离散数学例题整理
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。
答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。
答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。
答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。
解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。
反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。
因此，R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。
解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。
所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
【离散数学】知识点及典型例题整理
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。
【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。
【Abel群/交换群】·适合交换律。
可能不只有两个元素适合x2=1【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。
【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。
单位子群{1}和G称为平凡子群。
【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。
a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。
若G的元数是一个质数，则G必是循环群。
n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。
共有ϕ（n）个。
【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）}【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。
H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。
任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
求右陪集：H本身是一个；任取a∉H而求aH又得到一个；任取b∉H∪aH而求bH又一个。
G=H∪aH∪bH∪…【正规子群】G中任意g，gH=Hg。
（H=gHg-1对任意g∈G都成立）Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。
1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。
2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。
3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。
证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。
故Ha=aH。
4G的任意多个子群的交集是G的子群。
并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。
5 H是G的子群。
《离散数学》典型例题
《离散数学》典型例题一、选择题1. 图1哈斯图所示的偏序集为格的是（）。
2. 设有无向图如图2，则（）是一条哈密顿回路。
A．gabcdefg B．abcdefg C．cfabcdeg D．efgabcd3. 哪个顶点可成为图3的割点？（）A. aB. bC. cD. d4. 图4中（）是欧拉图。
5.下列（）是满2元树。
二、填空题1. 设A={1,2},B={2,3},C={a,b,c}，则|(A∪B)×C|=______________________________。
2．无向完全图Kn的边数为_______________ 。
3. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是_________________________。
4. 设A ={a,b,c }，F 是A 上的二元关系，F ={<a,a >,<b,b >,<c,c >}，则其自反闭包为r (F )=______________________________。
5. 设A 和B 是有穷集合，|A |=m ，|B |=n ，A 到B 有_______多少个不同一对一映射。
三、判断题1．每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
（ ）2．集合X 上的关系R 如果是自反的、反对称的、传递的则称此关系为相容关系。
（ ）3．一条基本回路一定是简单回路，但一条简单回路不一定是基本回路。
（ ）4．树是不包含回路的连通图，在（n ，m ）树中必有m=n+1（ ）5．一个有限群<G ，*>的阶n 一定被它的任一个子群的阶m 所等分。
（ ）四 、综合题1． 求公式(～P →Q) →(Q →～P)的主析取范式和主合取范式。
2. 6个人一起吃饭，围绕圆桌就餐，有多少种就座方式？如果要从4种不同的菜系中点足6道菜，问有多少种点法？3. 一个面包店里有5种不同口味的面包，要挑选8个面包，并且至少有2个奶油味面包和不超过2个咸味面包。
离散数学试题总汇及答案
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1, 2, 3, 4}中，子集{1, 2}的补集是（）。
A. {3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：A2. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆否命题是（）。
A. 若x² ≤ 0，则x ≤ 0B. 若x² > 0，则x > 0C. 若x ≤ 0，则x² ≤ 0D. 若x² ≤ 0，则x < 0答案：C3. 函数f(x) = x² + 2x + 1的值域是（）。
