集合的含义及其表示
高中数学 集合的含义及表示
集合的含义及表示•集合的概念：1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集常用数集及其表示方法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R•集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.•易错点:（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z•1、集合的含义：•“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
•所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
•2、集合的表示•通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d A。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合的含义与表示
集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。
集合的概念与表示方法
集合的概念与表示方法集合是数学中一个基本概念，它是将具有共同特征的对象组合在一起形成的整体。
在实际生活中，我们经常会接触到各种各样的集合，比如家庭成员的集合、学生的集合、数字的集合等等。
本文将介绍集合的概念以及常见的表示方法。
一、集合的概念集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号或者其他对象。
集合中的元素没有顺序之分，每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
集合的表示还可以使用描述法或特征法。
描述法是通过描述集合的元素属性或条件来表示集合。
例如，表示由奇数组成的集合可以写为{ x | x∈N, x是奇数 }，其中符号“|”表示“属于”，“∈”表示“是集合”的元素，N表示自然数集。
特征法是通过列举出集合的元素来表示集合。
例如，表示由元音字母组成的集合可以写为{ a, e, i, o, u }。
二、集合的表示方法在数学中，常见的集合表示方法包括列表法、描述法、数学公式表示法等。
1. 列表法列表法是一种简单直观的表示方法，在其中直接列举出集合的元素。
例如，表示所有人的集合可以写为{ 张三, 李四, 王五 }，表示由自然数组成的集合可以写为{ 1, 2, 3, ... }。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或满足的条件来表示集合。
例如，表示大于0且小于10的整数集合可以写为{ x | 0 < x < 10 }，表示由英文字母组成的集合可以写为{ x | x 是英文字母 }。
3. 数学公式表示法数学公式表示法是一种更具抽象性的表示方法，可以用数学符号和公式来表示集合。
例如，表示由数字1和2组成的集合可以写为{ x ∈N | x ≤ 2 }，表示由正整数构成的集合可以写为{ x ∈ Z+ | x > 0 }。
三、集合的运算在集合论中，还存在着一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
集合的含义与表示
(x－2a)＜0
当B A时，画数轴知2a≥1或a＋1≤－1， 1 即a≥ 或 a≤－2. 2 而a＜1，∴满足条件的a的取值范围是 1 (－∞，－2］∪［ ，1). 2
所有奇数组成的集合可以表示为:
B={x| x=2k+1,k∈Z}.
说明:
(1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种方 法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具 体分析.
要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时， 不宜采用列举法
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要 不引起误解，集合的代表元素也可省略，
集合的含义与表示
一、集合的含义：
(1)1~20以内的所有质数； (2)我国从1991~2005年的15年内所发射的所有人造卫星;
(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
(4)2004年1月1日之前与我国建立立外交关系的所有国家 ;
(5)所有的正方形;
归纳总结这些 例子 (6)到直线l的距离等于定长3cm的所有点 ; ,你能说出 它们的特征吗? (7)方程x2+3x+2=0的所有实数解;
n ② {x|x= n 2
, n ∈ N*且n≤5}
2.用列举法表示下列集合：
6 （1）A=﹛x∈N︱1 x∈Z﹜
6 B=﹛1 x∈N
(2)
︱ x∈ Z ﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
●
集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他 创造的集合论是近代许多数学分支的基础．
集合的含义与表示
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一 个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是 给定集合的元素.
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是
A.数学必修1课本中所有的难题
√B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数 解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；
知识点二 元素与集合的关系
思考 1是整数吗？1 是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又 2
不是整数？ 答案 1是整数；12 不是整数；没有.
梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、 不属于 ，数学 符号分别为 ∈ 、 ∉ .
知识点三 元素的三个特性
思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘 米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？ 答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准. 高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定. 元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一 个集合A，那么任何一个对象a是不是这个集合中的元素就确定了.
思考2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？ 答案 2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.
思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说： “北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天 津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？ 答案 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回 答都是正确的. 由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要 构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.
