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同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
导数及其应用教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教案教案概述：本教案旨在引导学生全面了解导数的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
通过理论讲解、示例分析和实践练习，培养学生对导数的理解和运用能力，提高他们解决实际问题的能力。
教学目标：1. 理解导数的定义和性质；2. 掌握常见函数的导数计算方法；3. 理解导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用；4. 运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 常见函数的导数计算方法；3. 导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用。
教学难点：1. 导数在实际问题中的应用；2. 运用导数解决复杂实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、示例题、练习题、实际问题案例等；2. 学生准备：教材、笔记本、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，与学生一起回顾函数的变化率和斜率的概念；2. 提问：你认为如何计算函数在某一点的变化率或斜率？二、理论讲解（15分钟）1. 讲解导数的定义和性质，包括函数在某一点的导数定义、导数的几何意义和导数的性质；2. 通过示例解释导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数计算；3. 引导学生理解导数的物理意义，如速度、加速度等的概念。
三、示例分析（15分钟）1. 分析示例题，引导学生运用导数的定义和性质计算函数的导数；2. 分析函数图像的特征，如切线、极值点等，与导数的关系；3. 分析曲线运动的问题，如速度、加速度等与导数的关系。
四、实践练习（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，涵盖导数的计算、函数图像分析和实际问题应用等方面；2. 引导学生独立解题，鼓励他们思考和探索；3. 辅导学生解决遇到的问题，及时给予指导和反馈。
五、实际问题应用（15分钟）1. 提供一些实际问题案例，如物体的运动问题、最优化问题等；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并运用导数解决问题；3. 鼓励学生展示解题过程和结果，进行讨论和交流。
高考数学(文)：专题04 导数及其应用(教学案)含解析
【高考考纲解读】高考对本内容考查主要有：(1)导数几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数几何意义是曲线上在某点处切线斜率，能够解决与曲线切线有关问题；(2)导数运算是导数应用基础，要求是B级，熟练掌握导数四则运算法则、常用导数公式及复合函数导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用第一步；(3)利用导数研究函数单调性与极值是导数核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数单调性与极值要达到相等高度.(4)导数在实际问题中应用为函数应用题注入了新鲜血液，使应用题涉及到函数模型更加宽广，要求是B级；(5)导数还经常作为高考压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强分析能力和计算能力、估计以后对导数考查力度不会减弱、作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数讨论，这也是难点之所在.【重点、难点剖析】1、导数几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线斜率，即k＝f′(x0)、(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)、2、基本初等函数导数公式和运算法则(1)基本初等函数导数公式原函数 导函数f (x )＝ c f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈R ) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin xf (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)f ′(x )＝a x lnaf (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x(a ＞0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x(2)导数四则运算①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u x vx ′＝u ′x v x －u x v ′x [v x ]2(v (x )≠0)、 3、函数单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数导数在这个区间上大(小)于零恒成立、在区间上离散点处导数等于零，不影响函数单调性，如函数y ＝x ＋sin x .4、函数导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值必要条件、例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
(推荐)高中数学选修2-2《导数及其应用》全章辅导学案(单元测试含答案)
选修2-2《导数及其应用》全章辅导学案第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数自主探究学习1．平均变化率:变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示， 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率。
若设12x x x -=∆， )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)，则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 2．导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.3．几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆。
名师要点解析要点导学1.)(x f 的对于区间（a ，b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f .2.（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率；（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-.3. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标；②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.在导数几何意义的应用过程中，应注意：切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上；③在切点处的切线斜率为)('0x f k =.5. 曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不.一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点. 【经典例题】例1物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是【 】A. 0～1s 时间段内的速率为9.8/m sB. 在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m sC. 在1s 末的速率为9.8/m sD. 若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率【分析】理解导数的概念，导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆表示在1s 末的速率.【解】C ．【点拨】本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t tS t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负【例2】（1）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； （2）求曲线y =3x 2在点(1,3)处的切线方程。
导数及其应用教案
课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
高中数学选修系列2选修22《导数及其应用》教案
导数及其应用教学目标：理解导数的概念，导数的某些实际背景（如瞬时速度，光滑曲线的切线斜率等）熟记函数y=c,y=x n 的导数公式，并能灵活应用。
重点和难点：利用导数会求某些函数的单调区间，极值，最值问题教学过程：一基础训练1x x y 33-=在R 上的单间递减区间是2．x x y +=3在A 处的切线斜率4，则点A 的坐标为3,一物体的运动方程是s=t t 21+- 其中的s 单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（A ）7米/秒 （B ）6米/秒 （C ）5米/秒 （D ）8米/秒4.=）（x f ）（122+x 求=）（0/f ． 5，已知mx mx x x f ++=23）（在R 上的增函数，则实数m 的取值范围6，y=x x 3223-在区间[-1，2]上的最大值是（ ）（A ）5- （B ）0 （C ）1- （D ）4二例题例1 从长32cm 的矩形簿铁板的四角截去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问截去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？例2 已知曲线x y 515=上一点处的切线与x y -=3垂直，求此切线方程。
例3 抛物线x y 24-=与直线x y 3=的交点为A,B 。
点P 在抛物线的弧上的A 到B 运动，求使△PAB 的面积为最大值时， P 点的坐标P(a,b)三练习1．曲线x x y +=2在点A （1，2）处的切线斜率是 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．曲线x y 2=上一点A （2，4），则曲线在点A 处的切线斜率是，此切线的方程是。
