实验五指定子集个数的集合划分
集合划分问题课程设计
集合划分问题课程设计一、教学目标本节课的学习目标主要包括以下三个方面：1.知识目标：通过本节课的学习，学生需要掌握集合的基本概念，包括集合、元素、集合之间的关系等；理解并掌握集合的划分、子集、幂集等基本运算。
2.技能目标：学生能够运用集合的基本概念和运算解决实际问题，如对给定的集合进行正确的划分，判断两个集合是否相等，求解集合的子集和幂集等。
3.情感态度价值观目标：培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，引导学生感受数学在生活中的应用，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.集合的基本概念：介绍集合、元素、集合之间的关系等基本概念。
2.集合的划分：讲解集合的划分、子集、幂集等基本运算，并通过示例让学生理解这些运算的含义和应用。
3.集合的性质：讲解集合的交换律、结合律、分配律等基本性质，并通过示例让学生掌握这些性质的应用。
4.集合的例子：通过具体的例子，让学生学会如何运用集合的基本概念和运算解决实际问题。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用以下几种教学方法：1.讲授法：通过讲解集合的基本概念、性质和运算，让学生掌握集合的基本知识。
2.案例分析法：通过分析具体的案例，让学生学会如何运用集合的知识解决实际问题。
3.讨论法：学生进行小组讨论，让学生在讨论中加深对集合知识的理解，并培养学生的团队合作能力。
4.实验法：让学生通过实际操作，验证集合的基本性质和运算，提高学生的动手能力和实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法，我将准备以下教学资源：1.教材：选用合适的数学教材，为学生提供系统的集合知识学习资料。
2.参考书：提供一些集合知识的参考书，供学生课后进一步学习。
3.多媒体资料：制作课件、示例动画等，为学生提供直观的学习材料。
4.实验设备：准备集合实验所需的设备，如卡片、集合模型等，让学生在实验中更好地理解集合知识。
五、教学评估本节课的评估方式主要包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。
集合的分类与运算规律总结
集合的分类与运算规律总结一、集合的分类1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
–列举法：将集合中的元素一一列出，用大括号括起来，如{1, 2, 3, 4, 5}。
–描述法：用描述性语言来表示集合，如集合A={x|x是正整数}。
3.集合的分类：–有限集：含有有限个元素的集合。
–无限集：含有无限个元素的集合。
–空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。
二、集合的运算规律1.并集：两个集合的并集包含这两个集合所有的元素，表示为A∪B。
2.交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素，表示为A∩B。
3.补集：一个集合在全集中的补集包含全集中不属于这个集合的元素，表示为A’。
4.运算法则：–交换律：集合的并集和交集运算都满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
–结合律：集合的并集和交集运算都满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
–分配律：集合的并集和交集运算都满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∩(A∩C)。
5.集合的运算规律在解决实际问题中的应用：–统计问题：通过计算不同集合的交集和并集，可以求解不同条件下的统计问题。
–逻辑推理：在数学证明和逻辑推理中，集合的运算规律是重要的工具。
–信息技术：在数据处理和算法设计中，集合的运算规律有着广泛的应用。
通过以上知识点的学习，我们可以更好地理解和运用集合的概念及其运算规律，从而为学习更高级的数学知识打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些选项是正确的集合表示方法？A. {a, b, c, 2, 3}B. {x | x是正整数}C. {x, y, z, 1, 2}D. {1, 2, 3, 4, 5…}–A选项中，元素2和3重复出现，所以A选项错误。
集合的分划与子集族(编辑)
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分 例1、将集合{}1,2,,1989分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥，求证：22n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,kk +=；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈，ij A A ≠∅，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数四、有关子集族的最值问题 例16、集合{}0,1,2,,9A =，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，ij B B 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A.例18、设{}1,2,,1997A =，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=.4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立 9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x x=∑∑？11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x ，使得121n n x x x x -+++=12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =，其中121993,,,Z Z Z 为非零复数（可视为平面上非零向量）．求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°． 116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭，()12s n n n ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤构成{}1,2,,2N n =-的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A =，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少？22、设S 是集合{}1,2,,9的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈，使得{},j A a b 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件：（1）7i A =；（2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集？32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值34、1230,,,A A A {}1,2,,2003⊆的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥35、{}1,2,,2000A ⊆，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤；（3）12n A A A =∅，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121ij A A i j n =≤<≤+；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=中任意两个的交集为空集。
集合划分问题递推公式
集合划分问题递推公式在咱们数学的世界里，集合划分问题递推公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂难题的大门。
先来说说集合划分是啥吧。
比如说，咱们有一堆水果，有苹果、香蕉、橙子，要把它们分成不同的小组，这就是集合划分。
那递推公式呢，就是根据前面已经知道的情况，一步一步推导出后面的结果。
