好的股票期权计划的模型
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
二项式定价模型
二项式定价模型二项式定价模型是金融学中一种常用的期权定价模型，它通过考虑股票价格的上涨和下跌两种可能性，计算出期权的合理价格。
本文将详细介绍二项式定价模型的原理和应用。
一、二项式定价模型的原理二项式定价模型是基于离散时间和离散状态的模型，它假设在每一个时间段内，股票价格只有两种可能的变动情况：上涨或下跌。
模型的核心思想是将时间分割为若干个小段，每个小段内的价格变动服从二项分布。
具体来说，假设股票价格在每个时间段内有两种可能的变动：上涨一个固定的比例u或下跌一个固定的比例d。
那么在第n个时间段结束时，股票价格可能取到的值为：S_n = S_0 * u^(n) * d^(N-n)，其中S_0为初始股票价格，N为总的时间段数，n为在第n个时间段内上涨的次数。
二项式定价模型通过递归的方式计算出每个时间段内股票价格的可能取值，并根据期权的行权价和到期时间，计算出期权的合理价格。
二项式定价模型广泛应用于期权定价和风险管理领域。
它能够帮助投资者合理估计期权的价值，并进行风险管理。
1. 期权定价二项式定价模型可以用来计算欧式期权和美式期权的合理价格。
对于欧式期权，可以通过递归计算每一个时间段内的期权价格，并倒推得到初始时刻的期权价格。
对于美式期权，可以通过比较每一个时间段内的期权价格和立即行权的收益，选择最优的行权时机。
2. 风险管理二项式定价模型可以帮助投资者进行风险管理。
通过计算期权价格和股票价格的关系，可以确定套利机会和风险敞口。
投资者可以根据模型计算出的期权价格，进行期权的买卖策略，以降低风险和提高收益。
三、二项式定价模型的优缺点二项式定价模型具有以下优点：1. 简单易懂：二项式定价模型是一种离散模型，计算相对简单，易于理解和应用。
2. 灵活性高：二项式定价模型可以根据不同的股票价格波动情况和期权特性进行调整，适用范围广。
3. 精度较高：在一些情况下，二项式定价模型的计算结果可以与蒙特卡洛模拟等更复杂的模型相媲美。
第三章 股票与期权的二叉树模型1
由于T时刻的期权价格已知，所以在风险中性的世界里 T t t 时刻每个节点上的期权价格都可以用T时刻在 时刻内无风险 T 2t T t 利率的贴现求得。 时刻每个节点上的期权价格可以用 t 的价格在 时间内无风险利率的贴现求得。以此向后倒推，通 过各个节点，最后得到在0时刻的期权价格。
……………… E S k 1 = pu qd E S k pu qd
k 1
S0
k 1, 2, 3...
（1）
股票价格的二叉树压缩图 → 目的是利用这样的图来对期权以及
证券衍生品定价。同时描述资产组合的行为方式。 u3S0 u2S0 uS0 udS0 ud2S0 dS0
d 2 S0
E S1 =(pu qd ) S 0 E S3 =......= pu qd S 0
3
d 3 S0
q3
q3d3S0
2
3 2 2 2 E S2 = p u S pqudS pqduS q d S0 0 0 0 pu qd S0
欧式期权公式
在期权到期时间T即时间点tM，我们有M+1个节点，（M,0） （M,1）（M,2）…（M,M），各个节点（M,j）对应着概率pMjq j，其大小是S =S uM-jdj,从S 到S 标的资产必定要经历M-j M·j 0 0 M·j 次上涨j次下跌，但上涨和下跌的前后排列则是不定的。 欧式股票期权在时间T的收益是：CM·j=max[SM·j - X,0] 由于SM·j随j递增而递增，所以存在一个j*满足SM·j-1 <k≤SM·j* 根据风险中性评估原则，期权公式可以表示为：
E S3
u3S0 q
u2dS0
期权定价二叉树模型
9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据
u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
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22
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2024/6/27
4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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27
B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
2024/6/27
期权定价的二叉树模型
16/39
风险中性的投资者对风险不要求回报，他 们投资于任何资产所要求的收益率等于无风险 收益率。
投资回报率=无风险利率+风险溢价
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
17/39
在一个假想的风险中性的世界（RiskNeutral World ）里，所有的市场参与者都是风 险中性的，那么，所有的资产不管其风险的大 小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于 无风险收益率，因此，所有资产现在的市场均 衡价格都应等于其未来价值的预期值，加上考 虑到货币的时间价值，就都是未来预期价值按 无风险收益率贴现的价值（即现值）。
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风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学上表现为衍生证券定价的 微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变 量，尤其是期望收益率。
第7章 期权定价的二叉树模型
➢ 单步二叉树模型 ➢ 风险中性定价原理 ➢ 两步二叉树模型
一、单步二叉树模型
⒈ 一个示例
STu 22 cTu 1
S0 20 c0 ?
