作差法比较大小
作差法比较典型例题
作差法比较典型例题
那我来给你讲个作差法比较的典型例题哈。
比如说，比较5和3的大小。
这时候我们就可以用作差法。
我们用5减去3，得到5 - 3 = 2。
你看这个差是2，2是个正数呢。
这就说明前面的数5比后面的数3要大。
就好像两个人在比谁的糖果多，5颗糖果的那个人给3颗糖果的那个人2颗糖果后，两个人的糖果才会一样多，所以5比3大。
再来看一个稍微复杂点的例子。
比较和的大小。
我们用，把它整理一下就得到，这个式子可以写成。
因为任何数的平方都是大于等于0的，也就是。
这就意味着
减去得到的差是非负的。
所以呢，。
就好比这个“大力士”和这个“小力士”比力气，总是比力气大或者至少一样大。
用作差法比较大小(教案)
阅读与思考用作差法比较大小教学目标1、理解作差法比较大小的依据。
2、掌握作差法比较大小的一般步骤3、能利用作差法比较大小解决实际问题教学设计一、课题引入1.计算下列减法算式的结果：3－2= 5－4= 6－5=2－3= 6－7= 5－9=1－1= 5－5= 3－3=2.小组讨论，从算式中发现规律第一组算式：被减数比减数大，得数为正数（大于零）；第二组算式：被减数比减数小，得数为正数（小于零）；第三组算式：被减数比减数大，得数为正数（等于零）。
二、探究新知提问1.从上述规律中大家能得到怎样的启示呢？（从上述规律中，我们可以归纳出一种比较两个数或两个代数式的大小的方法。
）作差法比较大小：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b；如果a－b=0，则a=b.提问2.作差法比较大小应当经历那些步骤？运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）根据差的情况确定被减数与减数的大小.三、实例巩固【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收费为3a×80％＝2.4a.因为2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】若两家旅行社的票价不相同，我们能否比较出哪个旅行社的费用低呢？.四、课堂小结1.什么作差法比较大小2. 作差法比较大小具体操作步骤。
作差法比较大小
例2 国庆期间，我准备带一家三口去美丽的狮子峰旅行，咨询 时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按 全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计 价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价a元／人，请帮 老师比较一下，实际哪家收费较低呢？ 【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含 有a的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后求出两个式子的 差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社 的费用低.
教学目标
知识与技能
1、当a-b>0时，一定有a>b 。当a-b=0时，一定有a=b。当a-b<0时，一定有a<b。 2、把要比较的对象数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小
过程与方法
1、 通过创设情景，让学生在寻找问题解决的过程中认知用求差法比较大小。 2、通过观察 猜想 类比 归纳让学生感受到用求差法比较大小的实用性与通法性。
3、运用新知
问题2 你能回答前面的用料问题吗？
解：（4x+8y)-(3x+9y )=x -y 由于A型钢板比B型钢板面积大，即x＞y 所以x-y ＞0 即：（4x+8y)-(3x+9y )＞0 故4x+8y ＞ 3x+9y 所以应该选用第二种方案.