集合的含义与表示
例1：判断下列各组对象能否组成一个集合：
(1)9以内的正偶数；
(2)篮球打得好的人；
(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；
(4)高一(1)班所有高个子同学．
练习1：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．
记作: ， 读作： 包含于 或 包含 。
特别提醒：1、“ 是 的子集”的含义是：集合 的任何一个元素都是集合 的元素，即由 ，能推出 。如： ； 。2、当“ 不是 的子集”时，我们记作：“ ”，读作：“ 不包含于 ，（或 不包含 ）”。如： 。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合 ，它的任何一个元素都属于集合 本身，记作 。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合 ，有 。5、在子集的定义中，不能理解为子集 是集合 中部分元素组成的集合。因为若 ，则 中不含有任何元素；若 = ，则 中含有 中的所有元素，但此时都说集合 是集合 的子集。
特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表示方法为：
（3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合 可用韦恩图表示为：
练习2：下列各组对象中，不能组成集合的是()
A．所有的正数B．所有的老人C．不等于零的数D．我国古代四大发明
类型二集合中元素的特性
例2：集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围．
集合的含义-高中数学知识点讲解
集合的含义1．集合的含义【知识点的认识】1、集合的含义：集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．【典型例题分析】题型一：判断能否构成集合典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于 5 的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．（3）由 2x+1＞7 得x＞3，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．1/ 3典例 2：下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D 四个选项进行一一判断．解答：A、M＝{（3，2）}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N 表示数集，故不是同一集合，故A 错误；B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M 集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N 表示直线x+y＝1 的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B 错误；C、M＝{（4，5）} 集合M 的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N 的元素是点（5，4），故C 错误；D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N 表示同一集合，故D 正确；故选D．点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．题型二：集合表示的含义典例 3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A 为数集，B 为数集，C 为点集．解答：A 是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B 是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C 为点集，是由抛物线y＝x2+1 上的点构成．点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．【解题方法点拨】研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．2/ 32．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0 时，求 2x +8的最小值，有 2x +푥8푥≥ 2 2푥⋅8푥= 8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为 2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x 在（0，+∞）的值域解：f′（x）=1푥― 1=1―푥푥∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主3/ 3。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示
一、集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元
素组成的总体叫做集合，也简称集.
二、集合元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写
三、集合相等
构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等
四、集合元素与集合的关系
集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A
五、常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N；
除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R
六、集合的表示方式
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）（3）图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合
七、集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合,记：Φ
注：｛Φ｝表示集合中有Φ这个元素，这个集合的子集是：Φ，{Φ}而Φ表示集合是空集，子集只有Φ。
人教版-高一-数学-1.集合的含义与表示
集合的含义与表示一、知识概括1、集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），通常用小写拉丁字母a,b,c ,…表示。
把一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，通常用大写拉丁字母A,B,C ，…表示。
集合如同平面几何中点、线、平面等概念一样，是集合论中的原始概念，只进行描述说明，无法定义概念。
某些教材中对集合的描述是：指定的某些对象的全体称为集合。
其中，注意理解（1）指定即说明某些对象具有共同的特征或共同的属性，说明已具备判定对象是否成为该集合的元素的判定标准，而不是随意组合。
（2）对象在不同的集合中，应有不同的内涵。
在不同的集合中，元素还可能是人、物、质点或抽象事物等。
（3）全体说明集合是一个整体概念，针对全部对象而言，并且在这个整体中各元素间无先后排列要求，没有一定的顺序关系。
【注】（1）只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
（2）构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任何确定的对象。
2、集合元素的特性集合元素具有确定性、互异性、无序性三大特性。
（1）确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，按照该集合的构成标准能够明确判定一个对象是否属于这个集合。
如“个子高的同学”这一组对象就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不够明确，而“身高超过170cm 的同学”这一组对象可以构成一个集合。
（2）互异性集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）也就是说，相同的元素在一个集合中只能出现一次。
如方程0122=+-x x 的解构成的集合是{1}，而不能写成{1,1}（3）无序性集合中元素的排列次序无先后之分，如集合{1,2}和{2,1}是同一个集合。
3、集合与元素的关系元素与集合有属于（∈）和不属于（∉）两种关系。
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。
集合的含义及其表示
一、复习
请你说一说昨天学过的主要内容：
集合的含义:一定范围内某些确 定的、不同的对象的全体构成一 个集合 集合中元素的三个特征是: （1）确定性（2）互异性 (3)无序性
集合与元素的关系:只能用 属于∈或不属于
集合的表示方法有:(1)列举法;(2)描述法; (3)venn(韦恩)图法
则a ___,b ___.
4 :已知1{x | 3x2 px 1 0},求p的值及集合中
的所有元素。
5 : 若{x | x2 mx n 0} {1}, 则m __,n ___.
6 : A {2n | n Z}与B {x | x 2k, k Z}相等吗？ 7： 下列各对集合中， 有相等关系的是____.
