2019-2020年高考数学总复习导数及其应用双基过关检测理

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2019-2020年高考数学总复习解三角形双基过关检测理

、选择题1.（XX •兰州一模）在厶ABC中,角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a= 7, b= 3, c= 2，则A=( )nA©nD. 一2 故选C. .2 2 2 2 2 2解析：选 C 易知cos A2bc 12，又A€ (0 , 、八nn)，…A=—,2.在△ ABC C- 60°,则此三角形的解的情况是A.有一解 B •有两解C.无解 D .有解但解的个数不确定解析：选C由正弦定理得泮B—sin C340 X * b sin C 2厂• sin B= c=20~ =，3>j•••角B不存在，即满足条件的三角形不存在.3. (xx•天津AC=()A. 1C. 3 D . 4解析：选A 由余弦定理得A W=A C+B C— 2AC- BC- cos C, 即13=AC+ 9 —2AC X 3X cos 120 ° ,化简得AC+ 3AC-4= 0,解得AC= 1或AC=- 4(舍去)•故选A.则厶ABC勺面积等于（）A©A. 2B. 4c並C. 63 D 2故 tan B = 2sin A = 2sin -3 = </3，又 B € (0 , n )，所以 B= -3,n又A =，则△ ABC 是正三角形,所以 &ABC = q bc sin A = x 1 x 1 x —=— 5. （xx •湖南四校联考）在厶ABC 中, —c 2）tan C = ab ，则角C 的大小为（2 nD.31 c 小 cos C2ab2tan-C ? cos 2sin C• c 2 = a 2 + b 2 — 2ab + 6.①亠 n22.2.-C = 3，…c = a + b — 2ab cos由①②得一ab + 6= 0，即ab = 6. 1. 1 43 3J3• - &ABC = _ab sin C = _ x 6 x = -1 -角A , B, C 所对的边分别为a ,b ,c ,若（a 2 + b解析：选A 由题意知, sin C= £ 又 C € (0 , n• C =十或豎6.已知代B 两地间的距离为 10 km, B, C 两地间的距离为 20 km,现测得/ ABC= 120°,则代C 两地间的距离为（A. 10 kmC. 10 5 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得,AC = 100+ 400 — 2X 10X 20X cos 120B . 10 3 km D . 10 7 km700,••• AC= 10 7 km.7. （xx •贵州质检）在厶ABC 中，内A , B, C 所对的边分别是 a , b , c ,若c 2= (a — b )2n+ 6, C = §，则△ ABC 勺面积是（A. 3B. 9*3 2解析：选C•/ c 2 = (a — b )2+ 6,7t2 2+ b — ab.②2 2 2 2&一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B, C 两点间的距离是()B. 10 3海里 D . 20 2海里2sin B ,贝U c = ________解析：由3sin A = 2sin B 及正弦定理，得33a = 2b ,所以b =尹=3.由余弦定理 cos C222a +b — c2ab 2 2 22 +3 — c 2X 2X3 ,解得c = 4.答案：410. 在△ ABC 中, AB="J6,/ A = 75°,/ B= 45°，贝V AC=解析：/ C = 180°— 75°— 45°= 60°,解得AC= 2. 答案：211. ________ (xx •南昌二中模拟)在厶 ABC 中，如果 cos(B + A ) + 2sin A sin B = 1,那么△ ABC的形状是 ________ .解析：T cos( B+ A ) + 2sin A sin B = 1, /• cos A cos B + sin A sin B= 1, cos( A — E ) = 1,在厶 ABC 中, A- B= 0? A = B, 所以此三角形是等腰三角形.A. 10 2海里 C. 20 3海里解析：选A 如图所示，易知，在△ ABC 中, AB= 20,/ CAB= 30°, / ACB= 45°,根据正弦定理得BCsin 30_ABsin 45，解得 BC= 10 2.故B , C 两点间的距离是10 2海里. 二、填空题9.设△ ABC 的内角A , B, C 的对边分别为a ,b ,c ,且 a = 2, cos C =14, 3sin A =得-卜由正弦定理得AB = AC sin C sin B' /6 sin 60ACsin 45北答案：等腰三角形12. 如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为BC又在△ ABC 中,sin sin Z ACB••• BC = 21 000 x sin 15 ° = 10 500(6 — 2).2•/ CDL AD•••CD= BC - sin / DBC= 10 500( 6— 2)10 500( 3 — 1) = 7 350.故山顶的海拔高度 h = 10 000 — 7 350 = 2 650(m). 答案：2 650 三、解答题13. （xx •山西四校联考）已知△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为a , b , c , cos A = |, sin B= 5cos C.(1)求tan C 的值;⑵若a = 2，求△ ABC 的面积.解：(1) ••• cos A = f , • sin A = . 1— cos A^^5,5cos C = sin B =sin( A + C=sin A cos C + sin C cos A 5 2 〒cos C + §sin C 整理得tan C =5.⑵由(1)知 sin C =岁，cos C =6,6 6AB10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角o，/ DBC= 45°,// ACB= 30°, AB= 50X 420= 21 000(m).a c—由 sin A sin C 知，C = 3.T sin B = 5cos C =5 •，14. (xx •石家庄二模)△ ABC 中，角A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,且2b cos C + c =2a . ⑴求角B 的大小； 1 c(2)若cos A =二，求-的值.7 a解：(1)由正弦定理，得 2sin B cos O sin C = 2sin A ,T A + B+ C = n ,/• sin A = sin( B+ C ) = sin B cos C + cos B sin C,••• 2sin B cos C + sin C = 2(sin B cos C + cos B sin C ), /• sin C = 2cos B sin C,1T sin C M 0,「. cos B = j ,nT BABC 的内角，• B=-.3⑵在△ ABC 中, cos A = 7• sinA =竽,又B =nc sin C 5 a = sin A = 8• sin C = sin( A + E ) = sin A cos B + cos A sinB =5、3 盲,1 :,△ ABC 的面积 S = q ac sin2 '、选择题1.（XX•滨州模拟）甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有 1门相冋的选法有（)A. 6种B . 12 种 C. 24 种D. 30种解析：选C分步兀成：第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；第二步，甲从剩余的 3门课程选一门有3种方法；第三步，乙从剩余的 2门中选出一门课程有 2种方法；•••甲、乙恰有1门相同课程的选法有 4X 3X 2= 24（种）.2. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（A. 24 种 B . 30种C. 36 种D. 48 种解析：选 D 按A T B T C - D 顺序分四步涂色，共有 48（种）.3.（xx •云南师大附中适应性考试）在（a + x ）7展开式中x 4的系数为280,则实数a 的值为（）A. 1 B .±1 C. 2D.±2解析：选C 由题知，6a 3 = 280,得a = 2,故选C.4. （xx •佛山二模）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A. 10 种 B . 25种 C. 52 种D. 24 种解析：选D 每相邻的两层之间各有 2种走法，共分4步•由分步乘法计数原理，共有 24种不同的走法.5•张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园•为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为（）要求有公共)4X 3X 2X 2 =A. 12B. 24D. 48C. 36解析：选B将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2启种排法，故总的排法有2X 2XA l= 24（种）.6.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（）A. 150 B . 300C. 600D. 900解析：选C若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有dx 屁=240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从 6名教师中选4名，共有C 6X A 4= 360种方法•因此共有600种不同的选派方案.7. （xx •成都一中模拟）设（x 2+ 1）（2 x + 1）9 = a o + a i （x + 2） + a 2（x + 2）2 + •••+ a ii （x +112），贝U a o + a + a 2 + …+ an 的值为（）A.— 2 B .- 1C. 1D. 2解析：选 A 令等式中 x =- 1,可得 a o + a 1+ a 2+・・・+ an = (1 + 1)( — 1)9=- 2,故选A. &从1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a , b,共可得到lg a-lg b 的不同值的个数是（）B . 10 D. 20二、填空题2x -丄｝的展开式的通项是 T r +1 = C 5 • (2 x )5-r •<x/令5-2r = 1得r = 2.因此?x -分的展开式中x 项的系数是C 5 • （ - 1）2・25-2= 80.答案：8010. （xx •石家庄模拟）将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________ （用数字A. 9C. 18 解析：选Clga -lgb = Ig b ，从 1,3,5,7,9中任取两个数分别记为 a , b ,共有A =20种结果，其中lg1 3= lg3 9, lg 3 厂lg9,故共可得到不同值的个数为 20-2 = 18.故选C.39. 2x - 1 5的二项展开式中< x /x 项的系数为解析: 1r r r 小 5— r 5 - 2r x j = C 5 • ( - 1)・2 • x作答）.解析：第1步，把甲、乙分到不同班级有A2= 2种分法；第2步，分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种方法；②丙、丁分到两个不同班有A2= 2种分法.由分步乘法计数原理，不同的分法为 2X (2 + 2) = 8(种).答案：811•如图所示，在 A, B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现代B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 _____________ 种.解析：四个焊点共有 24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有 3种可能•故不通的情况有 24- 3= 13(种)可能.答案：1312. (xx •宁波调研)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _________ 种.解析：若1,3不同色，则1,2,3,4 必不同色，有3A 4 = 72种涂色法；若1,3同色，有C C 3A 2= 24种涂色法.根据分类计数原理可知，共有72 + 24= 96种涂色法.答案：96 三、解答题2 nf16 2 1 \ 213. 已知(a + 1)展开式中的二项式系数之和等于~^x +寸的展开式的常数项，而(a+ 1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54,求正数a 的值.解：导2+*)展开式的通项16 5- r 20 — 5r5 X2 ，)• W= 16,5又(a 2+ 1)n 展开式的各项系数之和为 2n ,由题意得2 = 16,— n = 4./• (a 2+ 1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项 T 3,从而 d(a 2)2= 54,— a = ,3.14. 从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？d令 20— 5r = 0,得 r = 4,(2) 上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3) (1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C4种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A7种情况•所以符合题意的七位数有C4CA7= 100 800个.⑵上述七位数中，3个偶数排在一起的有C44C5A3A5= 14 400个.(3) (1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C4G5A4A4A2 = 5 760个.。

