概率论第三章第5节函数的分布PPT课件
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分布函数.ppt
)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它.
x
0dx,
x a,
F( x) P( X x)
a
0dx
a
0dx
x 1 dx, a ba b 1 dx a ba
a x b,
x
0dx, x b.
b
即
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
x a, a x b,
x b.
(2) 0 F(x) 1, x (,)并且
F () lim F ( x) 0, F() lim F( x) 1;
x
x
(3) xl即imx任0 F一( x分) 布 F函(数x0 处), 处(右连 续x0. ).
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a),
(2) P{X a} 1 F(a). (3)设 X 是离散型随机变量，其分布律为
f
(
x)
(1
1 x)2
,
x 0,
0,
x 0.
P{X 3} P{X 3} F(3) 3 / 4,
P{2 X 5} P{2 X 5} F (5) F (2) 5 / 6,
P{ X 1} 1 P{ X 1} 1 F (1) 1 1 / 2 1 / 2.
PX xk pk , k 1,2, 则
10 F( x) P{ X x} pk
xk x
20 P{a X b} F(b) F(a) P{X a} 30 P{a X b} F(b) F(a) P{X a} P{X b} 40 P{a X b} F(b) F(a) P{X b}.
(4) 设X为连续型随机变量, 则
《概率论》课程PPT ：随机变量函数的分布
的分布。
一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取 值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。
密度函数
fX (x)
随机变量
X
分布函数
F X (x)
fY ( y)
Y g(X)
随机变量的函数
FY ( y)
离散随机变量的函数的分布
若X为离散型 随机变量, 其分布律为
-2
-1
-15/4
-11/4
5
7
1/12 1/12
3/12
2/12
1/12
2/12
2/12
两个独立随机变量的和的分布
如果X与Y相互独立
X Y
~ ~
PP((21))
X
Y
~
P(1
2 )
X ~ B(m, p)
Y
~ B(n,
p)
X
Y
~
B(m
n,
p)
例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），
解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格
(X ,Y ) (1, 2) (1, 1) (1,0) (1 , 2) (1 , 1) (3, 2)
2
2
概率
1/12
1/12
3/12
2/12
1/12
2/12
(3, 0)
2/12
X Y
-3
-2
-1
-3/2
-1/2
1
3
X Y
1
0
-1
5/2
3/2
X
9.5 10
10.5 11 求周长及面积的分布律．
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
随机变量函数分布 PPT资料共16页
x2y2 z
zd
0
2 e222d
0
(
0
x cos y sin z,0
2
)
z 0
e
2 2 2
d
2 2 2
1e2z22雅可比(z式：0J)
fZ
(z)
z
2
z2
e 22 , z 0
的分布 设 z g(x, y)是一个二元函数 怎样求 r.vZg(X,Y)的分布？
FZ(z)P{Zz}
P{g(X,Y)z}
f(x,y)dxdy
g(x,y)z
zfZ(u)du
Z~ fZ(z)
第三章 多维随机变量及其分布
§5 两个随机变量的函数的分布 4/15
Fmax(z)F2(z)
fm a x (z ) 2 f(z )F (z )
2f(z)zf(t)dt
F m in(z) 1 [1F (z)]2
fm a x ( z ) 2 f( z ) [ 1 F ( z ) ]
2f(z)[1zf(t)dt]
第三章 多维随机变量及其分布
0 , x 0
z 0
1ex/
1e(zx)/I dx,z0
0,
I I z 0
z
2
ez
/
,
z
0
0 , z 0
设 X1,X2,,Xn相互独立且都服从参数为 的指数分布 求 X1X2Xn的分布密度.
设法导出递记推公X 1 式X ，2然后用Xn归~纳第fn三(法z章),证则多明维f随2(机z变) 量及z 其f1分(z布)
离散型随机变量的函数的分布.ppt
注意 若 g( xk )中有值相同的,应将相应的 pk 合并.
如果设
X 1 1 2
pk
1 6
23 66
则 Y X 2 5 的分布律
Y 4
1
1
1
p
2
2
二.连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X 具有概率密度
fX
(x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其他.
求随机变量Y 2X 8的概率密度 .
h(v)arcsin v ,
A
h(v)
1, A2 v2
又, 的概率密度为
f
(
)
1
,
,
2
2
0, 其他
由(5.2)式得V Asin 的概率密度为
(v
)
1
0,
注意
1, A2 v2
A v A, 其他
若 ~ U (0, ), 此时v g( ) Asin 在(0, )上
不是单调函数.
设在[a,b]上恒有g( x) 0(或恒有g( x) 0), 此时,
a min{g(a), g(b)}, max{g(a), g(b)}.
例4 设随机变量X ~ N(, 2 ). 试证明X的线
性函数Y aX b(a 0)也服从正态分布.