3个月
STd 18 cTd 0
执行价格为21 元的看涨期权。
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
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股票和股票期权所面临的系统风险相关，适 当配置两种资产可以消除系统风险，组建无风险 组合。
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⒉ 两步二叉树的一般形式
第7章 期权定价的二叉树模型
2020/11/29
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期权二叉树定价模型
84 美式期权估值8.4.1 方法 二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
8.2 风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理 式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样， pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
当两个价值相等时 即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的价格 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+ 2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。 实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。
u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257 在节点C，期权价格为0。 在节点A的期权价格为：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823 在构造这个例子时，u和d(股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。由式（9.3）可得风险中性的概率p，它在每个节点都是相同的。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
网络直播公司股票期权计划的模型
规范的股票期权计划规范的股票期权计划的主要条款包括：受益人、赠予时机、行权价确定、授予期安排、结束条件等，具体管理和执行期权时，还包括期权的执行方法、行权时机的选择以及公司对期权计划的管理。
外部环境中还涉及政府的税收规定。
这是一个严密庞大的项目，公司一般设立薪酬委员会来专门负责这项工作。
薪酬委员会成员一般由公司外部独立董事组成，以保证公平性。
在即将开盘的高科技板市场中，每一家上市公司都应该设置员工股票期权汁划。
可作如下考虑：1、受益人的范围。
包括公司的老员工、技术骨干等。
但是公司持股10％以上的管理层股东不在受益入范围之内。
2、股票期权的数量。
以公司总股本的10％作为期权计划的上限，并且保持以后的期权计划总量不得突破，除非公司股东大会批准。
3、股票期权的分配。
在全体受益人中进行股票期权的分配，按照岗位、工龄、学历、工作表现、部门业绩等的不同，对每位受益人进行评分，并按照其得分在全部总分中的比例进行期权的分配。
4、股票期权的赠予时机。
首次实行股票期权计划时，可以一次全部赠予，以后还可以继续实行，选择受聘、升职、取得重大科技成果，或每年一次的业绩评定时赠予。
公司董事会的薪酬委员会根据员工的工作表现、公司当年的整体业绩来决定当年适合的股票期权数量，然后再在年中具体掌握赠予时间与数量。
5、股票期权的行权价的确定。
由于我国的高科技公司是首次实行股票期权计划，公司股票尚未上市，没有市场价供参考。
股票期权的行权价可预定为未来公司股票的发行价。
考虑到高科技公司新股的超额认购，这样的行权价是有利可图的。
当公司股票上市后，则选择股票市场价作为期权行权价的参考。
6、股票期权的等待期。
一般股票期权不能在赠予后立即执行。
经过等待期结束后，才能行权。
等待时间表有匀速的，也有加速的。
股票期权有效期可为10年，在公司股票上市之前，不可行权，一旦公司股票上市，则期权即可行权，行权量为30％，下一年后为30％，再下一年后为40％。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
股票期权激励的行权价定价模型
、
传 统 薪 酬 体 系面 临 的 问 题
１经理 人 员 的 薪 酬 总 体 水 平 偏 低 ， 励 力 度 不 够 。 中 国 ． 激 据 企业 家调 查 系 统 的 抽 样 调 查 结 果 显 示 ， 已实 行 年 薪 制 的 企 业 经 营 者 月 收 入 水 平 ５０ ０ ０元 以 上 者 占 ８ １ ３ ０ ～ ０ ０元 占 ．％， ０ ５ ０ ０ １ － １０ ５ ％．０ ｏ元 ～ ０ ０元 占 ５ ． １ ０ ４ ３０ ４７ ０ ｏ元 以下 占 ２ ． ％， １ ％。很 多 ８ 企 业 经 营 者 为 企 业 、 家 创 造 的 巨 大财 富 与 个 人 收 入 十分 不 国 对 称 调 查 结 果 也 表 明 ，０ ６ ％的 企 业 高 层 管 理 人 员 认 为 现 行 的激 励 方 式 无 效 或 不 大 有 效 ， 营 者 收 入 与 企 业 规 模 、 益 经 效 好 坏 、 业状 况 的 相关 性 过 小 。 行
是 在 一 定 约 束 条 件 下 实 现 个 人 利益 的最 大化 。当 个 人 利 益 与
股 东利 益 发 生 矛 盾 时 ， 营 者 就 可 能 放 弃 股 东 利 益 而 谋 取 内涵 股
