用样本估计总体学案
人教版(B版2019课标)高中数学必修二5.1.4用样本估计总体 学案
用样本估计总体【学习目标】1．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，对样本数据中提取基本的数字作合理的解释。
2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
3．培养统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。
【学习重难点】根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差对总体、个体有合理的估计和推测。
【学习过程】一、问题提出1．对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图2．美国NBA在2006-2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，30，36，36，37，39，44，49。
乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，39。
如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征。
二、能力探究用样本的平均数来估测总体的平均数“珍惜能源，从我做起，节约用电，人人有责”。
为了解某小区居民节约用电情况，物业公司随机抽取了今年某一天本小区10户居民的日用电量，数据如下：（1）求这组数据的平均数；（2）已知去年同一天这10户居民的平均日用电量为7.8度，请你估计，这天与去年同日相比，该小区200户居民这一天节约了多少度电？分析：（1）用算术平均数公式可计算出平均数；（2）由10户居民的平均日用电量估计该小区200户居民的平均日用电量，所以该小区节约的用电量等于用电户数与两年同一天的日平均用电量之差的积。
解：（1）这组数据的平均数为：x=4.4+4.0+5.0+5.6+3.4+4.8+3.4+5.2+4.0+4.210=44 10=4.4(度)（2）200×（7.8-4.4）=680（度），即该小区200户居民这一天大约节约了680度电。
9.2用样本估计总体-人教A版高中数学必修第二册(2019版)教案
9.2 用样本估计总体-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解抽样调查中的概念和方法；2.掌握使用样本估计总体的方法；3.学会判断样本是否具有代表性及如何提高样本的代表性。
二、教学重难点1.如何使用样本估计总体；2.如何判断样本是否具有代表性及提高样本的代表性。
三、教学内容及学时安排学时教学内容学生学习任务1 学时抽样方法概述1. 认真听讲，掌握抽样方法概念；2. 熟练掌握教材中样本的概念；3. 完成教材中的练习。
1 学时样本估计总体的方法1. 学习样本估计总体的方法；2. 熟悉样本容量估计总体的相关公式；3. 完成教材中的例题和练习。
1 学时样本代表性问题1. 学习判断样本是否具有代表性的方法；2. 了解提高样本代表性的方法；3. 完成教材中的例题和练习。
1 学时综合练习 1. 完成课堂练习；2. 独立完成教材中的综合训练题。
四、教学方法1.讲授法：通过讲述理论知识来向学生传授知识；2.案例分析法：使用实例进行学习和分析，以帮助学生深入理解抽样调查和样本估计总体的方法；3.课堂互动式教学法：引导学生积极参与课堂讨论，加深理解、提高思维能力。
五、教学资源1.人教A版高中数学必修第二册（2019版）教材；2.教学课件；3.计算器。
六、教学评估1.平时作业：每节课后会布置相应的作业，以此来对学生的掌握情况进行评估；2.课堂讨论：使用课堂讨论的方式观察学生对授课内容的理解情况；3.综合测验：每个教学单元结束后会进行综合测验来对学生的综合掌握情况进行评估。
初中数学初三数学下册《用样本估计总体》教案、教学设计
（二）过程与方法
在教学过程中，将采取以下方法来实现教学目标：
1.采用情境导入法，通过具体的生活实例引出总体和样本的概念，激发学生的兴趣和探究欲望。
2.利用小组合作学习，让学生在讨论与分享中理解统计量的计算方法和应用，培养合作意识和团队精神。
3.情境创设：利用多媒体和信息技术，模拟数据收集和处理的过程，让学生在具体的情境中感受数据分析的必要性和实用性。
4.探究学习：鼓励学生通过小组合作的方式，探究如何从样本数据中得出总体的估计值，并讨论不同样本容量和抽样方法对估计结果的影响。
-设计实验：组织学生进行简单的抽样调查，如测量班级学生的身高、体重等，通过实际操作，让学生体验样本估计总体的过程。
具体作业如下：
1.完成课后练习题第1-10题，重点关注统计量的计算和应用。
2.调查本班同学的阅读时间，计算平均阅读时间、中位数和众数，并尝试用样本数据估计全年级同学的阅读时间分布。
3.探讨样本容量对估计结果的影响，结合具体实例进行分析，并撰写分析报告。
4.小组合作项目：以小组为单位，选择一个感兴趣的主题（如全年级学生的运动时间、消费习惯等），进行调查、数据收集和分析，最后撰写一份关于样本估计总体的调查报告。
五、作业布置
为了巩固学生对“用样本估计总体”知识点的理解和应用，我设计了以下几项作业：
1.基础知识巩固题：布置一些关于样本估计总体的基础知识题目，如填空题、选择题和简答题，要求学生熟练掌握总体、样本、统计量等基本概念。
2.实践应用题：设计一些实际情境题目，让学生运用所学知识解决实际问题。例如，让学生调查本班同学的身高、体重数据，计算相关统计量，并据此估计全年级的身高、体重分布情况。
新教材人教B版必修第二册 5.1.4 用样本估计总体 学案
5.1.4 用样本估计总体5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟(略)素养目标·定方向课程标准学法解读1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．能用样本的分布估计总体的分布．通过用样本估计总体，提升学生的数据分析、数学运算和逻辑推理素养．必备知识·探新知知识点用样本估计总体(1)前提样本的容量恰当，抽样方法合理． (2)必要性①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力． ②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用__样本__估计总体． (3)误差估计一般是有__误差__的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量__越来越大__时，估计的误差很小的可能性将越来越大．思考：用样本估计总体出现误差的原因有哪些？提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样本容量偏少等． 知识点用样本的数字特征来估计总体的数字特征(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的__数字特征__即可． (2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例.条件假设第一层有m 个数，分别为x 1，x 2，…，x m ，平均数为x －，方差为s 2；第二层有n 个数，分别为y 1，y 2，…，y n ，平均数为y －，方差为t 2 结论如果记样本的平均值为a ，样本方差为b ，则a －＝m x －＋n y－m ＋n，b 2＝1m ＋n ×⎣⎡⎦⎤(ms 2＋nt 2)＋mn m ＋n (x －－y －)2知识点用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn ，样本在第一组对应的频率记为p 1，p 2，…，p n ，一般来说，1n ∑i ＝1n(πi －p i )2不等于零．当样本的容量__越来越大__时，上式很小的可能性将越来越大．