2019-2020年高考数学总复习概率双基过关检测理

019-2020年高考数学总复习概率双基过关检测理一、选择题 1.（XX •湖北十市联考）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“都是红球”C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：选D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.2. （xx •安阳二模）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A= ｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C = ｛抽到三等品｝，且已知P （A ） = 0.65 , P （B ） = 0.2 , P （C ） = 0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（）A. 0.7 B . 0.65 C. 0.35D. 0.3解析：选C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 RA ） = 0.65 ,所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为 P = 1 — P （A ） = 1 — 0.65=0.35.3.已知点P , Q 为圆C: X 1 2+ y 2 = 25上的任意两点，且为M 在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（9B.2516 C. 25解析：选B PQ 中点组成的区域 M 如图阴影部分所示, 任取一点落在 M 内的概率为25 ：— 16 " = 9，故选B.4. （xx •铜川一模）做抛掷两颗骰子的试验，用（x , y ）表示结果，其中x 表示第一颗骰子正面朝上的点数， y 表示第二颗骰子正面朝上的点数，则1D*|PQ v 6，若PQ 中点组成的区域 3A.52 D.- 525 n 25' 那么在C 内部x + y > 10 的概率是（）5 B £2 A.2 1解析：选D (x , y )的所有基本事件共有 6X 6= 36个，事件“ x + y > 10”包含(5,6), 1(6,5) , (6,6)，共3个基本事件.根据古典概型的概率计算公式可知， x + y > 10的概率是乜,故选D.15.在正二棱锥 S -ABC 内任取一点P ,使得VP-ABC < ?VS-ABC 的概率是( )7A.86. (xx •河北三市联考)袋子中装有大小相同的 5个小球，分别有2个红球、3个白球.现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为 ( )解析：选D 设2个红球分别为a , b, 3个白球分别为 A , B, C,从中随机抽取2个，则有(a , b ) , (a , A ), (a , B ) , (a , C ), (b , A ), (b , B ), (b , C ) , (A , B ), (A, C ) , (B , C ), G Q 个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有 6个，则所求概率为 P =^ =-. 共1010 5 3B.4解析：选A 如图，分别取 D E , F 为SA SB SC 的中点，则满足条件的点P 应在棱台DEFABC 内,1而 S ^DEF = S AV S -D=1w ABC.•••=V DEF- ABC 7 壮-ABC 8故选A.°36 143 2解析：选C 将一枚骰子抛掷两次共有6X 6= 36种结果.方程x 2 + bx + c = 0有实根,则△= b 2— 400,即 b >2 c ,其包含的结果有：(2,1) , (3,1) , (4,1) , (5,1) , (6,1),7.将一枚骰子抛掷两次，的概率为()右先后出现的点数分别为 b , c ,贝U 方程x + bx + c — 0有实根 11 %19(3,2) , (4,2) , (5,2) , (6,2) , (4,3) , (5,3) , (6,3) , (4,4) , (5,4) , (6,4) , (5,5) , (6,5) (5,6) , (6,6)，共19种，由古典概型的概率计算公式可得P=曇故选C.0< x < 2,&设不等式组* 表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则此点0< y W2到坐标原点的距离大于2的概率是()B.D.解析：选D如图所示，区域D为正方形OAB(及其内部，且区域D的面积S= 4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于的区域.易知该阴影部分的面积S阴=4 一n ,.•.所求事件的概率P=2、填空题9.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为_________ .解析：如图可设AB与AB 的长度等于1，则由几何概型可知其整2体事件是其周长3,则其概率是答案：210. (xx •河南检测)若mE (0,3)，则直线(m^ 2)x + (3 —m)y —3= 0与x轴、y轴围成9的三角形的面积小于；的概率为________ .83 解析：对于直线方程(m^2)x + (3 —m)y—3= 0，令x = 0,得y = 3一m 令丫 = °，得x3 1 3 3 \9=m石，由题意可得2 m^2 •V8，因为m E (0,3)，所以解得0v m K 2,由几何2概型计算公式可得，所求事件的概率是 2.32答案：211. (xx •兰州诊断)从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于解析：从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法,2 1其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于g=空1答案：312. 高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，10若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的力，则这个班的男生人数11为________ .解析：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63 -X,因为每名学生被选中63 —x是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是—,“选63x 63—x 10 x出的标兵是男生”的概率是63,故—莎=11 x63,解得x = 33,故这个班的男生人数为33.答案：33三、解答题13. (xx •河北“五个一名校联盟”质量监测)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据•其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(1) 用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；(2) 已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3,4.4 , 4.5 , 4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4 X 2 + 4.6 X 2+ 4.8 X 2+ 4.9 +5.1=4.78故估计高三(1)班学生视力的平均值为 4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5),(4.3,4.6) , (4.3,4.7) , (4.3,4.8) , (4.4,4.6) , (4.4,4.7) , (4.4,4.8) , (4.5,4.7),(4.5,4.8) , (4.6,4.8),共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小125X 0.15 + 135X 0.1 + 145X 0.05 = 110.14. (xx •昆明两区七校调研)某校高三共有900名学生，高三模拟考试之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，并制成如下的频率分布表.⑴确定表中a , b , c 的值；(2) 为了了解数学成绩在 120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取 6名学生，在这6名学生中又再随机抽取 2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；(3) 估计该校本次考试的数学平均分. 解：⑴因为频率和为1,所以b = 0.18 ,因为频率=频数/样本容量，所以c = 100, a = 15.(2) 第六、七、八组共有 30个样本，用分层抽样方法抽取 6名学生，第六、七、八组被抽取的样本数分别为 3,2,1 ,将第六组、第八组被抽取的样本分别用 A, B, C, D 表示，第七组抽出的样本用 E F 表示.从这6名学生中随机抽取 2个的方法有 AB AC AD AE AF, BC BD BE BF, CD CE CF, DE DF,EF,共 15 种.3其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为-.5(3) 估计平均分为 75 X 0.06 + 85 X 0.04 + 95 X 0.22 + 105X 0.2 + 115X 0.18 +于0.2的概率为P =10 15 2 3.2019-2020年高考数学总复习直线与圆双基过关检测理、选择题1. 直线x+ 3y + m^ 0（肚R）的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°解析：选C •••直线的斜率k =—身，二tan a =-3 3又0Wa W 180°,.・.a = 150 ° .故选 C.2. 如图中的直线|1, |2, |3的斜率分别为k1, k2, k3,则（）A. k1< k2< k3B. k3< k1 v k2C. k3< k2< k1D. k1< k3< k2解析：选 D 由图可知k1<0, k2>0, k3> 0,且k2>k3,「. k1< k3<k2.3. （xx •湖北七市联考）将直线x+ y—1 = 0绕点（1,0）沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆（x+ 3）2+ y2= 4的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切解析：选B依题意得，直线l的方程是y=tan 150°（x —1）=—左3© —1），即x+ .3| 一3—1| y—1 = 0,圆心（一3,0）到直线l的距离d= ------------------------------------------------ =2,因此该直线与圆相切.寸3 + 14. 直线l过点（—1,2）且与直线2x—3y+ 4= 0垂直，则l的方程是（）A. 3x+ 2y —1 = 0B. 3x+ 2y+ 7 = 0C. 2x—3y + 5 = 0D. 2x—3y+ 8 = 03 3解析：选 A 由条件知k l = —2，••• l : y—2= —2（x+ 1），即3x+ 2y— 1 = 0,选 A.5. （xx •北京顺义区检测）若直线y =—2x + 3k+ 14与直线x —4y=—3k—2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（）A. （—6, —2）B. （—5, —3）C. （—a, —6）D. （—2,+^）y = - 2x + 3k + 14,x = k + 6,解析：选A 解方程组x + 3一 2,得y = k + 2.因为直线y = — 2x + 3k + 14与直线x — 4y =— 3k — 2的交点位于第四象限，所以k + 6 > 0 且 k + 2v 0，所以一6 v k v — 2.故选 A.6.直线ax + by — 1 = 0在y 轴上的截距为1,且与直线x — 3y +1 = 0垂直，则a + b 等4 A .3 D.— 27.若直线I仁y = k (x — 4)与直线丨2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点()A. (0,4) B . (0,2) C. ( — 2,4)D. (4 , — 2)解析：选B 直线丨1： y = k (x — 4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线I 1： y = k (x — 4)与直线丨2关于点(2,1)对称，故直线I 2恒过定点(0,2).