动量与角动量.ppt

mvrn1
mvrn
vr 4
vr 3
r
vr
r F2t2
2
r vr 1
F1t1
F3t3
r
r
r
r
F1t1 F2t2 F3t3 L Fntn
rrr
r
I1 I2 I3 L In
r
I
n
r Ii
mvrn1
mvr1
i 1
vr 4
vr 3
r
vr
r F2t2
2
r vr 1
F1t1
F3t3
vrn1
r
R
【例3.10 】如图所示，人与船构成质点系，当 人从船头走到船尾，求人和船各移动的距离.
解: 在水平方向上，外 力为零，则系统质
心位置不变.
xC xC
O
开始时，系统质心位置:
x1
m
x2
M
x
xc
mxபைடு நூலகம் m
Mx2 M
（ x1 、x2 分别为人和船开始时的质心位置）
终了时，系统质心位置:
xc
mx1 m
3
rr 此时 IF、I f 不具有同时性，
r I总 由
rr IF、I f
直接合成.
将有限的物理过程分割成无
限多个无限小的小过程.
r Fr1t1 Fr2t2 F3t3
mvr2 mmvvrr34
mvr1 mmvvrr23
vrn1
r
vr n
Fntn
r Fi
M
ti
mvri
1
mvri
rM
Fntn
r kr
j
rO i
二、 质点的角动量定理
根据牛Fr顿第d二pr 定律：
rr
r F
dt rr
dpr
dt
r
O k y r
rr
Fvr
x
Q
d
r (r
r p)
drr
r p
r r
d pr
(vr
//
r P
)
dt
dt
drt
r M
d
(rr
pr)
j i k k j i i k j
r rrr r r r
M ( xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
r
r
r
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
y zr z xr x yr
i
j
k
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
rrr i jk x y z Fx Fy Fz
60o
O
rm=140g r j ) (v1i )]
x
mv
r (3i
r 3j)
2t
(已知：v2 v1 v)
0.14 40 r r
2 1.2 103
(3i r
3j) r
2.33 103 (3i 1.73 j ) (N)
（高中问题研究）质量为 m 的物体静止在水平桌 面上，受到水平恒力 F 的作用，作用时间为 t ；之后 撤消 F ，又经 2t 时间物体又复为静止. 求此过程物体 受到的阻力.
r m3r3 L
r mnrn
令：
r mrC
rr m1r1 m2r2
r m3r3 L
r mnrn
则
N r
r rc
mi ri
i 1
m
定义：
r rC
矢端处的几何点
C
，称为质点组
的质量中心，简称质心．
Nr
r rc
mi ri
i 1
m
Nr mi ri
i1 N mi
i 1
xC
mi xi m
量分布情况，与其他因素无关 .
§ 3.5 质心运动定理
r
F
d2 dt 2
r (mrC
)
r F
r maC
（适用于惯性系）
质心运动定理描述了物体质心的运动. 体 系的内力不影响质心的运动.
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
【例】如图，半圆柱立在光滑水平面上从静止
开始倒下，试判断质心 C 的运动方向.
天文学家们将组织一场国际规模的观测， 以期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇 航局还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望 远镜，在撞击时和撞击后锁定“坦普尔一号” 进行观测。
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁 彗星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
§3.2 动量守恒定律
一、质点组的动量定理
r
F1
r F
方向如图，与水平线夹仰角30°.
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过
程中，物体之间的碰撞冲力是很大的.
解Fr法t二：m根vr据2 动m量vr定1 理：
y
mv2
F t
棒对垒球的平均打击力为：
r F
m t
(vr2
m t
[(v2
vr1 ) cos 60
r i
30o mv1
v2 sin 60
vr n
Fntn
力的冲量是力对时间的积累效应.
【例】一辆装煤车以v = 3m/s的速率从煤斗下通 过，每秒钟落入车厢的煤为m = 500kg. 如果使车 厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？
（车厢与钢轨间的摩擦忽略不计）
煤
解：设m′从落入车厢起到
一 与车同速经历的时间为
m v F
f f
一 kkkkt，根据动量定理得：
解: 建坐标系如图 .
y
d
根据对称性，质心在 y 轴上 .
dm
即： xC 0
M
ydm
根据质心定义：yC
0
M
设铁丝总质量为M , 则:
dm dl M Rd R
O
x
R sin
M
Rd
yC 0
R
M
R cos
0
2R
质心位置： (0 ,
2R )
y
d
dm
O
x
说 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上； 明 (2) 质心位置只决定于质点系的质量和质
如果合外力为零，则质点系的总动量不随时
间改变
P
pi
常矢量
i
1 . 只适用于惯性系 .
2 . 若某方向的合外力为零，则沿这方向动量
守恒 .
rdr
3 . 外力<<内力时Fi，动d量t 近似pi 守恒 .
例如碰
Fix撞和ddt爆炸pix.
d Fiy dt piy
Fiz
d dt
piz
mvr2
mg t
60o
mvr1
打击力冲量 F t
根据动量定理：
r F t
mvr2
mvr1
r F t
mvr2
mvr1
v2 v1 v
F t
mv2
棒对垒球的平均打击力大小为：
F 2mv cos 30 t
30o mv1
20.1440cos 30 1.2103
60o m=140g
8.1103 (N)
r f12
r f21
对质点组内第 i 个质点，由质点的动量
r F2
定理得：r r
r
r
Fi
(Fi fi )dt dpi
r F3
对 n 个质点求和得：
r
Fi dt
r fidt
d
r pi
d
r pi
rr
r
由牛顿第三定律可知： fij f ji
fi 0
r
Fi
d dt
r pi
二、动量守恒定律
r tr
I F(t)dt t0
牛顿第二定律
r F
r dp
dt
质点的动量定理：
dI
Fdt
dp
r tr
rr
I
F (t )dt
t0
p
p0
动量定理常用于碰撞过程 .
