平面向量与三角形四心问题

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(完整版)平面向量中的三角形四心问题(可编辑修改word版)

讲义-一平面向量与三角形四心的交汇一. 四心的概念介绍(1) 重心一-中线的交点：重心将中线长度分成2： 1;(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.二、四心与向量的结合(I)鬲+亦+冼= 6Q 0是AABC 的*心.(2) OA OB = OB'OC = OC OA^ 0 为 AABC 由墓心.(3)设zb. C 是三兔形的三条边瓠0旻A A RC 的内心 aOA-i~bOB ±cOC = 0 o O 为 MBC 的内卍，三、典型例题:例1： 0是平®上L 定点• A. B 、C 是平®上不共ft 的三个勲动点P 満足丽M 页+ >1(而+疋. X e [O.-i-oo) • «点P 的轨谜一定遷过例 2： (03全ffl 理4 )。

是孚面上一定点.A. B 、C 是孚®上不共些的三个点.动点P 満足AR AC T K- + =7), e [0,+oo).则点P 的轨连一定夏过MBC 的() AC是平面上的一定点• A . B , C 畏平B 上不共ft 的三个点，一 ------ + —).Ze[0.4oo). W 动点P 的轨迹L 定通过MBC 的(I AB \sinB I ACI sin C3》巳知0爰平《上的一定点.A. B. C 是平®上不共线的三个点，屁字gog.则动心轨―通过“吶2 lAfilcosfi lACIcosC (4)岡= OB = 0C oO 为AABCW 外心.A.外心B.内心 D.垂心0P = 04 +几(=• AB A.外心 B ・内心 C ・4心例 3： 1) 是平》上一定点，4. B. C 是平》上不共a 的三个点，0P = 0A + 2( AB I AC TfljcoH A.外心 )• A e [0,+®) •则点卩的紈逐一宦4过口5(?的(B,内心 C 重心 D.垂心2)巳知0 A ・童心 B ・垂心 C ・外心 D ・内心例4.已知商》0彳0戛0片満足条件+ O&+邮 =（h 丨少；曰O&14O 片1=1・求证：是正三角殆.例5. AABC 的外接B 的08心为Q •诵条边上的«的交点为R. O//=w （Q4 + O8 + OC ）・W 実*«・例6•点0晏三角恐ABC 卿i 平®内的一乩為足moB=5B5c=oc54.則点o 赴人肋（？的（C.三条中ft 的交点在△ABC 内求一点戸・ftAp2 + 3P'+Cp2*小.已知。

专题：平面向量与三角形四心问题

专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形，故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心），则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则（图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+，即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质（图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心（1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。

平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心之阿布丰王创作已知O 是ABC ∆内的一点,AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ,B S ,C S ,求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点,且0=++•••OC OB OA z y x ,则有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心,DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆,C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点,重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点,高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）,角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点,若0GA GB GC ++=,则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0)λ∈+∞，,则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+,那时(0)λ∈+∞，,由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点P 的轨迹一定通过图⑴图⑵ABC △的重心,如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点,动点P 满足（λ∈（0,+∞））,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心解：作出如图的图形AD ⊥BC,由于sinB=sinC=AD,∴=由加法法则知,P 在三角形的中线上故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅,得()0PB PA PC ⋅-=,即0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥,PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹图⑶图⑷一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭, 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭,即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量,即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上,所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心,如图⑷. 5若H 为ABC △所在平面内一点,且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥, 故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点,且AB c =,AC b =,BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=,则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心图⑸图⑹【解析】∵IB IA AB =+,IC IA AC =+,则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=,∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭, ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量,∴AI 与BAC ∠平分线共线,即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠,CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心,如图⑸.7已知O 是平面上一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足=OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+AC AC AB AB ,(0)λ∈+∞，,则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭,∴那时(0)λ∈+∞，,AP 暗示BAC∠的平分线所在直线方向的向量,故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心,如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=,则O 是△ABC 的（）O CA B解：∵向量的模即是1,因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形,∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC,OA 平分∠ACB, ∴O 是△ABC 的内心．故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点,若222OA OB OC ==,则O 是ABC△的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==,则222OA OB OC==,∴OA OB OC==,则O 是ABC △的外心,如图⑺.9 已知O 是平面上的一定点,A B C ，，是平面上不共线的三个点,动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭,(0)λ∈+∞，,则动点P的轨迹一定通过ABC △的( ).图⑺ 图⑻【解析】由于2OB OC+过BC的中点,那时(0)λ∈+∞，,cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.）,所以P 在BC 垂直平分线上,动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心,如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O,则点H为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC△的外心为O,则点G为ABC△的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ,则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线）,且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O,重心为G ．取点H,使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O,G,H 三点共线,且OG ：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O, ∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC,CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O,G,H三点共线,且OH=3OG即O,G,H三点共线,且OG：GH=1：2时间：二O二一年七月二十九日。