&若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线 4x — 3y = 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A. (x — 2)2+ (y — 1) 2= 1 B . (x — 2)2+ (y + 1)2= 1 C. (x + 2)2+ (y —1)2= 1D.(x — 3)2+ ( y — 1)2= 1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a, 1)( a >0)，又由圆与直|4 a — 3|22线4x — 3y = 0相切可得=1,解得a = 2，故圆的标准方程为(x — 2) + (y — 1) = 1.、填空题9. _____________________________________________________ 已知 A (3,5) , B (4,7) , C ( — 1 , x )三点共线，则 x = _______________________________________解析：T A , B , C 三点共线，二k AB = k AC ,7—5 = x — 54— 3= — 1 — 3’ 答案：—310. _______________________________________________________________________ 若B .C. 4解析：选C由题意知1b = 1，a = 3,解得^= 1.所以a + b = 4.••• x =—3.过点A( —2, m), B(m,4)的直线与直线2x+ y+ 2 = 0平行，则m的值为_____________________ 解析：•过点A B的直线平行于直线2x + y + 2= 0,4 —m n•- k AB= =—2,解得m= —8.m+ 2答案：—811. 已知丨1,丨2是分别经过A(1,1) , B(0，—1)两点的两条平行直线，当丨1,丨2间的距离最大时，则直线11的方程是____________________ .解析：当直线AB与11, 12垂直时，丨1,丨2间的距离最大•因为A(1,1) , B(0，—1), —1 — 1 一、 1所以k AB= = 2,所以两平行直线的斜率为k=—-,0 —1 21所以直线1 1的方程是y — 1 = —^(x —1)，即x+ 2y—3= 0.答案：x + 2y —3= 012. 已知圆C: (x+1)3 4+ (y—1)2= 1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M则过点M的圆C的切线方程是__________ .解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为—1,所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2,所以|OM=2 —1,所以M-^2—1, 1—¥，所以切线方程为y — 1 +扌=x —¥ + 1,整理得y = x + 2 - J2.答案：y = x+ 2—2三、解答题13. 已知△ ABC勺三个顶点分别为A—3,0),耳2,1) , C( —2,3)，求：(1) BC边所在直线的方程；(2) BC边上中线AD所在直线的方程；(3) BC边的垂直平分线DE的方程.解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C( —2,3)两点，y—1 x—2由两点式得BC的方程为3—^ = —2 —2，即x + 2y — 4 = 0.3(3) 由(1)知，直线BC的斜率k1 = — ,则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2= 2. 由⑵知，点D的坐标为(0,2).(2) 设BC边的中点D的坐标为(x, y),2—2 1 + 3则x = -^ = 0, y= — = 2.BC边的中线AD过点A—3,0) , D0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为三+ y= 1, 即卩2x —3y+ 6= 0.—3 2由点斜式得直线DE的方程为y —2= 2(x—0),即2x—y + 2 = 0.14. 已知圆C：x2+ y2—8y + 12= 0,直线I : ax+ y + 2a= 0.⑴当a为何值时，直线I与圆C相切；⑵当直线I与圆C相交于A，B两点，且| AB = 2 2时，求直线I的方程. 解：将圆C的方程x2+ y2—8y+ 12 = 0配方，得标准方程为x2+ ( y—4)2= 4, 则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.⑴若直线I与圆C相切，则有y，解得a=-4.⑵过圆心C作CDL AB,则根据题意和圆的性质,得|CD2+ |DA2=|AC2= 22,|DA = 31 A B = 2,解得a=—7或a=— 1.故所求直线方程为7x—y+ 14= 0或x—y + 2= 0.。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编考点01 导数的基本计算及其应用1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a = ．考点02 求切线方程及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x =B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，． 4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为． 6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是． 7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +129．（2020∙全国∙高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+10．（2020∙全国∙高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .11．（2019∙江苏∙高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（‐e ，‐1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .12．（2019∙全国∙高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-13．（2019∙天津∙高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为 . 14．（2019∙全国∙高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为． 15．（2019∙全国∙高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=考点03 公切线问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .考点04 利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是 .4．（2019∙北京∙高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．考点05 求极值与最值及其应用1．（2024∙上海∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（） A ．存在()f x 是偶函数 B ．存在()f x 在2x =处取最大值 C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）． A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+， 4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1-B ．12-C ．12D ．15．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为 .考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线2．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >考点07 导数与函数的基本性质结合问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->2．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点3．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=4．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．考点08 利用导数研究函数的零点及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-3．（2021∙北京∙高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．考点09 利用导数研究方程的根及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．2．（2021∙北京∙高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．考点10 构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系1．（2022∙全国甲卷∙高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（） A ．a b c << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b参考答案考点01 导数的基本计算及其应用1．（2020∙全国∙高考真题）设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a = ．【答案】1【详细分析】由题意首先求得导函数的过程解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【答案详解】由函数的过程解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aeea =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.【名师点评】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.考点02 求切线方程及其应用1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A【详细分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【答案详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅+'=，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯+'==，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A ．e4y x = B ．e 2y x =C ．e e 44y x =+ D ．e 3e24y x =+ 【答案】C【详细分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【答案详解】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x xxx x y x x =+'+-=+，所以1e|4x k y ='==所以()e e124y x -=- 所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+. 故选：C3．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】 1ey x =1e y x =-【详细分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【答案详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；因为ln y x =是偶函数，图象为：所以当0x <时的切线，只需找到1ey x =关于y 轴的对称直线1e y x =-即可.[方法三]：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1e y x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-.4．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．【答案】()(),40,-∞-+∞【详细分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【答案详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >, ∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞ ,故答案为：()(),40,-∞-+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为．