数学建模--路灯问题

校园路灯问题优化
一、问题描述
1.问题背景
路灯已成为夜晚比不可少的工具，不管是在街道，还是校园都随处可见。

随着路灯的增加，如何合理解决路灯问题便成为一个重要问题。

在能源日益减少的今天，我们应该考虑怎样尽可能的节约能源，并且作为校园整体设计的一部分路灯的安排也直接影响到学校环境,对于夜晚校园环境的烘托具有非常重要的意义。

2. 主要问题
经过对校园内几条道路的路灯设计的观察，对校园整体室外照明有了一定的了解。

主要从三个方面优化校园路灯问题。

主要侧重于其布局优化。

（1）校园路灯分布规划：在照明强度的要求已知时，寻求一种路灯安置方案，（选定合适的路灯高度、路灯之间的间距），使路灯的安置达到要求，同时路灯的数量尽可能减少，路灯的能耗达到最低。

（2）校园路灯开放时间优化。

（3）校园路灯维护优化。

3. 问题研究的意义
通过对路灯问题的研究，找到一种安置方案，优化现有路灯布局，使路灯能耗降低，以节省经济投入。

二、问题分析
要使能耗最小，在路灯功率一定的情况下，只能减少路灯的使用量。

因此，在满足最低照明功率的前提下，通过改变路灯的高度来使路灯之间的距离达到最优是本问题的一个解决方案。

三、模型假设
(1)所有路灯都紧靠在路的边界线上，且照明效果都相同。

光源是点光源。

在单个光源照射下，距光源L的点的光照强度为C=f(L)；在多光源照射下，某一点的光照强度为各光源对该点光照强度的代数和。

道路处处等宽，路面上每一点的光照强度至少要达到C0。

(2)假设路灯为完全规范的，即处处等宽，一排路灯的宽度为，两排路灯的宽度为。

四、变量说明
1. 照度定律：点光源O的发光强度是，则距点光源O为的点的照度为
2. 参量变量说明：
（1）设路灯的高度：h，路的宽度：
（2）经过实际考察，路灯的功率：=2200W
（3）路灯的间距：
O
x
y
( x , d ) （4）查阅资料可知，使物体可见的最低照明强度：=20W/m 2
五、模型建立与求解
㈠单排路灯平直道路的路灯优化问题
首先考虑直路上只安装一排路灯时的最优化方案，目的是通过调整路灯的高度和间距，使路灯的间距尽可能大，以减少路灯数量，节约成本。

忽略相邻的四盏路灯之外路灯对该点的影响。

建立如图坐标系，不难发现路面上光强最弱的点分布在路的另一边界。

假设四盏路灯下最暗点坐标为(∈[0,)，设该点照度为E ，则有
E=ph/[(h^2+d^2+(x-3l/2)^2)^(3/2)]+ph/[(h^2+d^2+(x-l/2)^2)
^(3/2)]+ph/[(h^2+d^2+(x+l/2)^2)^(3/2)]+ph/[(h^2+d^2+(x+3l/2)^2)^(3/2)]
E’=-2phx(1/[(h^2+d^2+(x-3l/2)^2)^(5/2)]+1/[(h^2+d^2+(x-l/2)^2)^(5/2)]+1/[(h^2+d^2+(x+l/2)^2)^(5/2)]+1/[(h^2+d^2+(x+3l/2)^2)^(5/2)])
易求得当 =0时E 有最小值
令=，
用C 程序求解
程序源代码：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
double s(double l, double h);
void main()
{
double c, h, t[51], delta, left, right, mid;
int i;
c = 20;
while (1)
{
scanf("%lf", &h);
if (h == 0)
break;
t[0] = 30;
for (i = 1; i <= 50; i++)
{
t[i] = s(i, h);
if ((t[i] - c) * (t[i-1] - c) <= 0)
break;
}
left = i-1;
right = i;
do
{
mid = left * 0.618 + right * 0.382;
if (s(mid, h) <= c)
left = mid;
else
right = mid;
delta = s(left, h) - c;
}
while (delta <= -1);
printf("l=%lf,%lf\n", left, delta);
}
}
double s(double l, double h)
{
double s, p, d, k1, k2;
p = 2200;
d = 7;
k1 = h * h + d * d + l * l * 2.25;
k1 = sqrt(k1 * k1 * k1);
k2 = h * h + d * d + l * l * 0.25;
k2 = sqrt(k2 * k2 * k2);
s = 2 * p * h * (1 / k1 + 1 / k2);
return s;
}
解得当h=9.6m时，的值最大，
㈡两排路灯直路的优化问题
两排路灯安置有对称和非对称两种形式，考虑美观，本方案针对对称安置优化问题进行讨论。

同（1）中研究方法，试图寻找路面光照度最小点，使其不小于c0即可。

如图，易得，八盏路灯构成的平行四边形中心为光强最弱点。

则在满足照度最低要求下h与的关系式
同样利用C程序求解，解得当h=7.4时，的值最大，
㈢十字路口的路灯安置
根据两排路灯直路的讨论，满足照度要求的路灯最大间距为25米。

那么两条7米宽的路交叉，可看作在一条道路相临两盏灯之间插入一条道路，即不改变当前路灯分布是完全可行的。

若考虑美观，可将路灯对称地排在十字路口的四个角上。

㈣丁字路口的路灯安置
丁字路与十字路类似，亦可看作在一条道路的一侧相临两盏灯之间插入一条道路，不改变当前路灯分布也是完全可行的。

此时若考虑路口安全问题，可在支路所对方向安置一盏灯。

六、结论及扩展
到此为止，本小组关于校园路灯分布规划问题的研究暂时结束。

本课题中主要讨论了单排路灯、两排路灯、十字路口、丁字路口的路灯安置优化问题，按照国家标准，路灯间距的最大值应为路灯的高度的3.5倍，这与我们的研究结果是相符的。

但此次建模也存在着一定的缺陷，例如对于更加复杂的路况，小组曾集中讨论，但并未得到理想的结果；在考虑两排路灯安置的优化问题时，从美观出发，只考虑了道路两侧路灯对称分布的情况。

参考文献:《数学建模》谢金星
《数学建模简明教程》戴朝寿孙世良
二、开放时间优化
设置路灯的作用是为了校园的美观，更是为了方便广大学生的出行，根据天气的具体情况，灵活机动地开启或者关闭路灯，可以使路灯切实发挥自身的作用。

路灯开关的时间应该根据天气的实际情况来决定，灵活机动一些，不能墨守成规。

如果天气状况不好，到了规定的关闭时间，天空阴暗，能见度很低，就应该适当地延长；如果天气很好，即使没有到了关闭时间也应该立即关闭，可以尽可能地节省能源，降低路灯使用的成本。

天气状况很好，能见度很高，路灯还亮着，浪费能源。

三、维修优化
在校园，常可见坏了的路灯，而无人管理。

针对目前校园路灯维护方式的不合理性，为了广大师生出行的方便，以及尽可能的节约能源和节省经费，制定出合理的维修方式是很有必要的。