3．一作直线运动的物体，它的运动方程是t t s 21++=，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，则该物体在时间t=a 时瞬时速度是4．曲线x x y 24-=上两点A （4，0），B （2，4），若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是 （ ）（A ）（3，3） （B ）（1，3） （c ）（6，-12） （d ）（2，4）5．设函数5223++-=x x x x f ）（，若00/=）（x f ，则=x 0四作业1若函数d cx bx x y +++=23的单调递减区间是[-1，2]，则b=，c=。
单元教学设计《导数及其应用》
课题名称《导数及其应用》单元教学设计设计者姓名冯德福设计者单位酒泉市实验中学联系电话《导数及其应用》单元教学设计（冯德福酒泉市实验中学）一、教学要素分析1、数学分析（1）该单元在整个高中数学中的地位和作用导数的概念是大学数学微积分的核心概念之一，是中学数学中特别重要的内容，在中学数学与高等数学之间起着承前启后的衔接作用。
导数以不同的形式渗透到高中数学的好多方面，与高中数学的许多内容都有密切的联系。
导数是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式等的利器，为解决中学数学问题提供了新的视野。
在中学数学中的应用涉及到函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等方面.应用导数可以十分方便地处理中学数学问题. 同时导数也是解决一些物理、化学问题等其他实际问题等的有力工具。
（2）导数在实际生活中的应用导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有着十分广泛和主要的应用。
为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个物理问题作为典型实例，从平均变化率到瞬时变化率的过程，引出导数概念，揭示导数的本质——导数就是瞬时变化率。
这也是导数的物理意义。
现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等优化问题，这些问题常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就自然而然地用到导数了。
物理方面，学习了导数及其应用以后，学生可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s(t),算出物体的瞬时速度 , 瞬时加速度；对非稳恒电流，就可以算出其瞬时电流强度；化学与数学紧密相关。
化学中的反应速度、冷却速度等都可以通过微积分的方法来解决。
（3）该单元的蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价值在知识传授上，采用从特殊到一般，从猜想到探究，由感性上升到理性的思路，让学生充分感受数学知识产生过程，学会进行数学推理和探究方法。
同时，借助函数图象的直观性，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系――导数的几何意义，充分体现了数形结合思想和“无限逼近”的极限思想。
导数专题及其应用教案
导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。
二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。
三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。
四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。
五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。
六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。
教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。
《导数及其应用》单元教学设计
《导数及其应用》单元教学设计一、教学目标：1.知识与技能：（1）了解导数的定义和基本性质；（2）掌握导数的计算方法；（3）掌握导数在几何、物理、经济等领域中的应用。
2.过程与方法：（1）通过思维导图、案例分析等活动，培养学生的归纳、推理和解决问题的能力；（2）通过探究、实验等活动，培养学生的实验观察和动手能力；（3）通过小组合作、展示等活动，培养学生的团队合作和表达能力。
3.情感态度和价值观：（1）培养学生用数学思维解决实际问题的兴趣和意识；（2）培养学生负责任、团队合作的精神。
二、教学重点：1.导数的定义和基本性质；2.导数的计算方法；3.导数在几何、物理、经济等领域中的应用。
三、教学难点：1.如何正确计算导数；2.如何将导数应用到实际问题中。
四、教学过程：1.导入（5分钟）通过提问和展示实例，激发学生对导数的兴趣，引入导数的概念。
2.导数的定义和基本性质（25分钟）（1）引导学生通过观察一个物体运动的图像，思考在不同点的瞬时速度是否相同，并引出导数的定义；（2）通过数学符号和公式的方式，给出导数的定义和基本性质；（3）引导学生用导数的定义和基本性质解决一些实际问题，如求函数的增减区间、极值、拐点等。
3.导数的计算方法（20分钟）（1）介绍常用函数的导数的计算公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；（2）给学生练习计算简单函数的导数，并引导学生归纳出计算导数的一般方法；（3）通过练习和讨论，确保学生掌握计算导数的方法。
4.导数在几何、物理、经济等领域中的应用（30分钟）（1）通过案例分析和实例展示，引导学生认识导数在几何、物理、经济等领域中的应用；（2）给学生提供一些实际问题，让他们尝试用导数解决问题，并展示解决过程和结果；（3）通过小组合作和展示，让学生分享彼此的解决方法和经验。
5.总结与拓展（20分钟）（1）引导学生总结导数的定义、基本性质、计算方法和应用；（2）给学生提供一些拓展问题，让他们进一步思考导数的更多应用，并引导他们提出自己的问题和研究方向；（3）鼓励学生积极参与数学竞赛和科学研究，提高他们在数学领域的综合能力。
高中数学苏教版选修2-2第一章《导数及其应用》word导学案(含解析)
第1章导数及其应用第1课时平均变化率教学过程一、问题情境现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画?二、数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)[1]问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?[2]解通过讨论,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.概念理解1.具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.4.从形的角度:比较斜率的大小.[3]三、数学运用【例1】设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1)自变量的增量Δx;(2)函数的增量Δy;(3)函数的平均变化率.[处理建议]根据定义来求解.[规范板书]解(1)Δx=1.1-1=0.1.(2) Δy=1.12-1-(12-1)=0.21.(3)==2.1.[题后反思]求平均变化率时关键在于理解定义,知道Δx与Δy分别指的是什么.【例2】(教材第7页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P2)[处理建议]可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.[规范板书]解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2,函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2,函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2,函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.[题后反思]一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于k.变式若质点运动规律为S=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于5.【例3】如图所示,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)(例3)[处理建议]首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系.[规范板书]解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,时间为x,根据相似三角形列式== ,得y=x,人影长度变化速率为v===.[题后反思]几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题.*【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.[处理建议]引导学生利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解在[1,4]上的平均变化率为=10,在[1,2]上的平均变化率为=6,在[1,1.5]上的平均变化率为=5.变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.[规范板书]解在[1,2]上的平均变化率为=-.*【例5】求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.[处理建议]本题与前面几个例题的区别在于:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.[规范板书]解当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为=3+3x0Δx+Δx2.变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.[规范板书]解===.四、课堂练习1.黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是400.提示利用平均变化率的概念.2.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是5.提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3.若函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为2.提示由=3,得m=2.4.已知正方形原来的边长为4m,现在边长以 2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t(s)到t+1(s)时正方形的面积增加了(20+8t)m2.提示S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t(m2).五、课堂小结1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.第2课时曲线上一点处的切线教学过程一、问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法.