【答案】520x y -+=【详细分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【答案详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．6．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是．【答案】()0,1【详细分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N ，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xxx e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0x x x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e NAM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点评】关键点名师点评：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 7．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D【详细分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【答案详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t ty e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y ft =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【名师点评】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8．（2020∙全国∙高考真题）若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【详细分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【答案详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【名师点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 9．（2020∙全国∙高考真题）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B【详细分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【答案详解】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【名师点评】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题10．（2020∙全国∙高考真题）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】2y x =【详细分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【答案详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【名师点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题.11．（2019∙江苏∙高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（‐e ，‐1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1).【详细分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【答案详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .【名师点评】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12．（2019∙全国∙高考真题）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【过程解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【答案详解】答案详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【名师点评】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 13．（2019∙天津∙高考真题）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为 . 【答案】220x y +-=【详细分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．【答案详解】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．【名师点评】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．14．（2019∙全国∙高考真题）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】30x y -=.【详细分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【答案详解】答案详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点评】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15．（2019∙全国∙高考真题）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【详细分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【答案详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=- 2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点评】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．考点03 公切线问题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .【答案】ln 2【详细分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()00,ln 1x x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【答案详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =. 故答案为：ln 22．（2016∙全国∙高考真题）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-【答案详解】试题详细分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】导数的几何意义【名师点评】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．3．（2015∙全国∙高考真题）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．【答案】8【答案详解】试题详细分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法名师点评】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．考点04 利用导数判断函数单调性及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（） A ．3x =是()f x 的极小值点 B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD【详细分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【答案详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x >，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）． A ．2e B ．e C ．1e - D ．2e -【答案】C【详细分析】根据()1e 0xf x a x'=-≥在()1,2上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【答案详解】依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥，设()()e ,1,2x g x x x =∈，所以()()1e 0xg x x '=+>，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -．故选：C ．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是 .【答案】1,12⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【详细分析】原问题等价于()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【答案详解】由函数的过程解析式可得()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()1ln 1ln xxa a a a ++≥-，即()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，故()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥-⎪+⎝⎭，而()11,2a +∈，故()ln 10a +>，故()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩即()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩，故112a ≤<，结合题意可得实数a 的取值范围是1,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：1,12⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 4．（2019∙北京∙高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是．【答案】 ‐1; (],0-∞.【详细分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的过程解析式可得a 的取值范围.【答案详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x xf x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞【名师点评】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.考点05 求极值与最值及其应用1．（2024∙上海∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈-<R ，在使得[]1,1M =-的所有()f x 中，下列成立的是（） A ．存在()f x 是偶函数 B ．存在()f x 在2x =处取最大值 C ．存在()f x 是严格增函数 D ．存在()f x 在=1x -处取到极小值【答案】B【详细分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数()2,1,111,1x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩即可判断.【答案详解】对于A ，若存在 ()y f x = 是偶函数, 取 01[1,1]x =∈-, 则对于任意 (,1),()(1)x f x f ∈-∞<, 而 (1)(1)f f -=, 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数()2,1,,11,1,1,x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩满足集合[]1,1M =-，当1x <-时，则()2f x =-，当11x -≤≤时，()[]1,1f x ∈-，当1x >时，()1f x =，则该函数()f x 的最大值是()2f ，则B 正确；对C ，假设存在()f x ，使得()f x 严格递增，则M =R ，与已知[]1,1M =-矛盾，则C 错误；对D ，假设存在()f x ，使得()f x 在=1x -处取极小值，则在1-的左侧附近存在n ，使得()()1f n f >-，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）． A ．