指数函数及其图像

x
是个常量， ③如果a＝1，则y＝1x＝1是个常量，就没有研究的必要了． 如果 ＝ ， ＝ 是个常量 就没有研究的必要了．
二.指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质
作函数图象的步骤是什么？ 列表，描点， 作函数图象的步骤是什么？ 列表，描点，连线
y . 作出函数 = 2 的图象
特别注意：当指数函数底数a>1时，图象上升，且底数越 特别注意：当指数函数底数 时 图象上升，
大时图象越靠近于坐标轴；当底数 大时图象越靠近于坐标轴；当底数0<a<1时，图象下降，底数越小 时 图象下降， ，图象越靠近于坐标轴． 图象越靠近于坐标轴．
五、解简单的指数不等式
例5、解不等式 、 x2 + x
( m < n)
( m > n)
利用指数函数单调性比大小的方法 ： 1.构造函数的方法: 1.构造函数的方法: 数的特征是同底数不同 构造函数的方法 指数(包括可转化为同底的) 指数(包括可转化为同底的) (1)构造函数并指明函数的单调区间及相应 (1)构造函数并指明函数的单调区间及相应 的单调性. 的单调性. (2)自变量的大小比较 自变量的大小比较. (2)自变量的大小比较. (3)函数值的大小比较. (3)函数值的大小比较. 函数值的大小比较 搭桥比较法: 用特殊的数1 2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.
> < >
∴ <
4
−0.4
①
2
x2 + x
<( )
1 x−2 4
0.1
0.3
0.1 3
−0.4
0.3
(3 x −1)(2 x +1)
≥1
( )
4
4 0.3 3
0.3
0.3
0.3
参考答案
3
① {x | −4 <
x < 1}
4
−0.3
∴
<
0.3
−0.4
{x | − 1 ≤ x ≤ 1} ② 2 3
小结： 小结： 1.指数函数的定义 指数函数的定义; 指数函数的定义 2.指数函数的图象； 指数函数的图象； 指数函数的图象 3.指数函数图象的性质 指数函数图象的性质. 指数函数图象的性质
y＝2 . ＝
类似这样的函数就是我们今天将要学习 的指数函数
一. 指数函数的定义 x 一般地，函数y＝ 一般地，函数 ＝a (a＞0且a≠1)叫做 ＞ 且 叫做 指数函数，其中x是自变量 是自变量， 指数函数，其中 是自变量，函数定义域 是R.
系数为1 系数为
x
注意： 注意： y＝1 · a ＝
自变量
图 象
性
y 1
y
1
x x O 定义域为 ;值域为 0,+∞); R (
O
恒过点 0, 1),即当 = 0时y =1 ( x
单调递增
质 a > 1时
x > 0时, y > 1 x ≤ 0时, 0 < y ≤ 1
单调递减
0 < a < 1时 x < 0时, y > 1 x ≥ 0时, 0 < y ≤ 1
四、指数函数的图像随底数大小的变化情况
例4、指数函数 、
y=a ,y=b ,y=c ,y=d
x x x
x
的图象如下图所示，则底数 的图象如下图所示，
a, b, c, d
y
与正整数 1
共五个数， . 共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 < b < a < 1 < d < c
y = bx y=a
x
1
y=c
例1.若y＝(a－2)·(a－1)x是指数函数，求a的值. 若 ＝ － － 是指数函数， 的
【解析】 由 y＝(a－2)·(a－1) 是指数函数，
a－2＝1 得a－1>0 a－1≠1
x
∴a＝3.
已知指数函数f(x)＝ax(a＞0, 且a≠1) 例2 已知指数函数 ＝ ＞ 的图象过点(3, π)，求f(0)，f(1)，f(－3) 的图象过点 ， ， ， － 的值. 的值
x
列表
x
y=2
x
L − 3 − 2 −1
0
1
1
2
2
4
3
L
L
L
1 8
1 4
1 2
8
指数函数的图象和性质： 二.指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质
作出函数 = 10x的图象 y .
