第9章代数系统定理和例题讲解离散数学
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∪对∩可分配 ∩对∪可分配
∩对可分配
吸收律 无 无 有 无
定义9.8 设为S上的二元运算，
如果存在元素el（或er）S，使得对任意x∈S都有 elx = x (或xer = x)
则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。 若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上
关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。
运算可以没有左单位元和右单位元。
说明
运算可以只有左单位元。 运算可以只有右单位元。
运算可以既有左单位元，又有右单位元。
定义9.5 设为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有xx=x， 则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x， 则称x为运算的幂等元。
举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等 元，0和1是乘法的幂等元。
集合
Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
运算
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
例10.3 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集
合R上的一元运算。 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*
上的一元运算。
（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。
a12 L a22 L
an2 L
a1n a2n
ann
aijR, i,j1,2,...,n
则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上的二元运算。
（7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运 算。
定义9.2 设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为 一元运算。
a2 a2a1 a2a2 … a2an
……………
ai ai a1 a1 a2 a2 ……
an ana1 ana2 … anan
an an
例9.4 设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表 ，其中全集 为S。
解答
的运算表
~的运算表
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS， 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。
（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn(R)上的一元运算。
• 可以用、、·、、、等符号表示二元或一元运算，称为 算符。
• 设f : S×S→S是S上的二元运算，对任意的x, y∈S，如果x与y的运算 结果为z，即f(<x,y>)＝z，可以利用算符简记为
并∪ 交∩ 相对补 对称差
函数复合
交换律
有 有
有 无 有 有 无 有
无
结合律
有 有
有 有 有 有 无 有
有
幂等律
无 无
无 无 有 有 无 无
无
定义9.6 设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，
有
x(yz) ＝ (xy) (xz) (yz)x ＝ (yx) (zx)
（左分配律） （右分配律）
x(xy)＝x x(xy)＝x
则称运算和满足吸收律。
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集 合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 。
集合
Z,Q,R Mn(R)
P(B)
运算 普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法
并∪与交∩ 交∩与对称差
分配律
对+可分配 +对不分配 对+可分配 +对不分配
ai ~ ai {1,2}
{1} {1} {1,2} {2}
{1} {2}
{2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
{2} {1} {1,2}
例9.5 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下： x y＝(xy) mod 5，
的运算表。
解答
1
2
3
f:N×N→N，f(<x,y>)＝x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。
说明 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果 是唯一的。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是 封闭的。
（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。
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定义9.3 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有 xy=yx，则称运算在S上满足交换律。
定义9.4 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。
说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。
xy = z。 • 对一元运算，x的运算结果记作x。
例题
设R为实数集合，如下定义R上的二元运算 ：
x,y∈R，x y = x。
那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。
• 函数的解析公式 • 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
二元运算的运算表
一元运算的运算表
a1
a2
…
an
a1 a1a1 a1a2 … a1an
则称运算对运算满足分配律。
说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。
x(y1 y2 … yn ) ＝ (xy1)(x y2) … (x yn) (y1 y2 … yn )x ＝ (y1x) (y2x) … (ynx) 定义9.7 设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的 x,y∈S，都有
（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。
（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。
（4）设S＝{a1,a2,…,an}，aiaj =ai为S上二元运算。
（5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn(R)aaaL12n111
离散数学
第9章 代数系统定理和例题讲解
本章的主要内容
–一元和二元运算定义及其实例 –二元运算的性质 –代数系统定义及其实例 –子代数
与后面各章的关系
–是后面典型代数系统的基础
定义9.1 设S为集合，函数 f：S×S→S 称为S上的二元运算，简 称为二元运算。
