动量与角动量.ppt
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第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
第4章动量和角动量
用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将 落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
v
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量：
m v dm 0mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: m d v m (v m d m )v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m )v m v d v m
④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合 外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。
N
当Fx 0时，
mivix px 常量
i＝1
当Fy 0时，
N
miviy py 常 量
i＝1
当Fz 0时，
N
miviz pz 常 量
i＝1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-3 质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
dt
F dtdp — 动量定理的微分式
2）积分形式： 对上式积分，
t2
v Fdt
t1
pv2 pv1
dpv
即：
t2
v Fdt
pv
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。
说明
1、反映了过程量与状态量的关系。 2、I 与p 同向3、。 只适用于惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物体, 其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的,所以从 过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。 因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更 确切些。动量是描述物体机械状态的状态参量。
动量与角动量1PPT
设有两个质点的系统 质点系
（内力internal force 、外力external force ）
对每个质点应用动量定理，有
m1 : f , F1
m2 : f ', F2
F1 F2
f
dp1
f'
dt dp2
dt
F1
f
F2
f '
dp1 dt
dp2 dt
s2 F2
F1
m1
)
0
(3)
I y
Fydt
mv02
R
0
sin
d
mv0
(
cos
)
0
(4)
经过3/4圆周,即 3 时，
B
2
I x mv0 I y mv0
C
即 I mv0i mv0 j
经过整个圆周,即 2 时，
D
Ix 0
Iy 0
即
2024年7月16日
I mv 0
mv0 mv0
A
16 16
§3.2 质点系的动量定理
其中 vx vxm地 vxmM (VM地 )
代入（1）式，得
m(vx V ) MV
mvx (m M )V (1)
V
(m
m M
)
v
x
24
2024年7月16日
24
V
(m
m M)
vx
dX m ds (m M )
dX m ds dt (m M ) dt
X
m
R
0 dX (m M ) 0 ds
MV 2
m M
1 2
mv02
取M=100kg,m=5kg,h=4m估算,可得 Ek 10 J
动量与角动量
2mv 2 0.58 6.26 2 F 3.82 10 N t 0.019
例2：质量为m的质点做圆锥摆运动，质点的速 率为v，圆半径为R。圆锥母线与轴线之间的夹 角为 ，计算质点所受的拉力在一周内的冲量。
演示
逆风行舟
F进 风
F风对帆
F横
1 1 2
帆
Δ
2
F帆对风 Δ
×
i c i
x 质心位置是质点位置 以质量为权重的平均值。
二、几种系统的质心 ● 两质点系统 m1
·r
z
C
1
×
m2 r2
·
m1 r1 = m2 r2
● 连续体
dm ×C rc m y
r
0
r dm rC m
xdm xC m
x
……
●均匀杆、圆盘圆环、球，质心为其几何中心。 ●“小”线度物体的质心和重心是重合的。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 [例6]如图示， 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。 y 令 为圆盘的面密度， 均质圆盘 R
L r p
·
于是有
dL M dt
质点角动量定理 （微分形式）
或
d L M dt
积分
t2 M t1
d t L2 L1
质点角动量定理 （积分形式）
t2 M t1
d t 称冲量矩 ——力矩对时间的积累作用。
力矩的量纲是ML2T-2，单位是N.m
可认为动量近似守恒。
6、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。 7、用守恒定律作题，应注意分析过程、系统和 条件。
例4：一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M， 停在光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自 圆弧顶端由静止下滑。求当小物体m滑到底时， 大物体M在水平面上移动的距离。
例2：质量为m的质点做圆锥摆运动，质点的速 率为v，圆半径为R。圆锥母线与轴线之间的夹 角为 ，计算质点所受的拉力在一周内的冲量。
演示
逆风行舟
F进 风
F风对帆
F横
1 1 2
帆
Δ
2
F帆对风 Δ
×
i c i
x 质心位置是质点位置 以质量为权重的平均值。
二、几种系统的质心 ● 两质点系统 m1
·r
z
C
1
×
m2 r2
·
m1 r1 = m2 r2
● 连续体
dm ×C rc m y
r
0
r dm rC m
xdm xC m
x
……
●均匀杆、圆盘圆环、球，质心为其几何中心。 ●“小”线度物体的质心和重心是重合的。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 [例6]如图示， 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。 y 令 为圆盘的面密度， 均质圆盘 R