1.课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，
7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，
每张B5纸的面积为y，且x ＞y，请你分析谁用的纸面积最大． 2.制作甲食品需要A、B两种原料且有种配料方式，方式1需要A原 料600g,B原料500g；方式2需要A原料400g,B原料300g，每克A原料 费用比B原料高，从商家的角度考虑，应选那种方式？
《作差法比较大小》课件
总结作差法的步骤和注意事项，帮助学生掌握。
02
CATALOGUE
作差法的定义
什么是作差法
作差法是一种通过比较两个数之差来判定原数大小的方法。
它基于一个数学原理：如果两个数的差小于零，则第一个数 小于第二个数；如果差等于零，则两个数相等；如果差大于 零，则第一个数大于第二个数。
详细描述
对于任意x的值，如果P(x)>Q(x)，则P(x)-Q(x)>0；如果P(x)<Q(x)，则P(x)Q(x)<0；如果P(x)=Q(x)，则P(x)-Q(x)=0。因此，通过作差法，我们可以比较 两个多项式的大小。
实例三：比较两个函数的大小
总结词
对于任意两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过作差法比较它们的大小。
作差法的原理
01
作差法的原理基于实数的有序性 ，即实数集是有序的，任意两个 实数之间都可以比较大小。
02
通过作差法，我们可以将比较两 个数的大小问题转化为求两数之 差的符号问题，从而简化比较过 程。
作差法的应用场景
在数学学科中，作差法广泛应用 于比较代数式、函数值的大小。
在解决实际问题时，作差法可以 用于比较不同方案、不同策略的 优劣，例如成本、效益等方面的
详细描述
最值问题是数学中的常见问题，利用作差法解决最值问题时，我们首先需要确定函数的 定义域，然后通过求导数或构造函数的方式找到函数的极值点，最后通过比较极值点与
边界点的函数值来确定最值。
利用作差法进行函数单调性判断
总结词
通过作差法，我们可以判断函数的单调 性，即函数在一定区间内是递增还是递 减。
有理数的大小比较的方法与技巧
有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝1×4，B＝ 3×2，试比较A和B的大小．解：设1＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。
∴A＜B。
2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．。
《作差法比较大小》课件
应用：可以用于解决实际问题，如比较 三个数的大小，判断三个数是否相等等
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量 言简意赅的阐述观点。
用作差法比较多个数的大小
实例1：比较3和 5的大小
实例2：比较4和 6的大小
实例3：比较5和 7的大小
比较两个数的大小
比较两个数的平方根大 小
比较两个数的平方大小
比较两个数的三角函数 大小
比较两个数的对数大小
03
作差法的步骤
计算两数的差值
确定两个比较的 数
计算两个数的差 值
判断差值的正负
根据差值的正负 判断两个数的大 小关系
判断差值的正负
确定两个数的大小关系
计算两个数的差值
判断差值的正负，如果差值为正，则第一个数大于第二个数；如果差值为负，则第一个数小于第二个数；如果差值为零，则两个 数相等。
大
精度低：差值 可能存在误差， 导致结果精度
较低
适用范围有限： 只适用于数值 型数据，不适 用于非数值型
数据
容易产生误差： 差值计算过程 中可能产生误 差，影响结果
准确性
如何扬长避短使用作差法
优点：计算简单，易于理解 缺点：误差较大，不适用于精确计算 扬长：适用于初等数学中的简单计算 避短：避免在需要精确计算的场合使用作差法
感谢观看
汇报人：
实例：比较3、5、7的大小
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，请尽量 言简意赅的阐述观点。
步骤： a. 计算3-5= -2 b. 计算57= -2 c. 比较-2和-2的大小，发现 相等
a. 计算3-5= -2 b. 计算5-7= -2 c. 比较-2和-2的大小，发现相等
代数式用作差法比较大小
1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上 观察他们的大小关系
李连杰身高 姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.29>1.69 提示：运用了实数 减法运算符号法则
a>b a=b a<b
ab0 a b ab0 ab ab0ຫໍສະໝຸດ ab ab0 ab定号 下结论
3、思考：
①上述例题代数式有一个怎么样的特点？ 答：都是整式
②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
合并同类项，
因式分解，配
③上述例题的解法名称是什么？
方等等
答：作差法
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
•解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
2 x 0
2 x 330
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2
高中数学新课标人教A版必修第一二册知识点解析〖《作差法比较大小》课堂探究〗
作差法比较大小
【例题】比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）2＋3与3；
（2）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
分析：我们知道，a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．
解：（1）（2＋3）－3＝2－3＋3
＝错误!2＋错误!≥错误!＞0，
∴2＋3＞3．
（2）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2－b2）
＝（a－b）2（a＋b），
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴（a－b）2＞0，a＋b＞0．
∴（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2．
反思：比较两个代数式大小的步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差；
（2）变形：对差进行变形；
（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
（4）得出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．。
2024年人教版七年级上册数学阶段拔尖专训4 有理数比较大小的方法
1，｜ a － b ｜＝｜2－(－1)｜＝3，｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜
2｜＋｜－1｜＝3；当 a ＝－1， b ＝2时，｜ a ＋ b ｜＝｜
－1＋2｜＝1，｜ a － b ｜＝｜－1－2｜＝3，｜ a ｜＋｜
b ｜＝｜－1｜＋｜2｜＝3.
所以｜ a ＋ b ｜＜｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜.
－
＜－ ＜－ ＜－ ，
所以－ ＜－ ＜－ ＜－ .
【点拨】
此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的
数，再进行比较.
