金融衍生品定价理论第三章(binomial tree methods--discrete models of option pricing)
衍生品定价的基本方法
衍生品定价的基本方法衍生品是金融市场中的重要工具，它们是根据基础资产而衍生出来的金融产品。
由于衍生品的价值是依赖于其基础资产的价格变动的，因此对衍生品的准确定价具有重要意义。
本文将介绍衍生品定价的基本方法。
1. 理论定价模型理论定价模型是衍生品定价的基础，它基于一定的假设和数学模型来计算衍生品的合理价格。
常用的理论定价模型包括：•Black-Scholes模型：适用于欧式期权的定价，基于随机过程和随机微分方程的方法。
•Binomial模型：适用于离散时间步长下的定价，将时间和价格分割成若干个步骤，并通过对每一步的价格变动进行模拟计算。
•Monte Carlo模型：适用于复杂的衍生品定价，基于随机过程的模拟方法，通过生成大量随机路径来计算衍生品的期望收益。
这些模型对衍生品的市场情况进行一定的假设，使用不同的数学公式和计算方法，但都是为了计算衍生品的合理价格。
2. 基础资产定价衍生品的价格是依赖于其基础资产的价格变动的。
因此，在进行衍生品定价之前，需要先对基础资产进行定价。
基础资产的定价通常使用市场价格、历史价格、相关资产价格和技术指标等因素进行分析和估计。
基于这些因素，可以选择合适的定价模型对基础资产进行定价。
基础资产定价的准确性直接影响到衍生品定价的准确性。
因此，在选择定价模型和计算参数时，需要充分考虑基础资产的特性和市场情况。
3. 风险折现在进行衍生品定价时，需要考虑到风险因素。
风险通常通过折现率来衡量，即将未来收益折现到现在的价值。
常用的折现方法包括：•风险中性折现：在风险中性世界中，市场上的资产收益无法预测，因此将未来收益按照无风险收益率进行折现。
•市场风险折现：将未来收益按照市场上的风险价值进行折现，反映了市场上的风险情况。
•差异风险折现：将未来收益按照衍生品自身的风险价值进行折现，考虑到衍生品的特性和市场条件。
风险折现是衍生品定价的重要环节，它反映了衍生品的风险情况和投资者的风险偏好。
金融衍生品的定价模型
金融衍生品的定价模型金融衍生品是指以金融资产作为基础，在其上建立的衍生品。
例如，以股票作为交易对象的期权、期货等，以外汇、债券、原油等作为交易对象的期权、期货等。
衍生品的特点是其价值来源于基础资产，但其本身并不具有实体资产的属性，只是一种合约。
由于其特殊性，其定价也相对较为复杂。
为此，金融市场中诞生了一系列的定价模型，帮助我们进行衍生品的估价。
1.风险中性定价模型风险中性定价模型是衍生品定价的基本方法。
它的基本思想是，在假定金融市场的所有参与者都是风险中性的情况下，衍生品的价格应当等于其未来的风险中性预期收益。
这一模型采用了最简单的条件，即市场风险中性假设，同时考虑了市场效率和鞅理论的原则。
2.布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型是最为经典的期权定价模型之一。
该模型假设市场中不考虑利率的波动，市场处于一种均衡状态，且进入期权行权期前，期权是被“对冲”的。
由此可知，该模型适用于欧式看涨期权和看跌期权。
该模型的基本思路是，将期权和一份能够产生与期权所代表的收益相等的组合进行套期保值。
将组合价格排除风险因素后，求出所需套期保值策略所需要的期权价格。
布莱克-斯科尔斯模型具有非常高的实用价值，而且易于理解、实现。
3.卡方分布模型卡方分布模型即期权定价的CRR模型，是在波动性随时间变化的假设下，根据离散时间将期权的未来价格随机演变的模型。
该模型的基本思路是，通过二项式模型，在分期的基础上对股票价格进行随机演化。
卡方分布模型是期权定价的基本模型之一。
其优点是模型简单，对于欧式期权和美式期权，其价格可以在迭代过程当中不断修正，最后以委托宗硬性算法获得期权价格，充分反映市场的景气水平。
4.蒙特卡洛模型蒙特卡洛模型是通过电脑算法模拟大量实验来确定期权的价格。
其基本思路是，通过对随机过程的模拟，以及这些随机过程所能产生的股票价格和收益的模拟，来使得期权定价成为可能。