经 理 股 票 期 权 （ ｘ ｃ ｔ ｅＳｏ ｋ Ｏ ｔ ｎ Ｅ Ｏ） 是 指 企 业 Ｅ ｅ ｕｉ ｔｃ ｐｉ ， Ｓ ， ｖ ｏ 所 有 者 向 其 经 营 者 提 供 的 一 种 在 一 定 期 限 内 （ 权 期 ） 照 行 按 某 一 既 定 价 格 （ 权 价 ） 买 一 定 数 量 本 公 司股 份 的权 利 。 行 购 在
维普资讯
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股票期权激励 的行权价定价模 型
最著名的金融公式——布莱克-斯科尔斯公式
最著名的金融公式——布莱克-斯科尔斯公式布莱克-斯科尔斯模型是一种模拟金融衍生工具市场动态的数学模型。
自1973年提出并于70年代和80年代加以完善以来，该模型已成为估算股票期权价格的标准。
该模型背后的关键思想是，通过以正确的方式买卖基础资产(如股票)来对冲投资组合中的期权，从而消除风险。
这种方法后来在金融界被称为“不断修订的三角洲对冲”，并被世界上许多最重要的投资银行和对冲基金采用。
本文的目的是解释布莱克-斯科尔斯方程的数学基础，基本的假设和含义。
布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型是一种模拟金融市场动态的数学模型，其中包含了期权、期货、远期合约和互换合约等衍生金融工具。
该模型的关键性质在于，它表明了一个期权，无论其标的证券的风险和预期收益如何，其价格都是唯一的。
该模型建立在偏微分方程的基础上，即所谓的布莱克-斯科尔斯方程，从中可以推导出布莱克-斯科尔斯公式，该公式从理论上对欧洲股票期权的正确价格进行了估计。
假设条件最初的布莱克-斯科尔斯模型基于一个核心假设，即市场由至少一种风险资产(如股票)和一种(本质上)无风险资产(如货币市场基金、现金或政府债券)组成。
此外，它假定了两种资产的三种属性，以及市场本身的四种属性：对市场资产的假设为：1：无风险资产的收益率是恒定的(因此实际上表现为利率)；2：根据几何布朗运动，假定风险资产价格的瞬时对数收益表现为具有恒定漂移和波动的无穷小随机游动；3：风险资产不支付股息。
对市场本身的假设是：1：不存在套利(无风险利润)机会；2：可以以与无风险资产利率相同的利率借入和借出任何数量的现金；3：可以买卖任何数量的股票(包括卖空)；4：市场上没有交易成本(即没有买卖证券或衍生工具的佣金)。
在对原有模型的后续扩展中，对这些假设进行了修正，以适应无风险资产的动态利率、买卖交易成本和风险资产的股息支出。
在本文中，假设我们使用的是原始模型，除非另有说明。
布莱克-斯科尔斯方程打开看点快报，查看高清大图图1所示，欧洲看涨期权价格相对于执行价格和股票价格的可视化表示，使用布莱克-斯科尔斯公式方程计算。
Chapter布莱克休尔斯莫顿期权定价模型精讲
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导
出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
8
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
f ( f S f 1 2 f 2 S 2 )t f Sz
S
t 2 S 2
S
17
为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单位衍生证 券空头和 f 单位标的证券多头的组合。
S
令 代表该投资组合的价值，则：
f f S x
在 t 时间后，该投资组合的价值变化 为：
f f S S
－0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值
等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应 选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味
着：
11 －0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头 和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元 还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
BlackScholes期权定价模型(2)
独立。
特征的理解
特征1： 特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的 2024/预1/29 测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演5
标准布朗运动〔续〕
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
z〔T〕－z(0)表示变量z在T中的变化量
这正好与μ作为预期收益率的定义相符。
2024/1/29
15
〔2〕股票价格对数收益率服从正态分 布 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。
因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵 循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态 分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成 比例。
将t与T之间的连续复利年收益率定义为η，那
衍较生长证时券间的段定后价的与连标续的复资利产收的益预率期的收期益望率值等μ是于无关的22。 ，这是因 为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率 几何平均的结果，而较短时间内的收益率那么是算术平均的结果。