1
2
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4
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10
阶段拔尖特训
数轴法比较大小
【高分秘籍】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数大.根据这一特点可把需要比较的有理数在数轴上表示出
｜ a ＋ b ｜＜
－ b ｜，｜ a ｜＋｜ b ｜的大小关系为
｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜
1
2
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6
.
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8
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阶段拔尖特训
【点拨】
已知 a ， b 异号，不妨取 a ＝2， b ＝－1或 a ＝－1，
b ＝2.当 a ＝2， b ＝－1时，｜ a ＋ b ｜＝｜2＋(－1)｜＝
.
因为10
＞10
，所以
＜
.
作差法比较大小例题
作差法比较大小例题
作差法比较大小例题是一种使用加减法来比较两个数字的大小的方法，也叫做“比较法”。
在这种方法中，我们要对两个数字进行减法运算，将其中一个数字减去另外一个数字，然后比较所得到的差值的正负来判断大小。
如果差值为正，则表明第一个数字比第二个数字大，反之，则表明第一个数字比第二个数字小。
例如，当我们想要比较7和10的大小时，可以用作差法比较大小的方法。
首先，将7减去10，即7-10=-3，由于结果为负数，因此可以判断7比10小。
另一个例子是比较30和45的大小，我们将30减去45，即30-45=-15，由于结果仍为负数，因此可以判断30比45小。
同样地，当我们要比较50和36的大小时，可以将50减去36，即50-36=14，由于结果为正数，因此可以判断50比36大。
作差法比较大小的方法有两个优点：一是它能够有效地比较数字的大小；二是它能够节省计算的时间。
此外，作差法比较大小的方法不仅可以用来比较两个数字的大小，同样也可以用来比较两个表达式的大小，例如比较
2x+3和3x+2的大小，可以将2x+3减去3x+2，即(2x+3)-(3x+2)=-x，由于结果为负数，因此可以判断2x+3比3x+2小。
总之，作差法比较大小的方法可以节省计算时间，而且也非常容易理解和使用，因此在学习和工作中都是非常有用的方法。
高中数学作差法比较大小
高中数学作差法比较大小作差法比较大小是高中数学中常见的方法之一，它主要利用两个数之间的差值来比较它们的大小关系。
以下是详细的讲解：一、作差法比较大小的原理作差法比较大小的原理很简单，就是比较两个数之间的差值大小。
如果差值为正数，则被减数较大，如果差值为负数，则减数较大。
例如，比较13和8的大小关系时，可以将13减去8，得到5，因为5是正数，所以13比8大。
二、作差法比较大小的步骤作差法比较大小的步骤如下：1. 将两个数按照从大到小或从小到大的顺序排列。
2. 将较大的数减去较小的数，得到它们之间的差值。
3. 判断差值的正负，如果是正数，则被减数较大，反之则减数较大。
例如，要比较23和16的大小关系，可以按照从大到小的顺序排列，写成23>16，然后将23减去16，得到差值7，因为7是正数，所以23比16大。
三、作差法比较大小的应用场景作差法比较大小可以应用于多种场景，例如：1. 比较两个数的大小，例如比较两个人的年龄、比较两个物品的重量等等。
2. 解决一些实际问题，例如计算一个物品的折扣后的价格、计算两个地方的距离等等。
3. 在数学证明中，作差法比较大小也是一种重要的方法，可以用来证明一些不等式等等。
四、作差法比较大小的注意事项在使用作差法比较大小时，需要注意以下几点：1. 必须按照从小到大或从大到小的顺序排列两个数。
2. 确保减数与被减数正确，避免差值出现错误。
3. 如果差值为0，说明两个数相等。
4. 作差法比较大小无法比较三个以上的数的大小关系，需要采用其他方法。
以上就是作差法比较大小的详细介绍。
通过掌握这种方法，可以帮助我们更好地比较数值的大小关系，从而应用到实际问题的解决中。
下面是总结：总结：作差法比较大小是一种简单而有效的方法，它可以帮助我们快速比较两个数的大小关系。
在使用这种方法的时候，需要注意排列顺序、减数与被减数的正确性、差值的正负等等。
同时，我们还可以将这种方法应用到实际问题的解决中，例如计算折扣后的价格、比较不同城市的距离等等。
实数比较大小的方法
∴0.20.3＜0.30.2（本题主要是找到一个中间数 0.20.2） 【另解】∵(0.20.3)10＝0.23＝0.008，(0.30.2)10＝0.32＝0.09 ∵0.008＜0.09，即(0.20.3)10＜(0.30.2)10 ∴0.20.3＜0.30.2 【例17】 （2006 天津文 4）设 P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A. R＜Q＜P B. P＜R＜Q C. Q＜P＜R D. R＜P＜Q ）
3
a a
【例15】 比较 sin 4 与 cos 4 的大小 5 【解】∵cos 4＝sin( －4)＝sin(2＋ －4)＝sin( －4)， 2 2 2 5 3 5 ∵ －4≈3.85，且 ＜ －4＜4＜ ， 2 2 2 2 3 而函数 y＝sin x 在[ ， ]上是减函数 2 2 5 ∴sin( －4)＞sin 4，即 sin 4＜cos 4 2
五、利用函数的单调性：
【例13】 比较 0.75
－0.33
与 0.750.32 的大小.
