工程技术中常用的数学建模方法概述

工程技术中常用的数学建模方法概述

摘要对目前工程和管理研究领域所涉及的数学建模方法作了简要分析，指出不同的问题所需用到的建模方法，并通过举例说明建模的方法和步骤。

关键词数学建模；建模方法；模型；建模；数学应用

在现实社会生产实践中，随着科学研究的进步，多学科交叉运用越来越多。数学建模就是一种解决实际应用问题的有效方法，当然要在充分了解问题的实际背景的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立起数学模型，利用数学知识对数学模型进行分析探求，得到数学结果，得出应用问题的解。即通过对问题的数学化，模型构建和求解检验[1]。

其一般步骤可分成如下几点：

（1）模型准备：了解问题的实际背景，搜集建模必需的各种信息，明确建模目的。

（2）建模：对问题进行必要合理的简化和假设，根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（变量和常量）之间的关系或其他数学结构。

（3）求模：根据数学知识和方法，求解数学模型，得到数学问题的结果。求模时要注意灵活运用各种数学方法，包括matlab等工程软件[2]。

（4）回归：把数学问题的结果回归到实际问题中，通過分析，判断，验证，得到实际问题的结果。

下面谈谈几种常用的数学建模法，限于篇幅，不便举太多例子。

（1）建立函数模型法

有关成本最低，效益最大，用料或费用最省等应用问题，可考虑建立相应函数关系式，并把实际问题转化为求最值的问题。

（2）建立三角形模型法

有关涉及几何、测量、航海等应用问题可考虑转化为三角问题来解决[3]。

（3）建立数列模型法

对于一些产量增长，细菌繁殖，存款利率，物价调节，人口探测等应用问题，往往需要通过观察分析，归纳抽象，建立出数列模型，然后用数列的有关知识加

以解决。

举例：某一信托投资公司，考虑投资1600万元，建造一座星际饭店，经预测，该饭店建成后每年可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为15%，若需要三年内收回全部投资，每年至少应获利多少？

建模分析：本例可以建立数列模型，设每年投资额为A，年利率为R，当年投资额为Q，则n年后这笔投资额的实际额为，n年收益的总额为=A，若n年恰好还清投资额，则有数列模型：

解：当n=3，A=600，R=15%代入上式，有Q=1370万元，所以三年之后不能全部把投资收回。当Q=1600时，可由上式算得A=701万元，即每年至少应收益701万元，才能在三年后收回全部投资。

（4）建立几何模型法

当应用问题涉及空间概念时，可通过分析空间图形的位置关系和数量关系，建立起立体几何模型；对于涉及桥梁，放光灯，人造卫星，炮弹轨迹，工程设计，用料裁剪等实际问题，可转化为解析几何问题来解决[4]。

（5）类比法建模

当实际应用问题看似无从下手时，可考，虑把问题转化为已经有确切研究成果的问题，即为类比法，这也是建模中常用的一种方法。

此外，还有不等式模型，排列组合模型，线性规划模型，概率统计模型等多种建模法。

总之由于数学应用问题具有丰富的社会信息，多视角的横向联系和多层次的能力要求，要求模型建立者具备扎实的数学知识，熟悉其他学科知识，同时要了解信息，重视应用，积累经验，掌握规律，以便提高求解应用问题的能力。

参考文献

[1] 李永文.数学学科知识与信息技术的整合[J].读写算：教育教学研究，2011，（23）：51-55.

[2] 吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005：117-119.

[3] 陈恩爱.数控应用数学[M].上海：上海交通大学出版社，2015：55.

[4] 王兵团.数学建模基础[M].北京：清华大学出版社，2004：101.

陈恩爱（1976-），男，籍贯：浙江杭州，学历：大学本科，职称：讲师，工作单位：杭州职业技术学院，研究方向：高等数学。