我记得有一次，在给学生们讲集合划分问题递推公式的时候，有个特别有趣的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛却有点紧张，因为这个知识点对于他们来说有点难理解。
我在黑板上写下了一个集合，然后开始逐步讲解怎么去划分。
这时候，有个平时很活跃的小同学举起手说：“老师，我怎么觉得这比解谜题还难啊！”我笑了笑，回答他：“这就是数学里的谜题呀，咱们一起来解开它。
”然后，我从最简单的例子开始，一点点引导他们。
咱们来看看集合划分问题的递推公式到底是怎么一回事。
比如说，有一个集合 {1, 2, 3} ，我们要把它划分成不同的子集。
如果这个集合只有一个元素，那很简单，就只有一种划分方法，就是它自己。
如果有两个元素，像 {1, 2} ，那就有两种划分方法，一种是 {1} 和 {2} ，另一种是 {1, 2} 。
那如果有三个元素呢？这时候递推公式就派上用场啦。
通过研究和总结，我们发现集合划分问题的递推公式可以表示为：B(n) = B(0) * B(n - 1) + B(1) * B(n - 2) + ...... + B(n - 1) * B(0) 。
这里的B(n) 表示有 n 个元素的集合的划分方法数。
这个公式看起来有点复杂，别着急，咱们来慢慢理解。
比如说，当n = 3 时，B(3) = B(0) * B(2) + B(1) * B(1) + B(2) * B(0) 。
因为 B(0) = 1 ，B(1) = 1 ，B(2) = 2 ，所以 B(3) = 1 * 2 + 1 * 1 + 2 * 1 = 5 ，也就是说，有 3 个元素的集合，有 5 种划分方法。
集合的划分与程序实现实验报告
集合的划分与程序实现实验报告一、实验目的a) 掌握集合及等价关系的相关概念；b) 了解集合划分的概念与应用；c) 掌握集合划分总数的求解过程与不同的求解思路；d) 熟悉递归算法在本实验中的应用。
二、实验要求及实验内容在给定n元集合的条件下：a)求出它的划分总数并证明；b)编出算法的程序（输入任何一个数即可得到它的划分总数）；c)举例说明划分在现实生活中的应用。
三、概念理解1、设A为非空集合, 若A的子集族π(π⊆P(A)), 是A的子集构成的集合)满足下面的条件：a) φ∉πb) ∀x∀y(x, y∈π∧x ≠ y 且x∩y = φ)c) ∪π = A则称π是A的划分(Partition), 称π中的元素为A的划分块.2、由数学归纳法推导集合划分问题的公式：设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
考虑3个元素的集合，可划分为①1个子集的集合：{{1，2，3}} ；②2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}} ；③3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}} ；可以得出：F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1；对F(4,2)的解决方法为：S1：向①中添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}S2：向②中的任意一个子集添一个4，得到{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}可以得出：F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)3、用递归的方法解决集合划分的问题设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
F(n,m) = 1where n=0, n=m, n=1, or m=1F(n,m) = 0where n<mORF(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)4、程序的伪代码表示输入：n，大于0的整数输出：元素个数为n的集合的划分数1. Procedure fun (a,b)2. if (b = 1 ||a=b)then3. return (1)4.elsereturn (fun(a-1,b-1)+b*fun(a-1,b))5.sum= sum+fun(a,i) (1<=i&&i<=n)6.end四、C语言程序实现#include "stdio.h"int F(int x,int y){if(y==1)return (1);else if(x==y)return (1);elsereturn (F(x-1,y-1)+y*F(x-1,y));}int main(){int i,j;int sum=0;int F(int x,int y);printf("请输入集合的元数:");scanf("%d",&i);for(j=1;j<=i;j++)sum=sum+F(i,j);printf("%d元集合的划分总数是:%d\n",i,sum);}结果截图：五、集合划分在实际中的应用：a)长沙国际车展即将在国际会展中心举行，为扩大厂家影响力，每部参展名车将配备1-3名车模，现某公司旗下有200名专业车模，其中25名甲级车模，75名乙级车模，100名丙级车模，参展的厂家一共有60家，每家展出3台名车，有9家公司要雇佣甲级车模，32家雇佣乙级车模，剩下的公司雇佣丙级车模，请问车模的安排方法一共有多少种？b)现在长沙市正大力创建文明城市，为更好地实现城市建设与规划，市政府拟将各部门的专业人才派遣到各个区去进行相关工作，已知长沙市共有芙蓉、开福、天心、岳麓、雨花四个区，现共有某行业人才150人，其中芙蓉，开福两个区各需要20人，天心区需要35人，岳麓区需要40人，雨花区需要40人，请问一共有多少种安排方法？c)接近春节，铁道部门预测几年的春运大潮将提前到来。
集合划分
集合划分维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索把一个集合划分成6 块的欧拉图表示。
在数学中，集合X 的划分是把X 分割到覆盖了X 的全部元素的不交叠的“部分”或“块”或“单元”中。
更加形式的说，这些“单元”关于被划分的集合是既全无遗漏又相互排斥的。
目录[隐藏]1 定义2 例子3 划分和等价关系4 注解5 引用6 参见[编辑]定义集合X 的划分是X 的非空子集的集合，使得所有X 的元素x 都精确在这些子集的其中一个内。
等价的说，X 的子集的集合P 是X 的划分，如果没有P 的元素是空集。
(NB - 某些定义不需要这个要求)P 的元素的并集等于X。
(我们称P 的元素覆盖X。
)P 的任何两个元素的交集为空。
(我们称P 的元素是两两不相交。
)P 的元素有时叫做划分的块或部分。
[1]当我们说“集合”这个概念时，划分的思想已经存在了。
当我们说给定一个集合时，也就给定了该集合的补集。
一个集合与它的补集就已经构成了一个划分。
因此说上面的定义是再次划分的定义。
可以说划分和定义是一个概念。
原始定义也就是初始划分。
原始定义和公理又是一个概念。
给定一个公理也就是给定一个划分。
[编辑]例子所有单元素集合{x} 都有精确的一个划分就是{ {x} }。
对于任何集合X，P = {X} 是X 的一个划分。
空集有精确的一个划分，就是没有块的划分。
对于集合U 的任何非空真子集A，A 和它的补集一起是U 的一个划分。
如果我们不使用前面定义中的公理1，则上述例子可以推广为任何(空和非空)子集与它的补集一起是一个划分。
集合{ 1, 2, 3 } 有五个划分。
{ {1}, {2}, {3} }，有时指示为1/2/3。
{ {1, 2}, {3} }，有时指示为12/3。
{ {1, 3}, {2} }，有时指示为13/2。
{ {1}, {2, 3} }，有时指示为1/23。
{ {1, 2, 3} }，有时指示为123。
注意如果我们使用了前面定义中的公理1，则{ {}, {1,3}, {2} } 不是一个划分(因为它包含空集)；否则它是{1, 2, 3} 的一个划分。
集合的分划与子集族(打印)
