =a8
a1 a2 a5
又∵a1=1,
∴S5=1 (=1 312.5 )
1 2
a=1qq33=8,a2q3a5q3 q3(a1 a2 a5 )
a1a2 a5
a1 a2 a5
5.(2017北京海淀一模)已知等比数列{an}中,a2a4=a5,a4=8,则公比q=
,其前4项和S4=
.
答案 பைடு நூலகம்;15
解析 设等比数列{an}的公比为q. ∵a2a4=a5,a4=8, ∴8a2=a2·q3,∴q=2. ∴a1=1,∴S4=1 (=1 152.4 )
1 2
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),
1
a
,{
n
}a ,n2{an·bn},
,解得
2.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= ( B )
A.4×
3 2
n
C.4×
2 3
n
B.4× D.4×
3 n1 2 2 n1 3
答案 B 由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,
故a1=4,a2=6,所以q= 3
2
,则an=4×
6.(2017北京朝阳期中)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2,
S4=5S2,则a1的值为
,S4的值为
.
答案 1 1 ;5
22
解析 当等比数列的公比等于1时,由a3=2,得S4=4a3=4×2=8,5S2=5×2a3=5 ×2×2=20,与题意不符. 设各项均为正数的等比数列的公比为q(q>0且q≠1),
如果一个数列从① 第二项 起,每一项与前一项的比等于② 同一个常数 , 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的③ 公比 ,通常用字
母④ q 表示,定义的表达式为a n 1 =q(n∈N*).
an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤
a qn-1 1
.
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,那么G叫做a与b的等比中项.
解析 本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算 求解能力. (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
a b
n n
仍 是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=⑨ na1 ;
a 1 (1 q n )
当q≠1时,Sn=⑩ 1 q =
a1 anq
1 .q
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数 列,其公比为 qn .
由a3=2,S4=5S2,得
a1q2 a1 (1
2, q4)
1 q
5(a1
a1q),
整理得
a q
1 q解2 得2 ,
2 4,
则S4=
1 2
(1
=
2
4)
.
15
1 2
2
或 a 1
1 2
(, 舍).
a
1
1 2
,
q 2 q 2
考点突破
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (2017北京,15,13分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1 =1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
S奇
(4)三个数成等比数列,通常设为 x ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为x ,
q
q3
x ,xq,xq3.
q
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
1 4
,则公比q=(D
)
A.- 1
B.-2 C.2 D1.
2
2
答案
D
由通项公式及已知得a1q=2①,a1q4=
1 4
q= 1 .故选D.
2
②,由②÷①得q3=1
从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1= 3 n . 1
2
方法指导 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,
当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn= a 1 (1= q n )
与等比数列有关的结论
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*). (3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之
和为S偶,则 S 偶 =q.
第三节 等比数列及其前n项和
教材研读
总纲目录
1.等比数列的定义 2.等比数列的通项公式
3.等比中项
4.等比数列的常用性质 5.等比数列的前n项和公式
6.等比数列前n项和的性质
考点突破
考点一 等比数列的基本运算 考点二 等比数列的性质及其应用 考点三 等比数列的判定与证明
教材研读
1.等比数列的定义
1 q
a 1 .a n q
1 q
1-1 (2016北京西城期末)已知数列{an}是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公 差为-3的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n,记Sn为数列{bn}的前n项和,证明:Sn< 1 6 .
3 2
n 1
.
3.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B )
A.10 B.25 C.50 D.75
答案 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
4.(2016北京丰台一模)已知等比数列{an}中a1=1,且
a4 a1
=aa825,那 aa么58 S5
的值是 ( B )
A.15 B.31 C.63 D.64
答案 B ∴q=2.
∵ a4 =a5 =a8
a1 a2 a5
又∵a1=1,
∴S5=1 (=1 312.5 )
1 2
a=1qq33=8,a2q3a5q3 q3(a1 a2 a5 )
a1a2 a5
a1 a2 a5
5.(2017北京海淀一模)已知等比数列{an}中,a2a4=a5,a4=8,则公比q=
,其前4项和S4=
.
答案 பைடு நூலகம்;15
解析 设等比数列{an}的公比为q. ∵a2a4=a5,a4=8, ∴8a2=a2·q3,∴q=2. ∴a1=1,∴S4=1 (=1 152.4 )
1 2
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),
1
a
,{
n
}a ,n2{an·bn},