A. {x | x ≥ 0}B. {x | x ≥ 1}C. {x | x ≥ 2}D. {x | x ≥ -1}答案：B4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 有向树D. 无向树答案：B5. 以下哪个图是二分图（）。
A. 完全图B. 非完全图C. 任意两个顶点都相连的图D. 任意两个顶点都不相连的图答案：C6. 以下哪个是哈密顿回路（）。
A. 经过每个顶点恰好一次的回路B. 经过每个顶点至少一次的回路C. 经过每个顶点恰好两次的回路D. 经过每个顶点至少两次的回路答案：A7. 以下哪个是欧拉回路（）。
A. 经过每条边恰好一次的回路B. 经过每条边至少一次的回路C. 经过每条边恰好两次的回路D. 经过每条边至少两次的回路答案：A8. 以下哪个是二进制数（）。
A. 1010B. 1020C. 1102D. 1120答案：A9. 以下哪个是格雷码（）。
A. 0101B. 1010C. 1100D. 1110答案：B10. 以下哪个是素数（）。
A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}与{2, 3, 4}的交集是______。
答案：{2, 3}12. 命题“若x > 0，则x² > 0”的逆命题是：若x² > 0，则______。
离散数学——精选推荐
1.设G有16条边，有三个四度顶点，四个三度顶点，其余顶点的度数都小于3，问G中至少有几个顶点？答：总度数=16*2=323*4+4*3=24（32-24）/2=4 至少有3+4+4=11至少有11个顶点2．设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个六度定点或者至少有6个5度顶点证明，因为：4*6+5*5=24+25=49不可能，所以当n6<4 时，n5>=6 满足条件当n6>=5时，满足条件得证3.空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体答：假如有奇数个面n 每个面都有奇数个棱mi(I=1,2,…n)，那么m1+m2+…+mn= D mi为奇数，n奇数，所以D为奇数但对于上式来说，每条棱都记了两次，那么D=2*(总棱数) 为偶数矛盾所以空间不可能存在奇数个面而且每个面均有奇数条棱的多面体4.在一次象旗比赛中，任意两个选手之间至多只下一盘棋，又每个人至少下一盘，证明总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的证明：建一个图的模型：每个选手相当于图的顶点，选手下的盘数相当于顶点得度数，两个选手的对局相当于两个顶点的边，已知顶点的度数是1----n-1, 选手有n个，根据鸽巢原理可知，比存在两个顶点的度数相同，也就是总能找到两名选手，他们下过的盘数是相同的。
5.设n阶无向简单图G为3次图(3-正则图)，边数m和n满足以下关系2n-3=m问G有几种非同构的情况？并证明你的结论解：3n=2m 2n-3=m => n=6 m=9所以G是6阶3正则图.设G1，G2均为无向简单图，G1同构于G2 等价于G1的补图同构于G2的补图。
所以可知有两种同构的情况6．下面给出的两个整数列，哪个是可图化的，对于可图化的请至少给出三个非同构的图1）d=(1,2,2,4,4,5) 可图化2）d=(1,1,2,2,3,3,5) 不可图化非同构的图，赫赫在BBS上没法画！7.判断下列三个整数列中哪些是可以简单图化的？对于可简单图化的试给出两个非同构的图.1)(6,6,5,5,3,3,2)(6,6,5,5,3,3,2)<=>(5,4,4,2,2,1)<=><3,3,1,1,0)<=>,<2,0,0,0> 显然不可以简单图化2）（5，3，3，2，2，1）<=>(2,2,1,1,0)<=>(1,0,1,0) 显然可以简单图化(赫赫，图在BBS没法画)3）（3，3，2，2，2，2）<=>(2,1,1,2,2)（不符合定理的条件,可先调整顶点次序）<=>(2,2,2,1,1)(根据课本例题）<=>(1,1,1,1)显然（1，1，1，1）是可简单图化的8.9题（略）大家一定要画呀，挺好的一道题呀！！！10,现有5个4阶的无向简单图，他们均有3条边，证明这5个图中至少有两个是同构的证明:可以得知，这样的非同构的图有3个，所以得证(图省略)11.设G为n阶自补图，证明n=4k或者n=4k+1其中k为正整数。
离散数学习题整合
离散数学习题整合CH01复习题§1.21. 命题判断（每空1分，共4分）1.1~1.3P32-A ⼩李和⼩王是同班同学B ⼩猪不是鲜花C 3-2n<0D 若2+2=4，则太阳从西⽅升起。
上述语句中，是简单命题，不是命题，是符合命题且真值为假，是符合命题且真值为真。
（参考答案：ACDB ）2. 命题符号化（每空2分，共4分）习题1.5(7)(3) P32-p ：天下⼤⾬，q ：他乘公共汽车去上班，命题“除⾮天下⼤⾬，否则他不乘公共汽车去上班”可符号化为。
（参考答案：q →p 必要条件为后件）r ：天很冷，s ：⽼李来了，命题“虽然天很冷，⽼李还是来了” 可符号化为。
（参考答案r ∧s ）3. 五个真值表（每空2分，共4分）习题1.6(2)(4) P32-设p 的真值为0，r 的真值为1，q 、s 都是命题，则命题公式（)()（s q r p ∨?∧?的真值为，命题公式)()))((（s r p r q p ?∨→?∧→∨?的真值为。
（参考答案：0,1）4. ⽤符号p 、q 填空。
（每空1分，共4分）基本概念设p ：x>0（其中x 是整数），q ：太阳从西⽅升起，则是命题，是命题变项，是命题常项，不是命题。
（参考答案：q ，p ，q ，p ）5. 命题符号化，相容或与排斥或设r ：现在⼩李在图书馆，s ：现在⼩李在学⽣宿舍，则“现在⼩李在图书馆或学⽣宿舍”可符号化为。
（参考答案：B ）A r ∨sB (r ∧?s)∨(?r ∧s)C r ∧sD (r ∧?s)或(?r ∧s)§1.2 命题公式及分类已知：A 是含三个命题变项的命题公式，且A(001)=0，A(100)=1，则A 是。
（D ）A ⽭盾是B 可满⾜式C 重⾔式D ⾮重⾔式的可满⾜式§1.3 等值演算⽤等值演算法证明等值式：(p ∧q)→rp →(q →r). (演算的每⼀步都要写依据)§1.4 范式6. A(p,q)的真值表求A 的永主析取范式、主合取范式、成真赋值和成假赋值。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学试题总汇及答案