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m = ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥ ，求证：22nM ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A = ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈ ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,kk += ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅ 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a = 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A = ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈ ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈ ，i j A A ≠∅ ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈ ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A = ，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆ 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A = ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =- ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅ ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A = 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n = ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X = ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x Ax Bx x∈∈=∑∑？11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m = 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x ，使得121n n x x x x -+++=12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n = 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得a b c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+ 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z = ，其中121993,,,Z Z Z 为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得 （1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．16、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭ ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭构成{}1,2,,2N n =- 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+ ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A = 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A = ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少？22、设S 是集合{}1,2,,9 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A = ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈ ，使得{},j A a b 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A = ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S = ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件：（1）7i A =； （2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤ ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆ ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆= 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集？32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆ ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A {}1,2,,2003⊆ 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥35、{}1,2,,2000A ⊆ ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤ ；（3）12n A A A =∅ ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A + 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+ ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆= ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈= 中任意两个的交集为空集。
集合的分划与子集族
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989L 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =L 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =L ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A L ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A L 和12,,,n B B B L 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥U ，求证：22n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =U UL U ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈L ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k +=L ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合；（2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==L ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅U I 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a L 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =L 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++L 的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =L ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n L 的子集族12,,,n A A A L 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈L ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈L ，i j A A ≠∅I ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈L ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A =L ，{}12,,,k B B B L 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B I 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆L 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A =L ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-L ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅U L I ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =L 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r L 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =L ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =U U ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n L 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x A x B x x ∈∈=∑∑11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =L 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x L ，使得121n n x x x x -+++=L12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =L 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+L 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =L ，其中121993,,,Z Z Z L 为非零复数（可视为平面上非零向量）． 求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L 构成{}1,2,,2N n =-L 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+L ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =L 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A =L ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n L 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少22、设S 是集合{}1,2,,9L 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =L ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p L 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A L 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈L ，使得{},j A a b I 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =L ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =L ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A L 满足下列条件：（1）7i A =；（2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤I ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆L ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=L 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆L ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A L {}1,2,,2003⊆L 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥I35、{}1,2,,2000A ⊆L ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A L 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤I ；（3）12n A A A =∅I I L I ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +L 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+I ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=L ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t L ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=L 中任意两个的交集为空集。
集合的分划与子集族(打印)
集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分 例1、将集合{}1,2,,1989分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。
例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的(),1,A B i j n ≤≤A B n ≥2n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k +=；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。
证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==A B B不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下， 求12111na a a +++的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n 的子集族12,,,n A A A 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈，i j A A ≠∅，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题 例16、集合{}0,1,2,,9A =，{}12,,,k B B B 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，ij B B 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A =，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有 种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x Ax Bx x∈∈=∑∑？11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集含有n 个数（不要求它们互不相同）：,,,x x x ，使得121n n x x x x -+++=12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =，其中121993,,,Z Z Z 为非零复数（可视为平面上非零向量）．求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°． 