0bc > B ．0ab > C ．280b ac +> D ．0ac <【答案】BCD【详细分析】求出函数()f x 的导数()f x '，由已知可得()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【答案详解】函数2()ln b c f x a x x x =++的定义域为(0,)+∞，求导得223322()a b c ax bx cf x x x x x --'=--=，因为函数()f x 既有极大值也有极小值，则函数()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点，而0a ≠，因此方程220ax bx c --=有两个不等的正根12,x x ，于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a ⎧⎪=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，即有280b ac +>，0ab >，0ac <，显然20a bc <，即0bc <，A 错误，BCD 正确.故选：BCD3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（） A ．ππ22-，B ．3ππ22-， C ．ππ222-+，D ．3ππ222-+，【答案】D【详细分析】利用导数求得()f x 的单调区间，从而判断出()f x 在区间[]0,2π上的最小值和最大值. 【答案详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+，所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 单调递减，又()()02π2f f ==，ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2π上的最小值为3π2-，最大值为π22+. 故选：D4．（2022∙全国甲卷∙高考真题）当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B【详细分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【答案详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a b f x x x -'=，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,∞+上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f =-+=-'．故选：B.5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为 . 【答案】1【详细分析】由过程解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【答案详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.考点06 利用导数研究函数的极值点及其应用1．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【详细分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【答案详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，(,)3+∞上单调递增，(33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 正确；因(1039f -=+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎫≥>⎪⎪⎝⎭，即函数()f x 在3⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC.2．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是．【答案】1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详细分析】法一：依题可知，方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln xg x a a =⋅，利用指数函数的图象和图象变换得到()g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【答案详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x ⋅-'=，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x ∞-和()2,x ∞+上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x ∞-()2,x ∞+，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，()0f x '>，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a =⋅<<'，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a ='⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e x f x a a x ⋅-'==0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x ∞-和()2,x ∞+上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex ='=-，则()()22ln 2x x a a e '=-，若1a >，则()x '在R 上单调递增，此时若()00f x '=，则()f x '在()0,x ∞-上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()x '在R 上单调递减，此时若()00x '=，则()f x '在()0,x ∞-上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，令()00x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =->且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭'，即001ln 1ln x x a a<>故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11e a <<. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．3．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设0a ≠，若a 为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】D 【详细分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【答案详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有a 和b 两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，a 为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：。

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。

2019-2020年高考数学总复习直线与圆双基过关检测理

2019-2020年高考数学总复习直线与圆双基过关检测理、选择题 1. 直线x + 3y + m = 0（mfE R ）的倾斜角为（ A. 30° D. 120° 解析：选C •••直线的斜率k ——£,• tan 又 0W a w 180°,.・.a = 150 ° .故选 C.第四象限，则实数 k 的取值范围是（y =— 2x + 3k + 14, B . 60° C. 150° 2.如图中的直k 2, k 3,则( A. k i v k 2< k 3 B. k 3 v k i v k 2 C. k 3< k 2< k D . k i v k 3v k 2 解析：选D 由图可知k i v 0, k 2>0, k 3> 0, 且 k 2 > k 3,…k 1 v k 3< k 2. 3. （xx •湖北七市联考）将直线x + y — 1 — 0绕点（1,0） I ，则直线I 与圆（x + 3）2+ y 2— 4的位置关系是（）沿逆时针方向旋转15° 得到直线A.相交 B . 相切 C.相离 D. 相交或相切解析：选B 依题意得，直线l 的方程是 y =tan 150° (x — 1) =-f(x — 1), —3— 11 = 2,y — 1 = 0圆心(—3,0)到直线1的距离d = \3 + 1 因此该直线与圆相切. 4. 直线I 过点（一1,2）且与直线 2x — 3y + 4= 则I 的方程是（） A. 3x + 2y — 1 = 0 B . 3x + 2y + 7 = 0 C. 2x — 3y + 5 = 0 D. 2x — 3y + 8 = 0 解析：选A 由条件知 •••I : y — 2= — |(x + 1)，即 3x + 2y — 1 = 0, 选A. 5. （xx •北京顺义区检测）若直线 y =— 2x + 3k + 14与直线x —4y =— 3k — 2的交点位于A. ( — 6, — 2)B. ( — 5, — 3)C. ( — a, — 6)D. ( — 2,+^)x — k + 6, 得b - k + 2.解析：选A解方程组丫—4y= —3k —2,因为直线y ——2x+ 3k + 14与直线x —4y ——3k—2的交点位于第四象限，所以k + 6 >0 且 k + 2v 0，所以一6 v k v — 2.故选 A. 7. 若直线I 仁y = k (x — 4)与直线12关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A. (0,4) B . (0,2) C. ( — 2,4) D. (4 , — 2) 解析：选B 直线丨1： y = k (x — 4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线l 1： y = k (x — 4)与直线12关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2). &若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线 4x — 3y = 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A. (x — 2)2+ (y — 1) 2= 1 B . (x — 2)2+ (y + 1)2= 1 C. (x + 2)2+ (y —1)2= 1 D.(x — 3)2+ ( y — 1)2= 1 解析：选A 由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a, 1)( a >0)，又由圆与直 |4 a — 3| 一 2 2 线4x — 3y = 0相切可得 =1,解得a = 2，故圆的标准方程为(x — 2) + (y — 1) = 1. 、填空题 9. _____________________________________________________ 已知 A (3,5) , B (4,7) , C ( — 1 , x )三点共线，则 x = _______________________________________ 解析：••• A , B , C 三点共线，••• k AB = k AC ,答案：—310. _______________________________________________________________________ 若过点A — 2, m ), B (m,4)的直线与直线2x + y + 2 = 0平行，则m 的值为 ______________ 解析：•过点 A B 的直线平行于直线 2x + y + 2= 0, 6. 直线ax + by — 1 = 0在y 轴上的截距为 () 1,且与直线x — 3y +1 = 0垂直，则a + b 等 4 A.3 B . C. 4 D. — 2 解析：选C 由题意知a 1 —b x 3=— 1， a = 3, 解得^= 1.所以a + b = 4. X — 5—1 —3, • x =— 3.4 —m n•- k AB=耐2 =—2,解得m= —8.答案：—811. 已知丨1,丨2是分别经过A(1,1) , B(0，—1)两点的两条平行直线，当丨1,丨2间的距离最大时，则直线l 1的方程是____________________ .解析：当直线 AB 与 l i , 12垂直时，1l ,丨2间的距离最大•因为 A (1,1) , B (0，- 1),所以k A 斗冷耳 =2,所以两平行直线的斜率为 k =- 2,1所以直线1 1的方程是y — 1 = -2(x - 1)，即x + 2y - 3= 0.