举例 f:N×N→N，f(<x,y>)＝x +y 是自然数集合N上的二元运算
∩对可分配
吸收律 无 无 有 无
定义9.8 设为S上的二元运算，
如果存在元素el（或er）S，使得对任意x∈S都有 elx = x (或xer = x)
则称el (或er)是S中关于运算的一个左单位元(或右单位元)。 若e∈S关于运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上
关于运算的单位元。单位元也叫做幺元。
运算可以没有左单位元和右单位元。
说明
运算可以只有左单位元。 运算可以只有右单位元。
运算可以既有左单位元，又有右单位元。
定义9.5 设为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有xx=x， 则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx=x， 则称x为运算的幂等元。
举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等 元，0和1是乘法的幂等元。
集合
Z,Q,R Mn(R) P(B)
AA
运算
普通加法+ 普通乘法
矩阵加法+ 矩阵乘法
例10.3 （1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集
合R上的一元运算。 （2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*
上的一元运算。
（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。
a12 L a22 L
an2 L
a1n a2n
ann
aijR, i,j1,2,...,n
则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。 （6）S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上的二元运算。
（7）SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运 算。
定义9.2 设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为 一元运算。
a2 a2a1 a2a2 … a2an
……………
ai ai a1 a1 a2 a2 ……
an ana1 ana2 … anan
an an
例9.4 设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表 ，其中全集 为S。
解答
的运算表
~的运算表
{1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS， 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。
（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn(R)上的一元运算。
• 可以用、、·、、、等符号表示二元或一元运算，称为 算符。
• 设f : S×S→S是S上的二元运算，对任意的x, y∈S，如果x与y的运算 结果为z，即f(<x,y>)＝z，可以利用算符简记为
并∪ 交∩ 相对补 对称差
函数复合
交换律
有 有
有 无 有 有 无 有
无
结合律
有 有
有 有 有 有 无 有
有
幂等律
无 无
无 无 有 有 无 无
无
定义9.6 设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，
有
x(yz) ＝ (xy) (xz) (yz)x ＝ (yx) (zx)
（左分配律） （右分配律）
x(xy)＝x x(xy)＝x
则称运算和满足吸收律。
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集 合，n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2 。
集合
Z,Q,R Mn(R)
P(B)
运算 普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法
并∪与交∩ 交∩与对称差
分配律
对+可分配 +对不分配 对+可分配 +对不分配
ai ~ ai {1,2}
{1} {1} {1,2} {2}
{1} {2}
{2} {2} {1,2} {1} {1,2} {1,2} {2} {1}
{2} {1} {1,2}
例9.5 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下： x y＝(xy) mod 5，
的运算表。
解答
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f:N×N→N，f(<x,y>)＝x - y 不是自然数集合N上的二元运算 称N对减法不封闭。
说明 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： S中任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果 是唯一的。 S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是 封闭的。
（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。
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定义9.4 设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有 (xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。
说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。
xy = z。 • 对一元运算，x的运算结果记作x。
例题
设R为实数集合，如下定义R上的二元运算 ：
x,y∈R，x y = x。
那么 3 4 = 3，0.5 (3) = 0.5。
• 函数的解析公式 • 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
二元运算的运算表
一元运算的运算表
a1
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a1 a1a1 a1a2 … a1an
则称运算对运算满足分配律。
说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。
x(y1 y2 … yn ) ＝ (xy1)(x y2) … (x yn) (y1 y2 … yn )x ＝ (y1x) (y2x) … (ynx) 定义9.7 设和为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的 x,y∈S，都有
（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。
（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。
（4）设S＝{a1,a2,…,an}，aiaj =ai为S上二元运算。
（5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn(R)aaaL12n111
离散数学
第9章 代数系统定理和例题讲解
本章的主要内容
–一元和二元运算定义及其实例 –二元运算的性质 –代数系统定义及其实例 –子代数
与后面各章的关系
–是后面典型代数系统的基础
定义9.1 设S为集合，函数 f：S×S→S 称为S上的二元运算，简 称为二元运算。
举例 f:N×N→N，f(<x,y>)＝x +y 是自然数集合N上的二元运算