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(2,4)是否存在？A. 存在B. 不存在C. 无法确定D. 以上都不对2. 函数f: A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1, a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对3. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的狗都会游泳。
B. 有些狗不会游泳。
C. 所有的狗都不会游泳。
D. 以上都不是真命题。
4. 如果p蕴含q为假，那么p和q的真值可以是？A. p为真，q为假B. p为假，q为真C. p为真，q为真D. p为假，q为假5. 以下哪个图是连通图？A. 一个孤立点B. 两个不相连的点C. 一个包含三个点且每对点都相连的图D. 以上都不是连通图6. 在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的路径，那么称v是u的后继顶点。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对7. 以下哪个等价关系是集合{1,2,3}上的？A. {(1,1), (2,2), (3,3)}B. {(1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}C. {(1,1), (2,3), (3,2), (3,3)}D. {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}8. 以下哪个命题是假命题？A. 所有的鸟都有羽毛。
B. 有些鸟不会飞。
C. 所有的哺乳动物都是温血动物。
D. 以上都不是假命题。
9. 在图论中，一个图的生成树是包含图中所有顶点的最小连通子图。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对10. 如果命题p和q互为逆否命题，那么它们具有相同的真值。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是________。
2. 函数f: A→B是满射的，当且仅当对于任意的b∈B，存在a∈A，使得f(a)=________。
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。
离散数学初步例题和知识点总结
离散数学初步例题和知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、密码学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来讲解离散数学中的部分重要知识点。
一、集合论集合是离散数学中的基本概念之一。
例 1：设集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，B ＝｛3, 4, 5, 6}，求 A ∪ B 和 A∩ B。
解：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ∩ B ＝｛3, 4}集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起，去掉重复的元素；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
知识点：集合的基本运算规则1、交换律：A ∪ B ＝ B ∪ A，A ∩ B ＝B ∩ A2、结合律：（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)，（A ∩ B) ∩ C ＝ A ∩ （B ∩ C)3、分配律：A ∩ （B ∪ C) ＝（A ∩ B) ∪（A ∩ C)，A ∪（B ∩C) ＝（A ∪ B) ∩ （A ∪ C)二、关系关系是集合元素之间的某种联系。
例 2：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，R 是 A 上的关系，R ＝｛（1, 1)，（1, 2)，（2, 2)，（2, 3)，（3, 3)｝，判断 R 是否具有自反性、对称性和传递性。
解：R 具有自反性，因为对于 A 中的每个元素 a，都有（a, a) ∈ R；R 不具有对称性，因为（1, 2) ∈ R 但（2, 1) ∉ R；R 具有传递性，因为（1, 2) ∈ R 且（2, 3) ∈ R ，同时（1, 3) ∈ R 。
知识点：1、自反关系：对于集合中的每个元素 a，都有（a, a) ∈ R 。
2、对称关系：若（a, b) ∈ R ，则（b, a) ∈ R 。
3、传递关系：若（a, b) ∈ R 且（b, c) ∈ R ，则（a, c) ∈ R 。
三、函数函数是一种特殊的关系。
例 3：设函数f: R → R ，f(x) ＝ x^2 ，求 f(－2)，f(0)，f(3)。
(完整版)《离散数学》试题及答案解析,推荐文档
4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
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一、填空题 1 设集合 A,B，其中 A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则 A - B＝____________________;
(A)
- (B)＝ __________________________ . 2. 设有限集合 A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合 A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从 A 到 B 的所有映射是 __________________________ _____________, 其中双射的是
专业资料学习参考
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0 1 1 1 1
15. 设图 G 的相邻矩阵为 1 0 1 0 0 ，则 G 的顶点数与边数分别为(
).
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
(A)4, 5 (B)5, 6 三、计算证明题
(C)4, 10
(D)5, 8.