[3]展示下图:(图1)(图2)二、数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?解曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图3)解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以右图为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[4]概念生成动画演示,观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.(图4)(图5) Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l 就称为曲线在点P处的切线.[5]问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[6]三、数学运用【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P3)(例1(1))(例1(2))(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?[处理建议]让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.[规范板书]解(1)与圆只有1个公共点的直线称为圆的切线.(2)图(1)中1个;图(2)中2个;不适用.[题后反思]强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[7]变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?[规范板书]解2个.【例2】(教材第9页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.(见学生用书P4)[处理建议]为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.[规范板书]解设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为k PQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.[题后反思]本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.[规范板书]解设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为k PQ==,当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.【例3】已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l 的方程.(见学生用书P4)[处理建议]应用平行直线的斜率关系和距离公式.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.设直线l的方程为4x+y+c=0,由题有=,解得c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.[题后反思]进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).变式若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.[处理建议]本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.[规范板书]解设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.由可求得a=-.*【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.[处理建议]本题应设出切点(x 0,),求出相应的切线方程,再利用此方程过点P(3,5),用待定系数法求出x0.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.[题后反思]本题会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6的错误.变式求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.[规范板书]解设所求切线的切点坐标为(x 0,),==3+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=-3(x0+1),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.[题后反思]易误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.四、课堂练习1.在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点P的切线的有②②.(填序号)(第1题)2.求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.解设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为k PQ==.当Δx无限趋近于0时,k PQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.3.已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.解利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)的斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.五、课堂小结[8]1.知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.2.思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想,用割线来逼近切线.3.总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例.[9]第3课时瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例.跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1求出运动员在2s到2.1s(即t℃[2,2.1])的平均速度.解==-13.59(m/s).问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.解t℃[2,2.01],==-13.149;t℃[2,2.001],==-13.1049;t℃[2,2.0001],==-13.10049;t℃[1.9,2], =-12.61;t℃[1.99,2],=-13.051;t℃[1.999,2],=-13.0951.问题3观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么?[2]解-13.1.概念生成一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】(教材第12页例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)[处理建议]利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t 0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.变式物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.解在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.【例2】一作直线运动的物体,其位移S与时间t的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.[处理建议]初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]解在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)v(0)=3.(2)v(2)=-1.(3)==-2.[题后反思]本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.(1)计算[t,t+Δt]内的平均速度;(2)求当t=0,1,2,3时刻的速度.[规范板书]解(1)在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以t s时轿车的瞬时速度为8-8t(m/s).t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.【例3】某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)[处理建议]本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.[规范板书]解酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===,当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.[题后反思]通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.变式设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.[处理建议]赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.*【例4】若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是②②②.(填序号)②物体在时间段[0,1]内的平均速度是m/s;②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;②物体在时间段[0,1]内经过的位移是m.[处理建议]本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.变式若作直线运动的物体的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.提示前3s内的平均加速度是=3(m/s2).在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.[题后反思]易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).四、课堂练习1.若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为-6.提示==-6.2.已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s的时刻是2s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.3.