运筹学第四章
运筹学第四章
x1
22
九.
（1）必要条件： ）必要条件：
极小点的判定条件
f ( x ) = min f ( x) f ( x ) = 0
f ( x ) = 0 （2）充分条件： ）充分条件： f ( x ) = min f ( x) 2 f (x ) > 0
23
十.
1.一般迭代算法 一般迭代算法
19
例
如下非线性规划是否为凸规划：
2 2 min f ( X ) = x1 + x2 4 x1 + 4 g1 ( X ) = x1 x2 + 2 ≥ 0 2 g 2 ( X ) = x1 + x2 1 ≥ 0 x , x ≥ 0 1 2 f ( X )的海赛矩阵
解
2 f x 2 1 H f (X ) = 2 f x x 2 1
T
12
而 2 f 2 f x 2 x x 4 1 2 * 1 H (x ) = = 2 2 f f 0 x x 2 2 1 x2 x = x* 4 = 4 > 0, 4 0 0 4 0 4
= 16 > 0, H ( x * )正定 ,
* * x1 = 2, x 2 = 1为严格局部极小点
λ
为最优步长， 称 λk 为最优步长，且有 f ( x k + λk d k )T d k = 0 。
25
十二. 十二 收敛速度
k 设算法A所得的点列为 设算法 所得的点列为 { x } ，如果
|| x
k +1
x || < λ || x x || ,
* k *
α
λ ,α > 0 .
k 则称 { x } 的收敛阶为 α 。
《运筹学》第四章决策分析介绍
P(S2)=0.4时
一般： 般：
E(A1 )=α×500+(1500+(1 α)(-200)=700 )( 200)=700α-200 200 E(A2) )=α×( (-150)+(1150)+(1 α)(1000) )(1000)=-1150 1150α+1000 令E1 =E2 得α=0.65
决策步骤
30
(三)、折衷准则 选择加权系数α(0 α1) max{α(maxVij )+(1-α)(minVij )}
i j j
α=0.6
S1
S2
S3 Vi1 =max Vi2 =min 加权平均
A1 20 A2 9 A3 6
1 8 5
-6 0 4
20 9 6
-6 0 4
9.6 5.4 max=9.6
15
决策分析的主要内容
决策准则 决策树 用决策树分析系列决策问 用决策树分析系列决策问题 检查是否需要获得更多的信息 贝叶斯法 用更新的信息更好地决策 贝叶斯法——用更新的信息更好地决策 效用理论 用效用更好地反映收益的价值 效用理论——用效用更好地反映收益的价值
16
概率论基础
随机事件(实验，试验 实验 试验)
称α=0.65为转折概率 α>0.65 α<0.65 选 A1 选 A2
42
直接使用先验概率 决策步骤 –对于每一种备选方案，将每一个收益乘以 相应自然状态的先验概率，再把乘积相加 就得到收 的加权 均 这就是备选方案 就得到收益的加权平均，这就是备选方案 的期望收益 –选择具有最大期望收益的备选方案作为决 选择具有最大期 收益的备选方案作为决 策方案
34
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
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运筹学第四章
本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥ 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥ 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥ 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥ 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥ 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥ 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥ 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥ 0例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0第二节生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章(完整版)
13物流工程3班第四组组员：李鲁超胡军李康郭优沈西王伟第四章1.讨论面向顾客设计思想的重要性。
P112-113顾客需求的多样化和个性化，使得市场演变和产品更新的速度越来越快，产品的生命周期越来越短。
通过与顾客的交流，倾听顾客的心声，听取他们对改进产品的建议，以此来分析顾客的需求，挖掘新产品创意。
2.讨论产品开发在企业战略中的重要地位。
P135一、21世纪企业产品设计的背景特征：（1）新产品开发是实现企业竞争战略的需要技术进步和需求多样化使得产品寿命周期不断缩短，企业面临着缩短交货期、提高产品质量、降低成本和改进服务的多重压力。
新产品开发是企业经营战略的核心内容之一，也是生产运作战略的出发点，产品开发智能的目的就是要研究、开发、设计出能满足市场需求并具有竞争力的产品。