与其他定价模型相比，蒙特卡洛模型几乎可以应用于任何期权。
剖析金融市场中的金融衍生品定价模型
剖析金融市场中的金融衍生品定价模型金融衍生品定价模型是金融市场中的重要研究领域之一。
随着金融市场的发展和创新，金融衍生品的种类越来越多，其定价模型的研究也日益受到关注。
本文将从理论和实际应用两个方面剖析金融市场中的金融衍生品定价模型。
一、理论基础金融衍生品定价模型的理论基础主要包括风险中性定价理论和期权定价理论。
1. 风险中性定价理论风险中性定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一。
该理论基于无套利条件下市场的风险中性假设，即在假设无套利机会存在的情况下，市场上的投资者在理性决策的基础上不会考虑风险因素，倾向于追求公平期望回报。
根据这一理论，可以构建出对金融衍生品价格的期望值和风险溢价的公式，从而实现对金融衍生品定价的计算。
2. 期权定价理论期权定价理论是金融衍生品定价模型的重要组成部分。
期权定价理论主要使用了随机过程和偏微分方程等数学工具，通过对股票价格、利率、波动率等因素的建模，计算出期权的合理价格。
最著名的期权定价理论是布莱克-斯科尔斯模型，该模型通过假设股票价格满足几何布朗运动，利用风险中性定价理论和偏微分方程求解方法，成功地实现了对欧式期权的定价。
二、实际应用金融衍生品定价模型的实际应用主要涵盖以下几个方面：利率衍生品定价、股票衍生品定价和商品衍生品定价。
1. 利率衍生品定价利率衍生品包括利率互换、利率期货、利率期权等金融工具。
利率衍生品的定价模型主要基于利率期限结构理论和随机利率模型。
定价模型的应用可以帮助投资者衡量和管理利率风险，实现对利率衍生品的有效定价和套期保值。
2. 股票衍生品定价股票衍生品是指以股票作为标的资产的金融衍生品，包括股票期权、股票期货等。
股票衍生品的定价模型主要基于随机波动率模型，根据市场上的股票价格、波动率等因素进行建模，并通过计算出的期望回报和风险溢价来确定股票衍生品的合理价格。
3. 商品衍生品定价商品衍生品是以商品作为标的资产的金融衍生品，包括期货合约、期权合约等。
《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介
《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介同济大学数学系 姜礼尚期权（option）是一类金融衍生工具，但从更广义上讲，期权是一种未定权益（Contingent Claim），它是一种选择权；应用Black-Scholes-Morton 期权定价原理，可以为多种不同形式的未定权益和选择权给出一个“公平”的估价。
基于这个理念，我们认为期权定价原理的应用绝不仅限于期权本身的定价，而应更广泛地应用于金融、保险、财务、投资等各个不同领域。
本书正是从这个思路出发，试图利用期权定价原理对当前市场上流行的一些金融和保险的创新产品进行定价。
在这里我们把这些创新产品看成是相关标的资产(underlying assets)：外汇、黄金、股指、公司资产和利率等的衍生物，基于无套利原理，得到一个风险中性的“公平”价格，它的定价强烈地依赖于相关标的资产的数学模型，虽然它只是一种近似，但对金融机构的实际定价具有重要的参考价值。
本书可以看作是拙作“期权定价的数学模型和方法”(高等教育出版社，2003年)的应用篇，着重研究在已有定价模型和方法的基础上，针对各种金融和保险创新产品的具体实施条款，建立数学模型（即建立偏微分方程定解问题），求出它的闭合解或数值解，并进行定量分析，讨论一些金融参数和创新产品定价之间的依从关系。
为了帮助更多读者掌握用偏微分方程方法研究Black-Scholes-Merton期权定价原理，我们专门写了“期权定价的偏微分方程模型和方法”一章放在附录中，供大家学习和参考。
本书作为金融数学专业的教学用书和金融、保险、管理等领域的参考教材，它适用于两大类读者：第一类读者是应用数学专业的教师和研究人员，特别是广大攻读金融数学各类学位的研究生和本科生，第二类读者是金融、保险、管理等的从业人员，特别是正在从事金融和保险创新产品设计的金融（保险）分析师，金融（保险）机构的决策人员以及相关的研究工作者。
