角的计算ppt课件
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有关三角形的角PPT课件
直角三角形中特殊角度关系
互余关系
在直角三角形中，两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
特殊角度
如30度、45度、60度等。在含有这些 特殊角度的直角三角形中，边与边之 间存在一定的比例关系。
相似三角形角度关系
相似三角形的定义
两个三角形的对应角相等，则这 两个三角形相似。
电磁学中的角度
在电磁学中，角度影响电场和磁场的分布和强度，如电磁波的传 播方向与电场、磁场之间的夹角。
05
三角形角度相关数学竞赛题解 析
Chapter
数学竞赛中常见题型介绍
角度计算题
通过已知条件，求解三角形内角或外角的度数。
角度关系证明题
证明三角形中某些角之间的特定关系，如相等、 互补等。
角度与边长关系题
探究三角形角度与边长之间的内在联系，如正弦 定理、余弦定理的应用。
经典数学竞赛题解析与讨论
经典题目一
已知三角形ABC中，角 A=60度，角B和角C的 度数比是2:3，求角B和 角C的度数。
经典题目二
在三角形ABC中， AB=AC，D是BC上一点 ，且BD=AD，求角 BAC的度数。
经典题目三
三角形ABC中，角A、B 、C的对边分别为a、b 、c，且满足 a^2+b^2+c^2+338= 10a+24b+26c，试判 断三角形ABC的形状。
有关三角形的角PPT课件
目录
• 三角形基本概念及性质 • 三角形角度关系探究 • 三角形角度计算方法 • 三角形角度在实际问题中应用 • 三角形角度相关数学竞赛题解析
01
三角形基本概念及性质
角的比较和运算 课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册
已知角. 难点：角的平分线的应用.
线段 定义 类比
角
定义
表示 表示
大小 运算
大小 运算
叠合法 度量法 和、差、倍、分 叠合法 度量法 和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角 的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章 图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角 的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角 的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别 是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化 问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.
线段 定义 类比
角
定义
表示 表示
大小 运算
大小 运算
叠合法 度量法 和、差、倍、分 叠合法 度量法 和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角 的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章 图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角 的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角 的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别 是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化 问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.
4.3-角ppt教学课件
试一试：用适当方式分别表示下图中的每个角.
B C
A C
A
D
⑴
∠BAC ,∠CAD ,∠BAD
O
D
⑵
有几个角？它们分别是？
典例精析 例1 根据下图填空： (1)图中能用顶点的一个 大写字母表示的角有_∠__B_，__∠__C__； (2)以A为顶点的角有 ∠__B_A__D_，__∠__B_A__E_，__∠__B_A__C_，__∠__D__A_E_，__∠__D__A_C_，__∠__E__A_C__．
角单位的换算
角的度量单位： 度，分，秒 1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′ 1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
1 60 3600 1 1 1 （注意加括号）
60 3600
例2 计算： (1)1.45°等于多少分？等于多少秒？ (2)1800''等于多少分？等于多少度？ (3)把45°25′48″化成度．
例3 确定相应钟表上时针与分针所成的角度
30° 120 °
90° 0°
例4 小红早晨8：30出发，中午12：30到家，则 小红出发时时针和分针的夹角为 75° ，到家 时时针和分针的夹角为 165° .
分针一分钟走6； 时针一分钟走0.5； 秒针一分钟走360；
三 方位角
方位角：南北偏东西n度；
解：(1)1.45°=1.45×60'=87'， 1.45°=87'=87×60''=5220''.
(2)1800''=(1800÷60)'=30'，
1800''=30'=(30÷60)°=0.5°. (3)45°25′48″=45°+25′+(48÷60)'=45°+25.8' =45°+(25.8÷60)°=45.43°.