若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.提示在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.五、课堂小结1.平均速度的定义.2.瞬时速度的定义.3.求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]第4课时瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)[处理建议]让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.[规范板书]解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.[题后反思]本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS==g(3+Δt)2-=g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第5s末的速度.[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,由题得,3x2+1=4℃x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角.[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4℃x0=2,y0=4,即P(2,4).(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1℃x0=-,即P.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1℃x0=-,即P-,.*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.[规范板书]解由题意有解得.二、课堂练习1.借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:(第1题)解(第1题)2.质点沿x轴运动,设距离为x(m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.三、课堂小结1.曲线上一点处的切线的求法.2.运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3.导数的定义及几何意义.第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0℃(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解②求Δy;②求;②当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3℃x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解====3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x℃(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是②.(填序号)②在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);②在x=-1处的导数为f'(-1);②在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.第6课时常见函数的导数教学过程一、问题情境前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢?二、数学建构问题1回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤?解给定函数y=f(x),计算=,令Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).活动1根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.②y=kx+b(k,b为常数).解因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.引申:特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.②f(x)=x2.解因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.②f(x)=x3.解因为===3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.②f(x)=.解因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)=.问题2你能根据上述②~②发现什么结论?几个常用函数的导数:②(kx+b)'=k(k,b为常数);②(C)'=0(C为常数);②(x)'=1;②(x2)'=2x;②(x3)'=3x2;②=-;②()'=.对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出公式):②(xα)'=αxα-1(α为常数);②(a x)'=a x ln a(a>0,且a≠1);②(lo x)'=log a e=(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(ln x)'=;(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x.[1]三、数学运用【例1】求曲线y=cos x在点处切线的方程.(见学生用书P12)[处理建议]利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.[规范板书]解y'=-sin x,所以在点处切线的斜率k=-sin==-,即切线方程为x+2y-π-1=0.[题后反思]对于一些常见函数的求导问题,可以直接利用公式解题.变式求曲线y=在点处的切线的方程.[规范板书]y'=-,故点处的切线斜率为-,切线方程为x+4y-4=0.【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象的一条切线,求b及其切点坐标.(见学生用书P12)[处理建议]设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=2x0=4得出x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.[题后反思]本题应抓住切点的双重特性:点既在曲线上,也在切线上.变式若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,a),由f'(x0)=3a=3得出a=1,又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,x0=-,则a=4.【例3】在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线x ln 4-y+3=0.(见学生用书P12)[处理建议]利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.[规范板书]解设切点坐标为(x 0,),由f'(x0)=ln 2=ln 4得出x0=1,即该点坐标为。
导数的应用教案
导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。
2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。
3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。
教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。
2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。
教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。
2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。
探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。
2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。
3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。
拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。
2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。
实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。
2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。
总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。
2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。
课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。
2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。
3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。
导数及其应用(教学案)-2020年高考理数二轮复习精品资料Word版含解析
高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(x m)′＝mx m－1；③(sin x)′＝cos x; ④(cos x)′＝－sin x；⑤(e x)′＝e x; ⑥(a x)′＝a x ln a；⑦(ln x)′＝1x；⑧(log a x)′＝1x ln a.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[f xg x ]′＝f′x g x－f x g′xg2x.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′u u′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f (x )>0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；②当f (x )<0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；③当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .高频考点一 导数的几何意义及应用 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】-3 【解析】，则 所以【变式探究】(1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a1＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝3a ＋1，∴a ＝1.答案：1(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x ，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，∴a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 20＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程， ∴x 0＝－12，此时a ＝8.速解法：求出y ＝x ＋ln x 在(1,1)处的切线为y ＝2x －1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或a ＝0(显然不成立)．【变式探究】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：基本法：y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2，∴a ＝3，故选D. 答案：D高频考点二 导数与函数的极值、最值例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
