《等差数列求和》说课课件学习资料
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等差数列求和公式课件PPT资料(正式版)
等差数列求和公式课 件
一、巩固与预习
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an=a1+(n-1)d
an=an+b a、b为常数， 更一般的，an=am+(n-m)d ，d=
an am
nm .
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
b ac
2
2b= a+c .
下一页
3.
若 m n p q 则 a m + a n = a p + a q
三、公式的应用：
Sn
n(a1 2
an
)
....(1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d ...(2)
例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝ 的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10
S10=500
（2）a1=100,d=－2,n=50 S50=2550
例2. 等差数列－10，－6， －2，2，…前 多少项和是54?
2.若d=S0n,an=naa，1 则nS(nn=2_1_)_nd_a__ (2)
3.推导公式的方法是用倒序相加法
思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数 列吗?
作业：习题2.3. 2.
谢谢观看
练习：
（1）等差数列5，4，3，2，…前多少
项的和 是－30?
15项
（2）求等差数列13，15，17，…81的各
项和
1645
（3）在等差数列{an}中，
已知 a2a5a12a1536 求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
课堂小结：
1.会用两公式
Sn
一、巩固与预习
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an=a1+(n-1)d
an=an+b a、b为常数， 更一般的，an=am+(n-m)d ，d=
an am
nm .
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
b ac
2
2b= a+c .
下一页
3.
若 m n p q 则 a m + a n = a p + a q
三、公式的应用：
Sn
n(a1 2
an
)
....(1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d ...(2)
例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝ 的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10
S10=500
（2）a1=100,d=－2,n=50 S50=2550
例2. 等差数列－10，－6， －2，2，…前 多少项和是54?
2.若d=S0n,an=naa，1 则nS(nn=2_1_)_nd_a__ (2)
3.推导公式的方法是用倒序相加法
思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数 列吗?
作业：习题2.3. 2.
谢谢观看
练习：
（1）等差数列5，4，3，2，…前多少
项的和 是－30?
15项
（2）求等差数列13，15，17，…81的各
项和
1645
（3）在等差数列{an}中，
已知 a2a5a12a1536 求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
课堂小结：
1.会用两公式
Sn
等差数列求和课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1 2 3
1 2 3
100 ?
100 101 ?
n ?
探究问题
Sn 1 2 3 ... (n 2) (n 1) n
Sn 1 2 3 ... (n 2) (n 1) n
探究问题
Sn 1 2 3 ... ( n 2) ( n 1) n
2
− 5, 求.
d=
1
− ,
6
=
数学应用
例3、已知一个等差数列前10项的和是310，前20项
的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项
和公差吗？如果能确定，请求出这个数列的前n项和，
如果不能确定，请说明理由;
S n 3n 2 n
进一步思考：公式的函数意义
2
S
3
n
n关于n的一个二次函数，我们可以用
倒序相加法
探究问题
等差数列前n项和：
Sn a1 a2 a3
n(a1
an )
2
an 2 an 1 an
概念建构
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1
an )
2
n(n 1)
Sn na1
d
2
an f (n 1) f (n)
Sn a1 a2 a3
2
2
S n na n 1
2
数学应用
例1、解决下列问题
（1）1 3 5
(2n 1)
“知三求二”
方程思想
（2）已知数列{an}是等差数列，若a1=5, 20 =95,求 20 ；
变式：条件变为a2=2, 19 =100,求20 .
1 2 3
100 ?
100 101 ?
n ?
探究问题
Sn 1 2 3 ... (n 2) (n 1) n
Sn 1 2 3 ... (n 2) (n 1) n
探究问题
Sn 1 2 3 ... ( n 2) ( n 1) n
2
− 5, 求.
d=
1
− ,
6
=
数学应用
例3、已知一个等差数列前10项的和是310，前20项
的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项
和公差吗？如果能确定，请求出这个数列的前n项和，
如果不能确定，请说明理由;
S n 3n 2 n
进一步思考：公式的函数意义
2
S
3
n
n关于n的一个二次函数，我们可以用
倒序相加法
探究问题
等差数列前n项和：
Sn a1 a2 a3
n(a1
an )
2
an 2 an 1 an
概念建构
等差数列前n项和公式
Sn
n(a1
an )
2
n(n 1)
Sn na1
d
2
an f (n 1) f (n)
Sn a1 a2 a3
2
2
S n na n 1
2
数学应用
例1、解决下列问题
（1）1 3 5
(2n 1)
“知三求二”
方程思想
（2）已知数列{an}是等差数列，若a1=5, 20 =95,求 20 ；
变式：条件变为a2=2, 19 =100,求20 .