我们深信本书将对他们的学习和研究有所裨益。
金融衍生品定价模型简析
金融衍生品定价模型简析随着金融市场的不断发展，越来越多的金融衍生产品被推出市场。
与传统的股票、债券等金融工具不同，金融衍生品的风险和收益性质更为复杂，这也给金融衍生品的定价带来了挑战。
金融衍生品的定价需要借助于金融衍生品定价模型。
金融衍生品定价模型是对金融市场中各种风险因素的建模，以确定金融衍生品的价格。
下面，我们就对常见的几种金融衍生品定价模型进行简单的分析。
第一种是黑-斯科尔斯模型。
黑-斯科尔斯模型是一种基于随机过程的金融衍生品定价模型。
它采用布朗运动模型来模拟股票价格的随机漂移和波动，从而确定金融衍生品的价格。
黑-斯科尔斯模型的基本假设是，股票价格满足连续时间的布朗运动。
但是，这种连续时间的布朗运动并不符合现实。
在实践中应用黑-斯科尔斯模型时，需要根据实际情况对其进行调整。
第二种是考夫曼-夏皮罗模型。
考夫曼-夏皮罗模型是一种基于复杂分形几何的金融衍生品定价模型。
考夫曼-夏皮罗模型建立了分形理论与金融市场的联系，认为金融市场是一种典型的分形结构。
这种模型具有较强的灵活性和适应性，能够适应各种市场环境和金融产品的价格变化。
但是，这种模型的计算量较大，需要消耗大量的时间和计算资源。
第三种是布莱克-肖尔斯模型。
布莱克-肖尔斯模型是一种基于期权定价理论的金融衍生品定价模型。
它认为，期权的价值与股票价格、行权价格、时间、波动率等因素密切相关，在此基础上建立了期权定价公式。
布莱克-肖尔斯模型的优点是简单、直观，计算时间较短。
但是，该模型对市场环境的变化和波动有一定的局限性。
此外，该模型只适用于欧式期权的定价，对于美式期权的定价需要进行改进。
综上所述，金融衍生品定价模型的选择需要根据具体情况进行，结合市场环境和金融产品的特点，选择合适的定价模型进行计算。
在日后的金融实践中，我们需要不断地拓展金融衍生品定价模型的适用范围，并不断优化和改进这些模型，以满足市场的需求。
金融衍生品的定价与交易策略
金融衍生品的定价与交易策略一、金融衍生品的基本概念金融衍生品是指它的价值是由其他的金融产品或指标决定的金融产品。
常见的金融衍生品包括期权、期货、互换合约等。
金融衍生品的价值向来是由标的资产的变化所决定的，而且通常是影响较大的，可以快速和大幅度地波动。
二、金融衍生品的定价方法金融衍生品的定价是与标的资产密切相关的，而且受到多种因素的影响。
金融衍生品可以通过以下几种方式进行定价：1. 期权定价模型期权定价模型基于期权的内在价值和时间价值计算期权的公平市场价值。
基于期权的基本属性，可以通过一些数学方法，如布莱克-斯柯尔斯公式和科克斯-鲁宾斯坦公式等，来计算期权的定价。
2. 期货定价模型期货定价模型难度要比期权定价模型大，因为它的价值依赖于标的资产下一个到期日的价格。
期货的市场价格是由供需关系和标的资产的基本面决定的。
3. 互换合约定价模型互换合约定价模型的难点在于市场上往往没有类似的可比的资产或者定价模型。
所以，在这种情况下，需要建立复杂的模型来计算合理的价格。
三、金融衍生品的交易策略金融衍生品是高风险高收益的投资工具，因此需要有效的交易策略和良好的风险控制机制。
以下是几种常见的金融衍生品交易策略：1. 套利交易策略套利交易策略是通过在两个或多个市场之间进行交易来获得利润。
为了获得利润，需要利用定价差异或者交收价差。
2. 对冲交易策略对冲交易策略是通过同时买入或卖出两个相关的金融产品，以对冲期市的潜在风险。
如果标的资产价格下跌，对冲交易能够获得一定的收益。
3. 市场定位和趋势跟踪交易策略市场定位和趋势跟踪交易策略是通过对市场价格和行情走势的分析来制定投资决策。
这种策略能够帮助投资者加入趋势，避免投资风险。
4. 裸卖交易策略裸卖交易策略是通过售出期权来获得收益。
但是，由于卖方需要承担潜在的风险，这种策略需要非常谨慎。
四、总结金融衍生品是与标的资产密切相关的金融产品，其价值通常受到多种因素的影响。
金融衍生品的定价可以通过期权定价模型、期货定价模型和互换合约定价模型等进行计算。
第三讲金融产品定价原理.