导数及其应用全章教学案
课题：3.1.1平均变化率学习目标1、知识目标：通过实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.2、能力目标：由平均变化率的实际意义到数学意义，体现实际问题数学化的过程，并渗透“以直代曲”、“数形结合”的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力.3、情感目标：经历运用数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，感受数学产生和发展的规律，培养学生勇于探索、创新的个性品质.重点：平均变化率概念的建构和平均变化率的实际意义.难点：平均变化率的实际意义和数学意义的互相转化.学习过程、问一题情境1．在经营高邮双黄蛋的生意中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，谁的经2．观察：高邮市3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化曲线图问题1：观察图象，AB段与BC段气温的变化有什么特点？问题2：如何量化曲线的陡峭程度呢？二、学生活动围绕“如何量化曲线的陡峭程度”这一问题展开活动：1．讨论仅仅yC -yB的大小能否量化BC段陡峭程度，为什么？2．讨论用c bc by yx x--刻画曲线陡峭程度的合理性．三、建构数学1．通过讨论，给出平均变化率的定义：一般地，给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为2121()()f x f xx x--．2．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0.5与气温[32,34]上的变化率7.4，感知曲线陡峭程度的量化．3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构．四、数学应用1、例题分析例1 在经营高邮双黄蛋的生意中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，谁的经营成果好？变：在经营高邮双黄蛋的生意中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，谁的经营成果好？小结：解释经营成果的数学意义，说明仅考虑一个变量的变化是不形的．0.1()5tV t e-=⨯（单位：3cm），计算第一个10s内V的平均变化率．函数f（x）=2x+1，g（x）=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[]5,0上f（x）及g（x）的平均变化率．思考：一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？例4 已知函数2()f x x=，分别计算()f x在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]．2、练习：教材P59练习1、3五、回顾小结1．平均变化率一般的，函数()f x在区间[x1，x2]上的平均变化率为2121()()f x f xx x--．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略的刻画，有待进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立．例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积六、作业：Ｐ59练习2、4 课题：3.1.2瞬时变化率——导数(1)学习目标：1、知识与技能：理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度；理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力．2、过程与方法：掌握在一点处的导数的定义及其几何意义．3、情感态度与价值观：培养学生研究探索问题的能力，共同协作的精神，培养学生转化问题的能力及数形结合思想．学习重点：“以直带曲”的思想方法学习难点：“以直带曲”的思想方法的产生一、问题提出：1、什么叫做平均变化率；2、“曲线上两点的连线（割线）的斜率”与“函数f(x)在区间[xA，xB]上的平均变化率”有怎样的关系？3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、学生活动：下面我们来看一个动画．观察这个动画，在点P沿曲线向点Q运动时，随着点P 无限逼近点Q，观察割线PQ的斜率的变化趋势与曲线在点Q处的切线的斜率的关系．三、建构数学：1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x1，f(x1))，Q(x，f(x))，则割线PQ的斜率为11)()(xxxfxfkPQ--=，设x1－x=△x，则x1=△x＋x，∴xxfxxfkPQ∆-∆+=)()(当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，xxfxxfkPQ∆-∆+=)()(0无限趋近点Q处切线斜率．2、曲线上任一点(x，f(x))切线斜率的求法：xxfxxfk∆-∆+=)()(0，当△x无限趋近于0时，k值即为(x，f(x))处切线的斜率．3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度(4)求瞬时速度的步骤：①先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆②求平均速度tsv ∆∆=③求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度(5)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(6)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 四、数学应用1、例题分析：例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率．变式:1.求21()f x x =过点(1,1)的切线方程2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,求P 点的坐标． 3.已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么当t ∆无限趋近于0零时，ts∆∆无限趋近于(1)从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； (2)在t 时刻时该物体的瞬时速度； (3)当时间为t ∆时物体的速度； (4)从时间t 到t t +∆时物体的平均速度例 3 设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为3)(2+=t t v ．求0t t =s 时轿车的加速度．变式：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=221gt(1)求t=t 0s 时的瞬时速度 (2)求t=3s 时的瞬时速度 (3)求t=3s 时的瞬时加速度2、练习：P62练习、P64练习五、课堂小结：1、当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P的切线l ，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f ∆-∆+)()(无限趋近于点P ))(,(x f x 处的切线的斜率．2、当t ∆无限趋近于0时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于物体在0t 时刻的速度；当t ∆无限趋近于0时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于物体在0t 时刻的加速度．课题：3.1.2瞬时变化率——导数(2)学习目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力；3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美；学习重点：导数的概念的建立；学习难点：导数的概念． 学习过程： 一、创设情景1、平均变化率2、探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二、学生活动：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？三、建构数学1、导数的概念从函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，),(0b a x ∈，当x ∆无限趋近于0时，比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00 无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在0x x =处可导，并称常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)('0x f ．0000()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 2、导数的几何意义3、导函数的概念4、导数的物理意义四、数学应用 1、例题分析：例1．(1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．变式：已知函数23)(2+=x x f ，(1)求函数)(x f 在2=x 处的导数；(2)求函数)(x f 在a x =处的导数.例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．2、课堂练习:P66练习 五．回顾总结1、导数的概念；导数的几何意义与物理意义；2、导函数的概念．六．布置作业：P67习题4、81．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为 ．2．曲线221y x =+在点(1,3)的切线斜率为 ，切线方程为3．当h 无限趋近于0时， 22(3)3h h +-无限趋近于，无限趋近4(4,6)处的切线的方程为5．函数2y x =的图像在点39(,)416P 处切线的斜率是多少？写出该切线的方程．6．曲线2yx =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标．7．已知y ，求''1,x y y =8．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.9．求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.10．求曲线y =f (x )=x 3在点(1,1)处的切线；11．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．12．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．课题：3.2.1常见函数的导数学习目标：1)知识与技能目标：能根据导数的定义求几个简单函数的导数；加深对导数概念的理解；掌握初等函数的求导公式；2)过程与方法目标: 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法； 体会算法的思想，熟悉具体的操作步骤；3)情感与价值观:让学生再现知识的发生过程，发展学生的思维能力。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