116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭，()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭构成{}1,2,,2N n =-的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有 个19、设集合{}1,2,,2008A =，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少？22、设S 是集合{}1,2,,9的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈，使得{},j A a b 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A 满足下列条件：（1）7i A =； （2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集？32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A {}1,2,,2003⊆的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥35、{}1,2,,2000A ⊆，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤；（3）12n A A A =∅，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=中任意两个的交集为空集。
集合子集的个数证明
设集合S具有n个元素，它的子集数量为2^n，例如，集合S包含4个元素a、b、c、d，它的子集个数为2^4=16，空集，及包含原集合中所有元素的本身，分别也算一个子集，故再加上它们，即有2^n+2个子集。
此外，还可以增加一种情况，即当S中有重复元素时，可以用组合数公式来计算子集个数，即：设集合S具有n个元素，其中元素a有um个，元素b有vm个，……至……元素z 有zm个，则S的子集的个数为：C（n，um）C（n-um，vm）C（n-∑（u+v+......+y）m，zm）。
这里，C（n，m）表示从n个元素中取出m个元素的组合数，以上算法仍然不包括空集和本身，最终需要将2^n-2+C 结果再加上空集和本身。
因此，总结以上，计算一个集合的子集个数公式如下：对于一个没有重复元素的集合S，它的子集个数为：2^n+2；对于一个有重复元素的集合S，它的子集个数为：2^n-2+C，C代表用组合数计算的结果，最终需要将2^n-2+C结果再加上空集和本身。
集合中元素的特性：
1、确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
2、互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
3、无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。
但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。
集合划分
1、判断题，并请说明理由：因为分治算法会用到递归，而递归函数的复杂度都普遍高于非递归函数，所以分治算法的复杂度都比较高。
不一定，分治算法把一个大规模的问题划分为n个规模较小的而结构与原来相似的子问题, 递归解决这些子问题,然后再合并其结果。
比如快速排序，在最优情况下，每次都分成两等分，问题的子序列个数为logN个，这时复杂度为O（NlogN）;最坏情况下，待排序列是从大到小，我们要将其从小到大排序，复杂度为O(N*N)2.集合划分思路：对于n个元素的集合，可以划分成由m(1<=m<=n)个子集构成的子集，如 {{1}，{2}，{3}，{4}}就是由4个子集构成的非空子集。
假设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子集构成的集合的个数，那么可以这样来看：1)若m==1，则f(n,m)=1;2)若n==m，则f(n,m)=1;3)若非以上两种情况，f(n,m)可以由下面两种情况构成a.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一个新的元素，则有m*f(n-1,m)种方法；b.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合，则有f(n-1,m-1)种方法。
因此：1 (m==1||n==m)f(n,m)=f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m) (m<n&&m!=1)3.#include<stdio.h>int f(int n,int m){if(m==1||n==m)return1;elsereturn f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m;}int main(void){int n;while(scanf("%d",&n)==1&&n>=1){int i;int sum=0;for(i=1;i<=n;i++){sum+=f(n,i);}printf("%d\n",sum); }return0;}运行结果：。
有限集合的子集族问题分类解析
有限集合的子集族问题分类解析
子集族问题是指，在一个有限的集合S中，给定一个子集T，子集T的所有子集的
枚举。
子集族问题可以分为两类。
1. 非组合子集：
在非组合子集中，集合S中的每个元素只能出现一次。
比如，给定一个集合
{1,2,3}，一个子集{1,2}，它的所有子集既可以是{1}、{2}、空集{}，也可以是{1,2}，但是不能有{2,1}等等。
2. 组合子集：
在组合子集中，元素可以多次出现。
比如，给定一个集合{1,2,3}，一个子集{1,2}，它的所有子集既可以是{1}、{2}、空集{}，也可以是{1,2}，还可以是{2,1}，甚至是{1,1,2,2}等等。
子集枚举问题有两种常见的解决算法：
1. 递归法：
递归法是子集枚举问题最简单、最直接的解决方法，其核心思想就是采用递归的
方式来枚举。
从一个有限集合S开始，先从一个备选元素中选取一个元素，把它放入一个新的子集K中；然后递归的将其剩余的元素依次放入K，得到K的所有子集；再将K中每个子集作为一个新的备选元素，重复上述过程，直到枚举完S中所有子集为止。
2. 位运算法：
位运算法是一种非常高效的枚举算法。
其核心思想是将N个元素构成的集合S用一个Nbit的整数来表示，比如，给定集合S={1,2,3}，其中每个元素可以用一位二
进制数来表示，1表示选择，0表示未选择，则S可以用011来表示，即表示子集{1,3}（如果要表示子集{1,2,3}，则用111表示）。
用一个Nbit的整数来表示集
合S，那么可以得到2^N个不同的Nbit整数，每个Nbit整数对应一个子集，这样
就得到了S的所有子集。
集合分区与划分问题的解决方法
集合分区与划分问题的解决方法在数学和计算机科学中，集合的分区和划分问题是一个重要的研究领域。
该问题涉及将给定的集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个划分块，而所有划分块的并集则等于原集合。
解决集合分区和划分问题可以帮助我们更好地理解集合论和离散数学中的相关概念，并且在实际应用中也具有广泛的用途。
一、等价关系与等价类在解决集合分区和划分问题之前，我们需要了解等价关系和等价类的概念。
给定一个集合S，如果我们定义了一个二元关系R，它满足以下三个条件：反射性、对称性和传递性，那么我们称R为S上的等价关系。
对于任意的元素x∈S，我们将所有与x等价的元素组成的集合记为[x]，这个集合称为元素x的等价类。
等价类的定义实际上是将集合S划分为不相交的子集，每个子集都包含了与某个元素等价的元素。
二、等价关系与集合分区等价关系和集合分区之间存在密切的关系。
给定一个集合S和它上面的等价关系R，我们可以将S的所有等价类作为划分块，从而将S划分为若干个不相交的子集。
这种划分方式是唯一的，每个元素都严格属于一个等价类，并且等价关系R的性质会保证划分的正确性。
三、划分问题的求解解决集合划分问题的一个常用方法是使用回溯算法。
回溯算法可以穷举所有可能的解，并根据一定的条件进行剪枝，从而找到满足特定要求的划分。
下面以一个具体的问题为例来介绍如何使用回溯算法解决集合划分问题。
假设我们有一个集合{1, 2, 3, 4, 5, 6}，我们希望将它划分为若干个等价类，每个等价类的和都是10。
首先，我们定义一个长度为10的数组partition，用来表示划分的结果。
初始时，所有元素都为0。
接下来，我们从集合的第一个元素开始尝试将其分配到不同的等价类中。
在回溯的过程中，如果当前元素能够放入某个等价类中，我们将其对应的partition值设置为等于当前等价类的和10。
然后，继续递归处理下一个元素。
如果某一次递归调用的结果返回真，说明我们找到了一个有效的划分方案，否则我们需要回溯到上一层继续尝试其他的划分方式。
集合的概念、子集、交集、并集、补集.