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等
含有有限个元素的集合称为有限集, 特别， 不含任何元素的集合称为空集,记为 若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
常用数集的记法
二:练习 １、请各举有限集、无限集、空集的 一个实例 ２、用列举法表示下列集合：
(1){(x, y) | x {1,2}, y {1,2}}
(2){x | x (1)n , n N}
(3){(x, y) | 3x 2y 16, x N, y N} (4){x x是15的约数，x N}
(5) x,{y) | x( y 2且x 2y 4}
3: 若A {1，2}，B {x | x2 ax b 0},且A B，
10 : A {x a | b | c | abc | , a,b, c R}中有几个元素？
| a | b | c | abc 用列举法表示A.
11: 若A {x | x2 2x a 0}是空集， 则实数a的取值集合是
集合的含义及其表示
1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
集合的含义和表示
集合的含义和表示知识点一：集合的含义集合的概念：一般地，我们将研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫为集合（简称集）。
元素用小写字母a,b,c表示，集合用大写字母A,B,C表示。
集合中元素的性质：确定性：即那些元素是属于这个集合的，那些元素不属于这个集合是明确的。
比如高山就不构成集合，胖人也不构成集合。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：元素之间是没有顺序的，如：{0,1}={1,0}元素与集合的关系：“属于”和“不属于”（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A（“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）集合的分类：1、有限集：含有有限个元素的集合。
2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
记作Φ，如：例：1，①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A．2组B．3组C．4组D．5组2对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______．3集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______知识点二：常用数集的记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。
例： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ．②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ．知识点三：集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
集合的含义及其表示课件(新)
交集
对于任意两个集合A和B，由所有既 属于A又属于B的元素组成的集合称 为A和B的交集，记作A∩B。
补集
对于任意集合A和全集U，由所有属 于U但不属于A的元素组成的集合称 为A的补集，记作∁UA。
差集
对于任意两个集合A和B，由所有属 于A但不属于B的元素组成的集合称 为A和B的差集，记作A-B。
集合的基本定理
举例
由数1，2，3，4组成的集 合可表示为{1, 2, 3, 4}。
注意事项
元素间用逗号隔开，且元 素不重复。
描述法表示集合
定义
用确定的条件表示某些对 象是否属于这个集合的方 法。
举例
由所有大于0小于5的整数 组成的集合可表示为{x | 0 < x < 5, x ∈ ℤ}。
注意事项
描述法表示集合时，首先 要弄清楚集合中元素所具 有的特征，再用确定的条 件表示出来。
算法设计
许多算法都涉及到对集合的操作，如排序、查找、遍历等。通过对集合的合理运用，可以 设计出高效、稳定的算法。
数据库系统
数据库是计算机科学中另一个广泛应用集合的领域。数据库中的表可以看作是一个个的集 合，通过对这些集合进行增删改查等操作，可以实现数据的存储和管理。
集合在其他领域的应用
物理学
在物理学中，集合用于描述各种物理现象和规律。例如， 量子力学中的态空间就是一个集合，描述了所有可能的状 态。
或B包含A，记作A⊆B或B⊇A。
自反性
任何集合都包含于自身，即A⊆A。
传递性
如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。
反对称性
如果A⊆B且B⊆A，则A=B。
集合的相等关系
定义
对于两个集合A和B，如果A包含于B且B包含 于A，则称A与B相等，记作A=B。
集合的介绍与表示方法
集合的介绍与表示方法集合在数学中是一种基本的概念，广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、物理学等。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及几种常见的表示方法。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含了元素1、2和3的集合。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用x∈A表示。
集合的特点是无序性，即集合中的元素没有先后之分；独一性，即集合中的元素不会重复出现。
二、集合的性质1. 子集关系：如果集合B的所有元素都属于集合A，则称B是A的子集，用B⊆A表示。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 3}，则B是A的子集。
2. 并集和交集：并集即两个集合合并在一起，交集即两个集合共有的元素。
如果A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}表示A和B的并集，A∩B={3}表示A和B的交集。
3. 补集：对于给定的一个集合A和所在的全集U，集合A对于U的补集即U中不属于A的元素构成的集合。
用A'表示，例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2和3的集合。