关键能力·攻重难题型探究题型用样本的特征数估计总体的特征数角度1 简单随机抽样的数字特征 ┃┃典例剖析__■典例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． [解析] (1)x －甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x －乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 规律方法：(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值，可用以估计总体． (2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体． ┃┃对点训练__■1．为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差．4 5 9 7 9 6 6 5 1 8 9 6[解析] 将样本中的每一个数都减去50，可得 －5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10，这组数的平均数为－5－1－3－1－4－4＋1＋8＋9＋1010＝1，方差为62＋22＋42＋22＋52＋52＋02＋72＋82＋9210＝30.4，因此可估计这个学校学生体重的平均数为51，方差为30.4． 角度2 分层抽样的数字特征 ┃┃典例剖析__■典例2 在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？[解析] 把样本中男生的身高记为x 1，x 2，…，x 23，其平均数记为x －，方差记为s 2x ；把样本中女生的身高记为y 1，y 2，…，y 27，其平均数记为y －，方差记为s 2y ，把样本的平均数记为a －，方差记为s 2．则a －＝23×170.6＋27×160.623＋27＝165.2，s 2＝23×[s 2x ＋(x －－a －)2]＋27×[s 2y＋(y －－a －)2]23＋27＝23×[12.59＋(170.6－165.2)2]＋27×[38.62＋(160.6－165.2)2]50＝51.486 2，即样本的方差为51.486 2．因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2．规律方法：1.求分层随机抽样的平均数的步骤 (1)求样本中不同层的平均数；(2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解． 2．求分层随机抽样的方差的步骤 (1)求样本中不同层的平均数； (2)求样本中不同层的方差；(3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解． ┃┃对点训练__■2．为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据，计算得到他们的体质指数的平均数为25.1，方差为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们的体质指数的平均数为20.3，方差为3.求样本平均数与方差．[解析] 样本平均数x －＝9×25.1＋5×20.39＋5≈23.4，方差s 2＝9×[6＋(25.1－23.4)2]＋5×[3＋(20.3－23.4)2]9＋5≈10.2． 题型用样本的分布估计总体的分布┃┃典例剖析__■典例3 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．[解析] (1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02．由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a ＝0.30． (2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12． 由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000．(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85， 而前5组的频率之和为：0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x ＜3， 由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73， 所以x ＝2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．规律方法：(1)由于频率分布表、频率分布直方图丢失了样本的原始数据，以此求得数字特征都是样本数字特征的估计值．(2)可用样本的分布估计总体的分布． ┃┃对点训练__■3．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图：(1)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[解析] (1)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5． 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20．(2)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60， 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30．所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．所以根据分层随机抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．易错警示┃┃典例剖析__■典例4 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数23234111[错解] 根据以上数据可得众数为1.75，中位数为1.70＋1.752＝1.725，平均数为1.69．[辨析] 所求数据要注意单位问题，另外中位数计算错误．[正解] 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m ．表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70 m ；这组数据的平均数是x －＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m ．。
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
必修三2.2.用样本估计总体(教案)必修三2.2.用样本估计总体（教案）导语：本文为必修三2.2.用样本估计总体（教案）的教学指南，旨在引导学生了解和应用样本估计总体的方法。
通过学习本课，学生将能够理解抽样和样本的基本概念，并能够运用点估计和区间估计的方法进行总体参数的估计。
为了达到良好的教学效果，本教案采用了多样的教学方法，例如引导讨论、示例演示和小组合作等。
一、教学目标：1. 理解样本与总体的概念和关系；2. 掌握点估计的方法；3. 了解区间估计的原理和应用；4. 能够进行样本估计总体的实际问题分析。
二、教学过程：1. 导入（5分钟）引导学生思考以下问题：什么是样本？什么是总体？样本和总体之间有什么关系？为什么需要用样本来估计总体？2. 点估计的方法（15分钟）a. 讲解点估计的基本原理，即通过样本数据来估计总体参数的值。
b. 示例演示：设计一个问题，如某班级数学考试成绩的平均分。