等差数列求和课件
n n1
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n
项的和分别为Sn和Tn,则
an S2n1 bn T2n1
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(
)
A.63
B.45
1.等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常 数叫做公差
an是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式： an a1 (n 1)d .
3.重要性质: ⑴an am (n m)d .
n(n
1)d
n(12 2d ) 1 n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
∴Sn图象的对称轴为
2
n
5
12
由(1)知 24 d
3
2d
∴Sn有最大值.
7
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
2d 2
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
差为 n2d
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=
－ (m+p)
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项),
此时有:S偶－S奇= nd ,S奇 an S偶 an1
《等差数列求和》说课课件备课讲稿
《等差数列求和》说课课件
LOREM IPSUM DOLOR 教材分析 教学方法 反馈评价
目录
教学目标 教学程序
结束
1、教材的地位和作用
教材 分析
等差数列是重要工具，为进一 步用代数方法研究数列问题奠定 了基础 。
教材 分析
2、教学的重点、难点
教学重点
等差数列通项公式的推导过程及蕴含在其中的 数学思想方法
教学 程序
C公式 应用
练习3：简单变式，针对全体学生
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放了 多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120
层的铅笔构成的等差数列，上一层比下一层多1，
则公差为1。运用等差数列的公式Sn=
No Image
A
学习基础
No Image
B
学习障碍
教法 学法
2、教学方法
No Image
No Image
ENIM
“学生为主体，教师为主导”的 自主合作式的教学方法
须 注 重 概 念 、 3、学习指导
教法
原 理 、 公 式 、 学法
No Image
法 则 的 形 成 1
No Image
过 程 ， 突 出2 •通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动
，在潜移默化中领会
教学程序
A问题探究 B公式推导 C公式应用 D小结作业
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学 程序
A问题 探究
如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2， 3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法来计算？
LOREM IPSUM DOLOR 教材分析 教学方法 反馈评价
目录
教学目标 教学程序
结束
1、教材的地位和作用
教材 分析
等差数列是重要工具，为进一 步用代数方法研究数列问题奠定 了基础 。
教材 分析
2、教学的重点、难点
教学重点
等差数列通项公式的推导过程及蕴含在其中的 数学思想方法
教学 程序
C公式 应用
练习3：简单变式，针对全体学生
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放了 多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120
层的铅笔构成的等差数列，上一层比下一层多1，
则公差为1。运用等差数列的公式Sn=
No Image
A
学习基础
No Image
B
学习障碍
教法 学法
2、教学方法
No Image
No Image
ENIM
“学生为主体，教师为主导”的 自主合作式的教学方法
须 注 重 概 念 、 3、学习指导
教法
原 理 、 公 式 、 学法
No Image
法 则 的 形 成 1
No Image
过 程 ， 突 出2 •通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动
，在潜移默化中领会
教学程序
A问题探究 B公式推导 C公式应用 D小结作业
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教学 程序
A问题 探究
如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2， 3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法来计算？
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
等差数列求和PPT优秀课件3
s7=7,s15=75,Tn为 数 列 snn 的 前 n项 和 ， 求 Tn s1 s5 7 7 7 5 1 5 7 a a 1 1 1 2 0 1 5 d d 7 7 5 a a 1 1 7 3 d d 1 5
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
等差数列求和PPT优秀课件
113, 22
也满a足 n 2n12,
所以a数 n的列 通项 an公 2n式 1 2. 为
由此可知， an数 是列 一个首23项 ，为
公差2为 的等差数列。
例3、等差数列 { a n } 中，S 15 = 90，求 a 8 S15a1 2a151590 即 a 1 + a 15 = 12
m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 = a3+ an-2 = …
引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： • 首项与末项的和：1+100=101 • 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 • 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 • ……………………………………… • 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 • ∴101×（100／2）=5050
Байду номын сангаас
新课学习
n(a1 an ) ㈠等差数列前n 项和Sn = 2 =
na1
n(n1) d
2
.