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
新人教版八年级数学上册课件：专题课堂8 角的计算 (共14张PPT)
6．如图，已知∠AOE＝130°，∠AOB∶∠BOC＝2∶1，且3∠COE＝ 2∠AOB，求∠AOB的度数．
解：设∠BOC＝x°，则∠AOB＝2x°.因为 2 3∠COE＝2∠AOB，所以∠COE＝3∠AOB 4 ＝ 3 x ° . 因为∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOC ＋ 4 ∠COE， 所以 130＝2x＋x＋3x， 解得 x＝30， 所以∠AOB＝2x°＝60°
180，解得x＝22.5，则∠1的度数是2DOE＝20°，OB平分∠AOC，且 ∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．
解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，因 为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝3x°，所以 2x＋3x＋3x＋20＝180，解得x＝20，所以 ∠BOC＝3×20°＝60°
②当∠AOB 小于∠BOC 时， 如图②， ∠BOE＝∠AOE＝30°， ∠BOD＝20°，所以∠AOD＝80°，因为∠COD＝∠AOD＝ 1 80°，∠BOD＝20°，所以∠BOC＝100°，从而∠COF＝2 1 ∠BOC＝2×100°＝50°.综上可知，∠COF 的度数为 10°或 50°
类型四：角的旋转 9．如图①，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD. (1)在图①中，若∠COE＝32°，则∠DOE＝__________，∠BOD＝__________； (2)在图①中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探究α与β之间的数量关系； (3)在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图②的位 58° 置时，(2)中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若 34° 不成立，直接写出 α与β的数量关系．
90°－∠COE＝90°－α.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝
课件：角的计算
nx2 ox2 ax2 px2
T61
A2 A3 A4 A5 A6
ny
2
nz 2 0
oy2 oz 2 0
ay2 az 2 0
p
y
2
…..(5)
pz 2 1
3.5 机器人常用坐标系及变换方程
3.6 RPY角和欧拉角
(一)RPY角
RPY角是描述船舶在海中
航行时姿态的一种方法。将船
的行驶方向取为Z轴，则绕Z轴
的旋转(α角)称为滚动(Roll)；把 绕Y轴的旋转(β角)称为俯仰
1-9 滚动、俯仰、偏转
(Pitch)；而把垂直方向取为X轴，
将绕X轴的旋转(γ角)称为偏转
T6(n1) An An1 A6
机器人手的末端相对于参考坐标系的变换为:
T60 T6 A1A2 A3 A4 A5 A6 …..(3)
一个六连杆机器人有六个自由度(每个连杆有 一个自由度)。机器人最后一个构件(手部)有三个 自由度用来确定其位置，三个自由度用来确定其 方向。对如图2-3所示的一个机器人手部，我们可 以把描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手 指的中点，用一个向量P描述这个原点。用三个 向量n、o、a描述机器人的姿态。
图 2-5 PUMA-560机械手坐标系
[解]
(1) 设定机器人各杆的坐标系
按D—H坐标系建立各杆的坐标系如图2-5所示。 将o0z0设置在关节1的转轴上，o0和o1重合； o1z1 o2z2分别沿关节2、3的转轴， o1z1 ／／ o2z2。z3与z2
轴的交点为o3； o2和o3重合， d3＝0, o3x3y3z3并非置
于臂的终端。 o3z3是腕的第一个转轴。 z4与z3的交点 为o4 ，设在臀的终端，是腕结构的中心， o4z4是腕的 第二个转轴； z5与z4的交点为o5。 o4和o5重合， o5z5 是腕的第三个转轴。 o6x6y6z6为终端坐标系，该坐标
3.6.2角的比较和运算 课件(共28张PPT)
【分析】 (1)中两个角有重合边和重合顶点，利用叠合法
比较一目了然，因为OD 边在∠ FOE 的内 部，所以有∠FOD ＜∠FOE. (2)∠DOE 明显大于 45°，而∠DOF 明显小于 45°，故有∠ DOE ＞∠DOF .
解： (1)∠FOD＜∠FOE. (2)用含有45°角的三角尺比较，可得∠DOE＞ 45°，∠DOF＜
概括 我们已经用无刻度的直尺和圆规按一定步骤解决了如下两个
作图问题：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角.无刻 度的直尺和圆规可以用来作一些简单的图形.例如：过一点任作一 条直线；过不同的两点作一条直线；以一点为圆心任作一个圆.
正是以这些基本作图为基础，我们作出了线段和角.人们将利 用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为“尺 规作图”.从古至今，众多数学家对于尺规作图有着极大的兴趣， 对于哪些图形可以利用尺规作图作出、哪些图形又不可能利用尺 规作图作出的思考和研究，推动了数学的发展.
