组合数学总复习

第一章:

1一一对应的应用、排列、组合、圆周排列

排列：n个不同的球取r个放进r个不同的盒子，P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!

组合：n个不同的球去r个放进r个相同的盒子，C(n,r)=n!/[r!(n-r)!]

圆周排列：将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。Q(n,r)=P(n,r)/r，

例1.19：5颗不同的红色珠子，3颗不同的蓝色珠子装在圆板的四周,试问有多少种方案？若蓝色珠子不相邻又有多少种排列方案？蓝色珠子在一起又如何？

例1.20：5对夫妇出席一宴会，围一圆桌而坐，试问有几种不同的方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种方案?

2.排列的生成算法、组合的生成算法。

排列的生成算法:对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的排列无重复无遗漏地枚举出来。

（1）.序数法的概要：

1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{a n-1, a n-2,…, a1}

m=a n-1(n-1)!+a n-2(n-2)!+…a2 *2!+a1*1!

2、由{a n-1, a n-2,…, a1}确定排列序列p1p2…p n

a n-1,确定n的位置，

a n-2确定n-1的位置，

………………………

a1确定2的位置，

剩下的是1的位置。

（2）字典序法的概要

1、求满足关系式p j

例如：839647521中i=5

注:该位置值为4

2、求出i后，再求满足关系式p i

例如：839647521中h=7

注:该位置值为5

3、p i与p h互换。得新排列P1P2…P i-1P i P i+1…P n

例如：839647521换成839657421

4、将新排列P1P2…P i-1P i P i+1…P n中的P i+1…P n顺序逆转，得到P1P2…P i P n… P i+1

组合的生成算法：

例1: 将m=4000展开。

3、允许重复的组合、不相邻的组合。

允许重复的组合：r个无标志的球放进n个有区别的盒子的情况:一个盒子中可放一个，也可以放多个。

定理1.2 在n个不同的元素中取r个进行组合，若允许重复，则组合数为C(n+r-1,r)。

即x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数，求方程的非负整数的解的个数C(n+b-1,b)

不相邻的组合：定理1.4 从{1,2,…,n}中取r个作不相邻的组合，其组合数为C(n-r+1,r)。

4、路径数问题。

1、路径数问题：如图从(0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单位，最终走到(m,n)点，问有多少条路径；

1.22(P64) 求图1.22中从O到P的路径数

(a)必须经过A点；

(b)必须过道路AB

(c)必须过A和C

(d)道路AB封锁

第二章:

1、母函数在组合中的应用

例2-3：有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不同的组合方案，假设两个红球没有区别。

例2-5：求由20个水果组成一袋的可能组合，水果有苹果、香蕉、橘子和梨，其中在每个袋子中苹果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子数最多是4个，而梨的个数是0和1。

...

...1 1132++++++=-k x x x x x ...)(...)()(1 1132++++++=-k nx nx nx nx nx ...)1(...4321 )

1(1322+++++++=-k x k x x x x

在整数的分拆中的应用

正整数n 的拆分，相当于把n 个无区别的球放进n 个无区别的盒子，盒子中允许放一个以上的球，也允许空着。

求正整数n 拆分成1,2,…m 的和，并允许重复的拆分数。

=

展开式中x n 项的系数就是要求的拆分数。

求正整数n 拆分成1,2,…m 的和，不允许重复的拆分数。不加1即可。

例1 求4的拆分数

例2 求1角、2角、3角的邮票可贴出不同数值邮资的方案数的母函数。

例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量。

)1)...(1)(1(12m x x x ---...)

1...)(1...)(1()(63422+++++++++=x x x x x x x G

2、指数型母函数在排列中的应用。

例4 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n 位数个数，要求其中3出现的次数为偶数，其它数字出现的次数无限制。（用指数型母函数求解）

例4 求1,3,5,7,9这5个数字组成的n 位数个数，要求其中3出现的次数为偶数，其它数字出现的次数无限制。（用递推关系求解）

例5 用红绿蓝三种颜色去涂1⨯n 的棋盘，每格涂一种颜色，要求红蓝二色出现的次数均为偶数，求涂色方案数。

...!

3!2!1)(G 332210e ++++=x a x a x a a x ...!3!2!113

2++++=x x x e x ...!3!2!1132+-+-=-x x x e x ...!4!21242+++=+-x x e e x x ...!

3!123++=--x x e e x x ...!3!2!113322++++=x k x k x k e kx

3、递推关系

1．线性常系数齐次递推关系：如果序列{a n }满足

a n +c 1a n-1+c 2a n-2+…+c k a n-k =0 n ≥k

母函数为：G(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…

特征多项式 C(X)=0的根r1和r2：

（1）r 1≠r 2，实根

（2）r 1≠r 2，复根

（3）r 1=r 2

例1：现有n 级台阶，一个人上台阶，他只能一次跨一个台阶，也可以一次跨两个台阶，问

到n 级台阶，共有多少种不同的走法：

例2：某人有n 元钱，一次可买1元的矿泉水，也可以买2元的（啤酒、方便面）的一种，

直到所有的钱花完为止(买东西的顺序不同，也算不同方案)，求n 元钱正好花完的买法方案数。

例3. 令n 等于由一些0，1和2组成的长为n 的字符串，但0和1从不相邻(00,01,10,11)，求这样的n 位符号串的数目。

2．非齐次递推关系：

定理2 对于如下非齐次递推关系。

若b(n) 是p 次多项式，如果r 是线性齐次递推关系，的m 重根，则递推关系的特解有以下形式：

若r 不是K(x)=0的根，则特解是m=0时的形式。

k

k k k c x c x c x x C ++++=--...)(2211n

n n r B r A a 21⨯+⨯=θρθρn K n K n n sin cos 21+=n n n r A r A a )()(2211+=n

n r kn h a ][ +=(2.11.3) )(...2211n b r a c a c a c a n k n k n n n =++++---)...(121p m p m m n n k n k n k r +++++