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《金融工程学》教学讲义第三讲
看涨期权与看跌期权之间的平价关系
假设股票不分红，那么：
c Xe
r (T t )
pS
要证明这个关系，能否构造两个组合未来具有 相同的现金流？ 考虑下面两个投资组合：
产品A：一份欧式看涨期权加上金额为 r (T t ) Xe 的现金 产品B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式 看跌期权加上一单位标的资产
你知道有哪些产品是通过绝对定价法进行定价的？
3
《金融工程学》教学讲义第三讲
衍生金融产品定价的基本假设
市场不存在摩擦。 即没有交易成本、没有保证金、没 有卖空限制 市场参与者不承担对手风险。即合同没有违约问题 市场是完全竞争的。金融产品作为商品的经济学特性 市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。 市场不存在套利机会。无套利假设是金融衍生工具定 价理论生存和发展的最重要的假设。
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《金融工程学》教学讲义第三讲
例 远期外汇定价
例 2为英国银行工作的远期外汇交易员，他被一个美国客户要求报 出1年后德国马克对美元的汇价。客户希望届时从银行购买1， 980，000德国马克，以便偿还账目。假设即期汇率是1美元 =1.80德国马克, 1年期美元利率6%, 1年期德国马克10%. 为 此银行需考虑（单利）： 为换取德国马克，银行将得到多少美元？ 一年期美元/马克远期的汇率是多少？ 若市场中给出1年期美元/马克的远期汇率为2，怎么实现套利? 若市场中给出1年期美元/马克的远期汇率为1.8，怎么实现套利?
无套利定价原则
定理：在无套利市场中，如果两项金 融产品在到期日的价值完全相同，则 它们在到期日之前任意时刻的价值也 必然相同。 复制：如果产品A和产品B未来的现金 流状态完全相同，称A和B互相复制。
金融市场的金融衍生品定价
金融市场的金融衍生品定价在金融市场中，金融衍生品作为一种重要的金融工具，其定价问题一直备受关注。
金融衍生品是一种通过与基础资产相关联的金融合约，它的价值是由基础资产的价值决定的。
如何准确合理地定价金融衍生品，是金融市场参与者需要面对和解决的重要问题之一。
金融衍生品的定价涉及到多种因素，并且在不同的衍生品类型中也有所区别。
下面将结合几种常见的金融衍生品，介绍其定价方法及相关因素。
1. 期权定价期权是一种交易双方约定在未来某个时间点或在某个期间内对某一资产进行买入或卖出的权力，而非义务。
期权的价格由两大主要因素决定：内在价值和时间价值。
内在价值是指期权行权价与标的资产价格之间的差额，而时间价值则包括了期权到期前的剩余时间、标的资产价格的波动性等因素。
黑-斯科尔斯期权定价模型是一种常用的期权定价方法，通过考虑风险无关的最佳买卖策略寻找期权的均衡价格。
2. 期货定价期货是一种在未来某个时间点交割标的资产的合约。
期货的价格通常以与标的资产的现货价格相关，考虑到货币时间价值和存储成本。
期货定价基于无套利原理，即期货合约价值等于等效的持有标的资产的成本，即购买成本加上持有成本。
这种无套利原理使得期货价格与标的资产价格之间保持一定的关系，即期货价格要与现货价格存在套利的机会。
3. 互换合约定价互换合约是一种通过与一方交换利率或资产价格变动而使双方都能获益的金融工具。
互换合约的定价涉及到利率、浮动速度以及借贷利差等多个因素。
其中，杠杆比率和风险溢酬是互换合约定价的重要考虑因素。
定价方法通常使用贴现率和风险溢酬计算互换合约的固定利率。
4. 期权互换定价期权互换是一种将期权与互换合约结合的金融工具。
其定价既需要考虑期权的内在价值和时间价值，也需要考虑互换合约的定价因素。
期权互换的定价方法较为复杂，需要综合考虑期权和互换合约的定价因素。
总之，不同类型的金融衍生品有不同的定价方法和相关因素。
准确理解和运用这些定价方法对于金融市场参与者来说至关重要。
了解金融衍生品的基本类型和定价方法