1.设集合 A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
离散数学运算法则及例题
第一章命题逻辑1,否定1) 幂等律 p ∧ p ⇔ p2) 交换律 p ∧ q ⇔ q ∧ p3) 结合律（ p ∧q）∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r )4) 零律 p ∧ F ⇔ F5) 同一律 p ∧ T ⇔ p6) 否定律 p ∧¬ p ⇔ F3,析取(+)1) 幂等律2) 交换律3) 结合律4) 同一律5) 零律6) 否定律7) 吸收律8) 分配律9) 德、摩根律4,蕴含P→ Q读作“P蕴含Q”，“如果P则Q”，“当P，则Q”，“P是Q的充分条是Q的充要条件”。
1.1) 交换律2.2) 结合律3.说明：1)↔是逻辑联结词，而⇔是公式关系符。
A、B是命题，A ↔B仍是命题，而A ⇔ B不是命题。
(2) P、Q两命题，没有内在联系 P ↔Q 仍有意义。
例：2+2=5的充要条件是太阳从西边升起。
该命题为真几个重要定理⏹ 1.若A ⇒ B， B ⇒ C，则A ⇒ C.传递性⏹ 2. A ⇔ B的充要条件是A ⇒ B且B ⇒ A(逻辑等价的另一种定义）其他的连接词符号⏹或非词符号⏹定理: A↓B等价于¬(AVB)⏹定理:{↓}是功能完备集⏹与非词符号⏹定理:A↑B等价于¬(A∧B)⏹定理:{↑}是功能完备集⏹异或词符号⏹举例说明:周末,我或者在北京或者在上海⏹定理:A异或B等价于¬(A↔B)第二章谓词逻辑谓词演算的推理规则US 全称指定规则（消去量词）UG 全称推广规则对命题量化（添加量词）ES 存在指定规则（消去量词）EG 存在推广规则（添加量词）第三章集合第四章关系（R ◦ S）（R·S）2=（R·S）·（R·S）= R·（S·R）·SR-1⏹逆运算的性质⏹定理：设R和S均是A到B的关系，则⏹（1）（R-1）-1=R，⏹（2）（R∪S）-1=R-1∪S-1，⏹（3）（R∩S）-1= R-1∩S-1，⏹（4）（R-S）-1=R-1-S-1，⏹（5）（~R）-1=~(R-1),（A×B）-1=B×A⏹（6）ФA-1=ФA，EA -1 =EA, IA -1 = IA⏹（7）R=S iff R-1=S-1。
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {3,4}答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。
B. 有些天鹅不是白色的。
C. 所有天鹅都不是白色的。
D. 没有天鹅是白色的。
答案：B3. 函数f: A→B的定义域是A，值域是B，那么f是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 既不是单射也不是满射答案：D4. 逻辑表达式(p∧q)→r的逆否命题是：A. ¬r→¬(p∧q)B. ¬r→¬p∨¬qC. r→(p∧q)D. ¬r∧¬p∨¬q答案：B5. 有限集合A={a, b, c}的子集个数为：A. 3B. 4C. 7D. 8答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个关系R在集合A上是自反的，那么对于A中的每一个元素a，都有___________。
答案：(a, a)∈R2. 命题逻辑中，合取（AND）的逻辑运算符用___________表示。
答案：∧3. 在图论中，一个连通图是指图中任意两个顶点之间都存在___________。
答案：路径4. 集合{1, 2, 3}的幂集包含___________个元素。
答案：85. 如果一个函数f是单射，那么对于任意的x1, x2∈A，如果f(x1)=f(x2)，则x1___________x2。
答案：=三、解答题（每题10分，共20分）1. 证明：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件。
证明：假设p成立，由于p是q的充分条件，所以q成立。
又因为q是r的充分条件，所以r成立。
因此，p成立可以推出r成立，即p是r的充分条件。
2. 给定一个有向图，其中包含顶点A、B、C、D，边为(A, B)，(B, C)，(C, D)，(D, A)，(A, C)。
离散数学题目大汇总
离散数学试题一（A卷答案）一、（10分）证明⌝(A∨B)→⌝(P∨Q)，P，(B→A)∨⌝P A。
二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。
关于谁参加竞赛，下列4种判断都是正确的：(1)甲和乙只有一人参加；(2)丙参加，丁必参加；(3)乙或丁至多参加一人；(4)丁不参加，甲也不会参加。
请推出哪两个人参加了围棋比赛。
三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误？为什么？给出正确的推理形式。
(1)∀x(P(x)→Q(x)) P(2)P(y)→Q(y) T(1)，US(3)∃xP(x) P(4)P(y) T(3)，ES(5)Q(y) T(2)(4)，I(6)∃xQ(x) T(5)，EG四、（10分）设A＝{a，b，c}，试给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反性、反自反性、五、（15分）设函数g：A→B，f：B→C，(1)若f g是满射，则f是满射。
(2)若f g是单射，则g是单射。
六、（15分）设R是集合A上的一个具有传递和自反性质的关系，T是A上的关系，使得<a，b>∈T⇔<a，b>∈R且<b，a>∈R，证明T是一个等价关系。
七、（15分）若<G，*>是群，H是G的非空子集，则<H，*>是<G，*>的子群⇔对任意的a、b ∈H有a*b－1∈H。
八、（15分）(1)若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的。