=an2+bn a、b 为常数
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1) Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的
等差数列求和性质说课讲解
本 课
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
时
栏 目
又∵a1＝－1适合an＝4n－5，
开 关
∴an＝4n－5(n∈N*)．
小结 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，
再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符
合则统一用一个解析式表示．
研一研·问题探究、课堂更高效
＝
本
d
课 时
na1；当 d≠0 时，此解析式可以看作二次项系数为_2__，一次项
栏 目 开
系数为_a_1_－__d2_，常数项为 0 的二次函数，其图象为抛物线 y＝
关
d2x2＋(a1－d2)x 上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N*)．
因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当 d＞0 时，Sn
有最小 值；当 d＜0 时，Sn 有最大 值；且 n 取最接近对称轴的
(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为_正___项(或0)，所以将
本 课
这些项相加即得{Sn}的最__大__值．
时 栏
(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为_负___项(或0)，所以将
目 开
这些项相加即得{Sn}的最_小___值；
关 特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{Sn}的最__小__值；若a1＜0，d＜
时
栏
故S23＝S24最小.
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
[问题情境]
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？
本
如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
等差数列求和公式课件PPT优秀版
每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么 理解等差数列的前n项和公式的推导过程.
学习难点：等差数列的前n项和公式的推导. 老师问：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？
从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
练习
1、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32，
性 质 —
如果一个数列从第2项起，每一项
与它的前一项的差. 等于同.一.个.常. 数. 。
d =an+1-an 公差是唯一的常数
an=a1+(n-1)d
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am +an =ap+aq
引例：
如图：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数 目分 别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？ 若100层，共有多少根圆木呢？
则Sn =
；
2、等差数列5，4，3，2，…前 15 项和
为-30；
五个:元 a1,an素 ,n,d,Sn“知三”求
公式应用
• 例２
已知等差数列{an}前10项的和是310，前 20项的和是1220.由这些条件能确定这个 等差数列的前n项和的公式吗？
练习
1、等差数列中a6 =10，s5=5，求s8；（44 ） 2、等差数列a4+a6= － ４，a３a7= －12 ，且
简单问题. 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。
11据、+1等00差=测1数01列算中a1 =，14. 2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划 又sn = n+（ n-1 ）+… + 2 + 1
学习难点：等差数列的前n项和公式的推导. 老师问：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？
从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
练习
1、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32，
性 质 —
如果一个数列从第2项起，每一项
与它的前一项的差. 等于同.一.个.常. 数. 。
d =an+1-an 公差是唯一的常数
an=a1+(n-1)d
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am +an =ap+aq
引例：
如图：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数 目分 别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？ 若100层，共有多少根圆木呢？
则Sn =
；
2、等差数列5，4，3，2，…前 15 项和
为-30；
五个:元 a1,an素 ,n,d,Sn“知三”求
公式应用
• 例２
已知等差数列{an}前10项的和是310，前 20项的和是1220.由这些条件能确定这个 等差数列的前n项和的公式吗？
练习
1、等差数列中a6 =10，s5=5，求s8；（44 ） 2、等差数列a4+a6= － ４，a３a7= －12 ，且
简单问题. 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。
11据、+1等00差=测1数01列算中a1 =，14. 2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划 又sn = n+（ n-1 ）+… + 2 + 1
等差数列求和PPT优秀课件1
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n 2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( ( (1 S 2 3 ) 5 ) )a a a S 0 1 1 1 15 0 5 1 0 1 3 2 ,1 a ,0 n a 0 ,(0 d n 5 25 0 9 （ 9 5 0 0 ,2 )5 n 2 5 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 ( .;5 1 2 0 0 ); ;40 2S5 nSSnnn5 1ann0 （ （ n（ aan211221)aadnn))
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
等差数列求和时PPT课件
310 1220
ad1
4 6
Sn
4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
第11页/共16页
练 : 根据下列条件,求相应相应的等差an的有
关未知数 :
(1)a1 20,an 54, Sn 999,求d及n;
(2)d
1 3
,
n
37,
Sn
629,
求a1及an
;
(1)d 17 , n 27 13
(2)a1 11, an 23
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家。 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家。有“数学 王子”之称。
第2页/共16页
求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是怎
高斯算法：
么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
(4 10)7.