用班级中的五位同学的成绩作为样本，通过计算样本的平均分来估计全班的平均分。
c. 引导学生讨论点估计的优点和缺点。
3. 区间估计的方法（15分钟）a. 讲解区间估计的概念和原理，即通过样本数据构造一个置信区间来估计总体参数的范围。
b. 示例演示：使用同样的例子，构造一个置信水平为95%的置信区间，来估计全班的平均分。
c. 引导学生讨论区间估计的优点和缺点。
4. 实际问题分析（25分钟）a. 设计一个实际问题，例如某个城市的人均收入。
要求学生提出估计该城市人均收入的方法和步骤，并结合点估计和区间估计的方法进行分析。
b. 小组合作：分组讨论，每个小组根据实际问题设计一个解决方案，并准备向全班汇报。
c. 汇报与讨论：每个小组轮流汇报他们的解决方案，并进行讨论。
5. 总结与延伸（10分钟）a. 概括本课内容，强调样本估计总体的方法和应用。
b. 提出延伸问题，鼓励学生进一步探索样本估计总体的其他应用领域。
三、教学反思：本节课通过引导讨论、示例演示和小组合作等多种教学方法，促使学生自主思考和应用样本估计总体的方法。
九年级数学上册《用样本估计总体》教案、教学设计
2.讨论如何选择合适的样本进行数据收集和分析。
3.分享各自小组在实践操作中遇到的问题及解决方法。
我会采取以下步骤组织讨论：
1.将学生分成若干小组，确保每个小组成员都能积极参与。
2.提供讨论题目，引导学生在小组内进行深入交流。
3.鼓励小组成员发表见解，培养合作意识和表达能力。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们对于数据的收集、整理和分析已有初步的认识。在此基础上，学生对本章节的“用样本估计总体”的学习，既存在一定的认知基础，也面临一些挑战。一方面，学生需要将已学的统计知识运用到实际问题中，这需要他们具备较强的知识迁移能力；另一方面，本章节涉及的概念和方法较为抽象，学生可能会在理解和应用上遇到困难。
2.基本概念：讲解样本估计总体的基本原理，引导学生理解样本与总体的关系，掌握样本频率分布、样本均值、样本方差等概念。
3.方法探究：组织学生进行小组合作，探讨如何用样本数据估计总体数据，引导学生发现并总结出用样本估计总体的方法。
4.实践应用：布置实际案例，让学生运用所学方法，进行数据收集、整理、描述和分析，培养学生的实际操作能力。
-鼓励学生通过预习，培养自主学习能力和良好的学习习惯。
教学设想：
1.针对重点内容的教授，采用直观生动的案例导入，让学生在具体情境中感受样本估计总体的必要性，从而激发学习兴趣。
-设计一系列与学生生活密切相关的实际问题，如调查班级同学的身高分布、学习成绩等，让学生通过实际操作，体会样本数据对总体估计的作用。
2.对于难点的突破，采用循序渐进的教学策略，将复杂问题分解为若干小步骤，引导学生逐步深入理解和掌握。
-定期组织课堂展示，让学生分享各自小组的探究成果，促进相互学习和交流。
用样本估计总体学案
用样本估计总体学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN10.2用样本估计总体考情分析统计的基本思想方法就是用样本估计总体，而用样本估计总体是高考考查的重点，频率分布直方图，频率分布表，茎叶图在高考中都有考查，特别是频率分布直方图、方差（标准差）是高考的热点。
基础知识1. 作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） （2）决定组距与组数; （3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图. 2. 频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图;（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 3. 众数、中位数、平均数（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.（2）将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数. （3）如果有n 个数12,,n x x x ，那么12nx x x n+++叫做这n 个数的平均数.（4）利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． 4、茎叶图的优点用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是在统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示． 5、标准差设样本的元素为1x ，2x ，…，n x ，样本的平均数为 ，（1）样本方差222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=（2）标准差(n x x s ++-=注意事项1.(1)众数、中位数与平均数的异同①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．②由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(2)标准差与方差的异同标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．2.利用频率分布直方图估计样本的数字特征：(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．题型一频率分布直方图的绘制与应用【例1】某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有() A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆答案：B解析：由题图可知，车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有200×0.2＝40(辆)．【训练1】有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()．A．18 B．36C．54 D．72解析样本数据落在区间[10,12)内的频率1－(0.19＋0.15＋0.05＋0.02)×2＝0.18，所以数据落在此区间的频数为200×0.18＝36.答案 B题型二茎叶图的应用【例2】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是()A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53答案：A解析：本题主要考查茎叶图数据的读取和数据特征的简单计算，由所给的茎叶图可知所给出的数据共有30个，其中45出现3次为众数，处于中间位置的两数为45和47，则中位数为46；极差为68－12＝56.故选A.【变式2】在一项大西瓜品种的实验中，共收获甲种大西瓜13个、乙种大西瓜11个，并把这些大西瓜的重量(单位：斤，1斤＝500克)制成了茎叶图，如图所示，据此茎叶图写出对甲乙两种大西瓜重量的两条统计结论是：(1)__________________________________________；(2)__________________________________________．解析 从这个茎叶图可以看出，甲种大西瓜的重量大致对称，平均重量、众数及中位数都是30多斤；乙种大西瓜的重量除了一个51斤外，也大致对称，平均重量、众数及中位数都是20多斤，但甲种大西瓜的产量比乙种稳定，总体情况比乙好．答案 (1)甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜 (2)甲种大西瓜的产量比乙种大西瓜稳定题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：答案：甲解析：x 甲＝x 乙＝9环，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲．