(完整版)导数及其应用最全教案(含答案),推荐文档

当 a 1时， f ' (x) 6x x a 1 ， f ' (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表：
x f ' (x) f (x)
(, 0) + A
0 0 极大值
(0, a 1) A
a 1
0 极小值
(a 1, ) A
从上表可知，函数 f (x) 在(, 0) 上单调递增；在(0, a 1) 上单调递减；在(a 1, ) 上 单调递增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a 1 时，函数 f (x) 没有极值；
记作 f (x0 ) 。
即
f
'
(x0
)
lim
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
2. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动 在某一时刻的瞬时速度。
即若点 P(x0 , y0 ) 为曲线上一点，则过点 P(x0 , y0 ) 的切线的斜率
k切
f
'
(x0 )
注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数 f (x) 取值为 0 的点可能是它的极值点， 也可能不是极值点。例如函数 f (x) x3 的导数 f (x) 3x2 ，在点 x 0 处有 f (0) 0 ，
即点 x 0 是 f (x) x3 的驻点，但从 f (x) 在 ,上为增函数可知，点 x 0 不是
②将 y f (x) 在各极值点的极值与 f (a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值.
（2） 若函数 f (x) 在 a,b上单调增加，则 f (a) 为函数的最小值， f (b) 为函数的最大值；
若函数 f (x) 在 a,b上单调递减，则 f (a) 为函数的最大值， f (b) 为函数的最小值.
g(x) f (x) f (x)g (x)
g 2 (x)
4. 几种常见函数的导数：
(1) C 0(C为常数) (2)（xn） nxn1 (n Q) (3) (sin x) cos x (4)
(cos x) sin x
(5) (ln x) 1 x
(6) (loga
x)
1 log e xa
以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。 （3） 极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
二、典型例题解析：
例1
（1）
若函数
y
f
(x) 在区间(a, b) 内可导，且
x0 (a,
b)
则lim h0
f
(x0
h)
f h
(x0
h)
的
值为（ ）
A. f ' (x0 )
B. 2 f ' (x0 )
C． 2 f ' (x0 )
为
（）
A．2
B.-2
2
C.
7
例 2． f (x) x3 3x2 2 在区间1,1上的最大值是
D.4 2。
解：当－1x0 时， f (x) 0，当 0x1 时， f (x) 0， 所以当 x＝0 时，f（x）取得最大值为 2。 点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为 0 的点是否是极值点还取决与该点 两侧的单调性，导数为 0 的点未必都是极值点，如：函数 f (x) x3 。
①求导数 f (x) 。
②求方程 f / (x) 0 的根.
③列表； ④下结论。 7. 函数的最大值和最小值
（1） 设 y f (x) 是定义在区间a,b上的函数， y f (x) 在(a, b) 内有导数，求函数
y f (x) 在a, b 上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求 y f (x) 在(a, b) 内的极值.
D． 0
（2） 已知曲线 y 1 x3 m 的一条切线方程是 y 4x 4 ，则 m 的值为
3
A. 4
B. 28
3
3
4 28 C. 或
33
2 13 D. 或
33
（3） 若曲线
的一条切线 与直线
垂直，则 的方程为
A.
B．
C．
D．
（4）已知函数 f (x) ax3 (2a 1)x2 2 ，若 x 1 是 y f (x) 的一个极值点，则 a 值
切线的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：
y y0 f ' (x0)(x x )0
3. 导数的四则运算法则：
1） ( f (x) g(x)) f (x) g (x)
2）[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x)
3）
f (x) g(x)
lim
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
由于函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )) 处切线的斜率，
因此，曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数 y f (x) 在点 x x0 处的导数，即曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处
导数及其应用
一、知识点梳理
1.导数：当x 趋近于零时， f (x0 x) f (x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ ”记作： x
当x 0 时， f (x0 x) f (x0 ) c 或记作 lim f (x0 x) f (x0 ) c ，符号
x
x0
x
“ ”读作“趋近于”。函数在 x0 的瞬时变化率，通常称作 f (x) 在 x x0 处的导数，并
(7) (ex ) ex
(8) (a x ) a x ln a
5. 函数的单调性：
在某个区间(a, b) 内，如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y
f (x) 在这个区间内单调递增；如果
f ' (x) 0 ，那么函数 y
f (x) 在这个区间内单调递减。
6. 函数的极值
求函数 f (x) 极值的步骤:
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例3：设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1, 其中a 1. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论
f(x)的极值。
解：由已知得 f ' (x) 6x x (a 1)，令 f ' (x) 0 ，解得
x 0, x a 1。
1
2
（Ⅰ）当 a 1 时， f ' (x) 6x2 ， f (x) 在(, ) 上单调递增；
f (x) 的极值点.
(2) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系 式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函
数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大
（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为 0，那么立即可