6 数学认识论的历史及其发展趋势

第11卷第1期 数 学 教 育 学 报

Vol.11, No.1

2002年2月

JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Feb., 2002

收稿日期：2001–09–19

基金项目：教育部高等学校教学研究中心项目，高师学科教育课程的理论与实践研究，（C270） 作者简介：綦春霞（1966—），女，博士，北京师范大学副教授、硕士生导师，主要从事数学教育、数学课程比较的研究．

数学认识论的历史及其发展趋势

綦春霞

（北京师范大学 教科所，北京 100875）

摘要：从数学基础研究的角度看，数学认识论的发展经历了从数学基础主义的“确证”观到庞加莱、皮亚杰等人的数学的“发现”的认识观，直至数学社会学理论中所强调的“确证”与“发现”相结合的数学认识观．数学观有由“绝对主义”向“可误主义”或“拟经验主义”转变的发展趋势．

关键词：数学基础；数学认识论；发展趋势

中图分类号：G40–032 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）01–0028–04

认识论是哲学的核心和统率，在认识论发展的历程中，由于人们把认识论与心理学、社会学和历史科学区别开来进行研究[1]，因此，便导致了认识论中的“确证”和认识论中的“发现”的区别．随着研究的深入，人们从研究知识本身（结构、关系、组成等）转向研究知识外部（获得知识的社会、历史文化过程）．这样社会认识论、意义认识论便应运而生，使人们的视野进一步扩大．而认识论中的“确证”与“发现”也由分离而逐渐走向融合．

追随着认识论的发展，数学认识论也是经历了“确证”、“发现”直至相融的过程．相对于认识论中的“确证”，数学基础主义采用一种“反心理”的演绎观点进行刻画．相对于认识论中的“发现”，庞加莱认识论中的心理学主义、狄厄多内结构认识论中的心理主义，皮亚杰发生认识论和历史批判的方法都给出了很好的佐证．数学认识论中的社会观点，包括维特根斯坦和拉卡托斯等人的数学社会学理论，则是强调数学中的“确证”与“发现”的结合．

1 认识论中的“确证”与数学哲学

中的基础主义

20世纪前半叶，数学一直被作为一种“绝对真理”[2]，而数学认识论是“确证”的认识论．“确证”是指这样一个事实：X 是得到确证的，仅当它能够通过一些理由来进行证明．数学哲学中的认识论的“确证”方法是属于基础

主义的．我们可以借助于分析各学派的论点来加以说明．

1.1 数学基础主义的三派及其主张

逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的，它有2点假设：①所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念；②所有数学真理都可以单凭公理和逻辑推演规则得到证明．

形式主义认为数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学．它有2点假设：①纯数学可表示为不予解释的形式系统，在此系统中数学真理由形式定理来表现；②可用元数学的方法，借助摆脱不相容性来证实形式系统的可靠性．

直觉主义或构造主义主张，数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造方法加以确定，直觉主义有2种不同的主张：①正面阐述：构造数学和逻辑运算的直觉主义方法是协调的和合理的，直觉主义数学形成人们可以理解的理论实体；②反面阐述：建立数学概念和逻辑运算的经典方式是不协调的和不合理的，在扭曲形式下的经典数学显然具有相当价值，但却是不可理解的．

以上3派都试图从不同的角度来验证数学

知识的绝对性，是一种绝对主义的数学哲学观．

1.2 对数学绝对主义的批判

对逻辑主义的批判，首先是针对其2个观

点正确与否来展开的．罗素等人在试图证明观点时都失败了，即并非所有数学真理都能单纯从逻辑公理中导出．其次，逻辑主义的假设否

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定了形式主义．哥德尔不完备定理表明演绎证明对论证所有数学真理是不够的．再次是对逻辑的确定性和可靠性的质疑，主要是针对逻辑是未经验证和未经判定的假设．