S (4 10) 7 49. 2
第5页/共16页
新课
设等差数列an的前n项和为Sn,即Sn a1 a2 an.
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
Sn a1 a2 an. Sn an an1 a1.
2Sn (a1 an ) (a2 an1) (an a1)
第1页/共16页
情景1
高斯“神速求和”的故事:
高斯出生于一个工匠
家庭，幼时家境贫困，
但聪敏异常。上小学四
年级时，一次老师布置
了一道数学习题：“把
从1到100的自然数加起
来，和是多少？”年仅
10岁的小高斯略一思索
就得到答案5050，这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢？
说课课件(等差数列求和公式)
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的 研究方法，学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
教学重点
等差数列前n项和公式是重点
教学难点
获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点
一、教材分析 二、学情分析 三、教学目标及教学重难点
等差数列的前n项和 求和公式 （第一课时）
一、教材分析
二、学情分析 三、教学目标及教学重难点
四、教法与学法
五、教学过程 六、板书设计
教材地位与作用
一
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。 人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研 究数列。 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。 本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简 单应用。
二
三
在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特 殊到一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示 ；3.逆 序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对 以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种 常用的数学思想方法。
等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课 程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联 系。
教学过程
探索发现1
问题呈现阶段
问题1：图案中，第1层到第21层一
共有多少颗宝石？ 借助几何 图形之直观性， 引导学生使用 熟悉的几何方 法：把“全等 三角形”倒置， 与原图补成平 行四边形。
探索发现阶段
公式应用阶段
教学过程
问题呈现阶段
3
2 1 21 20 19源自探索发现阶段211
等差数列求和.ppt
例１ 是：
某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：km）
7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5
这位长跑运动员７天共跑了多少千米？
方法1
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
方法2 公式2
通过这个例题让学生熟悉公式和要素与结构，引导学生应该根据 信息选择适当的公式，以便于计算。
问题2：图案中，第6层到第20层一共有 多少颗宝石？ 即求S15=6+7+……+20
6+7+8+ … +18+19+20
6+20=7+19=•••=12+14=13+
？
得出认识：高斯“首尾配对” 的 算法还得分奇、偶个项的情况求和。
问题2：图案中，第6层到第20层一共有 多少颗宝石？即求S15=6+7+……+20
谢 谢 大 家！
等差数列的前n项和
泰妃陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝 沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。 陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰 而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
an (an d )
[an (n 1)d ]
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
2Sn=n(a1+an)
问题4：若已知等差数列{an}的a1，d和n求Sn
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
an a1 (n 1)d
等差数列求和PPT优秀课件2
2
在等差数列{an}中
S ,配方，看对称 n An Bn
在等差数列{an}中
an 17 2n, n等 于 几 时 ， S n最 大 ？
解：一法 an 0 a n1 0
17 2n 0 17 2(n 1) 0
n 8 .5 n 7 .5 n N n 8
（a, b, c 为常数）那它又是不是等差数列呢？
2 如果 S n b n，则有 n a a S S n n n 1 2 2 an bn a ( n 1 ) b ( n 1 )
* ( 2 n 1 ) a b ( n N 且 n 2 )
a ( n n 1 )( n n 1 ) b ( n n 1 )
在等差数列{an}中
a 0 , S S ,( 1 ) 求 S ; 1 1 4 2 5 3 9
(2 )n 为 何 值 时 S 最 大 。 n
解：方法一
S S 14 25
14 13 d 25 24 d 14 a 25 a 1 1 2 2 a 19 d 1
a 1 0 , d 0 0 a n S 最大时，即 n a 0 n 1