L r p
·
于是有
dL M dt
质点角动量定理 （微分形式）
或
d L M dt
积分
t2 M t1
d t L2 L1
质点角动量定理 （积分形式）
t2 M t1
d t 称冲量矩 ——力矩对时间的积累作用。
力矩的量纲是ML2T-2，单位是N.m
可认为动量近似守恒。
6、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的定律，它在宏观和微观领域均适用。 7、用守恒定律作题，应注意分析过程、系统和 条件。
例4：一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M， 停在光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自 圆弧顶端由静止下滑。求当小物体m滑到底时， 大物体M在水平面上移动的距离。
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
第2章-2-动量-角动量守恒定律2019
3
4 105
（2）
I
Fdt
00.003
400
4 105 3
t
dt
400t
4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2g v 300
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
（2）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考 系而言。 （3）若系统所受合外力不为零，但是合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向上的总动量守恒。
Fix 0 Px mivix 常量
（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞，打击，爆炸等过程）
称为“冲量矩”
质点系的角动量定理的推导：
m1
m2
质点系的角动量定理：
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于 质点所受的所有外力对同一参考点力矩的矢量和。
质点系角动量定理的积分式：
t2
t1
Mdt
L2
L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内
的角动量的增量 。
质点系的z轴的角动量定理：
第 i 个质点： 质量mi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mivi mi vio
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律PPT课件
dt M 外i riFi外
f2 1
2
m2
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL
dt M 外i riFi外
注意： 合外力矩 M是外质点系所受各外力矩的矢
量和，而非合力的力矩。
注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
L r c m i v ir i m i v c r i m i v i
第三项：
i
i
i
与 i 有关
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
描述系统的内禀性质： L自 旋
L自 旋
L轨 道
于是：
∑
L=rc×Mvc+
本讲内容：三个基本概念
1.角动量
质点
L r p r m v
质点系 L r c M v c r i m iv i L 轨 L 自 道
i
定轴刚体 Lz ri2mi J
i
2. 转动惯量
J ri2mi J r2dm i
3.力矩
M rF M zrF
Mi内0
i
上讲 §5.1 角动量 转动惯量
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
定义 ： L = r× p = r× m v r
m θ
p p
r
大小： L=rmvs inθ
o
=r p⊥= pr⊥
z
方向：
垂直r于 和p组
成
L
的平面o，
服从右手定则。
x
r
r m
第四章 动量
i i
④动量守恒定律
当 F合外力 0 时, p 恒矢量
§4-3 碰撞 一.碰撞
t (S)
0.1
10
-2
10
-3
10
-4
FN mg 6.5 56 5.5 102 5.5 103 两个或几个物体相遇，在较短时间内发生 较强的相互作用，称为″碰撞″。
二.碰撞的共同规律 碰撞系统大都满足外力远小于内力，即F外 F内， 故碰撞物体组成的系统动量守恒。 三.分类 1.弹性碰撞： 机械能守恒的碰撞称为弹性碰撞，又称 完全弹性碰撞。 2.非弹性碰撞：机械能不守恒的碰撞称为非弹性碰撞。 如果两物体碰撞后合二为一，以共同的 速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
( M m )v0 cos MV m(V 例5.一运动员质量为M，手中拿着质量为m的篮球自地面 u) V球地 V球人 V人地 以仰角 、初速度 v 斜向前跳起，跳至最高点时，以相
对于人的速率u将球水平向后抛出，问运动员向前的距离 与不抛球时相比，增加多少？ (书P106 4 - 14) 解：①系统： m+M
1 I 5 40 (10 5) 20 20 2 200(N s)
I p mv 0
v 40 m s
O
5
10
t(s)
1 WF mv 2 0 4000J 2
t2 I Fdt
t1
§4-2 dt t f12dt t ( f 21 f12 )dt 0 t f 21动量守恒定律
②条件分析：抛球前后
0
F水平 0
p水平 恒量
③状态分析： 抛球前
抛球后
v0
④动量守恒定律
当 F合外力 0 时, p 恒矢量
§4-3 碰撞 一.碰撞
t (S)
0.1
10
-2
10
-3
10
-4
FN mg 6.5 56 5.5 102 5.5 103 两个或几个物体相遇，在较短时间内发生 较强的相互作用，称为″碰撞″。
二.碰撞的共同规律 碰撞系统大都满足外力远小于内力，即F外 F内， 故碰撞物体组成的系统动量守恒。 三.分类 1.弹性碰撞： 机械能守恒的碰撞称为弹性碰撞，又称 完全弹性碰撞。 2.非弹性碰撞：机械能不守恒的碰撞称为非弹性碰撞。 如果两物体碰撞后合二为一，以共同的 速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