做一做
如图，∠AOB为已知角，试用直尺和圆规按下列步骤准确地 作一个角等于∠AOB. 第一步:作射线O′A′； 第二步:以点O为圆心、适当长为半径作弧，交射线OA于点C，交 射线OB于点D ; 第三步:以点O ′为圆心、线段OC长为半径作弧，交射线O′A′ 于点C′′ ; 第四步:以点C′′为圆心、线段CD长为半径作弧，交前一条弧于点D ′ ; 第五步:经过点D ′作射线O′B ′. ∠ A′O′B′ 就是所要求作的角 .
②叠合法
如图所示，把一个角放到另一个角上，使
C
它们的顶点重合，其中的一边也重合，并
A
使两个角的另一边都在重合的这一条边的 D
同侧.
E
F G(O)
显然，∠CGH>∠AOB，或∠AOB＜∠CGH.
比较一目了然，因为OD 边在∠ FOE 的内 部，所以有∠FOD ＜∠FOE. (2)∠DOE 明显大于 45°，而∠DOF 明显小于 45°，故有∠ DOE ＞∠DOF .
解： (1)∠FOD＜∠FOE. (2)用含有45°角的三角尺比较，可得∠DOE＞ 45°，∠DOF＜
概括 我们已经用无刻度的直尺和圆规按一定步骤解决了如下两个
作图问题：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角.无刻 度的直尺和圆规可以用来作一些简单的图形.例如：过一点任作一 条直线；过不同的两点作一条直线；以一点为圆心任作一个圆.
正是以这些基本作图为基础，我们作出了线段和角.人们将利 用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为“尺 规作图”.从古至今，众多数学家对于尺规作图有着极大的兴趣， 对于哪些图形可以利用尺规作图作出、哪些图形又不可能利用尺 规作图作出的思考和研究，推动了数学的发展.
做一做
如图，∠AOB为已知角，试用直尺和圆规按下列步骤准确地 作一个角等于∠AOB. 第一步:作射线O′A′； 第二步:以点O为圆心、适当长为半径作弧，交射线OA于点C，交 射线OB于点D ; 第三步:以点O ′为圆心、线段OC长为半径作弧，交射线O′A′ 于点C′′ ; 第四步:以点C′′为圆心、线段CD长为半径作弧，交前一条弧于点D ′ ; 第五步:经过点D ′作射线O′B ′. ∠ A′O′B′ 就是所要求作的角 .
②叠合法
如图所示，把一个角放到另一个角上，使
C
它们的顶点重合，其中的一边也重合，并
A
使两个角的另一边都在重合的这一条边的 D
同侧.
E
F G(O)
显然，∠CGH>∠AOB，或∠AOB＜∠CGH.
《角的度量》PPT课件
角的大小与其边的长 度无关，只与边之间 的夹角有关。
02
CHAPTER
角的度量单位与换算
角的度量单位
度
角的大小可以用度（°）作为单位来度量，一个圆周被分成360等份，每一份称 为1度。
弧度
弧度（rad）是另一种角的度量单位，它是根据圆的半径来定义的。弧长等于半 径的弧所对的圆心角为1弧度。
度与弧度的换算
03
CHAPTER
角的度量方法
量角器的使用
量角器的构造
量角器是一种测量角度的专用工具， 由半圆形或圆形的刻度盘和固定臂组 成，刻度盘上标有度数。
使用方法
将量角器的中心与角的顶点重合，固 定臂与角的一条边重合，然后通过读 取刻度盘上的度数来确定角的大小。
角度的测量与标注
01
02
03
角度的概念
角度是由两条射线或线段 与它们的公共端点所组成 的图形，通常用度数来衡 量。
测量方法
使用量角器测量角度时， 需要注意刻度盘上的内外 圈度数，以及测量起点和 终点的位置。
标注方法
在几何图形中标注角度时 ，通常在角的内部或外部 靠近顶点处标上表示度数 的数字或字母。
特殊角的度量技巧
直角
平角
直角的度数为90度，可以使用量角器直接 测量，也可以通过其他已知角度推算得出 。
平角的度数为180度，相当于一条直线，可 以使用量角器测量，也可以通过两个直角 相加得到。
谢谢
平行线与交替内角
当两条直线被第三条直线 所截，交替内角的度数相 等，这一性质在几何证明 中经常用到。
多边形的内角和
多边形的内角和等于（n-2 ）×180°，其中n为多边形 的边数。
三角函数中的角
三角形中角度的计算 课件 河北省保定市莲池区冀英中学北师大版数学七年级下册(共17张PPT)
三角形中角度的计算
冀英中学七年级数学组
类型1 直接计算角度
1.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线.若∠B＝72°，
∠DAE＝16°，则∠C＝ 40 度.