2. 描述法：通过给出集合中元素的属性或特征来表示集合。
例如，A={x | x是偶数，x>0}表示由所有大于0的偶数构成的集合。
3. 结论法：通过得出一些结论，将满足条件的元素组成集合。
例如，设集合A={x | x^2=1}，则A={-1, 1}表示满足平方等于1的元素构成的集合。
4. 包含法：通过规定元素属于某个集合，定义包含关系。
例如，全集为U，集合A={x | x∈U, x是奇数}表示U中的奇数构成的集合。
集合的含义及其表示
1．1.1 集合的含义及其表示1．与集合有关的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，常用大写字母A，B，C，D，…表示．1.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；（4）方程210x+=的解；（5）某校2007级新生；（6）血压很高的人；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点（9）全班成绩好的学生。
集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b，c，d，…表示．集合元素的特征：(1)确定性．集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必具其一．这是判断一组对象是否形成集合的标准．例如：比5大的整数可以构成一个集合，6就是该集合的元素，而3就不是该集合的元素，非常明确，不存在模棱两可的元素．(2)互异性．给定集合中的元素是互不相同的．例如集合{1,1,2}，这种表示是错误的，应写成{1,2}，(3)无序性．集合与其中元素的排列顺序无关．例如集合{1,2,3}，{3,2,1}，{3,1,2}都是同一集合．【做一做1】下列各组中的对象能构成集合的是__________．①2010年广州亚运会的火炬手；②较为聪明的同学；③无理数中不大于4的数；④数学中特别难的问题；⑤直角坐标系中第一象限的点．2．一些常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合，称为非负整数集(或自然数集)，记作N；所有正整数组成的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合，称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合，称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合，称为实数集，记作R．在中学数学中，常见的集合除了数集之外，还有点集，即在平面直角坐标系中，由满足一定条件的点组成的集合，如我们在初中数学中学习的一次函数y＝2x＋5，它所表示的图象就是一个点集，即{(x，y)|y＝2x＋5，x，y∈R}．另外，还有图形集，如所有的三角形组成一个集合．【做一做2】下列关系中错误的是__________．①0∈N *；②－32∈Q ；③πQ ；④0N ；⑤3∈R ；⑥－3∈Z ；⑦0∈Z ；⑧0．9∈R ． 3．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，那么就记作a ∈A ，读作“a 属于A ”，例如：3∈N ；(2)如果a 不是集合A 的元素，那么就记作a A 或a A ，读作“a 不属于A ”，例如：0N *．【做一做3】已知集合A ＝{x |x ＋1＝0}，则1________A ．(填“∈”或“”)做一做1、A 表示“1~20以内的所有素数”组成的集合是 则有3 A ，4 A ，7 A ，9 A ，13 A ，15 A 填（∈或∉）2、 A={2，4，8，16}，则4 A ，8 A ，32 A. 填（∈或∉）3．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ⑷2 Q ；（5）-14 R(6)设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A（7）若A={x|x 2=x}则-1 A 。
集合的含义及表示
集合的含义及表示一． 知识卡片1. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.2. 集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.3. 集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a A .4. 常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .5. 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a }不同.6. 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x 代表元素，P 是确定条件.7. 反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.∉{|}x A P ∈2{(,)|1}x y y x =-2{|1}y y x =-{|1}x x >{|3,}x x k k Z =∈二． 高考预测本部分内容为高考中频考点，多见于选择题、填空题。
集合的概念和表示
x,x, | x |, x 2 ,3 x 3 所组成的集合，最多 5.由实数
含有 2 个元素； 6.求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件； 7.表示所有正偶数组成的集合； {x|x=2n,n∈N*}，是无限集； 8.用描述法表示不超过30的非负偶数的集合是 9.用列举法表示
{x | x 2k,0 k 15, k Z}
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．
Venn图表示： A B
A
A∪B
B
A
A∪B
B
A∪B
并集例题
例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}， 求AUB． 解：A B {4,5,6,8} {3,5,7,8} {3,4,5,6,7,8}
我们把不含任何元素的集合叫做 空集,符号记为 例如:方程x2+1=0没有实数根, 所以方程x2+1=0的实数根组成 的集合为
5.空集
规定：空集是任何集合的子集. 空集也是任何非空集合的真子集.