列表
x L
y = 10
x
− 3 − 2 −1 0
1 1 1000 100
1 10
1
2
3
L
L
1 10 100 1000 L
指数函数
引例： 引例：
某种细胞分裂时， 个分裂成2个 某种细胞分裂时，由1个分裂成 个； 个分裂成 2个分裂成 个； 个分裂成4个 个分裂成 4个分裂成 个； 个分裂成8个 个分裂成 8个分裂成 个； 个分裂成16个 个分裂成 ……， ， 1个这样的细胞分裂 次后，得到的细胞个 个这样的细胞分裂x次后 个这样的细胞分裂 次后， x 数y与x的函数关系式是 与 的函数关系式是
x
y=d
x
1
0
x
指数函数图象的性质
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大 小的关系如图所示， 小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 轴右侧， 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小； 轴左侧， 轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小； 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 即无论在 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 轴的左侧还是右侧 (2)指数函数 ＝ax与y＝(1/a)x(a>0且a≠1)的图象关于 轴对称． 指数函数y＝ 的图象关于y轴对称 指数函数 ＝ 且 的图象关于 轴对称．
1 y . 作出函数 = 的图象 10 列表
x
x
1 y = 10
x
L − 3 − 2 −1 L1000 100
10
0
1
1 2
3
Βιβλιοθήκη Baidu
L L
1 1 1 10 100 1000
二.指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质 a >1 0 < a <1
− 2 3
5 6
0
＜ 5.060 5.06
0.19
2 3
＞ 0.190
4 5
(2) 比较大小： (−2.5) ，−2.5) . 比较大小： (
练习： 练习： (3) 已知下列不等式，试比较m、n的大小： 已知下列不等式，试比较 、 的大小： 的大小 2m 2n m n ( ) >( ) 1.1 > 1.1 3 3
常数a>0且a≠1 且 常数
练习：下列函数中，哪些是指数函数 练习：下列函数中，哪些是指数函数? 把它们放入集合A中 把它们放入集合 中． ⑴ y＝10x； ＝ ⑵ y＝10x＋1； ＝ ＋ ； ⑷ y＝2·10x； ＝ ⑶ y＝10x＋1； ＝ ⑸ y＝(－10) x； ＝－ ＞－10， ⑹ y＝(10＋a)x (a＞－ ，且a≠－9)； ＝ ＋ ＞－ － ； ⑺ y＝x10； ＝ ⑻ y＝xx ＝ (9)y＝ax ＝ 集合A： 集合 ：⑴ y＝10x； ＝ ＞－10， ⑹ y＝(10＋a)x(a＞－ ，且a≠－9) ＝ ＋ ＞－ －
x 的底数是1.7，它们可以看成函数 y = 1.7
当x=2.5和3时的函数值；
y
y = 1.7 x 因为1.7>1，所以函数
在R上是增函数，
1
y=1.7x
1.7 而2.5<3，所以，
2.5
< 1.7
3
0 2.5 3 x
② ③ ④ ⑤
0.8 0.3 1.7
( )
1 0.5 6
−0.1
， 0.8
−0.2
2
<2
− x +3
解：由指数函数的单调性可得： 由指数函数的单调性可得：
x + x < −x + 3
2
整理得： 整理得：x 解得： 解得：
2
+ 2x − 3 < 0
−3 < x < 1
原不等式的解集为： ∴ 原不等式的解集为：{x | −3 < x < 1}
练习： 一、判断大小
二、解下列不等式
4
0.3
1 (2) 指数函数 y = a 与y = 的图象 a 关于y轴对称 轴对称. 关于 轴对称
x x
三、利用单调性比较两个数的大小
比较下列各题中两个值的大小： 例3 、比较下列各题中两个值的大小： ①
1.7
2.5
， 1.7
3
构造函数 y=1.7x
解① ：利用指数函数单调性1.7 2.5 ， 3 1.7
二.指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质
1 y . 作出函数 = 的图象 2 列表
x
x
1 y = 2
x
L − 3 − 2 −1 L8
4
0
1 2
1 2
3
2 1
1 4 8
L 1L
二.指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质： 指数函数的图象和性质
思考2: 思考 底数a对指数函数 对指数函数y＝ 的图象有何影响? 底数 对指数函数 ＝ax的图象有何影响 (1) a＞1时，图象向右不断上升，并且 向右不断上升， ＞ 时 图象向右不断上升 无限靠近x轴的负半轴 轴的负半轴； 无限靠近 轴的负半轴； 0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且 ＜ ＜ 时 图象向右不断下降， 向右不断下降 无限靠近x轴的正半轴 轴的正半轴． 无限靠近 轴的正半轴．
思考1： 思考 ：
为什么规定底数a大于零且不等于 为什么规定底数 大于零且不等于1? 大于零且不等于
①如果a＝0，则 如果 ＝ ，
当x > 0时a = 0 当x ≤ 0时a 无意义
x x
②如果a<0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x， 如果a<0，则对于一些函数，比如y＝(－
1 1 当x = , x = ⋅ ⋅ ⋅ 时，a 在实数范围内无意义 2 4
2,3小题请看看 书上答案
.
0.9
( )
3.1
< <
.
1 0.5 2
−0.9
“1”起到 起到 了桥梁的 作用
3
−0.9
.
0.8
练习： 练习： (1) 用“＞”或“＜”填空： 填空：
1 ＜ 1 4 4
− 7 4
3 5
0
4 4 ＞ 3 3