了解金融衍生品的基本类型和定价方法金融衍生品是一种金融工具，其价值来源于其他资产或指标的变动。
通过了解金融衍生品的基本类型和定价方法，投资者可以更好地管理风险、进行套期保值以及寻找投资机会。
本文将介绍几种常见的金融衍生品，包括期权、期货和掉期，并解释它们的定价方法。
1. 期权期权是一种金融合约，给予持有人在特定时间内以特定价格购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权包括买入期权（认购期权）和卖出期权（认沽期权）。
认购期权赋予持有人以购买标的资产的权利，而认沽期权赋予持有人以出售标的资产的权利。
定价方法：期权的定价方法有多种，其中著名的是布莱克-舒尔斯模型。
该模型基于几个主要的因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率以及标的资产的波动率。
通过对这些因素进行衡量和估算，可以确定期权的合理价格。
2. 期货期货是一种标准化合约，规定在未来的特定日期以特定价格购买或出售标的资产。
期货合约包括商品期货和金融期货。
商品期货涉及实物商品，如农产品、金属和能源，而金融期货涉及金融资产，如股指、外汇和利率。
定价方法：期货的定价方法通常基于无套利原则，即购买或卖出期货合约的总成本应等于直接购买或卖出相应标的资产的总成本。
因此，期货的价格受多种因素影响，包括标的资产价格、无风险利率、存储成本、交易成本以及合约到期时间。
3. 掉期掉期是一种金融合约，约定在未来的特定时间进行交割，以固定汇率兑换一种货币或合约。
掉期通常用于对冲汇率风险，也可用于套利或投机目的。
常见的掉期包括货币掉期和利率掉期。
定价方法：掉期的定价方法与期货类似，也是基于无套利原则。
掉期的价格取决于多种因素，如标的货币的利率、远期汇率、到期日、无风险利率以及市场预期。
总结：了解金融衍生品的基本类型和定价方法对投资者来说至关重要。
期权的定价方法基于布莱克-舒尔斯模型，考虑了标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率以及标的资产的波动率等因素。
金融工程师必须了解的金融衍生品定价模型
金融工程师必须了解的金融衍生品定价模型一、引言金融衍生品是金融市场中重要的一种金融工具，它们的定价模型对于金融工程师而言至关重要。
本文将介绍金融工程师必须了解的金融衍生品定价模型，涉及到期权定价模型、期货定价模型以及利率衍生品定价模型。
二、期权定价模型期权是一种金融衍生品，它赋予买方在未来某一时间点上以一个事先约定的价格购买或出售标的资产的权利。
常见的期权定价模型包括布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）和它的改进版本，如布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model）。
这些模型基于假设标的资产价格服从几何布朗运动，并使用风险中性估计方法来计算期权的理论价格。
三、期货定价模型期货是一种金融合约，买方和卖方同意在未来的某个时间点交割特定的标的资产。
常见的期货定价模型包括未来价格的持平模型（Futures Price Equilibrium Model）和无套利模型（No-Arbitrage Model）。
这些模型一般基于市场的供需关系和无套利条件，通过对期货价格与现货价格、无风险利率等因素进行分析，来确定期货合约的理论价格。
四、利率衍生品定价模型利率衍生品是基于利率相关的金融工具，如利率互换、利率期权等。
利率衍生品的定价模型主要包括利率模型和利率曲线建模两种。
利率模型常用的有短期利率模型、随机波动率模型等；利率曲线建模一般使用广义更正模型（Generalized Yield Curve Model）或其他类似模型。
这些模型需要考虑到市场上的利率、利率期限结构以及金融市场变量的影响，以便准确估算利率衍生品的价格。
五、总结金融工程师必须了解并熟练掌握各种金融衍生品定价模型。
期权定价模型、期货定价模型以及利率衍生品定价模型都是金融衍生品定价领域的重要研究方向。