证 X 的概率密度为
fX (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
离散型随机变量的函数的分布一一连续型随机变量的函数的分布二二的一切可能值是定义在随机变量的取值随着若随机变量为随机变则称随机变量y的分布如何来求随机变量的分布若已知的随机变量x问题具有以下分布律设随机变量x是离散型随机变量如果x也是离散型随机变量的分布律为合并应将相应的具有概率密度设随机变量x的概率密度求随机变量的分布函数为分别记求导数关于具有分布概率密度设随机变量的分布函数为分别记的分布函数先来求求导数关于51例如服从自由度为此时称具有概率密度设随机变量处处可导且恒有设函数的情况我们只证其反函数存在的反函数为的分布函数现在先求y求导数关于其他
三章5节函数的分布ppt课件
。
目 录 前一页 后一页 第2退6页 出
第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数分布
更一般地，我们有如下 结论：
如果随机变量
X
，
1
X
，
2
，
Xn
相互独立，
X i
~
N
，
i
2 i
第三章 随机变量及其分布
在实际问题中，经常会碰到需要求随机变量函数
分布问题。比如：在以下系统中，每个元件寿命
分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们
想知道系统寿命 Z 分布。
1）
Z min( X ,Y )
2）
Z max(X ,Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数分布问题。
目 录 前一页 后一页 第1退页 出
例 1（续）
f x， y
1
x2 y2
e2
2
x，y
所以，Z X 2 Y 2 的分布函数为
FZ z PZ z P X 2 Y 2 z
若 z 0 ，则 FZ z 0
若 z 0 ，则 FZ z P X 2 Y 2 z
f x， ydxdy
x2 y2 z
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z0 z0
所以，Z X 2 Y 2 的密度函数为
f Z
z
ze
z2 2
0
z0 z0
目 录 前一页 后一页 第6退页 出
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数分布
例 2 设随机变量 X 与Y 相互独立，X ~ U 0， 1，
Y ~ 参数为1的指数分布，令 Z X 2Y，
第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数分布
《概率论》课程PPT ： 随机变量的分布函数
4
(1, 5)
0 其它
求 X 的分布函数
y
解 当x1时
x
F (x) f (x)dx
0 1 2345 x x
当1 < x 5 时F (x)
x
f (x)dx
1
f (x)dx
x
f (x)dx
1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)
F(x)
2x 0
0 x 1 otherwise
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个
普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
P(X 1)
f (x)dx
3e3xdx e3
1
1
《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布
FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
概率论与数理统计(第3-5章)
2y1
y 2
y 1时 ，
F(x,y) 4dxdy 4S三角形1
三角形
整理课件
所以，所求的分布函数为
0,
(x 1 或y 0) 2
2
y
2
x
y 2
1
,
( 1 x 0, 0 y 2 x 1) 2
F
(x,
y)
4
x
1 2
2
,
( 1 x 0,2x 1 y) 2
2
y
f(x,y) 1 8(6xy), 0x2,2y4
0,
其 他
求概率 PXY4X1
解答 PXY4X1
4
PXY4,X1
2
PX1
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
1
4 1 (6 x 28
y)整d理y课件
38
18
12
二维均匀分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
D
1
dx
31(6xy)dy
0 28
0 11 8(6yxy1 2y2)3 2dx8 3
2 12
整理课件
续解 ……….
PXY3f(x,y)dxdy
D
1
dx
3x1(6xy)dy
0 28
011 8(6yxy1 2y2)3 2xdx
5 24
整理课件
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第五节：两个随机变量的函数的分布(1)
当 0<s<2时, 如图所示, 有:
概率论
F(s) f (x,y)dxd y1 1
xys
2
2
s
1 sd ydx x
s (1 ln2 lns) 2
于是:
0,
F
(s)
s 2
(1
ln2
lns),
1,
s 0, 0 s 2,
s2
故S的概率密度为:
f
(s)
F
(s)
1 (ln 2 2
ln
由独立性
i0
r
P( X i)P(Y r i)
i0
=a0br+a1br-1+…+arb0 , r=0,1,2, …
例2 若X 和Y 相互独立,
概率论
它们分别服从参数为 λ1, λ2 的泊松分布,
证明: Z=X+Y服从参数为λ1+λ2的泊松分布.