（2）技术进步越来越快科学技术飞速发展，并被迅速而广泛地应用于实践中，推动着新产品的开发，也使得产品更新换代的速度越来越快，产品生命周期越来越短。
（3）用户的要求越来越苛刻随着时代的发展，大众知识水平的提高和激烈竞争带给市场越来越多、越来越好的产品，使用户的要求越来越高。
（4）产品研制开发的难度越来越大越来越多的企业认识到新产品开发对企业创造收益的重要性，特别是那些大型、结构复杂，技术含量高的产品在研制中一般都需要各种先进的设计技术。
（5）可持续发展的要求人类社会在经济快速发展的同时，由于忽略了环境保护，也带来了污染、酸雨、土地沙化，臭氧层破坏等恶果。
各国政府将环境保护问题纳入发展战略，这对企业提出了更高的要求。
二、新产品开发的重要性（1）有利于增强企业的核心竞争力（2）有利于扩大市场份额（3）适应个性化定制生产的需要（4）产品更新换代的需要3.讨论新产品开发的重要性？P109在企业竞争激烈的环境下，大多数企业面临着产品生命周期越来越短的压力。
企业要在同行中保持竞争力并能够占有市场份额，就必须不断地开发出新产品，并快速推向市场，满足多变的市场需求。
运筹学 第四章
第一节
目标规划问题及其数学模型
2、目标规划的定义 （1）目标规划是一种数学方法：用于解决目标 数目在两个或两个以上的多目标决策问题。 （2）多目标决策问题：多目标决策问题是由法 国经济学家V.Pareto在1896年提出的。他从政 治经济学角度，把很多本质上不可比的目标转 化为单一的最优目标。经济学目前使用最多的 是帕累托最优效率：没有人能在不使别人受损 害的情况下，让自己过得更好（所谓最优，实 质上是恰如其分要注意以下几点：
1、偏差变量与决策变量、松弛变量一样看待。一般 可以利 用偏差变量、松弛变量作为初始基变量，常 常不需（或需较少的）人工变量；
min
P1d1
,
P2
d
2
,
P3
(5d
3
3d
4
),
P4
d1
x1
x1
2x2 2x2
d1
d
2
d1
d
2
6 9
第一节 目标规划问题及其数学模型
3、发展历程 （1）1961年，Charnes和Cooper在《管理模型及线 性规划的工业应用》中，作为一个解没有可行解的 线性规划的方法而提出目标规划的概念和数学模型。 （2）1965年，尤吉·艾吉里引入了加权系数和优先 因子的概念，进一步完善了目标规划的数学模型。 （3）作为多目标决策（规划）的一个分支，目标规 划理论、方法已经基本完善。但开始于上世纪70年 代的多目标决策研究，只取得了有限的成果和进展 （复杂性所致）
x11
x12
x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
d1
d
2
d
3
d1
d
2
d
3
运筹学第4章
3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
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逻辑变量的应用
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(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
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如效率 矩阵为
运筹学第四章
OR3 7
OR3
选取非整数解X*(0)的一个非整数分量xi*＝bi，其小 数部分为di，以该非整数分量的相邻整数bi－ di和 bi－ di＋1为边界将原问题分枝为两个子问题，并 抛弃这两个整数之间的非整数区域： Ⓐ在原LP模型中添加分枝约束xi≤ bi－ di,构成第 一个子问题；ⓑ在在原LP模型中添加分枝约束 xi≥ bi－ di＋1，构成第二个子问题。 ④对上面两个子问题按照LP方法求最优解。若某 个子问题的解是整数解，则停止该子问题的分枝， 并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相 比较以决定取舍。 ⑤重复③④步直至获得原问题最优整数解为 止。
相关问题
非标准型的转化——将其化为标准型。
可令 ij＝ M- ij
（1）求maxZ= ΣΣcijxij
c 求maxZ= ΣΣcijxij 即求minZ’’= ΣΣ(M-cij)xij
ⓑ将该约束方程所有系数和常数分解为 整数和正分数之和，并将整系数项归写 于方程左边，真分数项写于右边； x1-x3=3/4-(3/4x3+1/4x4) x2-1=3/4-(3/4x3+1/4x4) Ⓒ考虑整数条件约束。以上方程左边为 整数，右边为非正数，即方程右边≤0。 这就是所求的割平面方程。即 3/4-(3/4x3+1/4x4) ≤0，即-3x3－x4 ≤-3
√ √
√ √ √
过滤条件
（0，0，0） （0，0，1） （0，1，0） （0，1，1） （1，0，0） （1，0，1） （1，1，0） （1，1，1）
OR3
0 4 －1
3 7
√ √ √ Z ≥0 √ √ √ Z ≥4
√ √ √ √ √ √ √ √ √ Z≥7
运筹学第四章
第 5 次课 2学时本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0第二节生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
运筹学第4章
min