【变式3】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有________．解析 x 甲＝x 乙＝9环，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65＞s 2甲，故甲更稳定，故填甲． 答案 甲重难点突破【例4】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[解析] (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为 x ＝8＋8＋9＋104＝354. 方差为s 2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116.(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P (C )＝416＝14.巩固提高1.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B. 65C. 2D. 2答案：D解析：∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，得a ＝－1，∴s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.2.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A. m e ＝m 0＝xB. m e ＝m 0<xC. m e <m 0<xD. m 0<m e <x答案：D解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现次数最多，故m0＝5，x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m0<m e<x.3.一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是 1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是()A. 40.6,1.1B. 48.8,4.4C. 81.2,44.4D. 78.8,75.6答案：A解析：记原数据依次为x1，x2，x3，…，x n，则新数据依次为2x1－80,2x2－80,2x3－80，…，2x n－80，且2(x1＋x2＋…＋x n)－80nn ＝1.2，因此有x1＋x2＋…＋x nn＝1.2＋802＝40.6，结合各选项知正确选项为A.4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差答案：D解析：本题考查众数、平均数、中位数及标准差的概念，考查推理论证能力，容易题. 当每个样本数据加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变．5.某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．答案：90人解析：根据给定的频率直方图可得，小于70分的人数占有的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，所以样本总体为36＝120人，则成绩在[60, 90)内的学生人数0.3为120×(0.2＋0.3＋0.25)＝90.。
冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》教学设计
冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》是统计学的一个基本概念。
本节内容是在学生已经掌握了样本、总体、平均数、方差等统计学基本概念的基础上进行讲解的。
通过本节课的学习，学生能够了解如何通过样本来估计总体，掌握用样本估计总体的方法，提高他们的数据分析能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的统计学基础，对样本、总体等概念有一定的了解。
但是，他们对用样本估计总体的方法还不太熟悉，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的思维方式可能还停留在简单的公式计算阶段，需要引导他们从直观的实例中抽象出用样本估计总体的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解用样本估计总体的方法，能够运用样本数据来估计总体数据。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生掌握用样本估计总体的步骤，提高他们的数据分析能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数据的敏感性，使他们能够从生活中发现数学问题，培养他们的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：用样本估计总体的方法。
2.难点：如何从实例中抽象出用样本估计总体的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，让学生了解用样本估计总体的实际意义。
2.启发式教学法：引导学生从实例中发现问题，自主探索用样本估计总体的方法。
3.小组合作学习：让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高他们的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》的教学课件。
2.实例数据：准备一些生活中的实例数据，用于讲解用样本估计总体的方法。
3.练习题：准备一些有关用样本估计总体的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如某校九年级学生的身高情况，引入用样本估计总体的概念。
2.呈现（10分钟）呈现实例数据，让学生直观地了解用样本估计总体的过程。
引导学生分析样本数据，从中估计总体数据。
新教材人教B版必修第二册 用样本估计总体 学案
5.1.4用样本估计总体
学习目标
1.会用样本的数字特征估计总体的数字特征,提高数据运算的核心素养.
2.会用样本的分布估计总体的分布,提高数据分析的核心素养.
3.通过样本和总体的关系,体会部分和整体的辩证统一的关系,初步建立统计的概念,体会统计在生产和生活中的应用.
课堂练习
问题1:如何计算我班男生的平均体重?
问题2:已知我班男生平均体重为m,我班女生平均体重为n,如何估算我班学生平均体重?
问题3:某营养协会想调查某市所有高中学生的平均体重,你可以提供几种估算办法?
任务一阅读课本77~79页,完成下列问题.
(1)对“情景与问题”的98个数据,用简单随机抽样的方法进行抽样,样本为
169169163175163170164151155165
求样本的平均数和方差;
(2)样本的平均数和方差与总体的平均数和方差比较,你能得出什么结论?
(3)如果样本是用分层抽样的方法得到的,如何估计总体的数字特征?
在考察某中学学生身高时,如果用分层抽样的方法,得到男生身高平均数为170,方差为16,女生身高平均数为165,方差为25.
①如果没有其他信息,如何估计总体的平均数和方差?
②如果知道样本中男生20人,女生15人,如何估计总体的平均数和方差?
方法一:用男生或者女生身高的平均数与方差估计总体.
方法二:用每一次样本数字特征的算术平均数作为总体的估计,按照此种方法,估计总体的平均数为,方差为.
方法三:把各层数据集中在一起重新计算,按照此种方法,可以估计出总体的平均数
为,方差为.
