八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)

第一章勾股定理

1.1 探索勾股定理

第1课时认识勾股定理

1．若△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=5，b=12，则c= ；

（2）若a=6，c=10，则b= ；

（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .

2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .

3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .

4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.

A．30 cm2

B．130 cm2

C．120 cm2

D．60 cm2

5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.

6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，

要从树底开始爬多高？

7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.

参考答案：

1．（1）13；（2）8；（3）6，8．

C F

2．2.5m．

60cm．

3．

13

4．D．

5．25km．

6．4．

7．3 cm．

1.1 探索勾股定理

第2课时验证勾股定理

1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？

它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.

（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？

2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？

④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

参考答案

1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,

S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×

2

1

×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，

AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2

（2）如图（图见题干中图）

S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×2

1

×4×7=121－56=65=42+72

2.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是

以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.

②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.

④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.

因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.

由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.

1.2 一定是直角三角形吗

1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对

2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为

3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2

2

2

2

+=+。

4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：

BC AB AC AB AD 2222=++⋅。

5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2

2

2

2+=。

D C O A B D A

B C

A

B D C

6. 已知：AB AC CD BC ==，，求证：AD AB BC 2

2

2

2=+。

7 已知：∆ABC 中，

AD 为BC 中线，求证：AB AC BD AD 2

2

2

2

2+=+()。

8.如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2

+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

9.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。

9.ABC 中，AB=AC =10，BC =16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A 。 求：BD 的长。

ABC 中，AB=AC ，可作AE ⊥BC 于E ，构造直角三角形，由已知条件，AE ，CE ，可求。根据勾

股定理可列方程式求解。

A

B D C