概率论第三章第5节函数的分布PPT课件

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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
解： 由于X与Y的取值,知Z XY的取值1,为 2, 3.
PZ1 P X 1 ， Y 0 1 ； 4
PZ2 P X 1 ， Y 1 P X 2 ， Y 0
0 1 1 ； 88
PZ3 P X 2 ， Y 1 5 ； 8
X ,Y 相 互 f(x 独 ,y ) 0 e 立 y其 y ， 0 且 他 0x 1
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
下面 Z 变 先量 求的 解 F Z(z)分 然 , 布 后 fZ(z)函 求 F Z '(z数 )解
F (z) Z
P(Zz)
P (X2Yz)
(1 )z0,F Z(z)0
可知Z 随 X 机 Y 的 变 取 量 0 ， 值 1 ， 2 ， 也 ， 是
而且，
PZnP X Yn P nXk， Ynk
k0
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例 3（续）
n
PXk，Ynk
k0
n
PXkPYnk
k0
n k
1 e1
nk
2）连续型随机变量和的分布
设 X， Y是二维连续 ， 型 其 随 联 机 合 变 数为 fx，y，令 ： ZXY，
e 2
2
k0 k!
nk!
n
e12
1
k0k!nk!
1 k
nk 2
e12 n
n !
n ! k0k!nk!
1 k
nk 2
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第三章 随机变量及其分布 例 3（续）
§5 多维随机变量函数的分布
e12 n!
n
Cn k
k0
1 k
e nk 2
12
n!
1
n 2
即， PZn 12ne12
n !
结论：
n 0 ， 1 ， 2 ，
若随机变 X与量 Y相互独立，且参 分数 别为 服
1 与2的Poiss分 on布，则
Z X Y 服从 1 参 2 的 P数 o分 is为 s布 o
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
解题步骤（分布函数法）：
先求随 Z g 机 X ， Y 变 的量 分 F Z 函 z 布 ，
再 求 随 机 Zg 变 X ， Y 量 的函 密数 度 fZzF Z z，
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例1
设随X 机 与 Y相 变互 量 X 独 ~N 0 ， 立 1， Y ， ~N 0 ， 1，
1 zx
2 f(x,y)dydx 00
1
zx
2 eydydx
00
f (z)F'(z)
Z
Z
第三章 随机变量及其分布
二、和的分布
§5 多维随机变量函数的分布
1）离散型随机变量和的分布
例 2 设二维离散 X ， 型 Y的 随 联 机 合 变 分
Y X
0
1
1
1 4
0
2
1 8
5 8
令Z ： XY，试求随 Z的 机分 变布 量律
§5 多维随机变量函数的分布
例 1（续）
作极坐 xrc标 o ， s变 yrs换 in ， 则有
FZ
z
1
2
z
r2
d e 2 rdr
2 0 0
z 0
r2
e2
rdr
z r2
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z 0 z0
所以Z， X2 Y2 的密度函数为
fZ z zez22
0
z 0 z 0
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第三章 随机变量及其分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的
分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命
分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们
想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
ZmiX n,Y()
2）
ZmaXx,Y()
3）
ZXY
这就是求随机变量函数的分布问题。
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令 ZX 2Y2，试求 Z 的 随密 机度 变函 量数
解： 由题意，可知
fXx
1
x2
e2
2
x ,
fYy
1
y2
e2
2
y ,
由X 于 与 Y是相互独立 X ， Y的 的， 联所 合
数为
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例 1（续）fx， y1ex2 2y2
第三章 随机变量及其分布 §5 多维随机变量函数的分布
•一般情形求随机变量函数分布的方法 •和的分布 •商和乘积的分布(了解） •极值分布
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
一、一般情形问题(分布函数法)
已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y) 的概率密度。
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例 2 设随机 X与 变 Y相 量互独 X~立 U0， ， 1，
Y~参 数 1的为 指 数 ，分 Z 令 布 X2Y，
解： 试求随Z机 的变 密量 度函数．
X~U (0,1)
11x0 f(x) 0 其他
Y~参1 的 数指 数 f(y) 分 ey 布 y0 0 y0
由此Z得 XY的分布律 Z 为 1 2 3
P
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第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
例3
设 随机 变 X与 量 Y相 互独 立， 且 分 参别 数服 为
1 与2的Poisso分n布 ，Z令 XY， 试 求 随
机 变Z量 的 分布 律．
解：
由随机 X与 Y变 的量 取0 值 ， 1， 都 2， 是 ，
2
x， y
所以Z， X2 Y2 的分布函数为
F Z z P Z z PX 2 Y 2 z
若z 0，则FZz0
若z 0，则 F Z z P X 2 Y 2 z
f x，ydxdy 1
x2y2
e 2 dxdy
x2y2z
2 x2y2z
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第三Hale Waihona Puke Baidu 随机变量及其分布
(2 )0z 1 ,F Z (z)
z z2y
2 00
f(x,
y)dxdy
z 2
z2y eydxdy
00
第三章 随机变量及其分布
§5 多维随机变量函数的分布
下面 Z 变 先量 求的 解 F Z(z)分 然 , 布 后 fZ(z)函 求 F Z '(z数 )解
(3)z1,F Z(z) P(X2Yz)