以样本分两层为例,假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,x m,平均数为。
学案用样本估计总体与变量间的相关关系
【解析】 (1)样本频率分布表如下:
分组 ［1０0.２００) ［２００.３００) ［３００,４００) ［４００,5００) ［5００,6００)
合计
频数 ２０ ３０ ８０ ４０ ３０ ２０
频率 0.0１ 0.１５ 0.４０ 0.２０ 0.１５ １．００
(2)频率分布直方图如图
(3)由频率分布表能够看出,寿命在［100,400)内旳电子 元件出现旳频率为0.65,所以我们估计电子元件寿命在 ［100,400)内旳概率为0.65.
(4)由频率分布表可知,寿命在400 h以上旳电子元件出现 旳频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在 400 h以上旳概率为0.35.
考点2 频率分布直方图旳应用
为了解学生身高情况，某校以10%旳百分比对全校700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况旳统计 图如图：
(1)估计该校男生旳人数； (2)估计该校学生身高在170~185 cm之间旳概率； (3)从样本中身高在180~190 cm之间旳男生中任选2人， 求至少有1人身高在185~190 cm之间旳概率.
1
月旳天135数;旳处于15优;或良有旳26天天数处为于2良8旳,占水当平月,占天当数月旳天14数5 .阐明 该市空气质量基本良好. ②轻微污染有2天,占当月天数旳 1 ;污染指数在80以上
15
旳接近轻微污染旳天数15,加上处于轻微污染旳天数17, 占当月天数旳 17 ，超出50%;阐明该市空气质量有待进
1n n i=1
xi
1n
,y= n i=1 yi
.
经过求Q= (y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 旳最小值而得出回归直线旳措施，即求回归直线，使得样 本 数 据旳点到它旳距离旳平方和最小，这一措施叫做最小 二乘法.
初中数学用样本估计总体优秀教案
初中数学用样本估计总体优秀教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》教学设计
冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册23.4《用样本估计总体》是统计学的一个基本概念。
这一节的内容主要包括：理解总体、个体、样本的概念，掌握用样本估计总体的方法，以及如何求出样本数据的平均数、方差等。
教材通过具体的例子，使学生能够更好地理解这些概念和方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过统计学的初步知识，对平均数、方差等概念有一定的了解。
但是，他们对用样本估计总体的方法可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子，让学生更好地理解这些概念和方法。
三. 教学目标1.理解总体、个体、样本的概念。
2.学会用样本估计总体的方法。
3.掌握求样本数据的平均数、方差等方法。
四. 教学重难点1.重点：理解总体、个体、样本的概念，掌握用样本估计总体的方法。
2.难点：如何求出样本数据的平均数、方差等。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过具体的例子，让学生更好地理解概念和方法；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.计算器、白板、黑板。
3.相关的案例材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个具体的问题引入本节内容：“如何估计一个班级的平均身高？”让学生思考并回答，引导学生认识到用样本估计总体的重要性。
呈现（10分钟）教师呈现教材中的案例，让学生阅读并回答相关问题。
问题包括：“什么是总体？什么是样本？如何用样本估计总体？”等。
通过这些问题，让学生理解总体、个体、样本的概念。
操练（15分钟）教师引导学生进行小组合作，每个小组选取一组数据，求出这组数据的平均数、方差等。
通过这个活动，让学生掌握求样本数据的平均数、方差等方法。
巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固所学内容。
这些练习题包括：判断题、选择题、填空题等。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：“在实际生活中，我们如何用样本估计总体？”让学生举例说明，并进行讨论。
用样本估计总体教案
用样本估计总体教案教案标题：用样本估计总体教学目标：1. 理解样本和总体的概念，并能够解释样本估计总体的原理。
2. 掌握样本估计总体的方法和计算步骤。
3. 能够应用样本估计总体解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含有关样本估计总体的理论知识和实例的教材。
2. 计算器或电脑：用于进行样本估计总体的计算。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 向学生介绍样本和总体的概念，并解释它们在统计学中的重要性。
2. 引出样本估计总体的概念，解释为什么我们需要使用样本来估计总体参数。
讲解理论（15分钟）：1. 解释样本估计总体的原理：样本是从总体中抽取出来的一部分数据，通过对样本数据进行分析和计算，可以推断出总体的特征。
2. 介绍样本估计总体的方法：a. 点估计：使用样本数据计算出一个具体的数值作为总体参数的估计值。
b. 区间估计：使用样本数据计算出一个区间，该区间内的数值作为总体参数的估计范围。
3. 解释如何选择合适的样本大小和抽样方法，以确保样本能够代表总体。
示例演练（20分钟）：1. 给出一个实际问题，例如：某市场调查公司想要估计某产品在全国范围内的平均销售额。
请设计一个样本估计总体的方案，并计算出估计值和置信区间。
2. 引导学生根据问题的要求，选择合适的样本大小和抽样方法。
3. 指导学生使用样本数据计算出估计值和置信区间，并解释结果的意义。
讨论和总结（10分钟）：1. 学生讨论他们设计的样本估计总体方案和计算结果。
2. 引导学生思考样本估计总体的优缺点，以及在实际应用中可能遇到的问题。
3. 总结样本估计总体的关键概念和方法。
作业（5分钟）：布置作业，要求学生根据给定的问题，设计样本估计总体的方案，并计算出估计值和置信区间。
要求学生在作业中解释他们的思路和计算过程。
扩展活动：1. 提供更多的实际问题，让学生继续练习样本估计总体的设计和计算。
2. 鼓励学生使用统计软件或编程语言进行样本估计总体的计算，以提高计算效率和准确性。
《用样本估计总体》教案1
用样本估计总体【学习目标】1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.3.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.4.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.【要点梳理】要点一、频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差2.决定组距与组数3.将数据分组4.列频率分布表5.画频率分布直方图要点诠释：频率分布直方图的特征：1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.要点二、频率分布折线图、总体密度曲线1.频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2.总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.要点诠释：总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律.要点三、茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.要点诠释：茎叶图的特征：(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.要点四、众数、中位数与平均数1.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的，用众数是很有必要的.例如班委会要作出一项决定，考察全班同学对它赞成与否就可以用众数.2.中位数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.中位数把样本数据分成了相同数目的两部分.3.平均数 样本数据的算术平均数，即121()n x x x x n =+++.要点诠释：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.要点五、标准差与方差1.