思考：直接计算角 度的依据是什么呢？
2.在△ABC中，三个内角度数之比为2:3:4，则相应邻补
角之比为7:6:5
.
解：根据题意可设三个内角度数分别为2x,3x,4x,则可得 2x+3x+4x=180 (三角形内角和等于180°) 解得x=20 故2x=40 3x=60 4x=80
解：∵在△ABE中，∠A=70° ∠B=30°
∴∠AEB=180°-70°-30°=80°
∴∠CED=80°
∴∠C+∠D=180°-80°=10A+∠B=∠C+∠D 可进行角度转化。
证明？
跟踪训练
8.已知，∠A=60°，求(1) ∠ABC+∠ACB;
(2)求∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
谢谢大家！
跟踪训练
11.已知点A、D、B在一条直线上，△EAD≌△ABC， ED交AC于点F，∠EAD=120°，求∠EFA的度数。
解析：可将目标角转化为全等三角形中的角 解：∵△EAD≌△ABC
∴∠E=∠CAB ∴∠EFA+∠E+∠EAF=180° ∴∠EFA+∠CAB+∠EAF=180° ∴∠EFA+∠EAD=180° 又∵∠EAD=120° ∴∠EFA=180°-120°=60°
解：（1）∵在△ABC中，∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-60° =120°
（2）∵∠D+∠E=∠A+∠ACB 又∵∠F+∠G=∠A+∠ABC ∴∠D+∠E+∠F+∠G =∠A+∠ACB+∠A+∠ABC =∠A+180°
冀英中学七年级数学组
类型1 直接计算角度
1.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线.若∠B＝72°，
∠DAE＝16°，则∠C＝ 40 度.
思考：直接计算角 度的依据是什么呢？
2.在△ABC中，三个内角度数之比为2:3:4，则相应邻补
角之比为7:6:5
.
解：根据题意可设三个内角度数分别为2x,3x,4x,则可得 2x+3x+4x=180 (三角形内角和等于180°) 解得x=20 故2x=40 3x=60 4x=80
解：∵在△ABE中，∠A=70° ∠B=30°
∴∠AEB=180°-70°-30°=80°
∴∠CED=80°
∴∠C+∠D=180°-80°=10A+∠B=∠C+∠D 可进行角度转化。
证明？
跟踪训练
8.已知，∠A=60°，求(1) ∠ABC+∠ACB;
(2)求∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
谢谢大家！
跟踪训练
11.已知点A、D、B在一条直线上，△EAD≌△ABC， ED交AC于点F，∠EAD=120°，求∠EFA的度数。
解析：可将目标角转化为全等三角形中的角 解：∵△EAD≌△ABC
∴∠E=∠CAB ∴∠EFA+∠E+∠EAF=180° ∴∠EFA+∠CAB+∠EAF=180° ∴∠EFA+∠EAD=180° 又∵∠EAD=120° ∴∠EFA=180°-120°=60°
解：（1）∵在△ABC中，∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A =180°-60° =120°
（2）∵∠D+∠E=∠A+∠ACB 又∵∠F+∠G=∠A+∠ABC ∴∠D+∠E+∠F+∠G =∠A+∠ACB+∠A+∠ABC =∠A+180°
4.3.2角的度量与计算课时2 课件(共20张PPT)2024-2025学年湘教版七年级数学上册
∠1+∠2=90 ° 2.∠3和∠4有什么数量关系 ？ ∠3+∠4=180°
2 1
4 3
新知探究 知识点 互余与互补 余角和补角的定义
1 2
几何语言： 因为∠1+∠2=90°， 所以∠1与∠2互为余角.