通过应用这些定价模型，金融工程师能够更好地理解金融衍生品的价格形成机制，为投资和风险管理提供决策支持。
金融衍生品定价理论第三章(binomial tree methods--discrete models of option pricing)
B0
35 1 0.01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
34.65
Then
c0
40 34.65 2
2.695
This is the investor should pay $2.695 for this stock option.
Analysis of the Example
① the idea of hedging: it is possible to
Example cont.1
payoff = cT (ST K )
S0 $40
STu $45, cT (45 40) $5
STd $35, cT (35 40) $0
Consider a portfolio
S 2c
Example cont.2
Chapter 3
Binomial Tree Methods ------ Discrete Models of Option Pricing
An Example
S0 $40
STu $45
STd $35
Question: When t=0, buying a call option of the stock at with strike price $40 and 1 month maturity. If the risk-free annual interest rate is 12% throughout the period [0, T], how much should the premium for the call option be?
t=0,
ST :
金融衍生品定价模型
金融衍生品定价模型金融衍生品在现代金融市场中扮演着至关重要的角色，它们为投资者提供了多样化的投资策略和风险管理工具。
然而，要准确评估这些金融工具的价值并非易事，这就需要依靠金融衍生品定价模型。
金融衍生品的定价模型基于一系列的理论和假设。
其中最基础的概念是无套利原则。
简单来说，如果存在两种投资组合在未来产生相同的现金流，但当前的价格不同，那么投资者就可以通过低买高卖来获取无风险利润，这种情况在有效的市场中是不应该长期存在的。
让我们先来了解一下常见的金融衍生品，比如期货、期权。
期货是一种标准化的合约，约定在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某种资产。
期权则赋予了持有者在未来特定时间内以特定价格买入或卖出资产的权利，但并非义务。
在金融衍生品定价中，一个重要的模型是布莱克斯科尔斯（BlackScholes）模型。
这个模型主要用于欧式期权的定价。
它假设标的资产的价格遵循几何布朗运动，即价格的变化是随机且连续的。
同时，还假设市场是无摩擦的，没有交易成本和税收，并且利率是恒定的。
布莱克斯科尔斯模型的核心公式包含了标的资产的当前价格、执行价格、到期时间、无风险利率和标的资产价格的波动率等因素。
通过这些参数，可以计算出期权的理论价格。
然而，布莱克斯科尔斯模型也有其局限性。
例如，它对于美式期权的定价并不准确，因为美式期权可以在到期前的任何时间执行。
此外，模型假设条件在现实市场中往往难以完全满足，比如市场存在交易成本、资产价格的跳跃等。
为了应对这些不足，人们又发展出了其他的定价模型和方法。
二叉树模型就是其中之一。
它通过将时间分割成多个小的区间，模拟标的资产价格在每个区间内的两种可能变化，逐步计算出期权的价格。
还有蒙特卡罗模拟方法，这是一种基于随机数生成的模拟技术。
通过模拟标的资产价格的大量随机路径，计算每条路径下期权的收益，然后取平均值来估计期权的价格。
除了期权，期货的定价相对较为简单。
期货的价格主要取决于现货价格、持有成本（包括利息、仓储成本等）以及到期时间等因素。
金融数学中的风险定价与衍生品设计
金融数学中的风险定价与衍生品设计章节一：导论金融数学是数学与金融学相结合的学科，它主要应用于金融市场中的风险管理和衍生品的定价。