标准差样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：(1)算出样本数据的平均数x .(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：()12i x x i n -=， ，，(3)算出(2)中()12i x x i n -=， ，，的平方.(4)算出(3)中n 个平方数的平均数，即为样本方差.(5)算出(4)中平均数的算术平方根，，即为样本标准差.其计算公式为：s =2.方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s (即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-要点诠释：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；样本方差的算术根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.【典型例题】类型一：频率分布表、频率分布直方图例1．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如下图所示）．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？【答案】（1）60 （2）四组 18（3）六组【解析】 （1）依题意知第三组的频率为412346415=+++++． ∵第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为126015=件）． （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有66018234641⨯=+++++（件）． （3）第四组的获奖率是105189=， 第六组上交的作品数量为1603234641⨯=+++++（件）， ∴第六组的获奖率为2639=．显然第六组的获奖率较高．【总结升华】弄清所求问题是什么，并正确地运算是做对题的关键．本题主要考查同学们对频率分布直方图的理解，只有熟悉它的特征，才能清楚数据分布的总体趋势，根据直方图反映的信息正确解题．举一反三：【变式1】某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如下图所示）．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．例2．阅高考试卷有一个环节叫“试批”．某省为了了解和掌握考生的实际答卷情况，随机地抽取了100名考生的数学成绩，数据如下（单位：分）：135 98 102 110 99 121 110 96 100 103125 97 117 113 110 92 102 109 104 112105 124 87 131 97 102 123 104 104 128109 123 111 103 105 92 114 108 104 102129 126 97 100 115 111 106 117 104 109111 89 110 121 80 120 121 104 108 118129 99 90 99 121 123 107 111 91 10099 101 116 97 102 108 101 95 107 101102 108 117 99 118 106 119 97 126 108123 119 98 121 101 113 102 103 104 108（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图和折线图；（3）估计该省考生数学成绩在100～120分之间的比例；（4）设该省有20万考生，估计该省考生数学成绩不及格的人数（满分150分，90分及以上视为及格）；（5）根据折线图估计该省考生的数学成绩在哪一个分数段的人数将会最多．【思路点拨】理解频率分布直方图的具体含义.【解析】 100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80=55． 把100个数据分成11组，这时组距55511===极差组数．注：表中加上“频率”一列，这是为画频率直方图准备的，因为它是组距频率直方图的纵坐标．（2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，见下图．（3）从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在100～120分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60，据此估计该省考生数学成绩在100～120分之间的比例为60％（0.60=60％）．（4）100名考生中，数学成绩不及格的频率为0.01+0.02=0.03．比例为3％．200000×3％=6 000（人）．估计该省考生数学成绩不及格的有6000人．（5）折线图的最高点位于100～105之间，据此估计该省考生的数学成绩在100～105分这个分数段的人数将会最多．【总结升华】本例中，决定分点时，直接使用了最小值加组距，即80+5k （k=1，2，…，11），而没有把最小值减去某一个数（例如80－0.5=79.5）作为第1个分点，这是因为100个分数是明确的，即它们都在80～135之间．凡事都要具体问题具体分析，不可教条化．本例是把5分看成一个分数段，统计各段的情况．举一反三：【变式1】一个容量为20的样本，分组后，组距与频数如下[10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2，则样本在（－∞，50]上的频率为（）A ．120B ．14C ．12D ．710【答案】 D 【解析】 根据频率的计算公式频率=频数样本容量求解． 频率23451472345422010+++===+++++．（2）画出频率分布直方图；（3）估计该电子元件寿命在100～400 h 以内的占总体的比例；（4）估计该电子元件寿命在400 h 以上的在总体中占的比例．【解析】（1（2（3）估计该电子元件寿命在100～400 h 以内占总体的比例为65％；（4）估计该电子元件寿命在400 h 以上的在总体中占的比例为35％．类型二：众数、中位数、平均数（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【思路点拨】理解平均数、中位数、众数的概念．【答案】（1）2091 1500 1500 （2）3288 （3）中位数和众数【解析】 （1）平均数是40003500200021500100055003020150033x ++⨯++⨯+⨯+⨯=+15005912091≈+=（元），中位数是1500元，众数是1500元．（2）平均数是2850018500200021500100055003020'150015001788328833x ++⨯++⨯+⨯+⨯=+≈+=（元），中位数是1500元，众数是1500元．（3）在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．【总结升华】 （1）深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，结合实际情况，灵活运用．（2）众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各数据的重心．举一反三：【变式1】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.【答案】(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++ 又因为频率=第二小组频数样本容量所以 121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率 (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为171593100%88%24171593+++⨯=+++++ (3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.类型三：方差、标准差进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【解析】 （1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．（2）21251013146s =+++++甲[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100－80)2]=150(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172，2150s =乙(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256． ∴22s s <乙甲，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为14+6=20（人），乙组成绩大于或等于90分的人数为12+12=24（人），∴乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好【总结升华】 要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算，而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．