集合的概念、子集、交集、并集、补集课 题集合的概念、子集、交集、并集、补集教学目标1、了解集合的概念2、理解子集、补集以及全集的概念3、结合图形使学生理解交集并集的概念性质重点、难点重点：集合、子集、补集和全集的概念 难点：交集并集的概念，符号之间的区别与联系考点及考试要求理解集合及其表示；掌握子集、交集、并集、补集的概念。
教学内容一、知识回顾1、集合的概念。
2、集合的分类。
3、集合的性质。
4、常用的数集。
5、集合的表示。
6、元素与元素和集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系。
二、全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示S A三、典例分析例1、（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*A例2、已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CUB的关系例3、已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CS四、课堂练习1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤92、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果C U A＝｛－1｝，那么a的值是？3、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.5、已知U=R ，A=｛x |x 2+3x+2<0｝, 求C U A .6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ ,Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A .7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）（A ）M=C U P ； （B ）M=P ； （C ）M ⊇P ； （D ）M ⊆P .五、交集和并集1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．（1）交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，响应的补集也不同；（2）交集的性质：A B B A =，A A A = ，∅=∅ A ，A B A ⊆ ，B B A ⊆ ；（3）并集的性质：A B B A =，A A A = ，A A =∅ ，B A A ⊆，B A B ⊆；（4）B A A B A ⊆⇔= ，A B A B A ⊆⇔= ；（5）集合的运算满足分配律：)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =；（6）补集的性质：∅=A C A u ，U A C A u = ，A A C C u u =)(；（7）摩根定律：B C A C B A C u u u =)(，B C A C B A C u u u =)(；六、典例分析例1 、设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 、设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 、A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例5、设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例6（课本第12页）已知集合A=｛(x,y)|y=x+3｝,｛(x,y)|y=3x-1｝,求A B.注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．高考真题选录：一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 2.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤3.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,54.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U ( )（A ）{1,2,4} （B ）{1,2,3,4,5,7} （C ）{1,2} （D ）{1,2,4,5,6,8}5.集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =-- B ． ()(,0)RC A B =-∞C ．(0,)A B =+∞D ． }{()2,1R C A B =--6.满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是( )（A ）1 (B)2 (C)3 (D)47.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．68.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题：1.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．2.已知集合M={}R y x x y x ∈=+-,,01 ,N={}R y x y x y ∈=+,,122 则M ⋂N=______3.已知集合P={}{}R x x y y Q R x x y y ∈+-==∈+-=,2,,22,那么P ⋂Q=____________。