平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心之迟辟智美创作已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则图1 =OD BC DC OB +BC BDOC图2推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心，DB CDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan =同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔跑定理是三角形四心向量式的完美统一“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各极点的距离相等.与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心如图⑴.A'A2已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+，那时(0)λ∈+∞，，由于()AB AC λ+暗示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足图⑴图⑵（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．图⑶图⑷A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos AB BCAC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 暗示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷. 5若H为ABC△所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB+=+=+则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明:2222HA HB CA BC-=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥同理,AC HB BC HA ⊥⊥，故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】∵IB IA AB=+，IC IA AC=+，则由题意得()0a b c IA bAB cAC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭．∵AB AB 与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单元向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足=OP OA +λ⎫⎛AC AB ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭，∴那时(0)λ∈+∞，，AP 暗示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.图⑸图⑹OCAB8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则O 是△ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解：∵向量的模即是1，因而向量是单元向量∴向量、和等都是单元向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心．故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OAOB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC==，则222OA OB OC==，∴OA OB OC==，则O 是ABC △的外心，如图⑺.图⑺图⑻9 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由于2OB OC+过BC的中点，那时(0)λ∈+∞，，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭暗示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释.），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻四心的相互关系设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++.设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且12OG GH=.相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O，∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。

平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

即内切圆的圆心。

结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。

平面向量中三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1 :若G为/ ABC所在平面内一点，贝U GA • GB • GC = 6 二G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD二GB • GCGA GB GC = 6二-GA = GB GC-GA = 2GD,B 这表明，G在中线AD上同理可得G在中线BE,CF上故G为厶ABC 的重心1 一——若P为ABC所在平面内一点，贝U PG (PA，PB PC)3=G是厶ABC的重心—i - 一—(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC) = 0证明：PG (PA PB PC)u =GA GBGC = 0二G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3:若H为厶ABC所在平面内一点，则HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心证明：HAHB 二HB HC= HB (HA-HC) = 0 二HB AC = 0= HB — AC 同理，有HA —CB,HC 一AB故H为三角形垂心2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2若H为丄ABC所在平面内一点，贝U HA BC = HB AC = HC AB =H 是ABC的垂心-- '2 ------ 2 ------ 2 2 2 ■ * ------------------------------------ 2 * 证明：由HA BC 二HB CA 得,HA (HB - HC)2二HB (HC - HA)2 =HB HC 二HC HA同理可证得，HA HB = HB HC = HC HA由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。