答案：x + 2y - 3= 0 .. 2 212. 已知圆C ： (x +1) + (y -1) = 1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧的中点为M 则过点M 的圆C 的切线方程是 __________ .解析：因为圆C 与两轴相切，且 M 是劣弧的中点，所以直线 CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为—1,所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2,所以|OM =2- 1,所以- 1, 1-#，所以切线方程为 y - 1 + ¥= x -# + 1,整理得y = x + 2- ,2.答案：y = x + 2-2三、解答题13. 已知△ ABC 勺三个顶点分别为 A - 3,0),耳2,1) , C ( - 2,3)，求：(1) BC 边所在直线的方程；(2) BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3) BC 边的垂直平分线 DE 的方程.解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C ( — 2,3)两点，即 x + 2y - 4 = 0.⑵ 设BC 边的中点D 的坐标为(x , y ),2-2 1 + 3则 x = -^ = 0, y = — = 2.BC 边的中线 AD 过点A -3,0) , D 0,2)两点,⑶由(1)知，直线BC 的斜率k 1 = - 1,则直线BC 的垂直平分线 DE 的斜率k 2= 2.由⑵知，点D 的坐标为(0,2).由点斜式得直线 DE 的方程为y - 2= 2(x - 0),即 2x - y + 2 = 0.14.已知圆 C ： x 2 + y 2-8y + 12= 0,直线 1 : ax + y + 2a = 0.由两点式得BC 的方程为 y -1 = 3- 1 = x - 2 -2 - 2,由截距式得AD 所在直线方程为冷+2 = 1, 即卩 2x - 3y + 6= 0. -3 2⑴当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；⑵当直线I 与圆C 相交于A , B 两点，且| AB = 2 2时，求直线l 的方程. 解：将圆C 的方程x 2+ y 2— 8y + 12 = 0配方，得标准方程为 x 2+ (y — 4)2= 4, 则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线I 与圆C 相切,⑵ 过圆心C 作CDL AB 则根据题意和圆的性质,得 |CD 2+ |DA 2=|AC 2= 22,.I DA = f|AB = 2,解得a =— 7或a =— 1.故所求直线方程为 7x — y + 14= 0或x — y + 2= 0. 2019-2020年高考数学总复习空间位置关系双基过关检测理、选择题1.在下列命题中，不是公理的是 () A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选A 选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的.2. 在正方体 AC 中，E , F 分别是线段 BC , CD 的中点，则直线 AB 与直线EF 的位置关玄阜系是A.相交B .异面 C.平行 D .垂直解析：选A 如图所示，直线AB 与直线外一点E 确定的平面为 ABCD,EF ?平面ABCD 且两直线不平行，故两直线相交.3. (xx •北京咼考)设a , 3是两个不同的平面，m 是直线且m ? a , “m// B ”是“ a则有 |4 + 2a | a 2 +1=2,解得 a =— 4.B •必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件解析：选B 当m//B 时，过m 的平面a 与3可能平行也可能相交，因而n V/ 3 ? / a // 3 ；当a//3时，a 内任一直线与 3平行，因为m ? a ,所以m// 3 .综上知，“m// 3 ” 是“ a // 3 ”的必要而不充分条件.4. （xx •南昌一模）已知a , b , c 是不同的直线，a , 3 , Y 是不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. a 与b 异面，b 与c 异面？ a 与c 异面B. a 与b 相交，b 与c 相交？a 与c 相交C. a // 3 , 3 / Y ? a // 丫D. a ? a , b ? 3 , a 与3相交？ a 与b 相交解析：选C 如图（1），在正方体中，a , b , c 是三条棱所在直线，满足 a 与b 异面，b与c 异面，但a n c = A,故A 错误；在图 ⑵ 的正方体中，满足 a 与b 相交，b 与c 相交，但 a 与c 不相交，故 B 错误；如图（3） , a n 3 = c , a // c ,则a 与b 不相交，故 D 错误.5. 如图所示，P 为矩形ABC 斷在平面外一点，矩形对角线交点为 0,M 为PB 的中点，给出下列五个结论： ①PD//平面AMC ②0M 平面PCD ③0M/平面PDA ④0M 平面PBA ⑤0M/平面PBC 其中正确的个数有A. 1C. 3 D . 4 解析：选C 矩形ABCD 勺对角线AC 与 BD 交于点0,所以0为BD 的中点•在△ PBD 中, M 是PB 的中点，所以 0”是厶PBD 的中位线，0MT PD 贝U PD//平面 AMC 0MT 平面 PCD 且 0MT 平面PDA 因为 M PB 所以0M 与平面PBA 平面PBCf 交.6. （xx •长春模拟）已知正四面体 ABCDK E 是AB 的中点，则异面直线 CE 与BD 所成A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ⑴c角的余弦值为（）A.6B..3 ~6D.解析：选B画出正四面体ABCD勺直观图，如图所示.设其棱长为2, 1取AD的中点F,连接EF, CF,设EF的中点为0,连接CQ则EF// BD,则/ FEC就是异面直EO 2线CE与BD所成的角，△ ABC为等边三角形，贝U CE!AB易得CE= 3 ,同理可得CF= .3 CB CF 因为OB OF 所以COL EF 又E0= ^EF= ^BD= 2,所以cos / FEC=7. （xx •余姚模拟）如图，在正方体ABCEAiBCD中，M N分别是BC, CD的中点，则F列说法错误的是（）A. MN与CC 垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与AB平行解析：选D如图，连接CD,在厶C i DB中，MN/ BD故C正确；T CC丄平面ABCD BD?平面ABCD ••• CC丄BD ••• MN与CC垂直，故A正确；T AC L BD MN/ BD /. MN与AC垂直，故B 正确, 故选D.8. （xx •福州质检）在三棱柱ABGABC i中，E, F分别为棱AA , CC的中点，则在空间中与直线A i B , EF, BC都相交的直线（）A.不存在 B .有且只有两条C.有且只有三条 D .有无数条解析：选D 在EF上任意取一点M直线AB与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A i B , EF, BC分别有交点P, M N,如图，故有无数条直线与直线A i B, EF, BC都相交.二、填空题9 .如图所示，平面a , 3 , 丫两两相交，a , b , c为三条交线，且a / b,则a与b ,c的位置关系是 _________解析：a / b , a? a , b? a , • b / a .又••• b ? 3 , aA3= c ,「. b II c . :. a // b II c .答案：a / b / c10. （xx •天津六校联考）设a , b 为不重合的两条直线， a , 3为不重合的两个平面, 给出下列命题：① 若 a // a 且 b// a ,贝U a // b ;② 若a 丄a 且a 丄3 ,贝U a // 3 ；③ 若a 丄3，则一定存在平面 Y ,使得丫丄a , 丫丄3 ；④ 若a 丄3，则一定存在直线I ，使得I 丄a , I // 3 .上面命题中，所有真命题的序号是 __________ .解析：①中a 与b 也可能相交或异面，故不正确.② 垂直于同一直线的两平面平行，正确.③ 中存在丫，使得丫与a , 3都垂直.④ 中只需直线I 丄a 且1?3就可以.答案：②③④11. （xx •浙江高考）如图，在三棱锥 A -BCD 中, AB= AC= BD= CD= 3,AD= BC= 2,点M N 分别为AD BC 的中点，则异面直线 AN CM 所成的角的余弦值是 _______________ .解析：如图所示，连接 DN 取线段DN 的中点K 连接MK CK••• M 为 AD 的中点，••• MK/ AN•/ AB= AC= BD= CD= 3, AD= BC= 2, N 为 BC 的中点,由勾股定理易求得 AN= DN= CM= 2 2, • MK= 2.在 Rt △ CKN 中, CK= .-.2 2+ 12^. 3.在厶CKM 中，由余弦定理，得答案：712.如图所示，在四棱锥 P -ABCD 中, PAL 底面ABCD 且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点 M 满足 __________ 时，平面MBDL 平面 PCD （只要填写一个你认为是正确的条件即可）解析：连接AC BD ,则ACL BD ,••• PAL 底面 ABCD •- PA! BD又 PA G AC= A,「. BD 丄平面 PACcos / KM G 2 78.•••/ KM （为异面直线 AN CM 所成的角.Hc c Efl••• BDLPC•••当DML PC 或BML PC 时，即有 PC ±平面 MBD而PC ?平面PCD•平面MB L 平面PCD答案：DM L PC （或 BM L PC三、解答题(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.1解：⑴ &ABC = 2X 2X2 3= 2 3,故三棱锥P - ABC 的体积为3即异面直线盼AD 所成角的余弦值为4-=CD = 2, AA = 2, E, E i , F 分别是棱 AD AA , AB 的中点.(1)证明：直线 EE //平面FCC ;⑵证明：平面DAC L 平面BBCC.证明：（1） T F 是 AB 的中点，AB// CD AB= 4, BC= CD= 2, ••• AF 綊CD •四边形AFCD^平行四边形,• CF// AD又ABCDABCD 为直四棱柱, 13.如图所示，在三棱锥 P -ABC 中, PAL 底面ABC D 是PC 的中 V = 3 - S A ABC - PA= 3X 2 3X 2=甘 3 3 314•如图，在直四棱柱 ABCEA 1B 1CD 中，底面 ABCD 为等腰梯形, AB// CD AB= 4, BCn点.已知/ BAC= —, AB= 2, AC= 2飞.：;3, PA = 2.求:(1)三棱锥P - ABC 勺体积;⑵如图所示，取 PB 的中点E,连接DE AE 则DE// BC 所以/ ADE 或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角. 在厶 ADE 中 , DE= 2 , AE= 2 , AD= 2 ,心 DE 2+ AD 2- AE 22 + 22 - 2 3则 cos / ADE = 一2DE - AD — = 2X 2X2 = 4-CC// DD而FS CC= C, DD Q DA= D,.平面ADDA i//平面FCC.•/ EE?平面ADDA i,.EE//平面FCC⑵在直四棱柱中，CC丄平面ABCD AC?平面ABCD •••CC 丄AC•••底面ABCD为等腰梯形，AB= 4, BC= 2, F是棱AB的中点,•••CF= AD= BF= 2,•••△BCF为正三角形，/ BCF=Z CFB= 60°,/ FCA=Z FAC= 30°,•ACLBC又BC与CC都在平面BBGC内且交于点C•ACL平面BBCC,而AC?平面DAC•平面DACL平面BBCC.。

2019-2020年高考数学总复习数列双基过关检测理