(2)若有向图G 中只有两个奇数度结点，它们一个可达另一个结点或互相可达吗？离散数学试题一（B 卷答案）一、（15分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A 、B 、C 的控制：当且仅当A 和C 同时关闭或B 和C 同时关闭时灯亮。
设F 表示灯亮。
(1)写出F 在全功能联结词组{↑}中的命题公式。
(2)写出F 的主析取范式与主合取范式。
二、（10分）判断下列公式是否是永真式？(1)(∃xA (x )→∃xB (x ))→∃x (A (x )→B (x ))。
离散数学例题整理
第一章定律证明:(1) A⋃B=B⋃A (交换律)证∀x x∈A⋃B⇒ x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A⇒ x∈B⋃A得证A⋃B⊆B⋃A.同理可证B⋃A⊆A⋃B.(2) A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C) (分配律)证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇒ x∈A或(x∈B且x∈C )⇒(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C)⇒x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)得证A⋃(B⋂C)⊆(A⋃B)⋂(A⋃C).类似可证(A⋃B)⋂(A⋃C)⊆A⋃(B⋂C).(3) A⋃E=E (零律)证根据并的定义, 有E⊆A⋃E.根据全集的定义, 又有A⋃ E⊆E.(4) A⋂E=A (同一律)证根据交的定义, 有A⋂E⊆A.又, ∀x x∈A,根据全集E的定义,x∈E, 从而x∈A且x∈E,⇒x∈A⋂E得证A⊆A⋂E.例4 证明A⋃(A⋂B)=A（吸收律）证利用例3证明的4条等式证明A⋃(A⋂B)= (A⋂E)⋃(A⋂B) (同一律)= A⋂(E⋃B) (分配律)= A⋂(B⋃E) (交换律)= A⋂E (零律)= A (同一律)例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂~C⋂ C) (分配律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂~C⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A – B) –C (补交转换律)例6 证明(A⋃B)⊕(A⋃C)= (B⊕C) - A证(A⋃B)⊕(A⋃C)=((A⋃B) - (A⋃C))⋃((A⋃C) - (A⋃B))=((A⋃B)⋂~A⋂~C)⋃((A⋃C)⋂~A⋂~B)= (B⋂~A⋂~C)⋃(C⋂~A⋂~B)=((B⋂~C)⋃(C⋂~B))⋂~A=((B-C)⋃(C-B))⋂~A= (B⊕C) - A例7 设A,B为任意集合, 证明:若A⊆B, 则P(A)⊆P(B)证∀x x∈P(A) ⇔x⊆A⇒x⊆B (已知A⊆B)⇔x∈P(B)例8 证明A⊕B=A⋃B-A⋂B.A⊕B=(A⋂~B)⋃(~A⋂B)=(A⋃~A)⋂(A⋃B)⋂(~B⋃~A)⋂(~B⋃B)=(A⋃B)⋂(~B⋃~A)=(A⋃B)⋂~(A⋂B)=A⋃B-A⋂B直接法若n是奇数, 则n2也是奇数.假设n是奇数, 则存在k∈N, n=2k+1.于是n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1得证n2是奇数.间接法若n2是奇数, 则n也是奇数.只证:若n是偶数, 则n2也是偶数.假设n是偶数, 则存在k∈N, n=2k.于是n2 = (2k)2= 2(2k2)得证n2是偶数.归谬法若A-B=A, 则A⋂B=∅证用归谬法, 假设A⋂B≠∅, 则存在x,使得x∈A⋂B ⇔x∈A且x∈B⇒x∈A-B且x∈B(A-B=A)⇔ (x∈A且x∉B)且x∈B⇒x∉B且x∈B, 矛盾构造性对每正整数n, 存n个连的正合数. 证令x=(n+1)! +1考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…, x+n，对于i（i=1,2,3,…,n），x+i=(n+1)! +(1+i),此式含有因子1+i，而1+i不等于1也不等于x+i，因此x+i是合数。
离散数学习题汇总
(
)⒌ 若R和S是集合A上的等价关系，则下列关系中一定是等 价关系的有 ① R∪S ② R∩S ③ R－S ④ R⊕S ( )⒍ 若R是集合A上的等价关系，则 ① R2＝R ② t(R)＝R ③ ＩA R ④ R-1＝R ( )⒎ 空集上的空关系是 关系。 ① 线序 ② 等价 ③ 偏序 ④ 拟序 ⑤ 良序 ( ) 8. {1,2,3,4,5}上的全序关系一定是 关系。 ①等价 ②偏序 ③拟序 ④良序 ( )9. {1,2,3,4,5}上的良序关系一定是 ① 自反的 ② 反自反的 ③ 对称的 ④ 反对称的 ⑤ 传递的
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五.范式的写法及应用 (1)写出(P(Q∧R))∧(P(Q∧R))的主析取
范式和主合取范式 方法1，用真值表 方法2，等价变换 (2) A,B,C,D四个人中要派两个人出差，按下述三 个条件有几种派法？ ①若A去则C和D中要去一个人。 ②B和C不能都去。 ③C去则D要留下。
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(3) 有工具箱A、B、C、D，各个箱内装的工具如 下表所示。试问如何携带数量最少工具箱，而 所包含的工具种类齐全。