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导数及其应用复习【知能目标】1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2、熟记基本导数公式：x m(m为有理数)、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
[教学方法]1.采用“学案导学”方式进行教学。
2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。
[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.[教学重点和难点]教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用【综合脉络】1.知识网络2.过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。
本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。
[教学过程]一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值二、基础回顾第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量= ；比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,当△x→0时，△y△x有极限，就说y=f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作或，当x变化时，f (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记f ' (x)=y '= lim △x →0f(x+△x)－f(x) △x2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2) 求平均变化率△y△x（3）取极限，得导数f ' (x)= lim △x →0△y △x3、导数的几何意义：f ' (x 0)是曲线y=f(x)在点P （x 0，f (x 0)）处的切线的 即4、几种常见函数的导数C '= (x n ) '= (sinx) '= (cosx) '=(e x ) '= (a x ) '= (lnx) '= (log a x) '=5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则[f(x) ± g(x)] '= [f(x) g(x)] '= [f(x) g(x)]'=6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数y x '=7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b ）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f ' (x) (2)解不等式f ' (x)>0(或f ' (x)<0)(3)确认并写出单调区间8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x 0附近所有的x 都有 ，则称f (x 0)是f(x)的一个极大值；如果对x 0附近所有的x 都有 ，则称f (x 0)是f(x)的一个极小值。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
理科高三数学教案：导数及其应用
理科高三数学教案：导数及其应用【】鉴于大伙儿对查字典数学网十分关注，小编在此为大伙儿搜集整理了此文理科高三数学教案：导数及其应用，供大伙儿参考!本文题目：理科高三数学教案：导数及其应用第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景;(2)明白得导数的几何意义.2.导数的运算(1)能依照导数定义，求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y= ，y= 的导数;(2)能利用差不多初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一样不超过三次);(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一样不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一样不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分差不多定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的差不多思想，了解定积分的概念;(2)了解微积分差不多定理的含义. 本章重点：1.导数的概念;2.利用导数求切线的斜率;3.利用导数判定函数单调性或求单调区间;4.利用导数求极值或最值;5.利用导数求实际问题最优解.本章难点：导数的综合应用. 导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一样、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所表达，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的差不多运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.知识网络3 .1 导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)=2ln 3x+8x，求f(1-2x)-f(1)x的值.【解析】由导数的定义知：f(1-2x)-f(1)x=-2 f(1-2x)-f(1)-2x=-2f(1)=-20.【点拨】导数的实质是求函数值相关于自变量的变化率，即求当x0时，平均变化率yx的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时刻t(min)的函数关系能够近似地表示为f(t)=t2100，则在时刻t=10 min的降雨强度为()A.15 mm/minB.14 mm/minC.12 mm/minD.1 mm/min【解析】选A.题型二求导函数【例2】求下列函数的导数.(1)y=ln(x+1+x2);(2)y=(x2-2x+3)e2x;(3)y=3x1-x.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.(2)y=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x=2(x2-x+2)e2x.(3)y=13(x1-x 1-x+x(1-x)2=13(x1-x 1(1-x)2=13x (1-x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))= ; f(1+x)-f(1)x= (用数字作答).【解析】f(0)=4，f(f(0))=f(4)=2，由导数定义f(1+x)-f(1)x=f(1).当02时，f(x)=4-2x，f(x)=-2，f(1)=-2.题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l：y=kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.【解析】由l过原点，知k=y0x0 (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0=x30-3x20+2x0，因此y0x0=x20-3x0+2.而y=3x2-6x+2，k=3x20-6x0+2.又k=y0x0，因此3x20-6x0+2=x20-3x0+2，其中x00，解得x0=32.因此y0=-38，因此k=y0x0=-14，因此直线l的方程为y=-14x，切点坐标为(32，-38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y=x3-3x+4的切线通过点(-2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y=3x2-3得切线的斜率为k=3x20-3.因此函数y=x3-3x+4在P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0).又切线通过点(-2,2)，得2-y0=(3x20-3)(-2-x0)，①而切点在曲线上，得y0=x30-3x0+4，②由①②解得x0=1或x0=-2.则切线方程为y=2 或9x-y+20=0.总结提高1.函数y=f(x)在x=x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求yx= f(x0+x)-f(x0)x的值;(2)先求导函数f(x)，再将x=x0的值代入，即得f(x0)的值.2.求y=f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式;(2)利用四则运算的导数公式;(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)，确实是函数y =f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1，+).f(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1，①若a0，则a+221，f(x)=2x(x-a+22)x-10在(1，+)上恒成立，因此a0时，f(x)的增区间为(1，+).