平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心

已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：

0=++•••OC S OB S OA S C B A

如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则

B

C

COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆

图1

=

OD BC DC OB +BC

BD

OC =C B B

S S

S +OB +C

B C S S S +OC

C

B A

COA BOA COD BOD COA COD BOA

BOD S S S S S S S S S S

S OA OD +=++==

= 图2

∴

C

B A S S S OD +-

=OA

∴C

B A S S S +-

OA =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

∴0=++•••OC S OB S OA S C B A

推论O 是ABC ∆内的一点，且

0=++•••OC OB OA z y x ，则

z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆

O

A B

C

D

O

A B

C

有此定理可得三角形四心向量式

O 是ABC ∆的重心

⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA

O 是ABC ∆的内心

⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a

O 是ABC ∆的外心

⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC

C OB B OA A

O 是ABC ∆的垂心

⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A

证明：如图O 为三角形的垂心，DB

CD

B AD CD A ==

tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :

∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆

同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan

:=∆∆

∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题

1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

如图⑴.

A'

G

C

A

B

2已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，

时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.

3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足

（λ

∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心

B ．重心

C ．外心

D ．垂心

图⑴

图⑵

M

P

C

B

A

解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，

∴

=

由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．

与“垂心”有关的向量问题

3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.

A

B

C

4已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，，

则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫

⎪=+ ⎪⎝⎭

， 图⑶ 图⑷

H F

E

M A

O

P