举一反三：【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下（单位:mm)甲机床：10.2 10.1 10.0 9.8 9.910.3 9.7 10.0 9.9 10.1乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.110.9 8.9 9.7 10.2 10.0分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？【解析】101001011.101.102.10101=⨯=++=）（甲 x ， 1010101104.103.10101=⨯=+++=）（乙 x . ∴[]2222101.10101.10102.10101）（）（）（甲-+-+-= s =0.032mm []22221010104.10103.10101）（）（）（乙-+-+-= s =0.062mm . ∴2甲s ＜2乙s∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.类型四：茎叶图例5．某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101． 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．【思路点拨】茎叶图便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据．【答案】乙同学的成绩比较稳定【解析】 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88．乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．举一反三：【变式1】在某高中篮球联赛中，甲、乙两名运动员的得分如下：甲：14，17，25，26，30，31，35，37，38，39，44，48，51，53，54；乙：6，15，17，18，21，27，28，33，35，38，40，44，56．（1）用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数；（2）根据（1）中所求的数据分析甲、乙两名运动员中哪一位发挥得更加稳定．【解析】（1）茎叶图如图所示．甲运动员的中位数是37，乙运动员的中位数是28．（2）从茎叶图上可以看出甲运动员的得分大致对称，中位数是37，乙运动员的得分也大致对称，中位数是28，因此，甲运动员发挥得比较稳定，总体得分比乙运动员高．【变式2】随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差.【答案】（1）乙班（2）57【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179之间，而乙班身高集中于170180之间．因此乙班平均身高高于甲班;(2) 15816216316816817017117917918217010+++++++++==x 甲班的样本方差为：()()()()()()()()()()222222222211581701621701631701681701681701017017017117017917017917018217057[-+-+-+-+-+-+-+-+-+-]=。
28.2用样本估计总体学案N
28.2用样本估计总体【学习目标】1．学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，用样本估计总体． 2．体会用样本估计总体的统计思想． 【基础知识精讲】 1．抽样调查的可靠性教材中给出了我们用简单随机抽样得到的几个样本的情况．因为抽到的样本有随机性，所以我们自己完成含有5个、10个、20个个体样本的选取过程，并用计算器计算相应的平均数和标准差．之后，在选取含有超过40个个体样本时，随着样本容量的扩大，各个样本的平均数相当接近总体的平均成绩78.1分，而且样本的标准差也相当接近总体的标准差10.8分．所以，当样本足够大时，我们用样本估计总体是比较可靠的．注意：样本取自总体，它能在一定程度上反映总体，能对总体的情况作出一个估计和推测，一般来说，样本容量越大，用样本对总体的估计就越精确．2．加权平均数公式如果在n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f ，……，k x 出现k f 次(其中n f f f k 21=+++ )，那么这n 个数的平均数可以表示为)f x f x f x (n1x k k 2211+++=(其中f 叫做权，n f f f k 21=+++ )． 注意：在不同多个数据重复出现时，可以使用加权平均数公式． 【经典例题精讲】例1 2002年北京的空气质量状况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2002年全年的平均空气污染指数和空气质量状况．分析：通过随机抽样方法选取30天，会得到空气污染指数的平均数，从而估计2002年的平均空气污染指数和空气质量状况．解：用简单随机抽样方法选定了表中这30天，查阅环境保护网(http ：//www ．zhb ．gov ．cn)得知北京在这30天的空气污染指数及质量级别如下表所示：这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2002年的平均空气污染指数为107，空气质量状况属于轻微污染．注意：随着样本容量的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数． 例2 下表是某班20名男同学的身高，请你计算出他们的平均身高．分析：首先观察题的特点后选择平均数公式． 解：)cm (161)216721551143(201x =⨯++⨯+⨯=． 注意：求平均数时样本容量是20而不是8． 【中考考点】用样本估计总体是统计的思想方法，学会用计算器计算相应的平均数和标准差，在中考题中一般以填空或选择题的形式渗透在各个题中．例3 某班在一次物理测试中，成绩为：100分7人，90分14人，80分17人，70分8人，60分2人，50分2人，则该班此次测试的平均成绩为( )A ．82分B ．62分C ．65分D ．75分错解：选D ． 误区分析：75)5090100(61x =+++= 分． 正解：选A ．例4 假设你们年级共有四个班级，各班的男同学人数和平均身高如下表所示：小强这样计算全年级男同学的平均身高．25161)7160816031622161(41x .....=+++=．小强这样计算平均数可以吗？为什么？错解：正确．误区分析：不理解加权平均数公式，容易求这四个平均身高的平均数． 正解：不正确． 改为：)cm (3161)247160258160253162232161(971x .....≈⨯+⨯+⨯+⨯=． 【学习方法指导】1．明确样本容量足够大时，用样本估计总体是比较可靠的． 2．正确理解加权平均数公式． 【规律总结】1．会用计算器求平均数、方差、标准差． 2．应用加权平均数公式解决实际问题． 【同步达纲练习】1．在全市1600多万民众中抽样调查1000人．这个样本的容量是__________．2．数据100，89，85，82，80的平均数是__________，标准差是__________(精确到0.1)． 3．有四个数据，其中任意一个数据分别与另外三个数的平均数相加分别得23，19，31，17，求这四个数据的平均数．4．一组数据中平均数与最大的数据相等，则该组数据的标准差为__________．参考答案【同步达纲练习】1．1000 2．87.2，7.9 3．445 4．0。
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用样本估计总体
要点梳理(预习学案)
1.频率分布直方图
（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种， 一种是用 .另一种 是用 . （2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据 落在各小组内的频率用 表示. 各小长方形的面积总和
（3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中 点，就得到频率分布折线图.随着
的增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，
统计中 称之为 ，它能够更加精细的反映出 .
（4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且
