轴的强度校核方法

第二章 轴的强度校核方法
常用的轴的强度校核计算方法
进行轴的强度校核计算时，应根据轴的具体受载及应力情况，采取相应的计算方法，并恰当地选取其许用应力。

对于传动轴应按扭转强度条件计算。

对于心轴应按弯曲强度条件计算。

对于转轴应按弯扭合成强度条件计算。

2.2.1按扭转强度条件计算：
这种方法是根据轴所受的扭矩来计算轴的强度，对于轴上还作用较小的弯矩时，通常采用降低许用扭转切应力的办法予以考虑。

通常在做轴的结构设计时，常采用这种方法估算轴径。

实心轴的扭转强度条件为： 由上式可得轴的直径为
为扭转切应力，MPa 式中：
T 为轴多受的扭矩，N ·mm
T W 为轴的抗扭截面系数，3mm
n 为轴的转速，r/min P 为轴传递的功率，KW d 为计算截面处轴的直径，mm
为许用扭转切应力，Mpa ，][r τ值按轴的不同材料选取，常用轴的材料及]
[r τ值见下表：
表1 轴的材料和许用扭转切应力
空心轴扭转强度条件为：
d
d 1
=
β其中β即空心轴的内径1d 与外径d 之比，通常取β=这样求出的直径只能作为承受扭矩作用的轴段的最小直径。

例如，在设计一级圆柱齿轮减速器时，假设高速轴输入功率P1=，输入转速n1=960r/min ，则可根据上式进行最小直径估算，若最小直径轴段开有键槽，还要考虑键槽对轴的强度影响。

T τ[]T τ
根据工作条件，选择45#钢，正火，硬度HB170-217，作为轴的材料，A0值查表取A0=112，则
因为高速轴最小直径处安装联轴器，并通过联轴器与电动机相连接，设有一个键槽，则：
另外，实际中，由于减速器输入轴通过联轴器与电动机轴相联结，则外伸段轴径与电动机轴径不能相差太大，否则难以选择合适的联轴器，取电动机轴d d 8.0'min =，查表，取mm d 38=电动机轴,则：
综合考虑，可取mm d 32'min =
通过上面的例子，可以看出，在实际运用中，需要考虑多方面实际因素选择轴的直径大小。

2.2.2按弯曲强度条件计算：
由于考虑启动、停车等影响，弯矩在轴截面上锁引起的应力可视为脉动循环变应力。

则
其中：
M 为轴所受的弯矩，N ·mm
W 为危险截面抗扭截面系数(3mm )具体数值查机械设计手册~17.
][1σ为脉动循环应力时许用弯曲应力(MPa)具体数值查机械设计手册
2.2.3按弯扭合成强度条件计算
由于前期轴的设计过程中，轴的主要结构尺寸轴上零件位置及外载荷和支反力的作用位置均已经确定，则轴上载荷可以求得，因而可按弯扭合成强度条件对轴进行强度校核计算。

一般计算步骤如下：
(1)做出轴的计算简图：即力学模型
通常把轴当做置于铰链支座上的梁，支反力的作用点与轴承的类型及布置方式有关，现在例举如下几种情况：
图1 轴承的布置方式
当L e d L 5.0,1≤/=,d e d L 5.0,1/=>但不小于（~）L ，对于调心轴承e=0.5L 在此没有列出的轴承可以查阅机械设计手册得到。

通过轴的主要结构尺寸轴上零件位置及外载荷和支反力的作用位置，计算出轴上各处的载荷。

通过力的分解求出各个分力，完成轴的受力分析。

][7.1][≤1-0σσσ==
W
M
ca
（2）做出弯矩图
在进行轴的校核过程中最大的难度就是求剪力和弯矩，画出剪力图和弯矩图，因此在此简单介绍下求剪力和弯矩的简便方法。

横截面上的剪力在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上所有竖向外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和 。

外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。

剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动趋势时的剪力为正；反之为负。

横截面上的弯矩在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。

外力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。

弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。

不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。

利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的，
此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项写出。

因此，这种求解内力的方法称为简便法。

1、列剪力方程和弯矩方程 ，画剪力图和弯矩图
①梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的位置而变化。

② 为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩沿梁长的变化情况用图形来表示—剪力图和弯矩图。

③剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示相应的剪力和弯矩。

④剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，再由函数式画出函数图形。

剪力方程和弯矩方程 ：以梁的左端点为坐标原点，x 轴与梁的轴线重合, 找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系 , 这种关系称为剪力方程和弯矩方程。

)(x Fs Fs ，M=M(x)；
2、剪力图和弯矩图的绘制方向的判定：
剪力 : 正值剪力画在x 轴上侧，负值剪力画在x 轴下侧。

弯矩 : 正值弯矩画在x 轴的下侧；负值弯矩画在x 轴上侧。

3、绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。

2
2
V H M M M +=
4、作剪力图和弯矩图的几条规律
取梁的左端点为坐标原点，x 轴向右为正；剪力图向上为正；弯矩图向下为正。

以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段。

分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。

梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。

在此处弯矩图则形成一个尖角。

梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。

但在此处剪力图没有变化。

梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或 F= 0的截面处。

5、求各分力的弯矩合成： 轴的载荷分析图如下：
图2 轴的载荷分析图
（3）校核轴的强度
通过以上计算得到得弯矩M 和扭矩T 后，可针对某些危险截面（即弯矩和扭矩大而轴径小可能断的截面）做弯扭合成强度的校核计算。

按第三强度理论的计算应力公式： σ为对称循环变应力 τ为扭转切应力
为了考虑两者循环特性不同的影响，引入折合系数α，则 若扭转切应力为静应力时： 取α= 若扭转切应力为脉动循环应力时： 取α= 若扭转切应力为对称循环应力时： 取α= 对于直径为d 的圆轴： 弯曲应力 扭转切应力 代入与得：
式中： ][1σ为对称循环变应力的轴的许用弯曲应力 (MPa)，具体数值查机械设计手
册
ca σ 为轴的计算应力 Mpa
M 为轴所受的弯矩 N ·mm T 为轴所受的扭矩N ·mm
2
24τσσ+
=ca W
T
2=
τW
T M W T W M ca 222
2)()2(4)(αασ+=+=W
M =σ
W 为轴的抗弯截面系数 (3mm )具体数值查机械设计手册B19.3-15-17
下面本文以一级圆柱齿轮减速器的输出轴为例详细介绍对轴进行强度校核的计算方法。

图3 一级圆柱齿轮减速器输出轴零件图
首先，作出轴的扭矩图如下：
图4 一级圆柱齿轮减速器输出轴扭矩图
按照上面提到的第三强度理论公式： 式中：
ca δ-轴的计算应力，单位为Mpa;
M-轴所受的弯矩，单位为; T-轴所受的扭矩，单位为; W-轴的抗弯截面系数，单位为mm 3 依次确定式中的各个参数：
根据减速器输出轴的受力条件，已知： 根据图分析可得： 因此：
2
222V H M M M +==591200
2
12
1V H M M M +==530300
根据轴的工作条件，取α=。

计算抗扭截面系数W
根据弯矩图可知道，危险截面在齿轮段的轴上，因此截面形状如下所示：
图5 一级圆柱齿轮减速器输出轴危险截面图
查表15-4可得：
分别带如图示所示的数据，可得： 根据危险截面分析,取M=5912000 强度的计算：
将以上数据分别带入上式中可得：
前面已经选定轴的材料为45钢，由表15-1查得MPa 60][1=-δ,所以][1-<δδca ，故轴安全。