6.子集的有关性质
（1）任何一个集合都是它本身的子集，即AA （2）对于集合Ａ、Ｂ、Ｃ， 如果ＡＢ，ＢＣ，则ＡＣ
答：方程组的解集为 x y 4 {(x,y,z)│ y z 5 } z x 3 ={(x,y,z)│x=1,y=3,z=2} ={(1,3,2)}
的解集。
3. 图示法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示 一个集合． 例如，图1-1表示任意一个集合A； 图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
A
图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
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1.1集合的含义及其表示1.1.1课题：集合的含义及常用数集【学习目标】
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系;
2.理解集合中元素的三个性质。
【教学过程】
1.学生自读学案，质疑探究;
2.教师答疑，根据本课重难点设问:
①集合的定义、记法、常用数集及其符号表示;
②构成集合的元素必须具备的特点：确定性，互异性，无序性;
③元素与集合的关系：a€ A, a艺A;
3.引导学生读懂教材。
1.1.2课题：集合的表示方法
【教学过程】
1.学生自读学案，质疑探究;
2.教师答疑，根据本课重难点设问:
列举法、描述法、图示法及集合相等的概念;
3.引导学生读懂教材，讲解例题。
1.1.3课题：集合的分类
【学习目标】
掌握空集、有限集和无限集的概念；
教学过程】
1.学生自读学案，质疑探究；
2.教师答疑，根据本课重难点设问：
空集、有限集和无限集的概念及空集的表示；
3.引导学生读懂教材，讲解例题。
对不同层次学生的问题预设：对于一般基础的学生，完全掌握课后练习题；对于基础较好的学生，要求完全掌握学案上面所有的内容。
教学反思：本章的主要内容是集合的概念、表示方法。
教师需要：
1．重视对学生数学学习过程的评价：关注学生在数学语言的学习过
程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征。
2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能：关注学生在学习中，
能否正确理解以及恰当运用集合语言。
能正确掌握有关符号；使用集合语言表述数学问题；针对不同的具体问题时，是否恰当地选择集合语言进行描述。
1.2子集全集补集
教学目标:
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集
(2)能使用维恩图表达集合间的关系
教学重、难点: 重点：子集、真子集的概念和性质难点：元素与子集、属于与包含间的区别
教学过程:
自主探究阶段:
自学P8-9,理解:
1. 子集、真子集、补集的概念及符号表示;
2. 空集是任何集合的子集;
3. 会写集合的真子集;
4. 运用韦恩图及数轴表示集合;
二、小组讨论，解决学生困惑；询问教师小组无法解决的问题;
三、教师发问，由学生自主回答；重点解决分析:
1. A匸A，♦匸A ;
2.子集与真子集的区别;
四、巩固运用，学生自主解决学案上的题目。
验收落实阶段:
1.学生完成学案及巩固作业;
2.学生就学案上不懂的问题，询问老师，老师解疑;
3.就学生普遍不懂的问题，教师在黑板上着重强调，重点剖析;
4.讲解整张学案，验收落实学生自主学习的内容。
1.1.2课题：集合的表示方法
【自主学习】阅读教材“列举法和描述法,,的实数解｝)”( P6)完成下列问题:
问题一：对于以下的集合，想一想集合的元素是什么呢?
(1)从1到5的集合;
(2)小于3的整数;
(3)集合A二｛1,2,3｝，集合B二｛x|0vxv4,x € N｝。
知识提炼
1.列举法:
2.描述法:
3.图示法:
4.集合相等的概念:
【典例分析】
例1.用列举法表示下面的集合:
由1~20以内的所有质数组成的集合;
“welcome”中字母构成的集合;
从51到100所有整数的集合能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合。
例2.用描述法表示下面的集合:
(1)由适合X2-X-2>0的所有解组成的集合;
(2)大于100的实数;
(3)偶数的集合。
【课堂检测】
1•用列举法表示下列集合:
(1) {X I X为15的正约数};
(2) {x|x为不大于10的正偶数}。
2.用描述法表示下列集合:
(1)奇数的集合;
(2)不等式x2+1<0的解集。
1.1.3课题：集合的分类
【学习目标】
掌握空集、有限集和无限集的概念。
【自主学习】
阅读教材P6例1完成下列问题
问题一：观察下列集合，说说集合元素的个数。
想一想它们有什么不同。
｛X I x为不大于5的自然数｝;
偶数的集合;
｛X为小于0的自然数｝。
知识提炼
有限集:
无限集:
记作:
空集:
合作探究:
｛0｝是不是空集?
【自主应用】
1.用列举法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集？
(1) ｛6与14的公倍数｝；
⑵｛(x,y) I x+y=5,x € N,y € N｝。
2.用描述法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集？ (1)｛3,5,7,9｝; (2)｛偶数｝；
⑶｛(1,1),(2,4),(3,9),(4,16), ，｝。
小结】
1. 集合的表示方法；
2. 集合相等的概念；
3. 集合的分类。