2019-2020年高考数学总复习数列双基过关检测理一、选择题1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选B.2．(xx·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44B ．45C.13×(46－1) D.14×(45－1)解析：选B 由a n ＋1＝3S n 得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45，故选B.6．(xx·河南中原名校摸底)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝a 1＋a 112＝a 1＋10d2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.7．(xx·哈尔滨模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23C ．－23D.23或－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1<0，因此q ＝－23.8．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选 C a 1＋a 2＋a 3＝15⇒3a 2＝15⇒a 2＝5，a 1a 2a 3＝80⇒(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1，n 为偶数，2n －5，n 为奇数，则a 3a 4＝________.解析：由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.答案：5410．(xx·宁夏吴忠联考)等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果S 10S 5＝3132，则S 4的值是________．解析：由已知得S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161＋12＝－58.答案：－5811．(xx·潍坊一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1三、解答题12．(xx·德州检测)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －2·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n＋2n 2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n＋n ＋2＝n n ＋2.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，∴{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，∵b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式也成立，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.2019-2020年高考数学总复习椭圆双曲线抛物线双基过关检测理一、选择题1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .2．(xx ·济南第一中学检测)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫116，0B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 D ．(0,1)解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则p ＝18，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.3．(xx·贵州七校联考)已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是( )A ．4B ．－14C.14D ．－4解析：选B 由双曲线的方程知a ＝1，b ＝－1m，又b ＝2a ，所以－1m ＝2，解得m ＝－14，故选B. 4．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选B 由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5， ∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3.5．(xx·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43， ∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.7．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab ＝( ) A.32 B.233 C.932D.2327解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，∴a b ＝32. 8．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.()－3，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.二、填空题9．(xx·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ，所以b a＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.② 由①②得a ＝1，b ＝2. 答案：1 210．(xx·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：211．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 12．(xx·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1 三、解答题13．(xx·揭阳一中期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝k 2－1＋2k 2. 所以y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM ―→·ON ―→＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223，所以k GA＋k GB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。

2019-2020年高考数学总复习空间向量双基过关检测理

A. — 1 B . 0、选择题1.在空间直角坐标系中，点F (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为.30，则m 的值为()A.— 9 或 1B . 9 或—1 C. 5 或一5 D . 2 或 3解析：选B 由题意| PR | = 30,即，mH] 2+ — 1 2+-2 2= .30,2(m- 4) = 25,解得 m= 9 或 m=— 1.故选 B.2x - y =7, ••• x + 2y = 6,解得入=—9..—3x + 3y =入,14. (xx •揭阳期末)已知 a = (2,3 , — 4) , b = ( — 4, — 3, — 2) , b = ?x — 2a ,则 x =( )A. (0,3 , — 6) B . (0,6 , — 20) C. (0,6 , — 6)D . (6,6 , — 6)1解析：选 B 由 b =只—2a ,得 x = 4a + 2b = (8,12 , — 16) + ( — 8, — 6, — 4)= (0,6 , — 20).5.在空间四边形 ABC [中 , AB • CD + AC • DB + AD • BC =()2.已知 a =(入 + 1,0,2) ,b = (6,2 1 —1,2 入)，若 a / b ,贝U 入与 1 的值可以是(A. 12, 2 B 1.—3 , 12C .—3,2 D.2,2解析：选 A •/a // b , • ■- b = ka ,即(6,2 卩―1,2 入)=k (入+ 1,0,2),6 = k 入 + ], *= 2 ,X =— 3 ,• 2(1 — 1 = 0 ,解得 1或12 入=2k ,1= 2k 卩=2.3.已知 a = (2,1 , — 3) ,b = ( — 1,2,3), c =(7,6,入),若 a , b ,c 三向量共面,()A. 9B .—9C .—3 D.3解析：选B 由题意知 c = xa + yb ,即(7,6 ,入)= = x(2,1 , — 3) + y ( —1,2,3),)则入=1 得入=±严.经检验入=严不合题意，舍去，二入=—二6.解析：选B 如图，令—AB = a ,"A C = b, "AD = c ,- > > > > > >则 AB • CD + AC • DB + AD • BC =a •( c — b ) + b ・(a — c ) + c •( b - a ) =a -c — a °b + b -a — b ・c + c -b — c -a =0.6.如图所示，在平行六面体 ABCD -A i BCD 中，M 为AC 与BD 的交点.若 AB = a , AD = b , AA = c ,则下列向量中与"BM 相等的向量是（）1 1A.— §a +q b + c1 1B. q a + 労+ cC.— 2a — ?b + cD. ?a — gb + c 解析：选ABM = BB + BM = AA + 2( AD —A B ) = c + 2(b — a ) = — 2a +gb+ c .CDEF 都是边长为1的正方形，则 B, D 两点间的距离是( )A. 3B. 2C. 1D. . 3—、2解析：选D-- A --- A --- A --- A ••• BD = BF + FE + ED ,B 2•-1 BD |2= |——A 2 A 2 > 2 > A A A A ABF |2+ | FE | 2+ | ED | 2+ 2 BF • FE + 2 FE • ED + 2 BF • ED=1 +1+1-迈=3-灵，故 | 苗={3—72.---A--- A ---- A&(XX •东营质检)已知A (1,0,0),耳0,— 1,1) , OA +入0B 与0B 的夹角为120°,则入的值为（B.—%/6—6D .土 6解析：选C -- A --- A因为OA +入0B = (1 ,—入，入），所以cos 120°2 6 6 6、填空题9.已知点 A (1,2,1) , B ( — 1,3,4) , Q1,1,1)，若-P = 2"P B ，则 | "P D | 的值是-- >解析：设 P (x , y , z ) , . Ap = (x — 1, y — 2, z — 1). "B = ( — 1 — x, 3— y,4 — z )，由-P = 2"P B 得点 P 坐标为又 D (1,1,1) ,. | "D | =# 答案：¥-- > -- >10.如图所示，在长方体 ABCDABCD 中，O 为AC 的中点.用AB , AD ,- > 1 ----- > 1 ------ > --- >解析：OC = 2 AC = 2( AB + AD ),--- > > > 1 > > > 1 > 1 > >--OC = OC + OC = 2( AB + AD ) + AA = 2 AB + ㊁ AD + AA .答案：1"B +2"D +"Xn11.如图所示，已知空间四边形 OABCOB= OC 且/ AOB=Z AOC=§, 则cos < "A , "BC >的值为解析：设"OA = a , "O B = b , "5c= c ,c — a- b =弓 a || c | — a || b | = 0,-- > ---- >cos < OA , BC > = 0.答案：012. （xx •北京西城模拟）如图所示，正方体ABCDABCD 的棱长为1, -- > --- >若动点P 在线段BD 上运动，则DC - AP 的取值范围是解析：由题意，设"B P 二入-，其中入€ [0,1] , "De • "P =-- X---- X X ---X X 2--- X X X 2--- X--- XAB -( "AB +"Bp ) = AB •( AB + 入 BD ) = AB 2+ 入 AB - BD = AB 2+ 入 AB •( AD-- X ---- X 2--- X ---- X—AB ) = (1 —入)AB 2= 1—入 € [0,1].因此 DC - AP 的取值范围是[0,1].3 8,3,由已知条件，得〈a , b > = < a ,nc>=亍，且 I b | = | c | ,"OA • —C = a •( c — b ) = a •□答案：[0,1]三、解答题13. 已知平行六面体ABCDABGD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA= 2,/ AAB =Z AAD= 120°.⑴求线段AC的长；(2) 求异面直线AC与A i D所成角的余弦值；解: (1)如图，设"AB = a, ~A D = b, ~AA = c,(3) 求证：AA丄BD则| a| = | b| = 1, | c| = 2, a • b= 0, c • a= c • b= 2x 1 x cos 120 °=—1.--- A ---- A ----- AAC = AC + CC--- A ---- A ----- A=AB + AD + AA=a+ b+ c,「•I ~A G | = | a+ b+ c| = a+ b+ c 2=■ | a|2+ | b|2+ | c|2+ a • b+ b • c + c • a=12+ 12+ 22+? 0—1 —1 = 2.•••线段AC的长为 2.⑵设异面直线AC与AD所成的角为0 .------- A-------------- A小—A—A| AC • AD|贝U cos 0 = |cos 〈AC , AD> | = 一〉.I 崗| XD|AC = a+ b+ c, A1D = b —c,A A 2 2 2 2• AC • A D= (a+ b + c) •( b —c) = a • b—a • c + b —c = 0+ 1 + 1 — 2 = —2,I AD| = ~b—c~2b2—2b • c+ c2I 朋• AD I I -2| V T4二cos 0 ==■. 1—— 1 + 2 = . 7.故异面直线AC与AD所成角的余弦值为呼.⑶证明: A A = c, B D = b —a,A A •B D = c ・(b —a) = c • b—c • a= ( —1) —( —1) = 0.------- A-------------A• AA 丄BD, • AA丄BDE,6 33解：⑴证明：连接AG 交AC 于点F , 则F 为AC 的中点.