( M m )v0 cos MV m(V 例5.一运动员质量为M，手中拿着质量为m的篮球自地面 u) V球地 V球人 V人地 以仰角 、初速度 v 斜向前跳起，跳至最高点时，以相
对于人的速率u将球水平向后抛出，问运动员向前的距离 与不抛球时相比，增加多少？ (书P106 4 - 14) 解：①系统： m+M
1 I 5 40 (10 5) 20 20 2 200(N s)
I p mv 0
v 40 m s
O
5
10
t(s)
1 WF mv 2 0 4000J 2
t2 I Fdt
t1
§4-2 dt t f12dt t ( f 21 f12 )dt 0 t f 21动量守恒定律
②条件分析：抛球前后
0
F水平 0
p水平 恒量
③状态分析： 抛球前
抛球后
v0
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
第3章 动量与角动量
i j
Fj
i j
N
f ji
dp j dt
Fi
pj
fi j
· · · fj i
· j
对所有粒子求和
Fj
i 1
N
Fi
i 1 i j
d f ij dt
i 1
N
pi 内力和
i 1 i j
N
f ij 0
(7)
d N Fi dt pi i 1 i 1 N N 合外力：F Fi 总动量：P pi i 1 i 1 t2 2 dP F t1 Fdt 1 dP P2 P1 dt
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中 间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m 的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少? v 解: 1) 以小船1及m为研究对象, 运用动量守恒定律 u u
Mv m(v u) ( M m)v1 mu v1 v M m
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质 点就称为质点系. F1 二、质点系的动量定理 F2 f1 内力: f1 , f 2 m1 m1 , m2 系统 m2 外力: F1 , F2 f
(2)
1)冲量 I 的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
注意:
的方向, Δt 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 2)直角坐标系中: I I x i I y j I z k t2 I x Fx dt P2 x P1 x mv2 x mv1 x 分量式:
动量与角动量
注：质心位矢rc 与坐标系的选择有，
其相对于质点系内各质点的相对位 置是不会随坐标系的选择而变化的， 即质心是相对于质点系本身的一个 特定位置。
i
m
二. 质心的计算
z
C
rC
y x
图3.4 N个质点组成的质点系
质量连续分布的物体 (微元?)
xdm xC m ydm yC m zdm zC m
y
dm
0
x
y
b
xC
xdm
m
O
x dx
动力学30
a
x
例3.9一段均匀铁丝弯成半圆形，其半 径为R，求半圆形铁丝的质心。
作业：3.12
3.5 质心运动定理
一、质心运动定理
rC
mi ri
i
m
dri mi drc dt i vc dt m
mi vi
矢量法
I F t (mv1 ) 2 (mv2 ) 2 2mv1mv2 cos120 3mv
3mv 3 0.14 40 F 8.1103 N t 1.2 103
例3.3一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒 落入车厢的煤为△m=500kg。如果使车厢的速率保持 不变，应用多大的牵引力拉车厢？
以F 表示喷出气体对火箭体推力
根据动量定理： Fdt ( M dm) (v dv) v Mdv
又由 udM Mdv 0 可得Mdv udM udm dm F u dt 上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率
(dm / dt )及喷出气体的相对速度u成正比。
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
第3章：动量与角动量.ppt
解：以竖直悬挂的链条和 桌面上的链条为一系统，
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
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r f12
r f21
对质点组内第 i 个质点，由质点的动量
r F2
定理得：r r
r
r
Fi
(Fi fi )dt dpi
r F3
对 n 个质点求和得：
r
Fi dt
r fidt
d
r pi
d
r pi
rr
r
由牛顿第三定律可知： fij f ji
fi 0
r
Fi
d dt
r pi
二、动量守恒定律
F
I t t0
t
t
Fdt
0
t t0
p p0 t t0
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出. 求棒对垒球的平均打击力. 设棒 和球的接触时间为 t =1.2 ms .
v2
60o
v1
因打击力很大，所以由碰撞引起的质 点的动量改变，基本上由打击力的冲量决 定， 重力、阻力的冲量可以忽略.
天文学家们将组织一场国际规模的观测， 以期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇 航局还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望 远镜，在撞击时和撞击后锁定“坦普尔一号” 进行观测。
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁 彗星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
§3.2 动量守恒定律
一、质点组的动量定理
r
F1
mvrn1
mvrn
vr 4
vr 3
r
vr
r F2t2
2
r vr 1
F1t1
F3t3
r
r
r
r
F1t1 F2t2 F3t3 L Fntn
rrr
r
I1 I2 I3 L In
r
I
n
r Ii
mvrn1
mvr1
i 1
vr 4
vr 3
r
vr
r F2t2
2
r vr 1
F1t1
F3t3
vrn1
r
R
【例3.10 】如图所示，人与船构成质点系，当 人从船头走到船尾，求人和船各移动的距离.