【高考数学】平面向量与三角形四心问题

平面向量与三角形四心问题问题探究：已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).(1)若存在常数λ,满足()(0)ABACMG MA AB AC λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的____. (2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的_______.(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的_______. (4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的________.一．基础梳理（一）重心：中线的交点重心性质：（1）重心是中线的三等分点—重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1 （2）重心的向量公式：0=++GC GB GA G ⇔是ABC ∆的重心O ⇔是平面内任意一点，且1()3OG OA OB OC =++ （3）重心的坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x（4）重心面积公式：G 是ABC ∆的重心ABC BCG ACG ABG S S S S ∆∆∆∆===⇔31 ⇔重心到3条边的距离与3条边的边长成反比（二）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直垂心的向量表示：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.（三）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），（1）角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（2）内心的向量式：AB c =，AC b =，BC a =，且0aIA bIB cIC ++=，⇔I 是ABC △的内心（3）设O 为△ABC 所在平面内任意一点，c b a OC c OB b OA a OI ++++=，⇔I 是 ABC △的内心（4）内心坐标公式：内心I ),(cb a cy by ayc b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （四）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）（1）外心到三角形各顶点的距离相等；（2）外心的向量式：222OA OB OC ==⇔O 是ABC △的外心．⇔().().().0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +=+=+=※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边的中点.二、典例分析例1、证明：（1）重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1.（2）已知G 是ABC △的重心，证明：0GA GB GC ++=（3）已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，证明：G 是ABC△的重心变式1、O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心变式2、已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( ) A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心例2、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，证明：P 是ABC △的垂心．变式3、已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的__________.例3、已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，证明：I 是ABC △的内心．变式4、O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心例4、已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，试说明动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心.三、巩固练习1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =6．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0且AB →|AB →|·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆ 为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形8、已知P 点为ABC 内任意一点，若P 点分别满足下列，试确定点P 是ABC 的什么心. （1）(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的__.，（2）D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_____. （3）1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的_______.，（4）00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_______. 思考：在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．。

平面向量与三角形四心问题

求证：（1)Ｈ就是△ABC得垂心;
(２)O，G,Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH＝1：２。
【解答】证明：（１）∵△ＡBＣ外心为Ｏ,
∴
又∵
∴
则=•＝=0
即ＡH⊥BC
同理BH⊥AＣ,ＣH⊥AＢ
即H就是△ABＣ得垂心；
(2)∵G为△ＡBC得重心
∴=3=3+=
即=3
即Ｏ,G,Ｈ三点共线,且ＯＨ=3OG
即O,Ｇ，Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH=1：2
３、O就是△ABＣ所在平面内一点，动点P满足（λ∈(0,+∞)），则动点P得轨迹一定通过△ABC得(）
A．内心Ｂ.重心ﻩC。外心Ｄ．垂心
解:作出如图得图形AD⊥BC,由于sｉnB=sinＣ＝ＡD，
∴=
由加法法则知，P在三角形得中线上
故动点P得轨迹一定通过△AＢC得重心
故选：B.
与“垂心”有关得向量问题
5若为所在平面内一点，且
则点就是得(）
A.重点ﻩＢ．外心C.内心ﻩＤ．垂心
证明：
得
即同理,故H就是△源自ＢC得垂心与“内心”有关得向量问题
6已知为所在平面上得一点,且,，．若，则就是得（）
。Ａ．重点ﻩB．外心ﻩC.内心ﻩD.垂心
【解析】∵,，则由题意得,
∵ ，
∴.∵与分别为与方向上得单位向量，∴与平分线共线，即平分。
平面向量基本定理与三角形四心
已知就是内得一点,得面积分别为，,，求证：
如图2延长与边相交于点则
图1
图2
推论就是内得一点，且，则
有此定理可得三角形四心向量式
就是得重心
就是得内心
就是得外心
就是得垂心
证明:如图为三角形得垂心，
同理得，

平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

在重心确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HAHC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