σ：
是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差
因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差， 再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。
时间变化。这就是伊藤过程。
I假to设引变理量dGx遵(循Gx a伊 G藤t 过12 2x程G2 b，2)dt那 G么x bd变z 量x和t的函数G将遵
循如下过程：
b都是x和(tG其的x )2中函b2 ，数z，遵因循此一函个数标G准也布遵朗循运伊动藤。G过x a由程 于，Gt a它12和2xG2 b2
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： S t t
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在即将开盘的高科技板市场中, F
考虑：
每一家上市公司都应该设置员工股票期权汁划。
可作如
6、股票期权的等待期 般股票期权不能在赠予后立即执行。
经过等待期结束后，才
10年，在公司股票上市
30 %，下一年后为30%, 规范的股票期权计划
规范的股票期权计划的主要条款包括：
受益人、赠予时机、行权价确定、授予期安排、结束 条件等，具体管理和执行期权时，还包括期权的执行方法、行权时机的选择以及公司对期权 计划的管理。
外部
环境中还涉及政府的税收规定。
这是一个严密庞大的项目，公司一般设立 薪酬委员会来专门负责这项工作。
薪酬委员会成员一般由公司外部独立董事组成， 以保证公 平性。
1、 受益人的范围。
包括公司的老员工、技术骨干等。
但是公司持股
10%以上的管理层 股
东不在受益入范围之内。
2、 股票期权的数量。
以公司总股本的10%作为期权计划的上限，并且保持以后的期权 计划总量不得突破，除非公司股东大会批准。
3、 股票期权的分配。
在全体受益人中进行股票期权的分配，按照岗位、工龄、学历、 工作表现、部门业绩等的不同，对每位受益人进行评分，并按照其得分在全部总分中的比例 进行期权的分配。
4、股票期权的赠予时机。
首次实行股票期权计划时，可以 一次全部赠予，以后还可以 继续实行，选择受聘、升职、取得重大科技成果，
或每年一次的业绩评定时赠予 。
公司董事 会的薪酬委员会根据员工的工作表现、公司当年的整体业绩来决定当年适合的股票期权数 量，然后再在年中具
体掌握赠予时间与数量。
5、股票期权的行权价的确定。
由于我国的高科技公司是首次实行股票期权计划，公司
股票尚未上市，没有市场价供参考。
股票期权的行权价可预定为未来公司股票的发行价。
考 虑到高科技公司新股的超额认购， 这样的行权价是有利可图的。
当公司股票上市后， 则选择
股票市场价作为期权行权价的参考 。
能行权。
等待时间表有匀速的，也有加速的。
股票期权有效期可为 之前，不可行权，一旦公司股票上市，则期权即可行权，行权量为 再下一年后为40 %。
公司遇特殊情况，公司董事会可以缩短股票期权的等待期。
7、股票期权的不可转让性。
除非遗嘱里注明某人对股票期权有继承权。
8、股票期权的结束条件。
股票期权从赠予日起 10年内有效。
如果员工自愿离职，则从 该员工最后一个工作日起的 3个月内，员工可以对持有的股票期权中可行权部分行权，
对尚 在等待期内的股票期权不得行权， 该部分期权自动失效。
当公司被并购时，等待期自动缩短，
所有股票期权可以立即行权，以保护员工，并有反收购作用。
或者当公司控制权发生变化时，
也设置同样条款。
9、执行方法。
公司的股票期权可以采用现金行权、无现金行权、无现金行权并出售种方式。
若采用无现金行权并出售的方式，则期权受益人对部分或全部可行权的股票期权行权并立即出售，以获得行权价与市场价的差价带来的利润。
具体的市场买卖委托券商进行，如公司的信誉主承销券商，即券商为每位受益人开立股票帐户，从事期权的行权和出售交
10、行权时机。
美国证券交易法规定，公司董事或高级管理人员，只能在窗口”期内行权或出售该公司股票。
窗口期是指从每季度收入和利润等指标公布后的第三个工作日开始直至每季度第三个月的第10天为止。
其余人员不受此限制，但行权时机选择的不同，关系到收益会有差别。
我国的股票期权方案可以采用这种做法。
11、税收规定。
美国国内税务法则规定，公司赠与股票期权时，公司和个人都不需要
付税，股票期权行权时，不需付税。
如果行权后持有股票一年以上，出售股票的收益按长期
资本利得税征收。
持有股票不到一年，收入按普通收入应税。
我国在高科技创业板上市公司中试点股票期权制度，应在税收中给以鼓励，所以应该免除资本利得税和所得税。
12、公司对股票期权计划的管理。
公司通过董事会的薪酬委员会来管理股票期权计划。
薪酬委员会决定每年的股票期权赠与量、等待时间表，以及出现突发性事件时对股票期权计
划进行解释以及作出重新安排。
重要的内容需要形成提案，经股东大会批准。
股票期权行权
所需股票的来源渠道有两个：一是公司发行新股票；二是通过库存股票帐户回购股票。
库存
股票在未来期权行权时出售。
公司可考虑在未来发行新股上市时，留出10%股份供员工行
使期权。
有关方面应给予积极配合
1、税收。
应明文规定对公司员工通过股票期权计划获得的资本利得收入免征所得税。
2、行权股票的来源。
应允许公司回购股票，或特别允许发行新股供股票期权计划行权。
3、会计计帐。
财政部应制定明确的《股份公司股票期权计划会计细则》，建议在公司赠予股票期权时，不在会计报表上反映，而在行权后，在会计报表上反映。
4、法律。
应从法律上明确股票期权计划的批准主体为公司股东大会，董事会获得授权，明确授权权限，因为股票期权计划从短期来看，对公司股东有利润摊薄的影响，应注意在制定股票期权计划时，处理好股东和公司员工之间的利益平衡关系。