07(研)数值分析

数值分析试题 2007.12

一、简答下列各题：（每题4分，共20分）

1．为了提高计算精度，求方程x 2－72x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？

2．设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=2112A ，求)(A ρ和2)(A Cond 。

3．设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=131122321A ，求A 的LU 分解式。

4．问23221)2(x x x x ++=是不是3R 上的向量范数,为什么？ 5．求数值积分公式⎰-≈b

a a

b a f dx x f ))(()(的截断误差R[ƒ]。

二、解答下列各题：（每题8分，共56分）

1．已知线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=-+=-+3

53231

4321

321321x x x x x x x x x ，问能用哪些方法求解？为什么？

2.解线性方程组b Ax =的Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？其中：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=211111112A

3.设]2,0[)(4C x f y ∈=，且0)0(,0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f ，试求)(x f 的三次插值多项式)(3x H ，并写出余项)()()(33x H x f x R -=。 4．给定离散数据

试求形如3bx a y +=的拟合曲线。

5．求区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的正交多项式)(0x p ，)(1x p 和)(2x p 。 6．证明求积公式：

⎰

+++-≈3

1

)

5

3

2(5)2(8)532(5[91)(f f f dx x f

是Gauss 型求积公式。

7. 利用2=n 的复化Simpson 公式计算计算定积分 ，并估计误差][f R 。 三、（12分）已知方程0cos 2=-x x ， 1.证明此方程有唯一正根α；

2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]1,0[0∈x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。

3.若取初值00=x ，用此迭代法求精度为510-=ε的近似根，需要迭代多少步？ 四、（12分）已知求解常微分方程初值问题：

⎩⎨

⎧∈==']

,[,)(),(b a x a y y x f y α

的差分公式：

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

=++==++=+α

0121211)

32

,32()

,()3(4y hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n 1．证明：此差分公式是二阶方法；

2．用此差分公式求解初值问题1)0(,10=-='y y y 时，取步长h=0.25,所得数值解是否稳定,为什么？

⎰1

0sin xdx

数值分析试题（参考答案）

一、

1．应采用公式（韦达定理）:1211221)13636(,13636---+==-+=x x x ，避免相近数相减。

2．A 的特征值为3,121==λλ，所以)(A ρ＝3；2)(A Cond ＝3⨯1＝3。

3．由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2/92/11522321，故⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/95232

112/11121A 。

4．不是，不满足非负性（如0)2,1,0(≠-=T x ,但0=x ）。 5．⎰--=b

a a

b a f dx x f f R ))(()()(),(,2

)()())((2

b a a b f dx a x f b

a

x ∈-'=-'=⎰

ξξξ.

二、1．由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用顺序Gauss 消元法； 由于系数矩阵行列式不为零，也可以用列主元(全主元)Gauss 消元法； 由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用直接三角分解法（LU ）. 由于系数矩阵是严格对角占优矩阵，可用J-法，G-S 法和SOR(10≤<ω)法。

2.令02111

2=--λ

λ

λ

λλ

λ

得：0)12(2=+λλ，所以G-S 迭代矩阵G 的特征值为:

2/1,0321-===λλλ,于是12/1)(<=G ρ，所以G-S 迭代法收敛。

3.设0

02211003)()()()()(y x y x y x y x x H '+++=ψϕϕϕ)(2)(10x x ϕϕ+= 其中，)2)(1)(()(0--+=x x b ax x ϕ)2)(1)(23(4/1--+=x x x

)2()(21-=x Cx x ϕ)2(2--=x x

所以，)2(2)2)(1)(23(4/1)(23----+=x x x x x x H

)2)(25(4/12-++-=x x x

=

14

9452

3++-x x 〔或令)2)(()(23-++=x c bx ax x H ，用待定系数法求出。〕

余项为：)2,0(,)2)(1(!

4)()()()(2

)4(33∈--=

-=x x x x x f x H x f x R ξξ 4.取310)(,1)(x x x ==ϕϕ，则有T T T f x )2,0,1,1(,)8,1,0,1()(,)1,1,1,1(10-=-==ϕϕ,

正则方程组为⎩⎨⎧=+=+15668284b a b a ，拟合曲线：33

22.006.05011503x x y -=+=。

5．区间[0，1]上x x =)(ρ的正交多项式：1)(0=x p ，

3

2)

,()

,()(10

1

0200001-

=-

=-

=⎰⎰x xdx

dx

x x p p p p x x x p ， )3

2()3/2()3/2()(1

2

1

03

1

1

032

2-----=⎰⎰⎰⎰x dx x x dx x x xdx dx

x x x p 10

3562

+-

=x x

。 6．f(x)=1时，左＝2，右＝18/9＝2，公式精确成立，

f(x)=x 时，左＝4，右＝36/9＝4，公式精确成立，

f(x)=x 2时，左＝26/3，右＝78/9＝26/3，公式精确成立， f(x)=x 3时，左＝20，右＝180/9＝20，公式精确成立，

f(x)=x 4时，左＝242/5，右＝2178/5/9＝242/5，公式精确成立， f(x)=x 5时，左＝364/3，右＝1092/9＝364/3，公式精确成立， 所以，公式的代数精度为5，是3点Gauss 公式。

或者先验证：)5/32)(5/32)(2()(3--+--=x x x x p )5/174)(2(2+--=x x x 是区间[0,1]上权函数1)(=x ρ的正交多项式，再验证积分系数。 7．=++++=

≈⎰]1sin 4

3

sin 441sin 421sin 20[sin 121sin 21

0S xdx 0.459707744 000018261.01628801

sin 2

2880)01(|)(|4

45≈⨯=⨯-≤M f R 三、1.记x x x f cos 2)(-=，由于0sin 2)(>+='x x f ，所以)(x f 是严格单调增函数，又由于01)0(<-=f ，01cos 2)1(>-=f ，所以方程0)(=x f 有唯一正根α，且在区间(0，1)内。

2.将方程改写为：2/cos x x =可建立迭代格式：,...2,1,0,cos 2/11==+k x x k k ，且迭代函数为：x x cos 2/1)(=ϕ。由于]1,0[,12/1)(1cos 2/10∈<≤≤