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为 余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.
等量代换是指 “如果a=b且
c=b，那么 a=c”
新知探究 知识点 互余与互补
试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？
∠4 ∠5 ∠6 图① 30° 60° 60° 图② 45° 45° 45° 图③ 60° 30° 30°
∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余， ∠5与∠6大小相等.
图①
∠α的补角
175° 135° 120° 103° 98°45′ (180-x)°
新知探究 知识点 互余与互补
例1 判断下列语句是否正确：
(1)一个角的余角必为锐角.
()
(2)一个角的补角必为钝角.
()
(3)同一个锐角的补角比它的余角大90°.
()
(4)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. ( )
A.30° B.45° C.60° D.65°
随堂练习
【课本P166 练习 第2题】
3．如图，∠BOD = 118°，∠COD 是直角， OC 平分∠AOB， 求∠AOB 的度数.
解：∠AOB 的度数为 56°.
随堂练习
4．已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B度数的 3 倍还多 30°.求∠B的度数.
第4章 图形的认识
4.3 角
4.3.2 角的度量与计算 课时2
2 1
4 3
新知探究 知识点 互余与互补 余角和补角的定义
1 2
几何语言： 因为∠1+∠2=90°， 所以∠1与∠2互为余角.
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为 余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.
等量代换是指 “如果a=b且
c=b，那么 a=c”
新知探究 知识点 互余与互补
试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？
∠4 ∠5 ∠6 图① 30° 60° 60° 图② 45° 45° 45° 图③ 60° 30° 30°
∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余， ∠5与∠6大小相等.
图①
∠α的补角
175° 135° 120° 103° 98°45′ (180-x)°
新知探究 知识点 互余与互补
例1 判断下列语句是否正确：
(1)一个角的余角必为锐角.
()
(2)一个角的补角必为钝角.
()
(3)同一个锐角的补角比它的余角大90°.
()
(4)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. ( )
A.30° B.45° C.60° D.65°
随堂练习
【课本P166 练习 第2题】
3．如图，∠BOD = 118°，∠COD 是直角， OC 平分∠AOB， 求∠AOB 的度数.
解：∠AOB 的度数为 56°.
随堂练习
4．已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B度数的 3 倍还多 30°.求∠B的度数.
第4章 图形的认识
4.3 角
4.3.2 角的度量与计算 课时2
初中数学北师大版七年级上册《角》课件
练习12.(1)把 26.19°转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把 33°14′24″转化为用度表示的形式.
错解：(1)26.19°＝26°1′9″. (2)33°14′24″＝33.142 4°.
诊断：角度相邻单位是六十进制，即 1°＝60′，1′＝60″，要注意 与数的相邻计数单位的十进制区分开．
角的表示方法:
1.用三个字母及符号“∠”来表示.
2.用一个数字及符号“∠”来表示
3.用一个希腊字母及符号“∠” 来表示. 4.当顶点只有一个角时可用顶点字
母及符号“∠”来表示.
α1 B ∠ABC 或∠α
C 或∠1
或∠B
作业布置
完成习题4.3问题解决
4.3
角
第二课时，角度计算
数学北师大版 七年级上
开动脑筋
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
钟表上有12大格，
4：00
每小时时针走1大
格，时针转 30°
钟表上有60小格，
每分钟分针走1小
格，分针转 360°÷60=6°
120°
15.归纳与猜想：
(1)观察下图填空：图①中有
3
角，图③中有 10 个角；
个角，图②中有
6个
(2)猜想：从同一个端点 O 出发的 6 条射线一共可以组成多少个
B
O
A
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边
成一条直线时，所成的角叫做平角.
O
A（B）
终边继续旋转，当它有和始边重合时，所成 的角叫做周角.
在不做特别说明的情况下，我们说的角 都指不大于平角的角
角的表示方法:
A
1.用三个英文字母及符号“∠”来表示.