本文将重点探讨金融数学中的风险定价和衍生品设计的原理与方法。
章节二：风险定价模型风险定价是金融数学中的关键问题之一。
为了准确评估金融市场中的风险，我们需要建立风险定价模型。
传统的风险定价模型包括资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）和伽利略模型（GARCH）等。
这些模型基于市场的平均回报和波动性来估计风险，通过计算风险溢价来确定资产的价格。
章节三：衍生品定价与对冲衍生品是金融市场中的重要工具，它们的价值与基础资产的价格相关。
衍生品定价是通过模拟基础资产价格的变动和模型计算推导出来的。
著名的衍生品定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和库仑模型（Cox-Ingersoll-Ross Model）等。
衍生品的设计需要合理选择风险定价模型，并通过对冲策略降低风险。
章节四：风险管理金融机构和投资者都需要有效的风险管理策略，以降低潜在的风险损失。
风险管理包括风险度量、风险多元化和风险对冲等方面。
常用的风险度量方法包括价值-at-Risk（VaR）和条件价值-at-Risk（CVaR）等。
风险多元化通过投资组合的分散来降低总体风险。
而风险对冲则是通过建立相反头寸来对冲持有资产的风险。
章节五：金融创新与衍生品设计随着金融市场的发展，金融创新成为促进市场发展的重要驱动力。
金融创新不仅涉及新的金融产品的设计，还包括新的风险定价模型和交易策略的提出。
衍生品作为金融创新的重要组成部分，可以满足资产定价、风险管理和投资策略的需求。
合理的衍生品设计需要充分考虑市场需求和风险管理的要求。
章节六：案例分析本章节以具体案例为例，介绍金融数学在实际问题中的应用。
通过对案例的分析，我们可以更好地理解金融数学中的风险定价和衍生品设计原则的实际应用。
金融风险理论与模型 第3章
远期现金流 期货现金流
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讨论：期货与远期的差异
1. 如果利率固定，则期货合约和远期合约等 价。（CIR定理）
2. 如果利率浮动，则期货与远期可能不等价。
➢ 考虑例子中，2日的利息远高于3日，结果如 何？
▪ 显然，多方偏好期货合约，则期货合约价 值上升，反之则反。
▪ 一般来说，远期与期货存在一定的差异：
s 13.47, f 0.964, 0.779,则
➢ 例如以股指期货对股票指数基金进行套期保值 ➢ 问题：如果要保值的股票组合与指数组合不同，如何
进行套期保值？
▪ 交叉套期保值：当要保值的现货与期货合约的标 的资产的波动不完全同步时，需要确定合适的套 期保值比率。
▪ 套头保值比率h ：对1份现货资产的多头 （空头）头寸，要用h份期货的空头（多头） 进行套期保值。由此构造的套期保值组合 为： ➢1份现货资产的多头＋ h份期货合约的空 头 ➢在某个t时刻，该组合的价值为
也可以作如下分析：
（1）在第0天末（第1天初）买进eδ单位的期 货
（2）在第1天末（第2天初）把头寸增加到 e2δ，结清上一日的eδ单位
（3）在第2天末（第3天初）把头寸增加到 e3δ，结清上一日的e2δ 单位 …….
（n）在第n－1天末（第n天初）把头寸增加 到enδ单位，结清上一日的e(n-1)δ 单位 。
2. 该远期利率协议的价值是多少？
rf
rltl rsts tl ts
11% 3 10.5% 2 (3 2)
12.0%
Aek (tl ts )
0
ts
A
tl
f0 [ A A ek (tl ts ) erf ]e (tl ts ) rsts =A[1 e(k rf )(tl ts ) ]ersts
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35 S0 2c0 B0 34.65 1 0.01
Then
40 34.65 c0 2.695 2
This is the investor should pay $2.695
for this stock option.