②若a0，则a+221，故当x(1，a+22]时，f(x)=2x(x-a+22)x-1当x[a+22，+)时，f(x)=2x(x-a+22)x-10，因此a0时，f(x)的减区间为(1，a+22]，f(x)的增区间为[a+22，+).【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数a+22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范畴.【解析】因为f(x)=2x+1x-a，f(x)在(0,1)上是增函数，因此2x+1x-a0在(0,1)上恒成立，即a2x+1x恒成立.又2x+1x22(当且仅当x=22时，取等号).因此a22，故a的取值范畴为(-，22].【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立;同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要依照不等式恒成立的条件来求参数的取值范畴了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值;(2)试判定x=1是函数的极小值点依旧极大值点，并说明理由.【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c.因为x=1是函数f(x)的极值点，因此x=1是方程f(x)=0，即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)=-1，因此a+b+c=-1. ③由①②③解得a=12，b=0，c=-32.(2)由(1)得f(x)=12x3-32x，因此当f(x)=32x2-320时，有x-1或x当f(x)=32x2-320时，有-1因此函数f(x)=12x3-32x在(-，-1)和(1，+)上是增函数，在(-1,1)上是减函数.因此当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f (1)=-1.【点拨】求函数的极值应先求导数.关于多项式函数f(x)来讲，f(x)在点x=x0处取极值的必要条件是f(x)=0.然而，当x0满足f(x0)=0时，f(x)在点x=x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.同时假如f(x)在x0两侧满足左正右负，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值;假如f(x)在x0两侧满足左负右正，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.【变式训练2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，(x-32)f(x) 0，若x13，则有()A. f(x1)f(x2)C. f(x1)=f(x2)D.不确定【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32)，即f(32-x)=f(x+32)，因此函数f(x)的图象关于x=32对称.又因为(x-32)f(x)0，因此当x32时，函数f (x)单调递减，当x32时，函数f(x)单调递增.当x1+x22=32时，f(x1)=f(x2)，因为x1+x23，因此x1+x2232，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，因此f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)=ln(1+x)-14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f(x)=11+x-12x，令11+x-12x=0，化简为x2+x-2=0，解得x1=-2或x2=1，其中x1=-2舍去.又由f(x)=11+x-12x0，且x[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，因此f(1)=ln 2-14为函数f(x)的极大值.又因为f(0)=0，f(2)=ln 3-10，f(1)f(2)，因此，f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，第一需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.【变式训练3】(2021江苏)f(x)=ax3-3x+1对x[-1,1]总有f(x)0成立，则a= .【解析】若x=0，则不管a为何值，f(x)0恒成立.当x(0,1]时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，设g(x)=3x2-1x3，则g(x)=3(1-2x)x4，x(0，12)时，g(x)0，x(12，1]时，g(x)0.因此g(x)max=g(12)=4，因此a4.当x[-1,0)时，f(x)0能够化为a3x2-1x3，现在g(x)=3(1-2x)x40，g(x)min=g(-1)=4，因此a4.综上可知，a=4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D;(2)求导数f(3)依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间;依照f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(2)求方程f(x)=0的根;(3)判定f(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在那个根处取极大值依旧取极小值.3.求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)=12x2+ln x.(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域;(2)求证：x1时，f(x)23x3.【解析】(1)由已知f(x)=x+1x，当x[1，e]时，f(x)0，因此f(x)在[1，e]上为增函数.故f(x)max=f(e)=e22+1，f(x)min=f(1)=12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22+1].(2)证明：令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x，则F(x)=x+1x-2x2=(1-x) (1+x+2x2)x，因为x1，因此F(x)0，故F(x)在(1，+)上为减函数.又F(1)=-160，故x1时，F(x)0恒成立，即f(x)23x3.【点拨】有关超越性不等式的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】选B.题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x) x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即n=mx-1.因此y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(mx-1)+mx(2+x)x=256mx+mx+2m-256.(2)由(1)知f(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).令f(x)=0，得x =512.因此x=64.当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数.因此f(x)在x=64处取得最小值.现在n=mx-1=64064-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2021上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r+2h)=9.6，因此2r+h=1.2.S=2.4r2，h=1.2-2r0，因此r0.6.因此S=2.4r2(0令f(r)=2.4r2，则f(r)=2 .4r.令f(r)=0得r=0.4.因此当00;当0.4因此r=0.4时S最大，Smax=1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x，xR.(1)当m=3时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且.若对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范畴.【解析】(1)当m=3时，f(x)=13x3-3x2+5x，f(x)=x2-6x+5.因为f(2)=23，f(2)=-3，因此切点坐标为(2，23)，切线的斜率为-3，则所求的切线方程为y-23=-3(x-2)，即9x+3y-20=0.(2)f(x)=x2-2mx+(m2-4).令f(x)=0，得x=m-2或x=m+2.当x(-，m-2)时，f(x)0，f(x)在(-，m-2)上是增函数;当x(m-2，m+2)时，f(x)0，f(x)在(m-2，m+2)上是减函数;当x(m+2，+)时，f(x)0，f(x)在(m+2，+)上是增函数.因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，，，且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)]，因此解得m(-4，-2)(-2,2)(2,4).当m(-4，-2)时，m-2因此现在f()=0，f(1)f(0)=0，与题意不合，故舍去.当m(-2,2)时，m-20因此因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1.当m(2,4)时，0因此0因为对任意的x[，]，都有f(x)f(1)恒成立，因此1.因此f(1)为函数f(x)在[，]上的最小值.因为当x=m+2时，函数f(x)在[，]上取最小值，因此m+2=1，即m=-1(舍去).综上可知，m的取值范畴是{-1}.【变式训练3】已知f(x)=ax2(aR)，g(x)=2ln x.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范畴.【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(1a，+)，递减区间为(0，1a);当a0时，F(x)的递减区间为(0，+).(2)[12ln 2，1e).总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，第一应熟练地将方程、不等式问题直截了当转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分差不多定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】运算下列定积分的值.(1) (x-1)5dx;(2) (x+sin x)dx.【解析】(1)因为[16(x-1)6]=(x-1)5，因此(x-1)5dx= =16.(2)因为(x22-cos x)=x+sin x，因此(x+sin x)dx= =28+1.【点拨】(1)一样情形下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;(3)关于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx=2 f(x)dx;②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx=0.