(完整版)平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量与三角形的“四心”问题

平面向量与三角形的“四心,，综合问题【例题精讲】例题1已知O ,N ,P 在二MC 所在平面内，且iQri=rsri=iE |, 丽+血+眈=0,且卫矿•血=帀•疋=疋・方，则点 O, N, P 依次是二ABC 的（）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.夕卜心重心垂心D.夕卜心重心内心【解析】由了| = |亦| = |龙|知，O 为JABC 的外心；由丽+血+丙厂=0知，N 为匚/EC 的重心；因为眉•南=血•比，所以（眉一龙）<^=0, 所以_CZ >-W = 0,所以左了口帀\即CA1PB, 同理APZBC, CPLAB,所以P 为二ABC 的垂心，故选C.例题 2 在 JABC 中，28=5, AC=6, cos A=j, O 是 JABC 的内心，若OP 、= x OB' +y 0（2,其中x, yD[O,l],则动点卩的轨迹所覆盖图形的面积为（）【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以05 OC 为邻边的平行四边形及其内部,其面积为~BOC 的面积的2倍.在匚曲C 中，设内角儿B, C 所对的边分别为厲b, c, A. ]0& 3由余弦定理 a 2=b 2+c 2—2bccosA,得 a = 7. 设~ABC 的内切圆的半径为r, 则y/jcsiiiA=^(a+b+c)r ,解得 r=^~,所以S ：BOC= 故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2Sd°c=呼，故选B.【知识小结】三角形“四心"的向量表示(1) 在二拐C 中，若 1^1 = 1^1 = |^|或0了2 =亦2 =龙2, 则点O 是二4BC 的外心.(2) 在匚曲C 中，若~at+~GB"+~G^=O,则点G 是LABC 的重心.(3) 对于匚MC, O, P 为平面内的任意两点，若亦一乙了 = /」初+*反入口(0, +oo),则直线APyiLABC 的重心.(^Tat ~OB "=~o^ =员・玄T 或者同F+|优平=|勿卩+|岔卩，则点o 为三角形的垂心.(5)|反>勿+|女|•亦+|対|•龙=0,则点O 为三角形的内心.(6)对于匚45C, O, P 为平面内的任意两点，若~Of = ~oX +【变式练习】G>0),则直线APxldABC 的内心. |xt7Xr = |x7x^^=AB"~AB "1.已知O是平面上的一定点，厦，B, C是平面上不共线的三个动点，若动点卩满足亦=勿+久（莎+女），2j（0, +◎,则点P的轨迹一定通过匚卫3C的（）A.内心B.夕卜心C.重心D.垂心【解析】选C由原等式，得亦一岔=2（初+岔），即方=&（初+岔），根据平行四边形法则，知初+立=2訪（D为BC的中点），所以点P的轨迹必过~ABC的重心.故选C.] 3 2・在匚ABC中，|初| = 3, |五'| = 2, 方=于初+才羽，则直线2D 通过-ABC的（）A.重心B.外心C.垂心D.内心解析：选D 口|対| = 3, |女|=2,1 Q Q匚护閃=汩©=41 3设龙=齐硏，~AF"=^A^,贝IJI龙| = |匚护|.1 2匚如=丁硏+才女=农 +击，O4Z）平分LEAF, 二Q平分二BAC、匚直线乂0通过3ABC的内心。

平面向量三角形四心(有详解)

平面向量与三角形“四心”的应用问题三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。

本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．1 课本原题例１、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．分析对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===，容易想到，点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点O 是123PP P △的重心．故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==．2 高考原题例２、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()[0,).||||AB ACOP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析已知等式即()||||AB AC AP AB AC λ=+，设,||||AB ACAE AF AB AC ==，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为ABC ∠的平分线，选B ．例３、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC =，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有()()0OH OA OC OB --=，将已知代入，有[()]()0m OA OB OC OA OC OB ++--=，即22()(1)0m OC OB m OA BC -+-=，由O 是外心，得(1)0m OA BC -=，由于ABC ∆是任意三角形，则OA BC 不恒为０，故只有1m =恒成立．或者，过点O 作OM BC ⊥与M ，则M 是BC 的中点，有1()2OM OB OC =+；H 是垂心，则AH BC ⊥，故AH 与OM 共线，设AH kOM =，则()2kOH OA AH OA OB OC =+=++，又()OH m OA OB OC =++，故可得(1)()()022k k m OA m OB m OC -+-+-=，有102km m -=-=，得1m =．根据已知式子()OH m OA OB OC =++中的OA OB OC ++部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内任一点，均有3OA OB OCOG ++=，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到2HG GO =，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT 均与三角形的边AC 垂直，则//BF OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点．此时，会先猜想BHG TOG △∽△，但现在缺少一个关键的条件，即2BH OT =，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是3OH OG =．例４、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（）．A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点BC图１分析移项后不难得出，0OB CA OC AB OA CB ===，点O 是ABC ∆的垂心，选D ．3 推广应用题例５在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．分析如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，有,AP x a BP x b =-=-．于是，22222222211()()3[()]()33AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+．当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1()3OP OA OB OC =++，则点P 为△ABC的重心．例６已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的心．分析将2222||()2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-，22||,||CA AB 也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心．例７已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=．分析构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有033020230x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△．直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且图２AB33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△．于是，容易验证，BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△，又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△， 1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△，又||||||OA OB OC ==，则所证成立．。