七年级数学上册《角》PPT课件
18
05
角的证明与推理
2024/1/28
19
等量代换法证明角相等
定义法
根据角的定义，通过证明 两个角所对的边或顶点关 系来证明它们相等。
2024/1/28
等量代换法
通过证明两个角分别与第 三个角相等，从而得出这 两个角相等。这种方法常 用于几何图形的证明中。
推理法
结合已知条件和图形性质 ，通过逻辑推理证明两个 角相等。
角的表示方法
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两 边的字母表示角的两条边；也可以用一个大写字母表示，这个字 母就是角的顶点；还可以用一个数字或希腊字母表示。
4
角的度量单位与换算
2024/1/28
角的度量单位
角的度量单位是度，用符号“°” 表示。把一个圆周分成360等份 ，每一份叫做1度，记作1°。
角的换算
1度等于60分，1分等于60秒。因 此，角度可以换算成分和秒。例 如，45°可以换算成45°00'00''。
5
角的基本性质
2024/1/28
• 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小 有关，与边的长短无关。
• 角的平分线性质：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
两个角相加，将它们的度 数相加即可。
2024/1/28
角的减法
两个角相减，将它们的度 数相减即可。
应用
利用角的加减运算进行角 度的计算和证明，解决与 角度相关的问题。
14
04
角在生活中的应用
2024/1/28
15
时钟上的角度问题
时钟面上的角度计算
时钟面平均分成了12份，每份对应的角度是30度。可以用这个知识点来解决时 钟上时针和分针之间的角度问题。
05
角的证明与推理
2024/1/28
19
等量代换法证明角相等
定义法
根据角的定义，通过证明 两个角所对的边或顶点关 系来证明它们相等。
2024/1/28
等量代换法
通过证明两个角分别与第 三个角相等，从而得出这 两个角相等。这种方法常 用于几何图形的证明中。
推理法
结合已知条件和图形性质 ，通过逻辑推理证明两个 角相等。
角的表示方法
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两 边的字母表示角的两条边；也可以用一个大写字母表示，这个字 母就是角的顶点；还可以用一个数字或希腊字母表示。
4
角的度量单位与换算
2024/1/28
角的度量单位
角的度量单位是度，用符号“°” 表示。把一个圆周分成360等份 ，每一份叫做1度，记作1°。
角的换算
1度等于60分，1分等于60秒。因 此，角度可以换算成分和秒。例 如，45°可以换算成45°00'00''。
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角的基本性质
2024/1/28
• 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小 有关，与边的长短无关。
• 角的平分线性质：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
两个角相加，将它们的度 数相加即可。
2024/1/28
角的减法
两个角相减，将它们的度 数相减即可。
应用
利用角的加减运算进行角 度的计算和证明，解决与 角度相关的问题。
14
04
角在生活中的应用
2024/1/28
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时钟上的角度问题
时钟面上的角度计算
时钟面平均分成了12份，每份对应的角度是30度。可以用这个知识点来解决时 钟上时针和分针之间的角度问题。
人教版七年级上册数学习题课件：专题九 角的计算(共24张PPT)
在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常 需分类讨论，确保答案的完整性．
8．已知∠AOB＝75°，∠AOC＝23∠AOB，OD 平分 ∠AOC，求∠BOD 的大小．
解：因为∠AOB＝75°，∠AOC＝23∠AOB， 所以∠AOC＝23×75°＝50°. 因为 OD 平分∠AOC， 所以∠AOD＝∠COD＝25°.
在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问 题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方 程，通过解方程使问题得以解决．
5．(遵义绥阳县期末)∠α 和∠β 互余，且∠α∶∠β＝ 1∶5，求∠α 和∠β 的补角各是多少度？
解：因为∠α 和∠β 互余，且∠α∶∠β＝1∶5， 所以设∠α＝x，则∠β＝5x， 所以 x＋5x＝90，解得 x＝15°， 所以∠α＝15°，∠β＝5×15°＝75°， 所以∠α 的补角是 180°－15°＝165°， ∠β 的补角是 180°－75°＝105°.
解：(1)因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝12∠AOB. 因为∠AOB＝60°， 所以∠AOC＝30°. (2)如图 1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝ 120°；
如图 2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.
(3)90°＋α2 或 90°－α2.
解得∠BCD＝15°. 所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.