【变式训练1】求(3x3+4sin x)dx.【解析】(3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线y=3x3+4si n x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x).因此f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，因此(3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，因此(3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.题型二利用定积分运算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，-4)，则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx=163+383=18.方法二：S= [(4-y)-y22]dy= =18.【点拨】依照图形的特点，选择不同的积分变量，可使运算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为1 16，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k =4.由得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.因此阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0 =1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时刻t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.【解析】(1)当01时，v(t)0，当12时，v(t)0，因此前2秒内所走过的路程为s= v(t)dt+ (-v(t))dt= (1-t2)dt+ (t2-1)dt= + =2.2秒末所在的位置为x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.因此它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.(2) 物体的速度为v=(bt3)=3bt2.媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k0.当x=0时，t=0;当x=a时，t=t1=(ab) ，又ds=vdt，故阻力所做的功为W阻= ds = kv2vdt=k v3dt= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y(0，+).令函数f(x)=F[1，log 2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，因此f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x +9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x) =2x-4.因此解得B(3,6)，因此S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.总结提高1.定积分的运算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.?2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?3.利用定积分求平面图形面积的步骤：?(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;?(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;?(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;?死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
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一、知识点梳理
1.导数：当x 趋近于零时， f (x0 x) f (x0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ ”记作： x
当x 0 时， f (x0 x) f (x0 ) c 或记作 lim f (x0 x) f (x0 ) c ，符号
x
x0
x
“ ”读作“趋近于”。函数在 x0 的瞬时变化率，通常称作 f (x) 在 x x0 处的导数，并
例3：设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1, 其中a 1. （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论
f(x)的极值。
解：由已知得 f ' (x) 6x x (a 1)，令 f ' (x) 0 ，解得
x 0, x a 1。
1
2
（Ⅰ）当 a 1 时， f ' (x) 6x2 ， f (x) 在(, ) 上单调递增；
注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数 f (x) 取值为 0 的点可能是它的极值点， 也可能不是极值点。例如函数 f (x) x3 的导数 f (x) 3x2 ，在点 x 0 处有 f (0) 0 ，
即点 x 0 是 f (x) x3 的驻点，但从 f (x) 在 ,上为增函数可知，点 x 0 不是
当 a 1时， f ' (x) 6x x a 1 ， f ' (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表：
x f ' (x) f (x)
(, 0) + A
0 0 极大值
(0, a 1) A
a 1
0 极小值
(a 1, ) A
从上表可知，函数 f (x) 在(, 0) 上单调递增；在(0, a 1) 上单调递减；在(a 1, ) 上 单调递增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a 1 时，函数 f (x) 没有极值；
切线的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：
y y0 f ' (x0)(x x )0
3. 导数的四则运算法则：
1） ( f (x) g(x)) f (x) g (x)
2）[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x)
3）
f (x) g(x)
记作 f (x0 ) 。
即
f
'
(x0
)
lim
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
2. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动 在某一时刻的瞬时速度。
即若点 P(x0 , y0 ) 为曲线上一点，则过点 P(x0 , y0 ) 的切线的斜率
k切
f
'
(x0 )
D． 0
（2） 已知曲线 y 1 x3 m 的一条切线方程是 y 4x 4 ，则 m 的值为
3
A. 4
B. 28
3
3
4 28 C. 或
33
2 13 D. 或
33
（3） 若曲线
的一条切线 与直线
垂直，则 的方程为
A.
B．
C．
D．
（4）已知函数 f (x) ax3 (2a 1)x2 2 ，若 x 1 是 y f (x) 的一个极值点，则 a 值
f (x) 的极值点.
(2) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系 式，并确定其定义域.如
数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大
（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为 0，那么立即可
为
（）
A．2
B.-2
2
C.
7
例 2． f (x) x3 3x2 2 在区间1,1上的最大值是
D.4 2。
解：当－1x0 时， f (x) 0，当 0x1 时， f (x) 0， 所以当 x＝0 时，f（x）取得最大值为 2。 点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为 0 的点是否是极值点还取决与该点 两侧的单调性，导数为 0 的点未必都是极值点，如：函数 f (x) x3 。
①求导数 f (x) 。
②求方程 f / (x) 0 的根.
③列表； ④下结论。 7. 函数的最大值和最小值
（1） 设 y f (x) 是定义在区间a,b上的函数， y f (x) 在(a, b) 内有导数，求函数
y f (x) 在a, b 上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求 y f (x) 在(a, b) 内的极值.
lim
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
由于函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )) 处切线的斜率，
因此，曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数 y f (x) 在点 x x0 处的导数，即曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处
②将 y f (x) 在各极值点的极值与 f (a) 、 f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值.
（2） 若函数 f (x) 在 a,b上单调增加，则 f (a) 为函数的最小值， f (b) 为函数的最大值；
若函数 f (x) 在 a,b上单调递减，则 f (a) 为函数的最大值， f (b) 为函数的最小值.
以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。 （3） 极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
二、典型例题解析：
例1
（1）
若函数
y
f
(x) 在区间(a, b) 内可导，且
x0 (a,
b)
则lim h0
f
(x0
h)
f h
(x0
h)
的
值为（ ）
A. f ' (x0 )
B. 2 f ' (x0 )
C． 2 f ' (x0 )
(7) (ex ) ex
(8) (a x ) a x ln a
5. 函数的单调性：
在某个区间(a, b) 内，如果 f ' (x) 0 ，那么函数 y
f (x) 在这个区间内单调递增；如果
f ' (x) 0 ，那么函数 y
f (x) 在这个区间内单调递减。
6. 函数的极值
求函数 f (x) 极值的步骤:
g(x) f (x) f (x)g (x)
g 2 (x)
4. 几种常见函数的导数：
(1) C 0(C为常数) (2)（xn） nxn1 (n Q) (3) (sin x) cos x (4)
(cos x) sin x
(5) (ln x) 1 x
(6) (loga
x)
1 log e xa