【解】∵0＜0.75＜1，所以函数 y＝0.75x 在 R 上为减函数 ∴由－0.33＜0.32 得，0.75
－0.33
＞0.750.32
a
【例14】 已知 0＜a＜1，试比较 a，aa 与 aa 的大小. 【解】∵0＜a＜1，所以函数 y＝ax 在 R 上为减函数 ∵0＜a＜1， ∴a0＞aa＞a1，即 1＞aa＞a 由此得 a1＜aa ＜aa，即 a＜aa ＜aa
5π 4
y
8
π 4
8
O
x
由单位圆及三角函数线知 tan 4＞1，又 cos 4＜0， ∴sin 4＜cos 4 【例9】 若 a、b∈(0，＋∞)，试比较 aabb 和 abba 的大小；
每日一题型2比较大小作差比较法
题型2比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a -b O= a ba-b=0u a=ba —b ：： O ：= a ：： b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分解、提取公因式、十字相乘、配方、分子分母有理化、平方后作 差等方法，同时注意每一步变形必须是等价变形。
变形的结果是因式积，完全平方式等形式。
变形的目的是为了判断差值的符号。
作差比较法适用于实数 （代数式）的大小不明显，作差后可化为积或商的形式的比较大小问 题。
回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、作差、变形、定号、下结论。
两者之间大致相同。
例1已知a,b∙= R ',且a =b,试比较a 5+b 5和a 3b 2 a 2b 3的大小.解：a 5+b 5「a 3b 2「a 2b 3 = a 3（a 2 ~b 2）+b 3（b 2「a 2） = （a 2 -b 2）（a 3「b 3）=(a b)(a -b)(a -b)(a 2 ab b 2) = (a -b)2(a b) (a 1 b)2 ■ - b 212 4」因为 a,b R ',且a = b, 所以(a -b)2 O ， ab O ， (a 1b)2 3b 2 O ， 2 4所以 a 5+b 5 - a 3b 2 -a 2b 3 O所以 a 5 +b 5 a 3b 2 a 2b 3 小结：此题采用提取公因式、因式分解、配方等变形方法1例2：设X ∙ R ,比较 ------ 与1 -x 的大小.X +1-(^X )=2 X当X =O 时， O1 +x=(1 -χ)x∙ι<Zχ1 2当-1.; X：：：O 或X . 0 时，O1 +x1>(1 -X)X 1小结：此题采用通分，同时注意结合使式子有意义的隐含条件进行分类讨论例3•已知a丄1 ,试比较M= a • 1 -a和N = ... a - .. a -1的大小•解: M-N^(” a 1+、、a)(「'a . a -1)因为a _1 ,所以、.a -1 一、、a • 1 >0, ∙.. a • 1 + -、a >0,、、a ∙∙. a -1 >0,所以M - N 0 ,所以M ∙N •小结：此题采用分子有理化、通分等变形技巧来看看几道练习题：2 2 2 21、若X ：：：y ：：：0,试比较(X ∙ y )(x - y)与(X - y )(x y)的大小关系•2 12、若a R,p=a -a 1,q 2 ,比较P与q的大小关系•a +a +13、设a 5,试比较M =、a-3-〔a-4与N= a-4-∙∙. a-5的大小关系答案：1、(x2y2)(χ「y) > (χ2「y2)(X y)2、P —q,当且仅当a=0时，等号成立3、M<N_ J a -1 - J a+1题型2比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a b OU a ba -b = 0 二a = ba -b O = a b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。