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2.变元的约束 （1）对下列谓词公式中的约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) （2）对下列谓词公式中的自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) 3.讨论在给定解释下谓词公式的真值 （1）x(P→Q(x))∨R(a) D={-2,3,6} , P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5 （2）xy(P(x)∧Q(x,y)) D= {1,2}， P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F
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二、多项选择题 ( )⒈ 下列说法中正确的有： ② 任何集合的幂集都不是空集 ④ 任意两集合的迪卡尔积都不 ① 任何集合都不是它自身的元素 ③ 若Ａ×Ｂ＝Φ，则Ａ＝Ｂ＝Φ 是空集 (
离散数学例题
例1证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔ (⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德摩根律，置换规则）⇔ (p∧q)→r（蕴涵等值式，置换规则）今后在注明中省去置换规则注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值例2 证明p→(q→r) 与(p→q)→r 不等值证方法一真值表法, 见例1(2)方法二观察法. 观察到000, 010是左边的成真赋值，是右边的成假赋值方法三先用等值演算化简公式，然后再观察p→(q→r) ⇔⌝p∨⌝q∨r(p→q)→r ⇔⌝(⌝p∨q)∨r⇔(p∧⌝q)∨r更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋值和右边的成假赋值例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解(1) q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）矛盾式(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1重言式(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.例4 求下列公式的析取范式与合取范式(1) (p→⌝q)∨⌝r;(2) (p→⌝q)→r解(1) (p→⌝q)∨⌝r ⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）最后结果既是析取范式(由3个简单合取式组成的析取式)，又是合取范式(由一个简单析取式组成的合取式)(2) (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德摩根律) 析取范式⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）合取范式例 5 求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式解(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r（析取范式）①⇔（(p∧q)∧(⌝r∨r)）∨（(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r）⇔（(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)）∨（(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)）⇔m6∨m7 ∨m1∨m3∨m5∨m7 ②排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）注①：一个公式的真值为T的指派所对应的极小项的析取即为主析取范式例 6 结合下表求G:（Ｐ→Ｑ）↔Ｒ的主析取范式P Q R(P→Q）↔R真值的指派所对应的极小项0 0 000 0 1 1 ⌝P∧⌝Ｑ∧Ｒ0 1 000 1 11⌝P∧Ｑ∧Ｒ1 0 01P∧⌝Ｑ∧⌝Ｒ1 0 101 1 001 1 11P∧Ｑ∧Ｒ将极小项全部进行析取后，便得到所求的主析取范式：G:（Ｐ→Ｑ）↔Ｒ⇔（┐P∧┐Ｑ∧Ｒ）∨（┐P∧Ｑ∧Ｒ）∨（Ｐ∧┐Ｑ∧┐Ｒ）∨（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）注②：n个命题变项的极小项或极大项的关系为：⌝m i ⇔M i, ⌝M i ⇔m i注③：极小项(极大项）的性质：（1）每个极小项（极大项）的成真（成假）赋值有且仅有一个；（2）两个不同的极小项的合取（极大项的析取）构成的命题形式为矛盾式（重言式）；（3）所有极小项的析取（极大项的合取）构成的命题形式为重言式（矛盾式）。