5.4平面向量与三角形的“四心”问题

平面向量与三角形的“四心”问题
三角形“四心”的向量特征：
（1）垂心：三角形三边上的高交于一点H，这一点叫三角形的垂心。 A
HA BC=HB AC=HC AB=0 HA HB=HA HC=HB HC
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC 变形：（1） OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB sin B AC sin C
Ｃ
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC （2） OP OA ( uuu r sin C uuu r sin B), (0, ) AB AC uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC (3)OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C uuu r uuu r uu u r uuu r AB AC （4） PB PC ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C

AI bc a b c | AB | | AC |
AB AC ) (A，B，C所对的边分别是a,b.c) (
aIA bIB cIC 0
F c

I
Da
E
b
SIBC IA SIAC IB SIAB IC 0

B
C
例1. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
AB AC 动点P满足 OP = OA +λ ( + ), λ ∈[0,+∞). |AB| |AC|

平面向量中的三角形四心问题

平⾯向量中的三⾓形四⼼问题平⾯向量中的三⾓形四⼼问题向量是⾼中数学中引⼊的重要概念，是解决⼏何问题的重要⼯具。

本⽂就平⾯向量与三⾓形四⼼的联系做⼀个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

⼀、重⼼（barycenter)三⾓形重⼼是三⾓形三边中线的交点。

重⼼到顶点的距离与重⼼到对边中点的距离之⽐为2：1。

在重⼼确定上，有著名的帕普斯定理。

结论1：是三⾓形的重⼼所在平⾯内⼀点，则为若G GC GB GA ABC G ?=++?0的重⼼为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ?=-∴+=-?=+++=,,202的重⼼是证明：的重⼼是所在平⾯内⼀点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ??=++?=-+-+-?++=??++=?00)()()()(31)(31P⼆、垂⼼(orthocenter)三⾓形的三条⾼线的交点叫做三⾓形的垂⼼。

结论3：的垂⼼是所在平⾯内⼀点，则为若ABC H HAHC HC HB HB HA ABC =?=??H为三⾓形垂⼼故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥?=??=-=?,00)(可知命题成⽴由结论同理可证得，得，证明：由的垂⼼是所在平⾯内⼀点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ?=?=??=??-+=-++=+??+=+=+?三、外⼼(circumcenter)三⾓形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

(完整版)平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心已知0是 ABC 内的一点，BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证:S A ?0A S B ?0B S C ?0C 00D罟0B 誥0C0DS B0D S C0D S B0D S C0D S A0AS B0AE OAS B0AS C0AS BS C0D S BS CS A ?0A S B ?0B S C ?0C 0推论o 是ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则BD DCS A BD S B0D S ABD S B0DS ACD S C0DSACDS C0DS CS鱼 0B 生 0C S B S C SBS C0AoAS BS BS CS B S C0B二0C有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0是SABC的内心BOC :S COA :S AOB■a:b:c a ?OA b?oB c?oC 00是ABC的外心S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0O是ABC的垂心S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanCtan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0tanA 竺,tanBAD CDDBtan A: tanB DB: ADS BOC : S COA DB: ADS BOC : S COA tan A:tan B同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统证明：如图0为三角形的垂心,X一•知识梳理:四心的概念介绍：UUUT UUU UUU UL11T OP OA (AB AC),A .重点B .外心 C.内心 D .垂心 €( 0, +x )),则动点P 的轨迹一定通过厶ABC 的()A .内心B .重心 C.外心D .垂心4.2三角形“四心”的相关向量问题(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成⑵ 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； ⑶ 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)(4)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)与"重心”有关的向量问题1已知G 是△ ABC 所在平面上的一点，A. 重点 B .外心 C.内心2 : 1；，角平分线上的任意点到角两边的距离相，外心到三角形各顶点的距离相等。

(完整版)平面向量四心问题(最全)

