有限元 ansys 二维单元

第四章 二维单元




矩形单元 平面四边形单元 线性三角形单元 平面三角形单元 等参单元 二维积分：高斯－勒让德多项式
4.1 矩形单元 一维的解是由线段近似的，而二维的解是由 平面片近似的。 仍以温度函数为例，研究二维空间问题，假 设温度在X和Y方向均会发生变化。温度沿单元的 分布是X坐标和Y坐标的函数：
三角形自然（面积）坐标与形函数 si , s j , sk 是完全相同的， 即： si
sj sk
例如：
1

A1 A

X jYk X k Y j X (Y j Yk ) Y ( X k X j ) 2 1 X i Y j Yk X j Yk Yi X k Yi Y j 2
对于给定节点，选取第一个函数F1，使得它在与给定节点无 关的单元上值为零。选择第二个函数F2时，要使它和F1的乘 积在给定的节点上为1，在其他相邻节点上为0。为了说明这 个方法，考虑角节点m，它的自然坐标为 1, 1 。首先 选择F1，使得它在ij侧 ( 1) 和in侧 ( 1) 的值为零。 设：
F1 ( , ) (1 )(1 )
再设：
F2 ( , ) c1 c2 c3
要使它与F1的乘积在节点m处值为1，在相邻节点l和o上值为 0。在节点m处计算Sm,对于 1 和 1 应该为Sm＝1。在 节点l处计算Sm,对于 1, 0 应为Sm＝0。在节点o处计算 Sm，对 0, 1应该为Sm＝0。对方程 s F1 ( , ) F2 ( , ) 应用 以上条件得到：
其中A是三角形单元的面积，可以用以下方程计算：
2 A X i (Y j Yk ) X j (Yk Yi ) X k (Yi Y j )
将 a1 , a2 , a3 代入方程，并组合 Ti , T j , Tk 项，则有：
Ti sk T j T k
类似得到其它中间节点的形函数为：
sk sl so sp
1 2 1 2 1 2 1 2
(1 )(1 )
2
(1 )(1 )
2
(1 )(1 )
2
(1 )(1 )
2
4.3 线性三角形单元
三角形单元由三个节点定义，可以用下式表示三角形区 域内独立变量的变化：
sm (1 )(1 )(
1

1
)
1
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) 1 4 (1 )(1 )(1 )
sn
对于中间节点，作为例子，推导节点o的形函数。首先选择F1使 得它在ij侧 ( 1) 和in侧( 1) 以及jm侧 ( 1) 的值为0。有：
i Y j Yk j YK Yi k Yi Y j
i X k X j j Xi Xk k X j Xi
三角形形函数与其它形函数具有同样的基本性质。
三角形单元的自然坐标： 考虑三角形区域内坐标为（x，y）的点p。将p点与节点i， j和k相连，将会把三角形的面积分为三个更小的面积A1， A2和A3。
1
0
j

A 1 A3
N
0

k
Q
p
A2
M
1
Y
1

i
0
X
对于三角形单元，自然（面积）坐标 , , 定义为：

A 1 A A2 A A3
A 其中只有两个自然坐标是线性独立的，因为：
A1 A

A2 A

A3 A

A A
1
1
将以下条件应用到方程中得到b1，b2，b3，b4：
b1 Ti b3
1 w (Tn Ti )
b4
l 1
lw
(Ti T j Tm Tn )
与一维单元相同，可以得到对于典型单元由 形函数表示的温度分布：
Ti T j sn T m Tn
si
4.4 平面三角形单元
如果区域内有某个变量（如温度）随空间发生变化， 可以用二次函数来更精确的近似，例如：
T (e) a1 a2 X a3Y a4 X a5 XY a6Y
2
2
由自然坐标表示的形函数为：
si (2 1) s j (2 1) sk (2 1) 1 3( ) 2( ) sl 4 sm 4 4 (1 ) sn 4 4 (1 )
I
1 1

n n n f ( , )d d wi f (i , ) d wi w j f (i ,i ) i 1 j 1 1 i 1 1
4c1 4c2 4c3 1 2c1 2c2 0 2c1 2c3 0
得到
c1 c2 c3 1 4 1 4
1 4来自百度文库
4 4 4 可以用同样的方法确定其它几个角节点的形函数:
si sj sm 1 4 1 4 1 4 (1 )(1 )(1 )
F1 ( , ) (1 )(1 )(1 )
由于方程F1三项的乘积将产生线性和非线性的项，所以第二个 函数F2必须是常数。
F2 ( , ) c1
应用边界条件：
得到：
so
2c1 1
so 1 2
( 0, 1)
1
(1 )(1 )(1 )
T ( e ) si
sj
sm
其中形函数为：
si (1 )(1 )
l w
x
y
sj sm
x
l xy
(1
y w
)
lm y x sn (1 ) w l
1. 自然坐标
自然坐标系是局部坐标系的无量纲形式。积分的上下限 分别为1和－1。局部坐标系x，y的原点取在自然坐标的 1 ， 1 处。
T
(e)
si
sj
其中：
si sj sk
1 2A 1 2A 1 2A
( i i X iY ) ( j j X jY ) ( k k X k Y )
且
i X jYk X k Y j j X k Yi X iYk k X iY j X jYi
求解以上方程得到：
a1 a2 a3 X jYk X k Y j Ti X k Yi X iYk T j X iY j X jYi Tk 2A 1 Y j Yk Ti Yk Yi T j Yi Y j Tk 2A 1 X k X j Ti X i X k T j X j X i Tk 2A 1

(e)
b1 b2 b3 b4 b5
b6 b7
2 2
2
b8
2
n
(1,1)
o
p

m
(1,1)

l
i
(1, 1)
k
j
(1, 1)
设和每个节点有关的形函数可以表示为两个函数F1和F2 的乘积：
s F1 ( , ) F2 ( , )
T
(e)
b1 b2 x b3 y b4 xy

矩形单元

在局部坐标系中，节点的温度满足以下条件：
T Ti T Tj T Tm T Tn

x 0, y 0 x l, y 0 x l, y w x 0, y w
b2 (T j Ti )
2y w
1
，由自然坐标表示的形函数为：
1 si (1 )(1 ) 4 1 s j (1 )(1 ) 4 1 sm (1 )(1 ) 4 1 sn (1 )(1 ) 4
4.2 平面四边形单元
八节点的平面四边形单元是一种高阶的平面四边形单 元。适用于带有曲线边界的问题。由自然坐标表示的八节 点的平面单元的形式为：
2
平面三角形单元
k
m
n
i
j
l
4.5 等参单元 若使用一组参数（一组形函数）定义u，v，T 等未知变量，并使用同样的参数（同样的形函数） 表示几何关系，则称为等参公式，用这种方法表 示的单元称为等参单元。
4.6 二维积分：高斯－勒让德多项式 对于高斯－勒让德多项式进行扩展以求解二维问 题。
1 1
y
x 0, y w
( 1, 1) n
w
(0, 0)

x l, y w
m
( 1, 1)

j
x 0, y 0
( 1, 1)
i
x
l
x l, y 0
( 1, 1)
令
2x l
1,
T
(e)
a1 a2 X a3Y
考虑三角形单元节点的温度，必须满足以下条件：
T Ti ( X X i , Y Yi ) T Tj ( X X j ,Y Yj ) T Tk ( X X k , Y Yk )
将节点的值带入关系式，得到：
Ti a1 a2 X i a3Yi T j a1 a2 X j a3Y j Tk a1 a2 X k a3Yk