对形式主义的批判是借助于哥德尔不完备性理论进行的．哥德尔的第一个定理证明了不是所有的算术真理都能由皮亚诺公理导出．第二个不完备性定理证明了对所要研究的系统而言，证明其相容性需要比维持系统的“自我完善”更强的元数学，所以也就根本无所谓系统的“自我完整”可言．这样，形式主义的2个论点都被驳倒．它无法对数学真理的绝对主义观提供理论支持．

对直觉主义的批判主要来源于对经典数学和构造性数学的矛盾与冲突．一个问题是构造主义者没有证实经典数学的非协调性和非真实性，另一个问题是它的有些结果与经典数学不一致．例如构造主义的概念常与相应的经典概念涵义不同．

从认识论上讲，直觉主义的正面论点和反面论点都有缺陷[2]，都无法为数学知识的真理性提供有力证据．

由此可见，以上3大学派在试图建立数学真理的绝对必然性上均以失败而告终．但这一事实并不说明数学知识不可靠是一般定论，人们可能会找到其它根据来断言数学真理的可靠性．但事实上，这种假定是错误的．拉贾特斯等人[3]对数学的绝对真理观进行了反驳，提出了数学的可误主义观．

2 数学中的可误主义与认识论中

的发现和拟经验主义

数学可误主义观是对数学绝对主义观的否定．这种观点认为，数学知识是可以纠正的且永远要接受更正．数学知识是被创造、被发现的，数学的认识是拟经验的．庞加莱、狄厄多内、拉卡托斯等人给出了很好的例证．

2.1 数学认识中的发现

强调数学认识中的发现，并从心理的角度进行分析，最早可追溯到庞加莱．他用“内省法”对数学创造发明活动进行了心理分析．在他的论文《数学上的创造》[4]中，提出“发现”或“发明”（庞加莱不是柏拉图主义者）是值得研究的，因为它反映了个体在数学活动中产生错误的原因过程．他认为数学家一刹那所产生的灵感，在用逻辑进行验证时可能是错误的．因此，在数学定理的构造时，直觉和逻辑、无意识和有意识是相互作用和相互结合的：一个是用于数学的发明过程，另一个是用于对其发明过程进行证明．他的观点得到其他许多学者的赞同[5]，如巴切拉德指出寻求“科学过程中的心理状态”，皮亚杰强调数学知识认识中的创造性和构建过程．

这种重“心理”、重“发现”的思想，在狄厄多内那里得到了发展．其主要有如下观点：①强调演绎公理化方法．他认为数学公理体系在数学演变中起着重要的作用，它有助于数学知识的重建，有助于理解和直觉的发展；②数学“确证”的局限性．狄厄多内指出，把“确证”当成数学产生的过程是不可能的．数学的认识是与其实际意义相联的．如一元二次方程各种不同解的获得；线性代数是因分析几何、分析和结构语言相互作用的辩证发展才得以产生和发展的．

作为一位布尔巴基的奠基人，狄厄多内把数学视为一整体结构．而在建构这个结构的过程中，需要创造性的工作，而不仅仅局限于对数学进行证明和解释．如庞加莱一样，狄厄多内更多的是关注“发现”，而不是“确证”．他把数学知识的价值看得非常简单；一个真正的论述是已证明的论述，尽管严格的证明只能通过公理理论进行．但评价数学工作的标准不可避免是主观的．事实上，许多人认为数学更像艺术而不是科学．

2.2 数学认识中的拟经验观

1965年，卡尔马曾提出：“数学基础—今向何方？”他认为数学并不是一门纯粹演绎的科学，而是一门经验的科学．所谓公理、元数学方法都是基于经验事实的．他并不排斥数学中应用演绎法和归纳法，他认为数学的定理是将来要修改的相对真理．数学中有些真理可以直接检验而有些则只能间接检验．

数学经验主义受到了当代著名科学哲学家拉卡托斯的支持，他提出了“拟经验主义”的学说，主要有5个论点：（1）数学知识是可误的；（2）数学是假设—演绎的；（3）数学历