放缩法证明数列不等式问题的方法

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、 先放缩再求和

例1 （05年湖北理）已知不等式],[log 2

1131212n n >+++Λ其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )4,3,2(Λ=n ，证明：]

[log 222n b b a n +<，Λ5,4,3=n 分析：由条件11--+≤

n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥- n

a a n n 1111≥-∴- )2(≥n

1111

21-≥---n a a n n (2)

11112≥-a a 以上各式两边分别相加得：

2

1111111++-+≥-Λn n a a n 2

111111++-++≥∴Λn n b a n ][log 2

112n b +> )3(≥n =b

n b 2][log 22+ ∴ ][log 222n b b a n +<

)3(≥n 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

例2 （04全国三）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n

（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；

（2）求数列}{n a 的通项公式；

（3）证明：对任意的整数4>m ，有8

711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；

⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1）

化简得：1122(1)n n n a a --=+-

2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)

1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以3

21+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3

n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3

n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1)

m m m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1

212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m

m a a a a a +++++=-Λ )2

12121(2321243-++++<

m Λ )2

11(4123214--⨯+=m 8321+<87=

（2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，

8711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a ΛΛ 所以对任意整数4>m ，有m a a a 11154+++Λ87<。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。

2、 先求和再放缩

例3（武汉市模拟）定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,22

11

证明：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立。

（2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n Λ成立。 （3）111121

12006

212006<+++<-a a a Λ。 分析：（1）用数学归纳法易证。

（2）由12

1+-=+n n n a a a 得： )1(11-=-+n n n a a a

)1(111-=-∴--n n n a a a

… …

)1(1112-=-a a a

以上各式两边分别相乘得：

)1(111211-=--+a a a a a a n n n Λ，又21=a 11211+=∴-+a a a a a n n n Λ

（3）要证不等式111121

12006

212006<+++<-a a a Λ， 可先设法求和：2006

21111a a a +++Λ，再进行适当的放缩。 )1(11-=-+n n n a a a Θ

n

n n a a a 11111

1--=-∴+

1

11111---=∴+n n n a a a 2006

21111a a a +++∴Λ )1111()1111()1111(

200720063221---++---+---=a a a a a a Λ 1

11120071---=a a 2006

2111a a a Λ-=1< 又2006200612006212=>a a a a Λ

20062006212

1111->-∴a a a Λ ∴原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。