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第一章定律证明:(1) A⋃B=B⋃A (交换律)证∀x x∈A⋃B⇒ x∈A 或x∈B, 自然有x∈B 或x∈A⇒ x∈B⋃A得证A⋃B⊆B⋃A.同理可证B⋃A⊆A⋃B.(2) A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C) (分配律)证∀x x∈A⋃(B⋂C)⇒ x∈A或(x∈B且x∈C )⇒(x∈A或x∈B)且(x∈A或x∈C)⇒x∈(A⋃B)⋂(A⋃C)得证A⋃(B⋂C)⊆(A⋃B)⋂(A⋃C).类似可证(A⋃B)⋂(A⋃C)⊆A⋃(B⋂C).(3) A⋃E=E (零律)证根据并的定义, 有E⊆A⋃E.根据全集的定义, 又有A⋃ E⊆E.(4) A⋂E=A (同一律)证根据交的定义, 有A⋂E⊆A.又, ∀x x∈A,根据全集E的定义,x∈E, 从而x∈A且x∈E,⇒x∈A⋂E得证A⊆A⋂E.例4 证明A⋃(A⋂B)=A（吸收律）证利用例3证明的4条等式证明A⋃(A⋂B)= (A⋂E)⋃(A⋂B) (同一律)= A⋂(E⋃B) (分配律)= A⋂(B⋃E) (交换律)= A⋂E (零律)= A (同一律)例5 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ⋂~C) ⋂ ~(B ⋂ ~C) (补交转换律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ ~~C) (德摩根律)= (A ⋂~C) ⋂ (~B ⋃ C) (双重否定律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂~C⋂ C) (分配律)= (A ⋂~C⋂ ~B)⋃(A ⋂∅) (矛盾律)= A ⋂~C⋂ ~B (零律,同一律)= (A ⋂~B) ⋂ ~C (交换律,结合律)= (A – B) –C (补交转换律)例6 证明(A⋃B)⊕(A⋃C)= (B⊕C) - A证(A⋃B)⊕(A⋃C)=((A⋃B) - (A⋃C))⋃((A⋃C) - (A⋃B))=((A⋃B)⋂~A⋂~C)⋃((A⋃C)⋂~A⋂~B)= (B⋂~A⋂~C)⋃(C⋂~A⋂~B)=((B⋂~C)⋃(C⋂~B))⋂~A=((B-C)⋃(C-B))⋂~A= (B⊕C) - A例7 设A,B为任意集合, 证明:若A⊆B, 则P(A)⊆P(B)证∀x x∈P(A) ⇔x⊆A⇒x⊆B (已知A⊆B)⇔x∈P(B)例8 证明A⊕B=A⋃B-A⋂B.A⊕B=(A⋂~B)⋃(~A⋂B)=(A⋃~A)⋂(A⋃B)⋂(~B⋃~A)⋂(~B⋃B)=(A⋃B)⋂(~B⋃~A)=(A⋃B)⋂~(A⋂B)=A⋃B-A⋂B直接法若n是奇数, 则n2也是奇数.假设n是奇数, 则存在k∈N, n=2k+1.于是n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1得证n2是奇数.间接法若n2是奇数, 则n也是奇数.只证:若n是偶数, 则n2也是偶数.假设n是偶数, 则存在k∈N, n=2k.于是n2 = (2k)2= 2(2k2)得证n2是偶数.归谬法若A-B=A, 则A⋂B=∅证用归谬法, 假设A⋂B≠∅, 则存在x,使得x∈A⋂B ⇔x∈A且x∈B⇒x∈A-B且x∈B(A-B=A)⇔ (x∈A且x∉B)且x∈B⇒x∉B且x∈B, 矛盾构造性对每正整数n, 存n个连的正合数. 证令x=(n+1)! +1考虑如下n个连续正整数：x+1, x+2,…, x+n，对于i（i=1,2,3,…,n），x+i=(n+1)! +(1+i),此式含有因子1+i，而1+i不等于1也不等于x+i，因此x+i是合数。
所以x+1, x+2,…,x+n是n个连续的正合数。
非构造性对每个正整数n, 存在大于n的素数.令x等于所有小于等于n的素数的乘积加1,则x不能被所有小于等于n的素数整除.于是, x或者是素数, 或者能被大于n的素数整除.因此,存在大于n的素数.数学归：对所有n≥1, 1+3+5+ … +(2n-1)=n2归纳基础. 当n=1时, 1=12, 结论成立.归纳步骤. 假设对n(n≥1)结论成立,则考虑n+1的情况有1+3+5+ … +(2n-1)+(2n+1)=n2 +(2n+1) = (n+1)2得证当n+1时结论也成立.第二数学归任>=2的整数均可表成素数的乘积证归纳基础. 对于2, 结论显然成立.归纳步骤. 假设对所有的k(2≤k≤n)结论成立, 要证结论对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2≤a,b<n. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1 也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立.命题为假的证明——举反例例11 证明下述命题不成立:若A⋂B=A⋂C, 则B=C.证明反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d},有A⋂B=A⋂C = {a,b}但B≠C, 故命题不成立.第二章例3 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨⌝q)∨r（结合律）⇔⌝(p∧q)∨r（德摩根律）⇔ (p∧q) →r（蕴涵等值式）(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解(p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1该式为重言式.⌝(p→q)∨⌝r 的析取范式与合取范式解⌝(p→q)∨⌝r⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝r⇔ (p∧⌝q)∨⌝r析取范式⇔ (p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r) 合取范式⌝(p→q)∨⌝r 的主析取范式主合取范式解(1) ⌝(p→q)∨⌝r⇔ (p∧⌝q)∨⌝rp∧⌝q⇔ (p∧⌝q)∧1 同一律⇔ (p∧⌝q)∧(⌝r∨r) 排中律⇔ (p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r) 分配律⇔m4∨m5⌝r ⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧⌝r 同一律, 排中律⇔ (⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧⌝r) ⇔m0∨m2∨m4∨m6 