解: 在水平方向上，外 力为零，则系统质
心位置不变.
xC xC
O
开始时，系统质心位置:
x1
m
x2
M
x
xc
mx1 m
Mx2 M
（ x1 、x2 分别为人和船开始时的质心位置）
终了时，系统质心位置:
xc
mx1 m
dM(v u) (M dM)(v dv)
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv u
dM M
vi
Mi
vf
vi
u ln
Mi Mf
设火箭质量比 N Mi Mf ，火箭增加的速度为
v f vi u ln N 提高速度的途径：
1、提高气体喷射速度u；
2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
O k y r
M Fr sin
r M
rrr
r
Fr
r
F
r
r
r
rxr
( xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) r
由r矢r积的r定义r ： r r
kr
i i j j kk 0
j
r r r r r r r r r rO i j k jk i ki j i
rr r r r r r r r
4 . 对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这些过
程的动量守恒 .
5 . 物理学家对动量守恒定律具有充分信心 . 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总
是提出新的假设来补救，结果也总是以有
所新发现而胜利告终 .
【例】在 衰变中，反中微子的发现
mvr2
mg t
60o
mvr1
打击力冲量 F t
根据动量定理：
r F t
mvr2
mvr1
r F t
mvr2
mvr1
v2 v1 v
F t
mv2
棒对垒球的平均打击力大小为：
F 2mv cos 30 t
30o mv1
20.1440cos 30 1.2103
60o m=140g
8.1103 (N)
r kr
j
rO i
二、 质点的角动量定理
根据牛Fr顿第d二pr 定律：
rr
r F
dt rr
dpr
dt
r
O k y r
rr
Fvr
x
Q
d
r (r
r p)
drr
r p
r r
d pr
(vr
//
r P
)
dt
dt
drt
r M
d
(rr
pr)
60o
O
rm=140g r j ) (v1i )]
x
mv
r (3i
r 3j)
2t
(已知：v2 v1 v)
0.14 40 r r
2 1.2 103
(3i r
3j) r
2.33 103 (3i 1.73 j ) (N)
（高中问题研究）质量为 m 的物体静止在水平桌 面上，受到水平恒力 F 的作用，作用时间为 t ；之后 撤消 F ，又经 2t 时间物体又复为静止. 求此过程物体 受到的阻力.
Mx2 M
（ x1 、x2 分别为人和
船终了时的质心位置）
x1
s人
m
s
l
合并以上两式并整理得: O
M
M( x2 x2 ) m( x1 x1 ) sMs m(lls)s
x2 x2
x
船和人移动的距离分别为:
x1'
s
s ml mM
s人
l
s
Ml mM
§3.6 质点的角动量和角动量定理 r
一、力矩
3
rr 此时 IF、I f 不具有同时性，
r I总 由
rr IF、I f
直接合成.
将有限的物理过程分割成无
限多个无限小的小过程.
r Fr1t1 Fr2t2 F3t3
mvr2 mmvvrr34
mvr1 mmvvrr23
vrn1
r
vr n
Fntn
r Fi
M
ti
mvri
1
mvri
rM
Fntn
解：根据动量定理：
N
N
(F f )t mv2 mv1 f
Ff
x/m
f (2t) mv3 mv2 O
以上两式相加并整理得： v1 W
t
3t t / s
v2 W v3
Ft f (3t) mv3 mv1
r I总
r IF
r If
mvr3 mvr1
Q v3 v1 0 受到的阻力: f F
x
f t p mv 0
f f m v t
∵车厢匀速
F f m v t
煤
m v F
f f
x
已知：每秒钟落入车厢的煤为m = 500 kg
m 即： 500 kg/s
t
牵引力的大小为：
F 500 3 1.5103 (N)
“炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日 ， 美 国 发 射 的 “ 深 度 撞 击 ” 号 （Deep Impact）探测器携带的重372千克的铜头“炮 弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗 星（TEMPEL1）的彗核相撞.
据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大 小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃 和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能 通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象.
科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的 冰冻残留物。他们希望深入彗星内部的研究将 使他们能够了解太阳系形成早期40多亿年前的 情况，并加深对太阳系起源的进一步了解。
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.6 质心运动定理 §3.7 角动量守恒定律
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt
vr n
Fntn
力的冲量是力对时间的积累效应.
【例】一辆装煤车以v = 3m/s的速率从煤斗下通 过，每秒钟落入车厢的煤为m = 500kg. 如果使车 厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？
（车厢与钢轨间的摩擦忽略不计）
煤
解：设m′从落入车厢起到
一 与车同速经历的时间为
m v F
f f
一 kkkkt，根据动量定理得：
解: 建坐标系如图 .
y
d
根据对称性，质心在 y 轴上 .
dm
即： xC 0
M
ydm
根据质心定义：yC
0
M
设铁丝总质量为M , 则:
dm dl M Rd R
O
x
R sin
M
Rd
yC 0
R
M
R cos
02RBiblioteka 质心位置： (0 ,2R )
y
d
dm
O
x
说 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上； 明 (2) 质心位置只决定于质点系的质量和质