(2)解:
12( a1 a12 ) s 0 12 a6 a7 0 2 a a 0 13( a a ) 7 7 1 13 s 0 13 2 a6 a7 0 a6 0 a7 0 a7 0 S , SS , 1 中 最 大 的 是 S 12 2 6
前n项和(2)
等差数列的前n项和公式
n （ a a 1 n) n(am anm1) S n 2 2 n （ n 1 ) a a ( n 1 ) d n 1 S na d n 1 2 n （ n 1 ) a a ( n 1 ) d 1 n S na d n n 2
在等差数列{an}中
S ,配方，看对称 n An Bn
在等差数列{an}中
an 17 2n, n等 于 几 时 ， S n最 大 ？
解：一法 an 0 a n1 0
17 2n 0 17 2(n 1) 0
n 8 .5 n 7 .5 n N n 8
（a, b, c 为常数）那它又是不是等差数列呢？
2 如果 S n b n，则有 n a a S S n n n 1 2 2 an bn a ( n 1 ) b ( n 1 )
* ( 2 n 1 ) a b ( n N 且 n 2 )
a ( n n 1 )( n n 1 ) b ( n n 1 )
在等差数列{an}中
a 0 , S S ,( 1 ) 求 S ; 1 1 4 2 5 3 9
(2 )n 为 何 值 时 S 最 大 。 n
解：方法一
S S 14 25
14 13 d 25 24 d 14 a 25 a 1 1 2 2 a 19 d 1
a 1 0 , d 0 0 a n S 最大时，即 n a 0 n 1
(2)解:
12( a1 a12 ) s 0 12 a6 a7 0 2 a a 0 13( a a ) 7 7 1 13 s 0 13 2 a6 a7 0 a6 0 a7 0 a7 0 S , SS , 1 中 最 大 的 是 S 12 2 6
前n项和(2)
等差数列的前n项和公式
n （ a a 1 n) n(am anm1) S n 2 2 n （ n 1 ) a a ( n 1 ) d n 1 S na d n 1 2 n （ n 1 ) a a ( n 1 ) d 1 n S na d n n 2
《等差数列及求和》PPT课件
解：由于a1 ＋a2 ＋a3=34, an-2 ＋an-1 ＋an=146 又由等差数列的性质可知
a1 ＋a2 ＋ a3＋ an-2 ＋an-1 ＋an =34 ＋ 146 =3(a1＋an) =180 所以a1＋an = 60
由
可得
结束
等差数列求和公式: 和＝（首页＋末页）×项数÷2.
求等差数列的和，必须知道数列的首项、末项、公差和
项数分别是多少.
要熟记和灵活运用等差数列的通项公式、求项数公式、求和 公式，这样才能轻松解题.
例7.计算数列的和：
（1）2＋4＋6＋8＋…＋598＋600；
（2）3＋7＋11＋…＋399.
解:（1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
想想上题中的数列究竟是什么规律呢？ 像这样从第二项起，每一项都比前一项 大（或小）一个常数（固定不变的数），这 样的数列我们称它为等差数列。 公差:这个等差数列中每相邻两项之间固 定不变差叫做公差。 首项:一个数列的第一项。 末项：一个数列的最后一项。
项数：一个数列全部项的个数。
例2. 90，80，70，60，50，……20，10 这是什么数列？第8项是多少?第5项是多
得出d=6 a1=21-3×d=3 可得：a8=3+7 ×6=45
法二：a8=a7+d=a6+d+d=a6+2 ×d
其中a6已知，只要求2 ×d即可
又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2 ×d
则2 ×d=a6-a4=33-21=12
所以a8=a6+2 ×d=33+12=45
法三：由am-an=(m-n)d 得a6-a4=33-12=2d
少？30是此数列中的第几项？项数是多少？
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《等差数列求和》说课课件
1、教材的地位和作用
教材 分析
等差数列是重要工具，为进一 步用代数方法研究数列问题奠定 了基础 。
教材 分析
2、教学的重点、难点
教学重点
等差数列通项公式的推导过程及蕴含在其中的 数学思想方法
教：学难点 公式推导过程中的转化思想
1、知识与技能目标
教学 目标
掌握等差数列通项公式推导过程，并能正 确使用公式解决简单问题 。
记:Sn= 1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n
2Sn n(n 1)
n(n 1) Sn 2
教学 程序
B公式 推导
问题3：现在把问题推广到更一般的情形： 等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数
列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an? Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
独立思考
→ 提出方案 →
评价
教学 程序
A问题 探究
问题1： 若把问题变成求：1+2+3+4+‥ ‥ +99=？可
以用哪些方法求出来呢？
方案
1 求一组数的和
常规方案：交点法
高斯求和法
1+2+3+ … +98+99+100= ？
101
高斯 Gauss.C.F
教学 程序
B公式 推导
问题2: 求和:1+2+3+4+…+n=? Sn= n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1
Sn
n(a1 an) 2
可得n=120,ɑ1=1,ɑ2=120,Sn=7260
教学 程序
D小结 作业
❖布置作业：
1．课本P55 ex13,14,15,16. 2.用其它方法推导公式。
反馈 评价
结束
THANK YOU
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
教学 目标
2、过程与方法目标
理解同项公式的推导过程以及等差中项的 求法。
3、情意目标
