应用闭区间套定理步骤方法

应用闭区间套定理的步骤及方法

摘要:本文首先介绍了闭区间套的定义及闭区间套定理,然后举例说明闭区间套定理的应用,最后总结出应用闭区间套定理的一般步骤和方法。

关键词:区间套闭区间套定理有界性定理

实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性,实数系r的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,本文将以实数系的连续性中的闭区间套定理为例来说明其应用。

一、介绍闭区间套定义及闭区间套定理

定义1(闭区间套定义)设闭区间列{[an,bn]｝具有如下的性质:

(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…

(2)lim(bn-an)=0

则称{[an,bn]｝为闭区间套,或简称区间套。

定理1(闭区间套定理)若{[an,bn]｝是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得∈[an,bn],n=1,2,…即an≤≤bn,n=1,2,…且==.

二、举例说明闭区间套定理的应用

例1.(有界性定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.

证明:假设f(x)在[a,b]上无界,则闭区间[a,b]具有性质:f(x)在闭区间[a,b]无界,记该性质为p*.将闭区间[a,b]二等分得到[a,]

和[,b]两个闭区间,则其中至少有一个闭区间具有性质p*,在此将具有性质p*的闭区间记为[a1,b1],用同样的方法将[a1,b1]两等分得到具有性质p* 的闭区间[a2,b2]如此无限的等分下去就可得到一个闭区间列{[an,bn]｝满足:

(1){[an,bn]｝[an+1,bn+1],n=1,2,…

(2)bn-an=→0(n→∞)

则存在唯一的实数∈[an,bn],n=1,2,…且==.因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,而∈[a,b].故取=1存在>0, 当x∈[a,b]。且x-0存在正整数n,当n>n时,有[an,bn](-,+)∩[a,b],此与f(x)在每个[an,bn]上无界相矛盾.故若 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则它在[a,b]上必有界。

例2.(介值性定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b)。若为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)>f(b)),则存在x0∈(a,b)使得f(x0)=

证明[1]:不妨设f(a)0,问题即可转化为证明存在x0∈(a,b),使得g(x0)=0.将[a,b]等分为两个子区间[a,]和[,b]。若g()=0则即为所求;若g()≠0.则当g()>0时,记[a,]=[a1,b1].当g()0且[a,b][a1,b1],b1-a1=(b-a).

用同样的方法处理闭区间[a1,b1]得到:或者在[a1,b1]的中点上有g()=0或者有闭区间[a2,b2],满足g(a2)0且

[a1,b1][a2,b2],b1-a1=(b1-a1)=(b1-a1).

将上述过程不断地进行下去,可能出现两种情形:

(1)在某一个区间的中点上有 g()=0即为所求;

(2)在任一区间的中点上均有 g()≠0.

则得到闭区间列{[an,bn]｝满足:

①g(an)0且[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,…

②bn-an=(b-a),n=1,2,…

由闭区间套定理,存在x0∈[an,bn],n=1,2,…且往证==x0

假设g(x0)≠0不妨设g(x0)>0,则由局部保号性,存在∪(x0,)使在其内有g(x)>0.又因为==x0即对上述的>0,存在n>0使得当n>n

时有因而有g(x0)>0.但这与[an,bn]选取时应满足g(x0)三、应用闭区间套定理的步骤及方法

闭区间套定理是实数系连续性定理的一个比较简单而且容易被

初学者掌握的定理,它在应用时也比较方便,基于以上对闭区间套

定理的应用,一般说来,若证明某命题是需要找到具有某种性质p*

的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来,其步骤为:(1)构造一个具有性质的闭区间,性质要根据性质p*来定。(2)通常采用二等分法,将此闭区间二等分,至少有一个闭区间具有性质p*,然后继续使用二等分法,得到满足闭区间套的和具有性质的闭区间列,根据闭区间套定理就得到一个具有性质的数,如本文的例2,若证明某闭区间具有某种性(下转第92页)(上接第91页)质,应用闭区间套定理时,其步骤为:(1)用反证法,假设该区间不具有该种性质.(2)通常应用二等分法,将此闭区间二等分,至少有一个闭区间不具有

该种性质,接着使用二等分法,得到一个满足闭区间套定理的闭区

间列,然后根据闭区间套定理,就可以“套”出一个数.(3)结合已知条件找出矛盾。如本文的例1。

对于闭区间列的构造有多种方法,并不一定要应用二等分法,如本文的例3,因此我们在构造闭区间列时要视具体情况而定,不能搞“一刀切”。

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作者单位:上海中华职业技术学院