角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的 这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．
3．如图，点 A，O，E 在同一直线上，∠AOB＝40°， ∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，求∠COB 的度数．
2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三 角板中的锐角分别为 45°、45°和 30°、60°)
角的初步认识课件
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所 旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射 线叫做角的终边。
角的分类及特点
锐角
大于0°，小于90°的角叫做 锐角。
钝角
大于90°而小于180°的角 叫做钝角。
优角
大于180°小于360°叫优角 。
直角
等于90°的角叫做直角。
01
02
03
04
角的定义
角是由两条射线共享一个端点 而形成的几何图形。
角的分类
根据角度大小，角可以分为锐 角、直角、钝角和平角。
角的度量
角度是角的度量单位，用度、 分、秒表示。常见的角度有0° 、30°、45°、60°、90°等。
角的性质
包括角的补角性质、余角性质 、对顶角性质等。
拓展延伸内容推荐
角在实际问题中的应用
方位角与方向
01
Hale Waihona Puke 在地理、航海等领域，利用方位角表示物体相对于某一基准方
向的角度位置。
坡度与仰角
02
在建筑、工程等领域，通过计算坡度或仰角来确定物体的高度
或倾斜程度。
旋转速度与角度
03
在物理、机械等领域，利用角度来描述物体的旋转速度或转过
的角度。
复杂角度问题的解决方法
角度的转换
最常用的角度单位，将一 个圆周360等分，每一份 即为1度。
弧度（rad）
弧长等于半径的圆弧所对 的圆心角为1弧度，用于 三角函数等计算。
梯度（grad）
将一个圆周400等分，每 一份为1梯度，常用于地 理、物理等领域。
不同单位之间的换算方法
度与弧度换算
1° = π/180 rad，1 rad = 180°/π
角的分类及特点
锐角
大于0°，小于90°的角叫做 锐角。
钝角
大于90°而小于180°的角 叫做钝角。
优角
大于180°小于360°叫优角 。
直角
等于90°的角叫做直角。
01
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角的定义
角是由两条射线共享一个端点 而形成的几何图形。
角的分类
根据角度大小，角可以分为锐 角、直角、钝角和平角。
角的度量
角度是角的度量单位，用度、 分、秒表示。常见的角度有0° 、30°、45°、60°、90°等。
角的性质
包括角的补角性质、余角性质 、对顶角性质等。
拓展延伸内容推荐
角在实际问题中的应用
方位角与方向
01
Hale Waihona Puke 在地理、航海等领域，利用方位角表示物体相对于某一基准方
向的角度位置。
坡度与仰角
02
在建筑、工程等领域，通过计算坡度或仰角来确定物体的高度
或倾斜程度。
旋转速度与角度
03
在物理、机械等领域，利用角度来描述物体的旋转速度或转过
的角度。
复杂角度问题的解决方法
角度的转换
最常用的角度单位，将一 个圆周360等分，每一份 即为1度。
弧度（rad）
弧长等于半径的圆弧所对 的圆心角为1弧度，用于 三角函数等计算。
梯度（grad）
将一个圆周400等分，每 一份为1梯度，常用于地 理、物理等领域。
不同单位之间的换算方法
度与弧度换算
1° = π/180 rad，1 rad = 180°/π
第六章 几何图形初步 专题二—— 角的计算课件 人教版数学七年级上册
解得x=36º,即∠DOE=36º. 所以∠BOD=3∠DOE=108º.
所以∠EOB=∠BOD-∠DOE=108º-36º=72º.
O
B
强化训练
角的计算
提升能力
9.如图,OE平分∠AOB,OF平分∠COD,若∠EOF=60º,∠BOC=20º,
求∠AOD的度数．
D
解：因为∠COF+∠BOE=∠EOF-∠BOC=60º-20º=40º.
即：20º=1.5x-x. 解得：x=40º.
所以∠AOB=120º.
O
A
目录
01
角中的方程思想
知识要点
02
从特殊到一般
精讲精练
典例精讲 从特殊到一般:探索角之间的规律 考点2-2
E
【例2】O为直线AB上一点,∠COE=90º,OF平分∠AOE. F
(1)若∠COF=40º,求∠BOE的度数；
C
②如图2,∠AOC=90º+∠BOC,∠BOD=90º-∠BOC. 图1 D
所以∠AOC+∠BOD=180º.