≤ 60 5x1 + 10x2 x1 − 2x2 + d1− − d1+ =0 − + + d2 − d2 = 36 4 x1 + 4 x2 6x1 + 8x2 + d3− − d3+ = 48 x1, x2, di− , di+ ≥ 0 i = 1,2,3
max(6 x1 + 8 x2 )
线 性 规 划
min
目 标 规 划
1 1 x2 ≤ x1 ⇒ x2 − x2 ≤ 0 2 2 5 x1 + 10 x2 ≤ 60 4 x1 + 4 x2 ≤ 40 − 4 6 x1 + 8 x2 ≥ 48
≤ 60 5x1 +10x2 x1 − 2x2 + d1− − d1+ =0 − + 4x1 + 4x2 + d2 − d2 = 36 − + 6x1 +8x2 + d3 − d3 = 48 x1, x2, di−, di+ ≥ 0 i =1,2,3
2、某彩色电视机组装工厂，生产A、B、C三种规格电视 、某彩色电视机组装工厂，生产 、 、 三种规格电视 装配工作在同一生产线上完成， 机。装配工作在同一生产线上完成，三种产品每件装配时 的工时消耗分别为6小时 小时、 小时和 小时， 小时和10小时 的工时消耗分别为 小时、8小时和 小时，生产线每月 正常工作时间为200小时；三种规格电视机销售后，每台 正常工作时间为 小时；三种规格电视机销售后， 小时 可获利分别为500元、650元和 元和800元。每月销量预计分别 可获利分别为 元 元和 元 台和6台 该厂经营目标如下： 为12台、10台和 台。该厂经营目标如下： 台 台和 P1：利润指标定为至少每月1.6×104元； ：利润指标定为至少每月 × 元 P2：充分利用生产能力； ：充分利用生产能力； P3：加班时间不超过24小时； ：加班时间不超过 小时 小时； P4：产量恰好能够满足预计销量； ：产量恰好能够满足预计销量； 为确定生产计划， 为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
运筹学第四章动态规划
7
7
5
8
4
3
B1
4
C1
8
C4
4
D1
3
5 E1
4
6
D2 2
F
3
1
3 E2
D3
解：（逆序解法）
（1）从k＝5开始，到终点的路长
f 5 ( E1 ) 4, f 5 ( E2 ) 3
（2）k=4, 状态有3个D1,D2,D3，到终点的最短路长
d ( D1 , E1 ) f5 ( E1 )
资数额才能使总收益最大？
解：求x1,x2,x3，使
max z 4 x1 9 x2 2 x
2
3
x1 x2 x3 10
s.t.
xi 0 (i 1,2,3)
本例可转化为3阶段的决策问题。
4.2 动态规划的基本概念和基本原理
一、动态规划的基本概念
（1）阶段：将问题按时间或空间特征分解成若干相互联系
ቊ
∗2 (1 ) = 1
(1 , 2 ) + 1 (1 )
3+4
2 (2 ) = min
= min
=7
(2 , 2 ) + 1 (2 )
൞
8+5
∗2 (2 ) = 1
(1 , 3 ) + 1 (1 )
6+4
2 (3 ) = min
= min
= 10
uk
f 0 ( s1 ) 0
顺序解法与逆序解法在本质上没有区别。
当问题给定了一个初始状态和一个终止状态时
，两种方法都可以用。
4.3 动态规划模型的建立与求解
运筹学Chapter 4
cmLiu@shufe
Operations Research
4.2.2 割平面法
那么如何来构建一个割平面呢？
cmLiu@shufe
Operations Research
4.2.2 割平面法
与上述整数规划相对应的线性规划问题为
max z c j x j
j 1 n
n aij x j bi (i 1, 2,..., m) s.t. j 1 x 0( j 1, 2,..., n) j
cmLiu@shufe
Operations Research
4.3 0-1型整数规划
在整数规划问题中有一类比较特殊的整 数规划，它的决策变量仅取0或1两个值， 这样的整数规划称为0-1型整数规划，这时 决策变量称为0-1变量（二进制变量或逻辑 变量）。
cmLiu@shufe
Operations Research
4.2.1 分枝定界法
例4.2 用分枝定界法求解下面的整数规划问题
max z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x 3 x 1 1 2 x 1 0, x 2 0 x 1 , x2为整数
解：记
max z x1 x2 14 x1 9 x2 51 R : 6 x1 3x2 1 x 0, x 0且为整数 1 2
cmLiu@shufe
Operations Research
第四章 整数规划
本章主要介绍整数规划问题的提出、整数 规划问题的求解、0-1型整数规划及其求解、 指派问题、电子表格的建模和求解以及案 例分析。
cmLiu@shufe
Operations Research
运筹学第四章