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
r
r
F?(t t0 ) I
tr
rr
F (t )dt
t0
p
p0
平均冲击力：
x
f t p mv 0
f f m v t
∵车厢匀速
F f m v t
煤
m v F
f f
x
已知：每秒钟落入车厢的煤为m = 500 kg
m 即： 500 kg/s
t
牵引力的大小为：
F 500 3 1.5103 (N)
“炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日 ， 美 国 发 射 的 “ 深 度 撞 击 ” 号 （Deep Impact）探测器携带的重372千克的铜头“炮 弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗 星（TEMPEL1）的彗核相撞.
O k y r
M Fr sin
r M
rrr
r
Fr
r
F
r
r
r
rxr
( xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) r
由r矢r积的r定义r ： r r
kr
i i j j kk 0
j
r r r r r r r r r rO i j k jk i ki j i
rr r r r r r r r
A Z
XZ A1Y
e-
§3.4 火箭飞行原理
“神州”号飞船升空
v
(u) v dv
M t 时刻
dm M dM
(t dt) 时刻
dm dM
u ：dm相对火箭体喷射速度，定值。
质点系选：(M+dM , dm)
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
Mv dm(v u) (M dM)(v dv)
据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大 小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃 和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能 通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象.
科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的 冰冻残留物。他们希望深入彗星内部的研究将 使他们能够了解太阳系形成早期40多亿年前的 情况，并加深对太阳系起源的进一步了解。
4 . 对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这些过
程的动量守恒 .
5 . 物理学家对动量守恒定律具有充分信心 . 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总
是提出新的假设来补救，结果也总是以有
所新发现而胜利告终 .
【例】在 衰变中，反中微子的发现
解：根据动量定理：
N
N
(F f )t mv2 mv1 f
Ff
x/m
f (2t) mv3 mv2 O
以上两式相加并整理得： v1 W
t
3t t / s
v2 W v3
Ft f (3t) mv3 mv1
r I总
r IF
r If
mvr3 mvr1
Q v3 v1 0 受到的阻力: f F
v u1 ln N1 u2 ln N2 u3 ln N3 L
火箭体对喷射的气体的推力：
dm[(v u) v] u dm
dt
dt
喷射的气体对火箭体的推力：
F
u
dm dt
【思考】自由空间火箭质量随时间变化，应用
牛顿定律 d(mv) m dv v dm 0，求出
dt
dt dt
错在哪里？
Mx2 M
（ x1 、x2 分别为人和
船终了时的质心位置）
x1
s人
m
s
l
合并以上两式并整理得: O
M
M( x2 x2 ) m( x1 x1 ) sMs m(lls)s
x2 x2
x
船和人移动的距离分别为:
x1'
s
s ml mM
s人
l
s
Ml mM
§3.6 质点的角动量和角动量定理 r
一、力矩
yC
mi yi m
zC
mi zi m
y
质点系
mi
ri
C质心
rc
o
x
z
对连续分布的物质，分成 N 个小质元计算
N r
r rc
lim
m 0
i 1
ri mi m
N
r
rdm
dm
rr r
( xi yj zk )dm dm
【例3.9】一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径
为R ，求此半圆形铁丝的质心．
y
解：根据质心运动定理：
r N
r
F
r maC
r
r
Fj maC j
0
C
x
r
沿水平方向不受力，质心
W
静止，在水平方向无运动．故
质心只能在竖直方向向下运
动．
【例】如图所示，一有1/4 圆弧滑槽的大物体的质 量为M，停在光滑水平面上，另一质量为m的小物 体自圆弧顶点由静止下滑 . 求当小物体m滑到底时， 大物体M在水平方向 移动的距离 S .
vf
vi
mi mf
§ 3.5 质心
由质点组的动量定理：
r
z
C pC
r
r
Fi
dt
d
r pi
rC
r F
d dt
(m1vr1
m2vr2
xO
m3vr3 L
y
mnvrn )
r d2 r
r
r
r
F dt 2 (m1r1 m2r2 m3r3 L mnrn )
令：
r mrC
rr m1r1 m2r2
dM(v u) (M dM)(v dv)
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv u
dM M
vi
Mi
vf
vi
u ln
Mi Mf
设火箭质量比 N Mi Mf ，火箭增加的速度为
v f vi u ln N 提高速度的途径：
1、提高气体喷射速度u；
2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
解：选（M+m）为研究系统
根据质心运动定 理分析：水平方向系 统合外力为0，水平方 向系统质心静止 .
t1时刻： m
t2时刻：
t1
C
M
-R
-a
O
系统质心
t2 M C
m
-a-S -S O 系统质心
X MxmR C1 M m
XC2
M
x M
S mS
m
质心静止 X X C1 C 2
M 移动的距离
S
m Mm
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.6 质心运动定理 §3.7 角动量守恒定律
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt
F
I t t0
t
t
Fdt
0
t t0
p p0 t t0
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出. 求棒对垒球的平均打击力. 设棒 和球的接触时间为 t =1.2 ms .
v2
60o
v1
因打击力很大，所以由碰撞引起的质 点的动量改变，基本上由打击力的冲量决 定， 重力、阻力的冲量可以忽略.