每日一练：2020年中考数学热门考点_探索图形规律练习题及答案(拓展版3)
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考点： 探索图形规律; 4. (常州2019中考真卷) 【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方 法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想. （1） 【理解】 如图，两个边长分别为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方 法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
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每日一练：2020年中考数学热门考点_探索图形规律练习题及答案（拓展版3）
2020年 中 考 数 学 热 门 考 点 _数 与 式 _代 数 式 _探 索 图 形 规 律 练 习 题
综合题 1.
(石家2019中考) 【探究】 （1） 观察下列算式，并完成填空： 1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42
（2） 问题拓展：请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题； 第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈.
（3） 小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵：如果不会，请说明理由. 考点： 探索图形规律; 3. (新华2019中考) 【探究】 （1） 观察下列算式，并完成填空： 1=12 1+3=4=22： 1+3+5=9=32： 1+3+5+7=16=42： 1+3+5+…+（2n-1）=．（n是正整数） （2） 如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围 是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三
1+3+5+．……+(2n-1）=（n为正整数）
（2） 如图是某市一广场地面图案的一部分，图案的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的地砖铺 成，环绕正兴动形的那些正三角形和正方形为第一层，第一层包括6块正方形和6块正三角形地砖：环绕第一层的那些正三 角形和正方形为第二层，第二层包括6块正方形和18块正三角形地砖，以此递推。
；
②对于一般的情形，在 边形内画 个点，通过归纳猜想，可得
算两次的方法说明你的猜想成立.
（用含 、 的代数式表示）.请对同一个量用
考点： 探索图形规律;定义新运算;勾股定理的证明;
5. (2019中考模拟) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们 研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16 ，…，这样的数位正方形数（四边形数）． （1） 请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为； （2） 试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数； （3） 记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4． ①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；
②通过进一步的研究发现N（n，5）＝ n2﹣ n，N（n，6）＝2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式
，并由此计算N（10，24）的值．
考点： 探索图形规律;完全平方公式及运用;
2020年 中 考 数 学 热 门 考 点 _数 与 式 _代 数 式 _探 索 图 形 规 律 练 习 题 答 案
角形地板砖；以此递推。
①第3层中分别含有 ▲ 块正方形和 ▲ 块正三角形地板砖： ②第n层中含有 ▲ 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）。
【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板 砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层?请说明理由．
综合题
1.答案：
2.答案： 3.答案： 4.答案：
5.答案： 2020年 中 考 数 学 热 门 考 点 _数 与 式 _代 数 式 _探 索 图 形 规 律 练 习 题 的 ""点 各 小 题 查 看
①第3层包括块正方形利和块正三角形地砖；
②第n层包括块正三角形地砖（用含n的代数式表示）。
（3） 【应用】该市打算在一个新建广场中央采用如图所示的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和2700
块正三角形，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由。 考点： 探索图形规律;
2. (河北2019中考) “分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法。例如：图1有6个点， 图2有12个点，图3有18个点，.…，按此规律，求图10、图n有多少个点？ （1） 解决问题：我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图a，b，c)，这样图1中黑点个数是6 ×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是个、个.
（2） 如图2， 行 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： ；
（3） 【运用】
边形有 个顶点，在它的内部再画 个点，以（
）个点为顶点，把 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪
得 个这样的三Hale Waihona Puke Baidu形.当 ，
时，如图，最多可以剪得 个这样的三角形，所以
.
①当
，
时，如图， ；当
， 时，
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2020年 中 考 数 学 热 门 考 点 _数 与 式 _代 数 式 _探 索 图 形 规 律 练 习 题
综合题 1.
(石家2019中考) 【探究】 （1） 观察下列算式，并完成填空： 1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42
（2） 问题拓展：请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题； 第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈.
（3） 小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵：如果不会，请说明理由. 考点： 探索图形规律; 3. (新华2019中考) 【探究】 （1） 观察下列算式，并完成填空： 1=12 1+3=4=22： 1+3+5=9=32： 1+3+5+7=16=42： 1+3+5+…+（2n-1）=．（n是正整数） （2） 如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围 是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三
1+3+5+．……+(2n-1）=（n为正整数）
（2） 如图是某市一广场地面图案的一部分，图案的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的地砖铺 成，环绕正兴动形的那些正三角形和正方形为第一层，第一层包括6块正方形和6块正三角形地砖：环绕第一层的那些正三 角形和正方形为第二层，第二层包括6块正方形和18块正三角形地砖，以此递推。
；
②对于一般的情形，在 边形内画 个点，通过归纳猜想，可得
算两次的方法说明你的猜想成立.
（用含 、 的代数式表示）.请对同一个量用
考点： 探索图形规律;定义新运算;勾股定理的证明;
5. (2019中考模拟) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们 研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16 ，…，这样的数位正方形数（四边形数）． （1） 请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为； （2） 试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数； （3） 记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4． ①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；
②通过进一步的研究发现N（n，5）＝ n2﹣ n，N（n，6）＝2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式
，并由此计算N（10，24）的值．
考点： 探索图形规律;完全平方公式及运用;
2020年 中 考 数 学 热 门 考 点 _数 与 式 _代 数 式 _探 索 图 形 规 律 练 习 题 答 案
角形地板砖；以此递推。
①第3层中分别含有 ▲ 块正方形和 ▲ 块正三角形地板砖： ②第n层中含有 ▲ 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）。
【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板 砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层?请说明理由．
综合题
1.答案：
2.答案： 3.答案： 4.答案：
5.答案： 2020年 中 考 数 学 热 门 考 点 _数 与 式 _代 数 式 _探 索 图 形 规 律 练 习 题 的 ""点 各 小 题 查 看
①第3层包括块正方形利和块正三角形地砖；
②第n层包括块正三角形地砖（用含n的代数式表示）。
（3） 【应用】该市打算在一个新建广场中央采用如图所示的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和2700
块正三角形，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由。 考点： 探索图形规律;
2. (河北2019中考) “分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法。例如：图1有6个点， 图2有12个点，图3有18个点，.…，按此规律，求图10、图n有多少个点？ （1） 解决问题：我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图a，b，c)，这样图1中黑点个数是6 ×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是个、个.
（2） 如图2， 行 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： ；
（3） 【运用】
边形有 个顶点，在它的内部再画 个点，以（
）个点为顶点，把 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪
得 个这样的三Hale Waihona Puke Baidu形.当 ，
时，如图，最多可以剪得 个这样的三角形，所以
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①当
，
时，如图， ；当
， 时，