教学 目标
1
感受公式简洁的数学美
2
初步体验公式在代数中的重要作用
教法 学法
1、学情分析
No Image
A
学习基础
No Image
B
学习障碍
教法 学法
2、教学方法
No Image
No Image
ENIM
“学生为主体，教师为主导”的 自主合作式的教学方法
须 注 重 概 念 、 3、学习指导
教法
原 理 、Leabharlann 公 式 、 学法No Image
法 则 的 形 成 1
No Image
过 程 ， 突 出2 •通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动
，在潜移默化中领会
教学程序
A问题探究 B公式推导 C公式应用 D小结作业
教学 程序
A问题 探究
如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2， 3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法来计算？
教学 程序
C公式 应用
练习3：简单变式，针对全体学生
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放了 多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120
层的铅笔构成的等差数列，上一层比下一层多1，
则公差为1。运用等差数列的公式Sn=
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
教学 程序
C公式 应用
Sn
na1
n(n 1) 2
d
an=a1+(n-1)d
Sn
n(a1 2
an
)
教学 程序
C公式 应用
❖怎样记忆公式？应用公式时应注意那些问题？ ❖等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d ❖等差数列的性质：若m+n=q+P ❖则am+an=ap+aq
1、教材的地位和作用
教材 分析
等差数列是重要工具，为进一 步用代数方法研究数列问题奠定 了基础 。
教材 分析
2、教学的重点、难点
教学重点
等差数列通项公式的推导过程及蕴含在其中的 数学思想方法
教：学难点 公式推导过程中的转化思想
1、知识与技能目标
教学 目标
掌握等差数列通项公式推导过程，并能正 确使用公式解决简单问题 。
记:Sn= 1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n
2Sn n(n 1)
n(n 1) Sn 2
教学 程序
B公式 推导
问题3：现在把问题推广到更一般的情形： 等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数
列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an? Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
独立思考
→ 提出方案 →
评价
教学 程序
A问题 探究
问题1： 若把问题变成求：1+2+3+4+‥ ‥ +99=？可
以用哪些方法求出来呢？
方案
1 求一组数的和
常规方案：交点法
高斯求和法
1+2+3+ … +98+99+100= ？
101
高斯 Gauss.C.F
教学 程序
B公式 推导
问题2: 求和:1+2+3+4+…+n=? Sn= n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1
Sn
n(a1 an) 2
可得n=120,ɑ1=1,ɑ2=120,Sn=7260
教学 程序
D小结 作业
❖布置作业：
1．课本P55 ex13,14,15,16. 2.用其它方法推导公式。
反馈 评价
结束
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此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
教学 目标
2、过程与方法目标
理解同项公式的推导过程以及等差中项的 求法。
3、情意目标
教学 目标
1
感受公式简洁的数学美
2
初步体验公式在代数中的重要作用
教法 学法
1、学情分析
No Image
A
学习基础
No Image
B
学习障碍
教法 学法
2、教学方法
No Image
No Image
ENIM
“学生为主体，教师为主导”的 自主合作式的教学方法
须 注 重 概 念 、 3、学习指导
教法
原 理 、Leabharlann 公 式 、 学法No Image
法 则 的 形 成 1
No Image
过 程 ， 突 出2 •通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动
，在潜移默化中领会
教学程序
A问题探究 B公式推导 C公式应用 D小结作业
教学 程序
A问题 探究
如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2， 3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法来计算？
教学 程序
C公式 应用
练习3：简单变式，针对全体学生
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V形架上共放了 多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架自下而上是个由120
层的铅笔构成的等差数列，上一层比下一层多1，
则公差为1。运用等差数列的公式Sn=
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
教学 程序
C公式 应用
Sn
na1
n(n 1) 2
d
an=a1+(n-1)d
Sn
n(a1 2
an
)
教学 程序
C公式 应用
❖怎样记忆公式？应用公式时应注意那些问题？ ❖等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d ❖等差数列的性质：若m+n=q+P ❖则am+an=ap+aq