Analysis of the Example
V0 Q VT E B0 BT
.
Theorem 3.1
Under the probability measure Q, an
option's discounted price is its expectation on the expiration date. i.e.
One-Period & Two-State
One-period: assets are traded at t=0 &
t=T only, hence the term one period. Two-state: at t=T the risky asset S has u d ST & ST , two possible values (states): with their probabilities satisfying
Δ- Hedging Definition
Definition:
for a given option V, trade Δ shares of the underlying asset S in the opposite direction, so that the portfolio
V S
Definitions
the probability measure Q defined by d u
qu ProbQ ST ST ud u d qd ProbQ ST ST ud ,
is called by risk-neutral measure. The option price given under the riskneutral measure is called the risk-neutral price.
u d 0 Prop ST ST , Prop ST ST 1 u d Prop ST ST Prop ST ST 1
One-Period & Two-State Model
The model is the simplest model.
ST E BT
Q
1 u d qu ST qd ST B0 1 d u S0 S0u S0 d B0 u d ud B0
Risk-Neutral World
Under the probability measure Q, the
(for strike price K, expired time T)
Analysis of the Model
S t - Stock Price, is a stochastic variable
S0
S S0u
u T
Up, with probability p Down, with probability 1-p
① the idea of hedging: it is possible to
construct an investment portfolio with S and c such that it is risk-free. ② The option price thus determined (c_0=$2.695) has nothing to do with any individual investor's expectation on the future stock price.
Let U be a certain risky asset, and B a risk-free asset, then U t / Bt is called
the discounted price (also known as the relative price) of the risky asset U at time t.
From the discussion above,
V0
Q
1
E (VT ),
Q
where E (VT ) denotes the expectation of the random variable VT under the probability measure Q.
Definition of Discounted Price
Consider a market consisting of two
assets: a risky S and a risk-free B If: risky asset S t and risk free asset Bt
known S0 , B0, when t=0, S u S u , T 0 u d. t=T, 2 possibilities ST : d ST S 0 d , Option Price at t=0?
so that
VT ST 0
Analysis of Δ- Hedging cont.
VT , ST are random variables, when t=T,
V S0u (V0 S0 ),
u T
both of them have 2 possible values
Example cont.1
cT ( ST K ) payoff =
STu $45, cT (45 40) $5
S0 $40
d ST $35, cT (35 40) $0
Consider a portfolio
S 2c
Example cont.2
expected return of a risky asset S at t=T is the same as the return of a risk-free bond. A financial market possessing this property is called a Risk-Neutral World In a risk-neutral world, no investor demands any compensation for risks, and the expected return of any security is the risk-free interest rate.
Chapter 3
Binomial Tree Methods ------ Discrete Models of Option Pricing
An Example
S $45
u T
S0 $40
d ST $35
Question: When t=0, buying a call option of
Define a new Probability Measure
qu ProbQ ST S
u T
Байду номын сангаасud ,
qu qd 1.
d
u qd ProbQ ST S ud
d T
Obviously 0 q , q 1, u d
Solution of Premium
is risk-free.
Analysis of Δ- Hedging
risk free asset BT B0 , 1 rT If Π is risk free, then, on t=T,
T VT ST
is risk free. i.e.
T 0
deposit of B=35/(1+0.01) after 1 month 35 1 VT ( B) (1 12%) 35 VT () 1 0.01 12
By arbitrage-free principle
V0 ( B) V0 ().
Example cont.4
When t=T,
45 2*5 35, if S , VT () $35 35 2*0 35, if S .
has fixed value $35, no matter S is
up or down
Example cont.3
If risk free interest r =12%, a bank
STd S0 d
u T
V ( S 0u K )
V0
where
VTd ( S0 d K )
Vt is a stochastic variable.
Question & Analysis
If known VT ( ST )
at t=T, how to find out V0 when t=0? Assume the risky asset to be a stock. Since the stock option price is a random variable, the seller of the option is faced with a risk in selling it. However, the seller can manage the risk by buying certain shares (denoted asΔ) of the stocks to hedge the risk in the option. This is the idea!