信号与系统(第三版) 徐亚宁

信号的描述方法有函数表达式和波形；系统的描述方法有数学模型和模拟框图； 描述信号的基本方法是建立信号的数学模型，即写出信号的数学表达式。

LIT 系统的特性{

线性：齐次性和可加性同时具备时不变性：系统的参数都是常数，不随时间改变；

系统的零状态响应与激励施加的时刻无关。因果性：现在的输出只取决于现在或过去的输入稳定性：系统的输入、输出都是有界的 周期信号的频谱具有离散性、谐波性、收敛性。 S 平面的虚轴映射为Z 平面的单位圆。 零输入响应是由系统的初始状态单独作用系统时所产生的响应，与激励信号无关。 一个频率受限为信号f(t)，其最高频率为ƒm ,奈奎斯特频率（最低允许抽样频率）ƒs =2ƒm.

冲激信号的性质：δ(at +b )=1|a |δ(t +b a )

筛选特性f (t )δ(t −t 0)=f(t 0)δ(t −t 0)

取样特性∫f (t )δ(t −t 0)∞−∞dt =f(t 0)

尺度变换特性δ(at )=1|a |δ(t ) δ(−t )=δ(t)

∫f (t )δ′∞−∞(t )dt =(−1)n f (n )(0)

δ′(t )二次冲激（冲激偶） ∫δ’∞−∞(t )d (t )=0 奇函数

f (t )δ′(t )=f (0)δ′(t )−f ′(0)δ(t) h(t)=

g ′（t ）

卷积积分y f (t )=f (t )∗h (t )=∫f(τ)∞−∞h(t-τ)d τ

傅立叶变换F (jω)=∫f (t )e −jωt dt

∞−∞ 傅立叶逆变换f (t )=12π∫F (jω)e jωt dω (f (t )∞−∞满足绝对可积)

傅立叶变换 δ(t )↔1 i ↔2πδ(ω) U (t )↔πδ(ω)+

1jω e −at U (t )↔

1jω+a g τ(t)↔τSa(ωt 2) e −at ↔ 2a a 2+ω2 sgn (t )↔2jω

sgn (t ){1 t >0−1 t <0 对称性F (jt )↔2πf (−ω) 时频展缩f(at)↔

1|a |F(j ωa ) 反折 f(−t) ↔F(−jω) 时移f (t −t 0)↔F (jω)e −jωt 0 时频微分f n (t )↔(jω)n F (jω)

频移f (t )e jω0t ↔F [j (ω−ω0)] 频域卷积f 1(t )f 2(t )↔12π[f 1

(t )∗f 2(t )] f (at +b )↔1|a |e jωb a F (j ωa

) 拉式变换e at U (t )↔1s −a δ(t )↔1 U (t )↔1s

e−at↔

1

s+a

te−at↔

1

(s+a)2

t sinωt↔

2ωs

(s2+ω2)2

t cosωt↔

s2−ω2

(s2+ω2)2

复频移f(t)e s0t↔F(s−s0)

时移f(t−t0)U(t−t0)↔F(s)e−st0

尺度变换f(at)↔1

a

F(

s

a

) a>0

单边z f1(t)f2(t)↔

1

2πj

∫F1(λ)F2(s−λ)

c+jω

c−jω

dλ

a n U(n)↔

z

z−a

e bn↔

z

z−e b

δ(t)↔1

f(n)↔F(z)=∑f(n)z−n

∞

n=0 e jnω0↔

z

z−e jω0

δ(n−m)↔z−m U(t)↔

z

z−1

n↔

z

(z−1)2

移位f(n−m)↔z−m F(z)尺度变换a n f(n)↔F(z a )

欧拉公式e jωt=cos(ωt)+jsin(ωt) e−jωt=cos(ωt)−jsin(ωt)

Sa(t)=sint

t ∫Sa(t)dt=π

2

∞

∫Sa(t)dt=π

∞

−∞

单位冲激δ(t)={0 t≠0

∞ t=0且∫δ(t)d(t)

∞

−∞

=1

单位阶跃U(t)={0 t<0

1 t>0∫

δ(t)

t

−∞

=U(t)

系统频域分析f(t)∗h(t)=y(t)↔F(jω)∙H(jω)=Y(jω) e−at U(t)↔1

jω+a

y(t)↔F−1[Y(jω)]

时域分析求单位冲激

由冲激响应定义h′(t)+2h(t)=δ(t)

当t≥0+时有h′(t)+2h(t)=0

特征方程λ+2=0→ λ=−2

所以h(t)=Ce−2U(t)代入微分方程：

比较系数C=1所以h(t)=e-2t U(t)

已知差分方程求零输入响应

特征方程λ2-5λ+6=0

特征跟λ1，λ2

齐次解y x=C1(λ1)+C2(λ2)

带入初始条件y x() y x()

求得C1 C2

求出y x（齐次解的方程）