解: 依题意:
P(X
i)
e1 i 1
,
i = 0,
它们的分布函数分别为 FX(x) 和 FY(y), 我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互独立,
M
z
X Y
z z
于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:
1, 2,…;
P(Y
j)
e2 j 2
,j =
0, 1, 2, …
于是:
i!
j!
r
P(Z r) P(X i,Y r i)
i0
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
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§5 多维随机变量函数的分布
例 1（续）
作极坐 xrc标 o ， s变 yrs换 in ， 则有
FZ
z
1
2
z
r2
d e 2 rdr
2 0 0
z 0
r2
e2
rdr
z r2
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z 0 z0
所以Z， X2 Y2 的密度函数为
fZ z zez22
0
z 0 z 0
目 录 前一页 后一页 退 出
2
x， y
所以Z， X2 Y2 的分布函数为
F Z z P Z z PX 2 Y 2 z
若z 0，则FZz0
若z 0，则 F Z z P X 2 Y 2 z
f x，ydxdy 1
x2y2
e 2 dxdy
x2yБайду номын сангаасz
2 x2y2z
目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
2）连续型随机变量和的分布
设 X， Y是二维连续 ， 型 其 随 联 机 合 变 数为 fx，y，令 ： ZXY，
可知Z 随 X 机 Y 的 变 取 量 0 ， 值 1 ， 2 ， 也 ， 是
而且，
PZnP X Yn P nXk， Ynk
k0
目 录 前一页 后一页 退 出
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例 3（续）
n
PXk，Ynk
k0
n
PXkPYnk
k0
n k
1 e1
nk
(2 )0z 1 ,F Z (z)
z z2y
2 00
f(x,
y)dxdy
z 2
z2y eydxdy
00
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
下面 Z 变 先量 求的 解 F Z(z)分 然 , 布 后 fZ(z)函 求 F Z '(z数 )解
(3)z1,F Z(z) P(X2Yz)
第三章 随机变量及其分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的
分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命
分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们
想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
ZmiX n,Y()
2）
ZmaXx,Y()
3）
ZXY
这就是求随机变量函数的分布问题。
目 录 前一页 后一页 退 出
X ,Y 相 互 f(x 独 ,y ) 0 e 立 y其 y ， 0 且 他 0x 1
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
下面 Z 变 先量 求的 解 F Z(z)分 然 , 布 后 fZ(z)函 求 F Z '(z数 )解
F (z) Z
P(Zz)
P (X2Yz)
(1 )z0,F Z(z)0
由此Z得 XY的分布律 Z 为 1 2 3
P
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115 488
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例3
设 随机 变 X与 量 Y相 互独 立， 且 分 参别 数服 为
1 与2的Poisso分n布 ，Z令 XY， 试 求 随
机 变Z量 的 分布 律．
解：
由随机 X与 Y变 的量 取0 值 ， 1， 都 2， 是 ，
解题步骤（分布函数法）：
先求随 Z g 机 X ， Y 变 的量 分 F Z 函 z 布 ，
再 求 随 机 Zg 变 X ， Y 量 的函 密数 度 fZzF Z z，
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例1
设随X 机 与 Y相 变互 量 X 独 ~N 0 ， 立 1， Y ， ~N 0 ， 1，
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例 2 设随机 X与 变 Y相 量互独 X~立 U0， ， 1，
Y~参 数 1的为 指 数 ，分 Z 令 布 X2Y，
解： 试求随Z机 的变 密量 度函数．
X~U (0,1)
11x0 f(x) 0 其他
Y~参1 的 数指 数 f(y) 分 ey 布 y0 0 y0
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
解： 由于X与Y的取值,知Z XY的取值1,为 2, 3.
PZ1 P X 1 ， Y 0 1 ； 4
PZ2 P X 1 ， Y 1 P X 2 ， Y 0
0 1 1 ； 88
PZ3 P X 2 ， Y 1 5 ； 8
1
n 2
即， PZn 12ne12
n !
结论：
n 0 ， 1 ， 2 ，
若随机变 X与量 Y相互独立，且参 分数 别为 服
1 与2的Poiss分 on布，则
Z X Y 服从 1 参 2 的 P数 o分 is为 s布 o
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
1 zx
2 f(x,y)dydx 00
1
zx
2 eydydx
00
f (z)F'(z)
Z
Z
第三章 随机变量及其分布
二、和的分布
§5 多维随机变量函数的分布
1）离散型随机变量和的分布
例 2 设二维离散 X ， 型 Y的 随 联 机 合 变 分
Y X
0
1
1
1 4
0
2
1 8
5 8
令Z ： XY，试求随 Z的 机分 变布 量律
第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布
•一般情形求随机变量函数分布的方法 •和的分布 •商和乘积的分布(了解） •极值分布
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
一、一般情形问题(分布函数法)
已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。
令 ZX 2Y2，试求 Z 的 随密 机度 变函 量数
解： 由题意，可知
fXx
1
x2
e2
2
x ,
fYy
1
y2
e2
2
y ,
由X 于 与 Y是相互独立 X ， Y的 的， 联所 合
数为
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例 1（续）fx， y1ex2 2y2
e 2
2
k0 k!
nk!
n
e12
1
k0k!nk!
1 k
nk 2
e12 n
n !
n ! k0k!nk!
1 k
nk 2
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第三章 随机变量及其分布 例 3（续）
§5 多维随机变量函数的分布
e12 n!
n
Cn k
k0
1 k
e nk 2
12
n!