第 5 次课 2学时本次课教学重点：建立数学模型本次课教学难点：建立数学模型本次课教学内容：第四章线性规划在工商管理中的应用第一节人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥ 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥ 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥ 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥ 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥ 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥ 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥ 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥ 0例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0第二节生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
运筹学第04章
目 标 规 划 的 灵 敏 度 分 析
cj→ CB 0 3P4 0 xB x1 d4x2 b 13/2 3 3/4 5/4 P1 cj-zj P2 P3 P4
0 x1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 x2 0 0 0 1 0 0 0 0
目 标 规 划
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 目标规划的灵敏度分析 规 划 的 单 纯 形 法
目标规划的数学模型实际上是最小 化形的线性规划，可以用单纯形法 求解。 在用单纯形法解目标规划时，检验 数是各优先因子的线性组合。因 此，在判别各检验数的正负及大小 时，必须注意P1»P2»P3» …。当 所有检验数都已满足最优性条件 (cj-zj≥0)时，从最终单纯形表上就 可以得到目标规划的解。
P2 d2+ 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1
P3 d30 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 1/10 -3/5 1/20 0 0
0 d3+ 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 -1/10 3/5 -1/20 0 0
产品 原材料（kg/件） 设备工时（h/件） 利润（元/件） Ⅰ 5 4 6 Ⅱ 10 4 8 限量 60 40
max z 6 x1 8 x2 5 x1 10 x2 60 s.t. 4 x1 4 x2 40 x1 , x2 0
解得，最优解x1=8，x2=2，max z=64（元）
在单纯形表Ⅲ中，由于非基变量d1+和d3+的检验数都是 零，故知例4-4有多重最优解(满意解)。 以d1+为换入变量继续迭代，可得如下单纯形表Ⅳ
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运筹学第四章习题答案
4.1若用以下表达式作为目标规划的目标函数，其逻辑是否正确？为什么？ （1）max ｛-
d -+d ｝ （2）max ｛-d ++
d ｝ （3）min ｛-d ++d ｝ （4）min ｛-d -+
d ｝
（1）合理，令f （x ）+-
d -+
d =b,当f （x ）取最小值时，-
d -+
d 取最大值合理。
(2)不合理，+
d 取最大值时，f （x ）取最大值，-
d 取最大值时，f （x ）应取最小值 （3）合理，恰好达到目标值时，-
d 和+
d 都要尽可能的小。
（4）合理，令f （x ）+-
d -+
d =b,当f （x ）取最大值时，-
d -+
d 取最小值合理。
4.2用图解法和单纯形法解下列目标规划问题
（1）min ｛P 13+d ，P 2-
2d ，P 3（-1d ++1d ）｝
24261121=-+++
-d d x x 52221=-+++
-
d d x x
155331=-++-d d x
3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i
（2）min{P 1(+++43d d ),P 2+1d ,P 3-2d ,P 4(--+4
35.1d d )} 401121=-+++-d d x x
1002221=-++--d d x x
30331=-++-d d x 15442=-++-d d x
4,3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i
(1)图解法
0 A B C X 1
由图可知，满足域为线段EG,这就是目标规划方程的解，可求得：E,G 的坐标分别为（0，12），（3,3） 故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a
(2)图解法 2
1
由图可知，满足域为线段AB A(25,15),B(30,10)故该问题的解可
表示为)1015,3025()10,30()15,25(212121a a a a a a ++=+ )1,0(212,1=+≥a a a a
(1)单纯形法
0 0 P1 0 0 P2 P3 P3
CB XB x1 x2 b
P3 P2 0
6 2 0 0 0 0 -1 1 24
5
15
2 1 0 0 -1 1 0 0
5 0 -1 1 0 0 0 0
P1
P2
P3
0 0 1 0 0 0 0 0
-1 -1 0 0 1 0 0 0
-6 -2 0 0 0 0 2 0
P3
P2
0 x1 0 2 1.2 -1.2 0 0 -1 1 6
2
3
0 1 0.2 0.2 -1 1 0 0
1 0 -0.