分配律得⌝(p→q)∨⌝r⇔m0∨m2∨m4 ∨m5 ∨m6可记作⇔∑(0,2,4,5,6)(2) ⌝(p→q)∨⌝r⇔ (p∨⌝r)∧(⌝q∨⌝r)p∨⌝r⇔p∨0∨⌝r 同一律⇔p∨(q∧⌝q)∨⌝r 矛盾律⇔ (p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r)分配律⇔M1∧M3⌝q∨⌝r⇔ (p∧⌝p)∨⌝q∨⌝r 同一律, 矛盾律⇔ (p∨⌝q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r) 分配律⇔M3∧M7得⌝(p→q)∨⌝r⇔M1∧M3∧M7可记作⇔∏(1,3,7)快速求A ⇔ (⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨r的主析取范式(1) ⌝p∧q⇔ (⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m2∨m3⌝p∧⌝q∧r⇔m1r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7得A⇔m1∨m2∨m3∨m5∨m7 ⇔∑(1,2,3,5,7)(2) 求B⇔⌝p∧(p∨q∨⌝r)的主合取范式解⌝p⇔ (⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r)⇔M4∧M5∧M6∧M7p∨q∨⌝r⇔M1得B⇔M1∧M4∧M5∧M6∧M7 ⇔∏(1,4,5,6,7)例3 用主析取范式判断公式的类型:(1) A⇔⌝(p→q)∧q (3) C⇔ (p∨q)→rA⇔⌝(⌝p∨q)∧q ⇔ ( p∧⌝q)∧q ⇔ 0 矛盾式(2) B⇔p→(p∨q)B⇔⌝p∨(p∨q) ⇔ 1 ⇔m0∨m1∨m2∨m3重言式(3) C⇔ (p∨q)→rC ⇔⌝(p∨q)∨r ⇔ (⌝p∧⌝q)∨r⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m0∨m1∨m3∨m5∨m7非重言式的可满足式用主析取范式判断下面2组公式是否等值:(1) p与(⌝p∨q)→(p∧q)解p ⇔p∧(⌝q∨q) ⇔ (p∧⌝q)∨(p∧q) ⇔m2∨m3(⌝p∨q)→(p∧q) ⇔⌝(⌝p∨q)∨(p∧q)⇔ (p∧⌝q)∨(p∧q) ⇔m2∨m3故p ⇔ (⌝p∨q)→(p∧q)(2) (p∧q)∨r 与p∧(q∨r)解(p∧q)∨r⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r) ∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m1∨m3∨m5∨m6∨m7p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔ m5∨m6∨m7故(p∧q)∨r 不等于p∧(q∨r)例5 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下述条件:(1) 若A去, 则C必须去;(2) 若B去, 则C不能去;(3) A和B必须去一人且只能去一人.问有几种可能的选派方案?解记p:派A去, q:派B去, r:派C去(1) p→r, (2) q→⌝r, (3) (p∧⌝q)∨(⌝p∧q)求下式的成真赋值A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))求A的主析取范式A=(p→r)∧(q→⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ (⌝p∨r)∧(⌝q∨⌝r)∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ ((⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(r∧⌝r))∧((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔ ((⌝p∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝r)∧(p∧⌝q))∨((r∧⌝q)∧(p∧⌝q))∨((⌝p∧⌝q)∧(⌝p∧q))∨((⌝p∧⌝r)∧(⌝p∧q))∨((r∧⌝q)∧(⌝p∧q))⇔ (p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)成真赋值:101,010结论: 方案1 派A与C去方案2派B去A=(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)的主合取范式解 A ⇔m1∨m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6第二章判断若今天是1号, 则明天是5号.今天是1号. 所以, 明天是5号.解设p: 今天是1号, q: 明天是5号推理的形式结构为(p→q)∧p→q证明用等值演算法(p→q)∧p→q⇔⌝((⌝p∨q)∧p)∨q⇔ ((p∧⌝q)∨⌝p)∨q⇔⌝p∨⌝q∨q⇔ 1得证推理正确判断若下午气温超过30度, 则小燕必去游泳，若她去游泳她就不去看电影了. 所以若小燕没去看电影, 下午气温必定超过了30度. m1解设p: 下午气温超过30度, q: 小燕去游泳，r: 小燕去看电影.推理的形式结构为((p→q)∧(q→⌝ r) )→(⌝ r→p)证明主析取范式法((p→q)∧(q→⌝ r) )→(⌝ r→p)⇔p∨ r⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m6 ∨m7主析取范式中缺少m0，m2，不是重言式，不正确。