概率论与数理统计：协方差和相关系数

协方差和相关系数

对二维随机变量),(Y X ，我们除了讨论X 与Y 的期望和方差之外，还

需讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。 § 协方差和相关系数 协方差的定义与性质

定义 设(,)X Y 是二维随机变量.若{[()][()]}E X E X Y E Y --存在,则称它为随

机变量

X 与Y 的协方差,记为Cov(,)X Y ,即

Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--.

常用下面的式子计算协方差

Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--()()()E XY E X E Y =-.

注：（1）X 与Y 的协方差),(Y X Cov 实质上是二维随机变量X 与Y 的函数

)]([()]([(Y E Y X E X -⋅-的期望，它是一个常数。

（2）当),(Y X 为二维离散型随机变量时，其分布律为

}{),2,1,,2,1(,, =====j i y Y x X P P j i ij ，则

ij i i j

i P Y E y X E x Y X Cov )]()][([),(1

1

--=

∑∑∞=∞

=；

（3）当),(Y X 为二维连续型随机变量时，),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数，则dxdy y x f Y E y X E x Y X Cov ),())(())((),(--=

⎰⎰

+∞∞-+∞

∞

-。

（4）利用期望的性质可得到协方差有下列计算公式：

)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=

证明：

)

()()( )()()()()()()( )]

()()()([ )]

())(([(),(Y E X E XY E Y E X E Y E X E Y E X E XY E Y E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=+--=+--=--=

此公式是计算协方差的重要公式，特别地取Y X =时，有

)()]())(([(),(X D X E X X E X E X X Cov =--=，易见，方差是协方差的特例，协

方差是方差的推广。

例4.39 已知),(Y X 的联合分布律为

求),(Y X Cov 。 解：X 的边缘分布：

Y 的边缘分布：

8.08.012.00)(2

1=⨯+⨯==

•

=∑i i

i p x X E ，

1.01.019.00)(21

=⨯+⨯==

•

=∑j i

i p y Y E ，

0118.0011.0101.000)(21

2

1

=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==

∑∑==ij i j j

i p y x XY E 08.01.08.00)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov 一般讲，)()

()(Y E X E XY E ≠ 例4.40 已知二维随机变量),(Y X 的分布律为

求Cov(,)X Y .

解 易知,

X

的分布律为

{0}0.4P X ==, {1}0.25P X ==, {2}0.35P X ==.

Y 的分布律为

{1}0.5P Y =-=, {0}0.3P Y ==, {2}0.2P Y ==.

因而 ()00.410.2520.350.95E X =⨯+⨯+⨯=,

()(1)0.500.320.20.1E Y =-⨯+⨯+⨯=- ()0(1)0.15000.25020E XY =⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯1(1)0.15100.05+⨯-⨯+⨯⨯+120.05⨯⨯

2(1)0.2200220.15+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯0.15=.

于是 Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-0.150.95(0.1)0.245=-⨯-=.

例4.41 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

01,01,

(,)0x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨

⎩，，

其他, 求 Cov(,)X Y . 解 因为

11

00

()(,)d d ()d d E X x f x y x y x x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

=⋅=⋅+⎰

⎰

⎰

⎰

1

017

()d 212

x x x =+=⎰, 11

00

()(,)d d ()d d E Y y f x y x y y x y x y +∞+∞

-∞

-∞

=

⋅=⋅+⎰⎰

⎰

⎰

1017()d 212

y y y =+=⎰

11

001()(,)d d ()d d 3

E XY xyf x y x y xy x y x y +∞

+∞

-∞

-∞

==⋅+=

⎰

⎰

⎰

⎰ 所以

Cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-.1441

12712731-=⨯-

=

例4.42 设),(Y X 服从在D 上的均匀分布，其中D 由X 轴、Y 轴及1=+y x 所围成，

求X 与Y 的协方差 ),(Y X Cov 。 解：∵D 的面积为2

1

=

S ⎩

⎨⎧∈=∴其他,0),(,2),(D

y x y x f

3

1)22(2)(10

2

1010=-==

⎰⎰⎰-dx x x xdydx X E x

3

1

)1(2)(1021010=-==⎰⎰⎰-dx x ydydx Y E x

12

1

)2()1(2)(1

322

1

1010

=

+-=-==

⎰⎰⎰⎰

-dx x x x dx x x xydydx XY E x

, 36

1

3131121)()()(),(=

⨯-=

-=Y E X E XY E Y X Cov 协方差的性质： 性质1 Cov(,)

Cov(,)X Y Y X =.

性质2

2

Cov(,){[()]}()X X E X E X D X =-=

.