可以 ，给数据的 和 都带来方便.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数.
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的
平均数）叫做这组数据的 .
平均数：样本数据的算术平均数.即 = .
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 .
（2）样本方差、标准差
标准差s= 其中n x 是 ，n 是 ____________________，-
x 是_______________ 是反映总体波动大小的特征数，
样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样
本方差很接近总体方差. 基础自测
1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为 0.375，则该组样本的频数为 （ ）
A.4
B.8
C.12
D.16
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x,7，14，中位数为5，则这组数
据的平均数和方差分别为 （ ）
A.5,24
B.5,24
C.4,25
D.4,25
3.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如
图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的
频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有
（ ）
A.30辆
B.40辆
C.60辆
D.80辆
,])()()[(122221x x x x x x n
n -++-+-
4.甲、乙两位同学参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为
5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）
A.甲
B.乙
C.甲、乙相同
D.不能确定
5.一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
组别（10，20］（20，30］（30，40］（40,50］（50，60］
频数23456
则样本在（20，50］上的频率为 .
题型分类深度剖析(讲授学案)
题型一频率分布直方图在总体估计中的应用
【例1】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若
次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体
高一学生的达标率是多少？
题型二茎叶图的应用
【例2】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538
乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531
（1）用茎叶图表示两学生的成绩；（2）分别求两学生成绩的中位数和平均分.
题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例3】（12分）甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩
作出评价.
限时训练（训练学案）
一、选择题
1.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的 ，且样本容量为160，则中间一组的频数为 （ ）
A.32
B.0.2
C.40
D.0.25
2.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17, 17,16, 14,12,设其平均数
为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 （ ）
A.a ＞b ＞c
B.b ＞c ＞a
C.c ＞a ＞b
D.c ＞b
＞a
3.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数
据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形
高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80，100)之
间的学生人数是 （ ）
A.32
B.27
C.24
D.33
4.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高
三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分
数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为 ( ）
A.64
B.54
C.48
D.27
5.某工厂对 一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品
净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是
［96,106］,样本数据分组为［96，98），［98，100），［100，102），［102，
104），［104，106］.已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样
本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 （ ）
6.下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的
茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方
差分别为 （ ）
7 9
8 4 4 6 4 7
9 3
A.84,4.84
B.84,1.6
C.85，1.6
D.85，4
二、填空题
7.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选 赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位： 环）：
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 .
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9 41
8.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对
本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根
据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注
射了疫苗的鸡的数量为万只.
9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为
参赛作品A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最
高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，
发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算
无误，则数字x应该是 .
三、解答题
10.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲010*******
乙2311021101
分别计算两个样本的平均数与方差，从计算结果看,哪台机床10天生产中出次品的平均数较小？出次品的波动较小？
11.下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题:（图中每组包括左端点, 不包括右端点，如第一组
表示收入在［1 000，1 500））
（1）求样本中月收入在［2 500，3 500）
的人数；
（2）为了分析干部的收入与年龄、职业
等方面的关
系，必须从样本的各组中按月收入再用
分层抽样方
法抽出100人作进一步分析，则月收入
在［1 500，
2 000）的这段应抽多少人？
（3）试估计样本数据的中位数.
12.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门将某校12名学生分为两组进行问卷调查.第一组的得分情况为：5，6，7，8，9，10；第二组的得分情况为：4，6，7，9，9，10.
（1）根据以上数据，判断两组中哪组更优秀？
（2）把第一组的6名学生的得分看成一个总体.用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
. .。