又D 是AB 的中点，连接DF,贝U BC // DF 因为DF ?平面ACD BC ?平面ACD 所以BC //平面AQD 设n = (x , y ,•••二面角 DAGE 的正弦值为"C E = (0,2,1) , ^CA = (2,0,2)n • CD =0,则丫--- Aj • CA = 0,X i + y i = 0, 即｛2x i + 2z i = 0. 可取 n = (i , - i , -i) •同理，设m = (X 2,y 2, Z 2)是平面A i CE 的法向量,m- "C E = 0, 则一m- "CA = 0.】2y 2+ Z 2= 0, 即仁 + 2Z 2=0, 可取 m=n • m 2 — i + 23.3X3 = 3 ，从而cos 〈n ，m = mrm故 sin 〈 n , m 〉得 ACLBC(2)由 AC = CB=亠14.如图，直三棱柱 ABCABC 中，D E 分别是AB BB 的中点，AA =AC= CB=#AB(1 )证明：BC //平面A i CD (2)求二面角D-A i C -E 的正弦值.间直角坐标系C-xyz .以C 为坐标原点， CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空设 CA= 2，则 D i , i ,0) , E (0,2, i ) , A (2,0,2) , "C D = ( i , i ,0)2019-2020年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语1集合课时作业、选择题1. 已知集合A =「X x €乙且，则集合A 中的元素个数为( A. C. 2 B . 4 D . 解析：• 3 53€ Z,2— x 的取值有—3, 2 x —1,1,3 , 又••• x € Z ,「. x 值分别为 5,3,1 , -1,故集合A 中的元素个数为4，故选C. 答案：C(xx •长沙模拟)若集合M = {1,3}, 2. ( ) A.C .N= {1,3,5}，则满足MJ X = N 的集合X 的个数为B . 2 D . 4本题考查集合的运算. 由 M U X = N 得集合 D.解析： {3,5}或{1,3,5}，共4个，故选答案：D3. 集合 A = {x |x — 2x <0}, A. A T B = ? B . A T B = A C. A U B = A D . A U B = R解析：本题考查不等式的求解、集合的运算.由于结合选项可知 A T B= A 成立，A U B = B,故选B.答案：B4. 则集合 A. C. X 中必有元素5,则X ={5}或{1,5}或 B ={x || x |<2}，则（ A = {x |0< x <2| , B= {x | — 2<x <2}, （xx •陕西西安一模，2）已知集合M = { — 1,0,1} M 与集合N 的关系是（） M = N B . M T N= N MU N = N D . M T N = ? ,N= {x | x = ab, a , b € M 且 a * b },b€ M 且a* b},所以N= { —1,0}, 解析：因为集合M= {—1,0,1} , N= {x| x = ab, a, 则集合MA N= N.故选B.答案：B5.(xx •天津十二县区联考)已知集合M= {x| x >4} ,N= {x|1<x<3}，则NQ( ?R M =( )A. {x| —2< x<1} B . {x| —2< x< 2}C. {x|1<x w2} D . {x| x<2}解析：本题考查集合的运算.由题意得集合M= {x|x<—2或x>2}，所以?R M= {x| —2w x w 2}，所以NQ(?R M = {x|1<x w 2}，故选C.熟记集合的补集和并集运算法则是解题的关键.答案：C6. 已知集合A= {x| x2—3x<0}, B= {1 , a}，且A T B有4个子集，则实数a的取值范围是()A. (0,3)B. (0,1) U (1,3)C. (0,1)D. ( —s, 1) U (3 ,+^)解析：•/ A T B有4个子集，••• A T B中有2个不同的元素，•••a€ A, • a2—3a<0,解得0<a<3且a* 1,即实数a的取值范围是(0,1) U (1,3),故选B. 答案：B 7. (xx •湖北武昌一模)设A, B 是两个非空集合，定义集合A — B = {x |x € A 且x ?B } •若 A = {x € N|0 w x w 5}, B = {x | x — 7x + 10<0}，贝U A — B =( ) A. {0,1} B . {1,2} B. {0,1,2} D . {0,125} 解析：•/ A = {x € N|0 w x w 5} = {0,1,2,3,4,5} , B = {x |x 2— 7x + 10<0} = {x |2< x <5} , A —B = {x | x € A 且 x ?B , ••• A - B= {0,1,2,5}.故选 D. 答案：D 8. (xx •河北衡水中学七调 )已知集合 A = {x |log 2x <1} , B= {x |0<x <c }，若 A U B = B , 则c 的取值范围是( ) A. (0,1] B . [1 ,+s)C. (0,2] D . [2 ,+s) 解析：A ={x |log 2x <1} = {x |0< x <2},因为 A U B = B,所以 A ? B,所以 c >2,所以 c € [2 , + s )，故选D. 答案：D 9. (xx •湖北省七市(州)协作体联考)已知集合P = { n | n = 2k — 1, k € N*, k w 50}, Q= {2,3,5},则集合T = {xy |x € P, y € Q 中元素的个数为( ) A. 147 B . 140 C. 130 D . 117 解析：由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y = 2时，xy 是偶数，不与y = 3, y = 5 有相同的元素，当 y = 3, x = 5,15,25，…，95时，与y = 5, x = 3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为 3X 50— 10= 140,故选B. 答案：B 10. （xx •豫北名校联考）设集合 A = {x | x 2+ 2x — 3>0}，集合 B= {x | x 2— 2ax — 1w 0, a >0}, 若A n B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是（） 73 4> B. 忖 4） 3 C. 4,+^ D . (1 ,+◎ 2 解析：A = {x | x + 2x — 3>0} = {x | x >1 或 x <— 3}, 设函数f (x ) = x 2— 2ax — 1,因为函数f (x ) = x 2— 2ax — 1图象的对称轴为 A n B 中恰有一个整数，则这个整数为 2, 4 — 4a — 1w 0, 即什 9 — 6a —1>0,答案：B二、填空题11. 设集合 A = {3 , nm , B= {3 m,3}，且A = B ,则实数 m 的值是 __________ .解析：由集合 A= {3 , m = B = {3 m,3}，得 3m= m 贝U m = 0.答案：0x = a ( a >0) ,f (0) • a <3 即A a<；,故选 B. =—1<0,根据对称性可知若所以12. 已知A= {x|x2—3x+ 2<0} ,B= {x|1<x<a}，若A? B,则实数a 的取值范围是_________解析：因为A= {x| x2—3x+ 2<0} = {x|1<x<2}? B,所以a>2.答案：[2 ,+R)213. (xx •江苏卷)已知集合A= {1,2} , B={a, a + 3}.若A n B={1}，则实数a的值为________ .解析：•/ A n B= {1} , A= {1,2},••• 1 € B且2?B若a= 1,则a2+ 3 = 4,符合题意.又a2+ 3>3工1,故a= 1.答案：114.设函数f(x) = lg(1 - x2)，集合A={x|y= f (x)} , B={y|y= f (x)}，则图中阴影部分表示的集合为___________________ .2 2解析：因为A= {x| y = f (x)} = {x|1 -x >0} = {x| - 1<x<1}，贝U u= 1-x € (0,1］，所以B= {y| y= f(x)} = {y|y< 0}, A U B= (-^, 1) , A n B= ( - 1,0］，故图中阴影部分表示的集合为(—3—1］U (0,1).答案：(-3,- 1］U (0,1)［能力挑战］14. (xx •豫北名校联考)设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P?Q= {z|z = a+ b,a€ P, b€ Q，若P= { - 1,0,1} , Q= { - 2,2},则集合P?Q中元素的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 5解析：当a= 0时，无论b取何值，z = a-b= 0；1当a=- 1, b=- 2 时，z= ;1t丄当a=- 1, b= 2 时，z=- ;1t丄当a= 1, b=- 2 时，z=- ;1t丄当a= 1, b= 2 时，z =' 1 r 一故P?Q= ,0, - 2, 2，该集合中共有3个兀素，所以选 B.答案：B15. 已知数集A= {a1, a2,…，a n}(1 < a1<a2<・・van, n》2)具有性质P：对任意的i , j(1 w i w j w n) , aia与色两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”，则()a iA. {1,3,4}为“权集”B. {1,2,3,6}为“权集”C. “权集”中元素可以有0D. “权集”中一定有元素14解析：由于3X4与3均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1X 2,1 X 3,1 X 6,2 X 3,AO Q C c6 6, 1 2, 3 6都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知」需有意义， 2 3 1 2 3 6 a i故不能为0,同时不一定有1,故C , D 错误，选B.答案：B16. 设常数 a € R,集合 A= {x |( x -1) •( x - a ) > 0}, B = {x |x > a - 1}，若 A U B = R , 则a 的取值范围为 __________ .解析：若a >1，则集合A = {x |x > a 或x w 1}，利用数轴可知，要使A U B= R,需要a - 1w 1, 则1<a w 2；若a = 1,则集合 A = R,满足 A U B= R ,故a = 1符合题意；若 a <1，则集合 A = {x | x w a 或x > 1},显然满足A U B = R ,故a <1符合题意.综上所述，a 的取值范围为(―汽 2] •答案：（―乂, 2]。

高考数学复习导数及其应用双基过关检测理

“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝sin x －12x ，则f ′(x )＝( )A ．sin x －12B ．cos x －12C ．－cos x －12D ．－sin x ＋12解析：选B f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12x ′＝(sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝cos x －12. 2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 3．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x＋x e x＋2，所以曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0<x ≤2，则 f(x)d x 的值为( )A. 43 B ．4 C ．6D.2038．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x≤0时，1>f (x )＝1－2x≥0；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得1≥a －2≥0，解得2≤a ≤3，选A .二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋aln x 不是单调函数，则需方程1＋a x＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝ln x －f′(－1)x 2＋3x －4，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝1x －2f′(－1)x ＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0， ∴当x ＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m －1≥g(x)min ＝1，∴m≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f(x)＝x ＋ax＋b(x≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8. 由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。