集合划分问题
集合划分问题实验目的：通过对集合划分问题的算法的设计，进一步熟悉理解并灵活运用递归与分治策略，掌握该算法思想的核心内容。
实验内容：1）内容描述：n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为若干个非空子集。
例如，当n=4 时，集合{1，2， 3，4}可以划分为15 个不同的非空子集2）编程任务：给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个非空子集组成的集合。
3）数据输入：由文件input.txt 提供输入数据。
文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。
4）结果输出:程序运行结束时，将计算出的不同的由m个非空子集组成的集合数输出到文件output.txt 中。
实验原理：假设将m个元素分解到n 个集合中，首先考虑将(m – (n - 1))个元素分到第一个集合中，将余下的(n - 1)个元素分别分配到余下的(n - 1)个集合中，然后再考虑将(m – (n - 2))个元素分配到第一个集合中，将余下的(n - 2)个元素分别分配到余下的(n - 1)集合中，依此类推，直到后面的有一个集合中的元素个数比第一个集合中的元素个数多为止。
对于每种分配方法的集合个数的求法，可以先用排列组合的方法计算出元素选取的情况，在通过递归计算出选取该元素后所组成的集合的个数。
各种分配情况的遍历可以利用一个for()循环来实现，算法源代码如下：实验源代码：#include <iostream>using namespace std ;//构造计算排列组合的函数int zuhe(int m, int n, int r) //n为分母，m 为分子{int p = m, q = n, t = 1, s = 1 ; //用t记录n到(n - m + 1)的乘积, 用s 记录m到1的乘积for(int i = 0; i < p; i++){t *= n ;n-- ;s *= m ;m-- ;}if(q == p * 2 && r == 1) return (t / s) / 2 ;/**当出现在四个元素的集合中选取两个元素作为一个集合时，可能出现的情况是这两个元素在被计算了两次，故在这里先将其组合数的结果除2*/return t / s ;}//运用递归计算集合的个数int jihe(int m, int n) //m为元素的个数, n为集合的个数{int count = 0 ;if(m == n || m == 0) return 1;if(n == 1) return 1 ;for(int i = (m - n + 1); i >= (m - i + (n - 2))/(n - 1); i--){count += zuhe(i, m, n - 1) * jihe(m - i, n - 1) ;}return count ;}int main(){int m, n ;cout<<"请输入元素的个数和集合的个数: ";cin>>m>>n ;cout<<jihe(m, n)<<endl ;return 0 ;}实验感悟：在这个实验中，运用自顶向下的方法，将第一个集合中的元素的个数从最高依次往下分配，在分配过程中运用递归分治法来计算集合的个数。
集合划分的定义
在集合的研究中，除了常常把两个集合相互比较之外，有时也要把一个集合分成若干子集加以讨论。
1 划分定义3-9.1若把一个集合A分成若干个叫做分块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。
如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分(或分划)。
上述定义与下面的定义是等价的。
定义3-9.1′令A为给定非空集合，S＝{ S1，S2，…，S m}，其中S i A，S i如果除以上条件外，另有S i∩S j＝(i≠j)则称S是A的划分<或分划>。
例如，A＝{a，b，c}，考虑下列子集：S＝{{a，b}，{b，c}}，Q＝{{a}，{a，b}，{a，c}}D＝{{a}，{b，c}}，G ＝{{a，b，c}}E＝{{a}，{b}，{c}}，F＝{{a}，{a，c}}则S、Q是A的覆盖，D、G、E是A的划分，F既不是划分也不是覆盖。
显然，若是划分则必是覆盖，其逆不真。
任一个集合的最小划分，就是由这个集合的全部元素组成的一个分块的集合。
如上例中，G是A的最小划分。
任一个集合的最大划分是由每个元素构成一个单元素分块的集合，如上例中，E是A的最大划分。
需要注意：给定集合A的划分并不是唯一的。
但是已知一个集合却很容易构造出一种划分。
2 交叉划分定义3-9.2若{A1，A2，…，A r}与{ B1，B2，…，B s}是同一集合A的两种划分，则其中所有上A i∩B j≠组成的集合，称为是原来两种划分的交叉划分。
例如，所有生物的集合X，可分割成{P，A}，其中P表示所有植物的集合，A表示所有动物的集合，又X也可构成{E，F}，其中E表示史前生物，F表示史后生物，则其交叉划分为Q＝{P∩E，P∩F，A∩E，A∩F}其中P∩E表示史前植物，P∩F表示史后植物，A∩E表示史前动物，A∩F表示史后动物。
