梁的内力剪力和弯矩

4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩 符合的规定：
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
例 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
解：
F
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
剪力与弯矩计算
FS－剪力 M－弯矩
Fy 0 , FAy F1 FS 0
故 FS FAy F1 故 M FAybF1 ( ba )
n i 1
M C 0,
M F1 ( b a ) FAyb 0
FS ( Fi )一侧
i 1 n
M ( mCi )一侧
4.3 剪力图与弯矩图
例 4.3 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
FAy bF l FBy aF l
解：1. 支反力计算 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF FS1 FAy , (0 x1 a ) l bF M 1 FAy x1 x1 , (0 x1 a ) l CB 段 aF FS2 FBy , (0 x2 b ) l aF M 2 FBy x2 x2 , (0 x2 b ) l
为正，逆时针的外力偶为负
如取右侧梁段：则逆时针转向的外力偶 为正，顺时针的外力偶为负
左顺右逆为正
4.3 剪力图与弯矩图 一、剪力方程和弯矩方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩
的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.
1.剪力方程 FS= FS(x) M= M(x)
2.弯矩方程
二、剪力图和弯矩图
第4章 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆 4.2 梁的内力——剪力和弯矩 4.3 剪力图与弯矩图 4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系 4.5 按叠加原理作剪力图和弯矩图
4.1 工程实际中的受弯杆 一、实例
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1 工程实际中的受弯杆
5 由剪力FS（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。
4.3 剪力图与弯矩图
例4.2 作图4-9（a）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。
q=56.9kN/m A B
( )
YA
YB
解 （1）求支座反力
( )
ql 2
由
图
Y 0
和对称条件知
ql YA YB 2
( )
ql 2 =177.5kN
可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR
固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy 固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.4 梁的基本形式 常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁 静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁
4.3 剪力图与弯矩图
（2）列出剪力方程和弯矩方程： 以左端A为原点，并将x表示在图上。
ql qx 0 x l 2 x ql qx 2 M x YAx qa x 0 x l 2 2 2 Q ( x) F YA qx S
（3）作剪力图和弯矩图
如取右侧段梁，则向上的
力为负，向下的力为正。
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
2.弯矩
n m
M
Fi ai M k i 1 左（右） k 1 左（右）
即某截面的弯矩等于该截面以左（或右）外力对所求截面处 形心的力矩之和。 不论取左侧或右侧梁，所有向上的外力 的力矩为正，而向下的外力的力矩为. 如取左侧梁段：则顺时针转向的外力偶
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵
坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为 剪力图和弯矩图
4.3 剪力图与弯矩图 三、作图步骤
1 求支反力： 2 找控制面将梁分段 1、集中力作用点两侧截面
2、集中力偶作用点两侧截面
3、均布荷载起始和终点处截面
建立坐标系.剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标在 3 机电类中常以向上为正，在土建类中常以向下为正。 4 由前述“直接由外力求截面内力的法则”计算剪力、弯矩
均作用在此纵向对称面内时，
梁轴线变形后的曲线也在此 纵向对称面内，这种弯曲称
为平面弯曲。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.3 梁的简化——计算简图的选取
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
（2）载荷类型：集中力、力偶、分布载荷 （3） 支座的类型
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.1 梁的受力与变形特点 1. 受力特征 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力 偶位于轴线平面内。 2. 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变 形形式称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.2 平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面 往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全 梁的纵向对称面，当梁上所 有外力（包括荷载和反力）
在保留梁段上，方向与切开截面正 FS 相反 的外力为正，与正 M 相反的外力偶矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
计算方法与步骤
假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正
由 SFy = 0 计算 FS 由 SMC = 0 计算 M，C 为截面形心
FSA FAy 2F
M A M e FAy Δ Fl
FSD F
M D F 00
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.2 直接由外力求截面内力的法则
1.剪力
FS
i i 1左（右）
F
n
即：某截面的剪力等于该截面以左（或右）所有横向外力 的代数和。 如取左侧段梁，则向上的 力为正，向下的力为负； 左上右下为正