三角函数恒等式的证明

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明

张思明

课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式

教学目的：

（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。

（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。

（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。

教学对象：高一（5）班

教学设计：

一．引题：（A，B环节）

1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？

拟答：

，

……

，

，

……

这些结果是诱导公式，的特殊情况。

1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。

1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有：

（1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2

(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2.

(3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.

(4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.

(6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC.

(7)

也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。

1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：

提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。

二．第一层次的问题解决（C，D环节）

2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。

证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。

（2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2

(3)左到右：化积--->--->留“1”提取-->化积

（4）左到右：化积--->提取---->化积sin2C=sin2(A+B)

(5)左到右：

（6）左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB)

(7)左到右：通分后利用（4）的结果

2．2教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？

体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。

2．3另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一组学生所选择书写的“例题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等……）。

2．4其他证法备考：

1．如右到左用积化和差，（略）

2．利用已做的习题：

先一般后特殊……

3．几何直观：

左式

右式

由此得证（4）

图 1

4．用/2-A/2，/2-B/2，/2-C/2代换A，B，C（仍保持三个角之和为）可速由（4）推出（1）；由（5）推出（2）……

三．探索发现练习（回朔与E环节）

3．1请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务

（1）找出更多的三角恒等式。

（2）用发散的方式寻求更多的结果。

可以自主肯定的结论记为“定理”，还不能肯定的结论暂记为“猜想”

3．2小组活动10分钟后，组代表上前表述“发现”，交流结果。

3．3教师注意记录学生的发现结果，挖掘“再发现”的潜力。

3．4结果的“予储”

（1）结果一般化：如

对cos, tg亦有类似结果……

（2）变维发散三角形变四边形，如对四边形ABCD有

，

sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*[cos(A-B)/2+cos(C-D)/2]

=4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4*cos(A+D-B-C)/4

=sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2

两边换成cos亦正确

进一步可探索四边形ABCD是平行四边形或是圆内接四边形时的相应结论。（3）逆序发散：

如对（6），原等式成立，能推出A+B+C=吗？

举反例可知不行，可推出A+B+C=k，k是整数。

（4）变形式发散：

再如对偶联想：上面的式子该成cos怎样？……

（5）批判式的发散：

等式的反面是不等式，可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式？

如对锐角三角形ABC，有sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

sinAsinBsinC>cosAcosBcosC。对一般三角形tgA+tgB+tgC=ctgA+ctgB+ctgC

恒不成立……

特别注意记录“意外”。

3．5评论与小结：

请学生评述本课解决的问题、自认为用到的重要方法和得到重要结果、并做小结。