定理3-9.1设{A1，A2，…，A r}与{ B1，B2，…，B s}是同一集合X的两种划分，则其交叉划分亦是原集合的一种划分。
集合分类科学教案
集合分类科学教案教案标题：集合分类科学教案教案目标：1. 学生能够理解集合分类的基本概念和原则。
2. 学生能够应用集合分类的方法解决科学问题。
3. 学生能够运用集合分类的思维方式进行科学观察和实验设计。
教学重点：1. 集合分类的基本概念和原则。
2. 集合分类在科学中的应用。
3. 集合分类的思维方式。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、PPT、实验材料、科学实验设计模板。
2. 学生准备：课本、笔记本、实验记录本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些图片或物品，引发学生对集合分类的思考。
2. 教师提出问题：“你们能否将这些物品进行分类？有哪些分类标准？”引导学生思考。
二、讲解集合分类的基本概念和原则（15分钟）1. 教师介绍集合分类的定义和意义。
2. 教师讲解集合分类的基本概念，例如元素、集合、子集等。
3. 教师解释集合分类的原则，如互斥性、完备性、独立性等。
三、集合分类在科学中的应用（20分钟）1. 教师通过实例介绍集合分类在不同科学领域的应用，如生物分类、化学元素分类等。
2. 教师与学生一起探讨集合分类在科学研究中的作用和意义。
四、集合分类的思维方式（15分钟）1. 教师引导学生思考集合分类的思维方式，例如观察、归纳、概括等。
2. 教师通过展示一些科学实验，要求学生运用集合分类的思维方式进行实验设计和数据分析。
五、实践应用（25分钟）1. 教师组织学生进行小组讨论，要求学生选择一个科学问题，并应用集合分类的方法进行解决。
2. 学生根据讨论结果，撰写科学实验设计，并进行实验操作。
3. 学生记录实验过程和结果，并进行数据分析和结论总结。
六、总结与评价（10分钟）1. 教师引导学生总结集合分类的基本概念和原则，以及在科学中的应用。
2. 学生进行自我评价，回答教师提出的问题，检查自己对集合分类的理解程度。
教学延伸：1. 学生可以在课后进一步探究集合分类在其他科学领域的应用，并撰写报告。
2. 学生可以通过参加科学竞赛或科学论坛，展示自己在集合分类方面的研究成果。
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指定子集个数的集合划分
实验名称指定子集个数的集合划分系别信科院
姓名曾会蜜学号3090717116班级计本09-1
实验地点1409J日期2011年10月实验时数4
指导教师叶苗同组成员独立完成成绩
•实验目的及要求
•明确递归和递推的基本概念
•用递归和递推解决指定子集个数的集合划分问题
•通过本例掌握递归和递推的程序设计方法
•实验环境及相关情况（包括使用的软件、实验设备）
•工具软件：Microsoft visual C++ 6.0
•硬件：主板，鼠标，键盘，显示器，U盘
•操作系统：Windows 7
•实验内容及步骤（包括简要的实验步骤流程）
1.根据题目确定思路,划分集合,可以找出其中的逻辑关系.
2.根据逻辑关系,运用递归的算法来求,划分为两种情况对于一种情况，等价于把前n-1个元素分成m-1份，然后n号元素单独放。
对于第二种情况，等价于把前n-1个元素分成m份，然后把n号元素放入这m个集合中的一个（也就是说有m种放法）
那麽总数就是
F(n,m) = F(n-1,m-1) + m * F(n-1,m)
3.根据分析建立递推方程
•实验结果（拷贝屏幕，加上必要的文字说明）
四.源代码
1.#include <stdio.h>
void main()
{
int n,k,s[11][11];
int i,j;
printf("输入集合的个数");
scanf("%d",&n);
printf("输入子集的个数");
scanf("%d",&k);
for(i=1;i<=10;i++)
for(j=1;j<=10;j++)
s[i][j]=0;
for(i=1;i<=10;i++)
s[i][i]=1;
for(i=1;i<=10;i++)
s[i][1]=1;
for(i=2;i<=10;i++)
for(j=2;j<=10;j++)
s[i][j]=j*s[i-1][j]+s[i-1][j-1];
for(i=1;i<=10;i++)
{
for(j=1;j<=10;j++)
printf("%6d",s[i][j]);
printf("\n");
}
printf("n=%d,k=%d,总共个数为： %d \n", n,k,s[n][k]); }
2.#include <stdio.h>
int recursion(int a, int b);
void main()
{
int a,b,c;
printf("输入集合个数");
scanf("%d",&a);
printf("输入子集个数");
scanf("%d",&b);
c=recursion(a,b);
printf("划分的总个数为%d\n",c);
}
int recursion(int a, int b)
{
int c=0;
if(a==b)
{
return 1;
}
if(a==0||b==0||a<b)
{
return 0;
}
if(b==1)
{
return 1;
}
c=b*recursion(a-1,b)+recursion(a-1,b-1);
return c;
}
五.总结
递推在解决有规律的问题时候,很方便,但难找出其规律。