2 0.2 0 0 0 0
P1 P2 P3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 -0.2 0.2 1 0 0 0 0 -2 -1.2 1.2 0 0 2 0
P3
0 0
x2
x1
0 0 0.8 -0.8 2 -2 -1 1 2
2
3
0 1 0.2 -0.2 -1 1 0 0
1 0 -0.
2 0.2 0 0 0 0
P1
P2
P3
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 -0.8 0.8 -2 2 2 0
0 0
x2
x1
0 0 0.4 -0.4 1 -1 -0.5 -0.5 1
3
3
0 1 0.6 -0.6 0 0 0.5 0.5
1 0 -0.
2 0.2 0 0 0 0
P1
P2
P3
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 x2
2 0 0 0 1 -1 -0.5 -0.5 7
12
5
3 1 0 0 0 0 0.5 0.5
5 0 -1 1 0 0 0 0
P1
P2
P3
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1
故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a
（2）
P2
P3
P1
P4
P1
1.5P
4
CB XB x1 x2
b 0 1 1 -1 1 0
0 0 0 0 0 40
1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 100 1 0 0 0 0 0 -1 1 0
0 30
1
-1
1
15
P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
P2
1
P3 -1 -1
1 0
0 0 P4
-1
1.5 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 25
1 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 85 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 30 0
x2 0 1
15
P1 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0
P2
0 0
-1 0
P3 -1 0
1
-1 1 P4 -1 0
0 51 0 x1
1
0 -1 1 0 0 0 0 1 -1
1
-1
-1
1
0 0 1 -1 0 0 -1 1 -1 1 30 0 x2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 P2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 P3 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0
P4
-1
1
1
1.5
4.3某商标的酒是用三种等级的酒兑制而成。
这三种等级的酒每天供应量和单位成本见表4-20.三种商标的成品酒的兑制要求和售价见表4-21.决策者规定：首先必须严格按规定的比例兑制各商标的酒；其次是获利最大；再次是红商标的酒每天至少生产2000千克。
试列出数学模型。
表4-20
表4-21
设x ij 代表等级i 的酒投入第j （1红，2黄，3蓝）种商标酒兑制的数量
{}-
+--22111),(min d p d d p
1300131211≤++x x x 2000232221≤++x x x 1000333231≤++x x x
09.01.01.0312111≤+--x x x 05.05.05.0312111≥--x x x
08.125.23.05.02.15.011333231232221131211=-+++++++---+-d d x x x x x x x x x
200022312111=-++++
-d d x x x
4.4判别下列表4-22和表4-23是否是表上作业法求解的运输问题的基可行解。
表4-22
此表不是表上作业求解法的运输问题的基可行解，
因为基变量的个数=3+4-1=6与表中基变量数为7不符。
表4-23
此表不是表上作业求解法的运输问题的基可行解
因为基变量的个数=6+4-1=9与表中基变量数为8不符。
4.5用表上作业法求表4-24和表4-25中各处的运输问题的最优解。
表4-24
表4-25
用沃格尔法求最优方案：
4.6表4-26给出了一个运输问题及它的一个解，试问
（1）表中给出的解是否为最优解？请用位势法进行检验。
（2）若价值系数C24由1变为3，所给出的解是否仍为最优解？若不是，请求出最优解。
（3）若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？为什么？
（4）若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？为什么？
表4-26
(1)
因为检验数都大于等于0，所以表中解为最优解。
（2）
因为ð21小于0，所以此解不为最优解。
不变，因为因为检验数都大于等于0，所以表中最优解不变
（4）
4.7甲，乙，丙三个城市每年需要煤炭分别为320万吨，250万吨，350万吨，由A,B两处煤炭负责供应。
已知煤炭供应量分别为400万吨，450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价（万/万吨）如表4-27所示。
由于需求大于供应，所以决定佳城市供应量可减少0~30万吨，宜城市需求量必须全部满足，并称是供应量不少于270万吨。
试求总运费最低的调运方案（将可供煤炭量用完）
表4-27。