A
③如图3，因为∠AOB=90º,∠COD=90º，
所以∠AOC=90º+∠BOC,∠BOD=90º+∠BOC，
B
所以∠AOC=∠BOD；
O
C
④如图4,∠AOC+∠BOD=360º-90º×2=180º，
C
∠AOB=50º,∠BOC=10两种情况：
①如图1所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50º+10º=60º；O
②如图2所示：∠AOC=∠AOB-∠BOC=50º-10º=40º.
图1
A
B
综上所述,∠AOC的度数为60º或40º.
所以∠EOB=∠BOD-∠DOE=108º-36º=72º.
O
B
强化训练
角的计算
提升能力
9.如图,OE平分∠AOB,OF平分∠COD,若∠EOF=60º,∠BOC=20º,
求∠AOD的度数．
D
解：因为∠COF+∠BOE=∠EOF-∠BOC=60º-20º=40º.
即：20º=1.5x-x. 解得：x=40º.
所以∠AOB=120º.
O
A
目录
01
角中的方程思想
知识要点
02
从特殊到一般
精讲精练
典例精讲 从特殊到一般:探索角之间的规律 考点2-2
E
【例2】O为直线AB上一点,∠COE=90º,OF平分∠AOE. F
(1)若∠COF=40º,求∠BOE的度数；
C
②如图2,∠AOC=90º+∠BOC,∠BOD=90º-∠BOC. 图1 D
所以∠AOC+∠BOD=180º.
A
③如图3，因为∠AOB=90º,∠COD=90º，
所以∠AOC=90º+∠BOC,∠BOD=90º+∠BOC，
B
所以∠AOC=∠BOD；
O
C
④如图4,∠AOC+∠BOD=360º-90º×2=180º，
C
∠AOB=50º,∠BOC=10两种情况：
①如图1所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50º+10º=60º；O
②如图2所示：∠AOC=∠AOB-∠BOC=50º-10º=40º.
图1
A
B
综上所述,∠AOC的度数为60º或40º.
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1
O
A
= 33°
.
探究二练习 书P73/2
（1）已知∠AOB=152 ° ，∠1=70 ° ，求：∠2 =？
解：∠2 =∠AOB－ ∠1
= 152°－ 70° = 82°
（2）已知∠3= ∠ 1+ ∠ 2， ∠3=80 ° ，∠2=50 ° ，
求∠ 1 =？
解：∠1 = ∠3 － ∠2
= 80°－ 50°
练习三 计算下列角的度数。
如下图，已知∠1=650 ，求∠2的度数。
解：∠2=1800－ 900－ ∠1
1（ ） 2
=900－650 =250
如下图，已知∠1=600 ，求∠2的度数。
1
2
解：∠2=900－（ 900－ ∠1） =900－（ 900－ 600）
=600
.
运用一副三角尺，能拼出多少个小于平角的角 其中最小的角是几度，最大的角是几度？
.
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.
周角＝360°，平角＝180°，直角＝ 90° 1个周角＝ 2个平角＝ 4 个直角 1个平角＝ 2 个直角
.
图中你发现了几个角
.
探究一
已知∠1=450，∠2=900，求：∠AOB=？
B
2
1
A
O
解：∠AOB= ∠1+ ∠2
= 45°+ 90° = 135°
.
探究一 练习
（1）已知∠1=65° ，∠2=15° ，求∠AOB=？
= 30°
.
.
练习一 填空
（1）∠1＋∠2＝90°，∠1＝47°，∠2＝（ 43）° （2）∠1＋∠2＝180°，∠2＝45°，∠1＝（ 135）° （3）如果∠1的6倍是平角，那么∠1＝（ 30）°。
.
练习二
看图计算
∠1＝（ 90°），∠2＝（ 90°） ，∠3＝（ 150）°
21
3Leabharlann 30°.解：∠AOB= ∠1+ ∠2
= 65°+ 15°
= 80° （2）已知∠3= ∠ 1+ ∠ 2， ∠ 1=18° ，∠2=72°，
求∠3=？
解：∠3= ∠1+ ∠2
= 18°+ 72° = 90°
.
探究二
已知∠AOB=63° ，∠1=30° ，求：∠2 =？
B
解：∠2 =∠AOB－ ∠1
2
= 63°－30°