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析:由.即.则，所以P为的垂心. 故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则O 是△ABC 的〔〕.A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故是的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

【第396期】平面向量与三角形的“四心”

【第396期】平面向量与三角形的“四心”
滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！
平面向量与三角形的“四心”
三角形的“四心”，即三角形的内心、外心、重心、垂心.学习向量知识以后，以“四心”为背景的向量问题就频频出现在各类试题中，对此我们在熟悉“四心”的几何特征上，更应该清楚“四心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识.
一、重心问题重心是由三角形中线的交点产生，其几何特征体现在位置和数量上.
二、内心问题内心是三角形内切圆的圆心，它是三个内角平分线的交点.
三、外心问题外心为三角形外接圆圆心，是三角形三边中垂线的交点.
四、垂心问题垂心为三角形三边高线的交点，其中出现的直角关系是解题的灵魂.
平面向量下的三角形“四心”问题本质就是一个数学建模和化归转化，在此基础上遵循向量的运算法则即可，有兴趣的朋友可以以此
为契机，进行更深入的探索.【经典回顾】
【第50期】初高中知识衔接——三角形的“心”
平面向量（一）【微专题】平面向量（二）【微专题】
平面向量（三）【微专题】【第348期】思维定势惹的祸——一道向量模长问题的求法【第377期】平面向量的数量积求法【第380期】平面向量中交点的向量表示以上内容，纯属个人观点，只为抛砖引玉，让学习更高效！由于才疏学浅，难免有不足之处，欢迎大家批评指正，不胜感激！此外，公众号内容仅供学习交流，不得他用！。

平面向量中的三角形中“四心问题”

专题分析平面向量中的三角形“四心”江苏省启东中学张杰在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力。

现就“四心”作如下介绍：一．“四心”的概念与性质1．重心：三角形三条中线的交点叫重心。

它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2：1；在向量表达形式中，设点G 是ABC ∆所在平面内的一点,则当点G 是ABC ∆的重心时，有0=++GC GB GA 或)(31++=(其中P 为平面内任意一点)；反之，若0=++GC GB GA ，则点G 是ABC ∆的重心；在向量的坐标表示中，若G 、A 、B 、C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G ),(y x 、A ),(11y x 、B ),(22y x 、C ),(33y x ，则有3321x x x x ++=，3321y y y y ++=。

2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心。

它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H 是ABC ∆的垂心，则⋅=⋅=⋅，或222222+=+=+，反之，若⋅=⋅=⋅，则H 是ABC ∆的垂心。

3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心。

内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；在向量表达形式中，若点I 是ABC ∆的内心，则有 0||||||=⋅+⋅+⋅IC AB IB CA IA BC 或||||||AB AC BC ++(其中P 为平面内任意一点)，反之，若||||||=⋅+⋅+⋅，则点I 是ABC ∆的内心。

4．外心：三角形三条中垂线的交点叫外心。

外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O 是ABC ∆的外心，则0)()()(=⋅+=⋅+=⋅+或||||||==，反之，若||||||==，则点O 是ABC ∆的外心。

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与“重心”有关的向量问题1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心如图⑴.A'GCAB2已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足（λ∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心图⑴图⑵MPCBA解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B ．与“垂心”有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.ABC4已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，图⑶ 图⑷H FEM AOP由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.5若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心证明:2222HA HB CA BC -=-()()HA HB BA CA CB BA ∴+•=+•得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•= AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥，故H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心B【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AC AC AB AB ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.8若O 在△ABC 所在的平面内：=，则O 是△ABC的（） A ．垂心 B ．重心C ．内心D ．外心解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量图⑸图⑹OCAB∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，∵可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心．故选：C ．与“外心”有关的向量问题8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺。

9 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过图⑺M OB CAP图⑻ABC △的( )。

A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由于2OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。

），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。

2.三角形外心与重心的向量关系及应用设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3OG OA OB OC =++3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且12OG GH =。

相关题目10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．求证：（1）H 是△ABC 的垂心；（2）O ，G ，H 三点共线，且OG ：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O ， ∴又∵∴ 则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。