二次函数的定义导学案
1二次函数的定义
2、若 y=(a -1)x 是二次函数，则 a 的取值范围是__________ ※2.如图,有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的长度为 10 米）围成中间 隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 y 米 2，求 y 与 x 的函数关系式。并求出自变量的取值范围。 3 、 关 于 m 的值. x 的 函 数
2
(2) y
2、下列函数关系式中,二次函数有 ( )个. 1 2 2 2 y = (3x-1) -9x y = (x+2) -4x y x2 y = ax +bx+c 导
2
其中，正比例函数有
5 1 5 y x2 x 3 12 6
x
导 学 流 程
2、请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量 y 与 x 之 间的关系： 2 （1）.面积 y (cm )与圆的半径 x ( Cm )的关系 （2）.农机厂第一个月水泵的产量为 50(台)第三个月的产量 y(台) 与月平均增长率 x 之间的函数关系如何表示？函数关系式是 ， 即 y= （3） .正方形铁片边长为 15cm， 在四个角上各剪去一个边长为 x （cm） 的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． ①求盒子的表面积 S（cm ）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关 系式； ②当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积． （二）学法指导 类比一次函数，来学习二次函数，注意知识结构的建立。
2
思考：判断二次函数应注意哪些事项？ 学 流 程 （2）对学 1、我们把形如 y=ax²+bx+c(其中 a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 的一般形式，指出二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项.
九年级 二次函数 导学案17个
1NO.1《函数与它的表示法》导学案学习目标：1.熟练掌握函数表示方法，会求自变量取值范围，并能解决生活中的函数问题。
2.体会函数建模思想在实际生活中的应用，3.感受数学在生活中的魅力．预习案出函数图象． （２）．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【归纳】__________________________________________叫做函数解析式或______________ _________________________叫做解析法___________________________叫做列表法 __________________________________________叫做图像法 【探究点二】2、如图，一辆汽车在行驶中，速度v 随时间t 变化的情况如图所示.（1）在这个问题中，速度v 与时间t 之间的函数关系是 用哪种方法表示的？_______________（2）时间t 的取值范围是什么？______________________。
（3）当时间t =______，汽车行驶的速度最大，最大速度是______； 当时间t =______时，速度为0？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐增加？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐减少？当t__________时，按匀速运动行驶?【典型例题】3、一根蜡烛长20cm,每小时燃掉4cm.(1)写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的函数解析式.(2)求自变量x 可以取值的范围;(3)蜡烛点燃2h 后还剩多长?4、求下列函数中自变量x 的取值范围(1) y=3x+2 335x -（2）y =(3)4y （）探究案1、等腰三角形ABC 的周长为10cm,底边BC 长为y (cm), 腰AB 长为x （cm ） (1)写出y 与x 之间的函数解析式; (2)指出自变量x 可以取值的范围.2的正方形ABCD 的一边BC 上，有一动点P 从B 点运动到C 点，设PB=x ，四边形APCD 的面积为y 。
二次函数全章导学案(不分版本,通用)
26.1二次函数§26.1.1《二次函数》导学案【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念.2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。
【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________.3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________.【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-.这六个式子中二次函数有 。
二次函数知识点归纳(导学案)
函数专题复习 —— 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如 的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而 可以为零．二次函数的定义域（自变量取值范围）是 ． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是 ，右边是关于自变量x 的 ，x 的最高次数是 ．⑵ a b c ，，是常数，a 是 ，b 是 ，c 是 ． 例：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：例1：抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x例2：抛物线322+-=x x y 的对称轴是 例3：二次函数322+-=x x y 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3 D .-2三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数基础上“h 值正 移，h 值负 移；k 值正 移，k 值负 移”．概括成八个字“ 加 减， 加 减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成向下平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成⑵c bx ax y ++=2沿X 轴平移：向左平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成向右平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成例1：把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ）A. 3=b ，7=cB. 9-=b ，15-=cC. 3=b ，3=cD. 9-=b ，21=c四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中h = ，k = ．例1：将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点： ， ， ， ， . 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a >-时，y 随x 的增大而 ；当2bx a =-时，y 有最小值 ． 2. 当0a <时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a >-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a=-时，y 有最大值 ． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式： （a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式： （0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. （也称两根式） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点 即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a ： 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口 ，a 的值越大，开口 ，反之a 的值越小，开口 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口 ，a 的值越小，开口 ，反之a 的值越大，开口 ．总结起来，a 决定了抛物线开口的 ，a 的 决定开口方向， 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b ： 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴 侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是 ； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的 侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴 侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是 ； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的 侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c ： ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标 ，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用 ；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用 ；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用 ；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 ．例1 二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(ac b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例2 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，• 则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b =0；④当y=-2时，x 的值只能取0. 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_____ __________.例4已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.例5已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（ ）A. 042>-ac bB. 042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤0例6二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）A. 0>M ，0>N ，0>PB. 0<M ，0>N ，0>PC. 0>M ，0<N ，0>PD. 0<M ，0>N ，0<P 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是 ；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是 ；2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是 ；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是 ；3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是 ； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是 ；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是 ．5. 关于点()m n ，对称： ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当 时的特殊情况。
二次函数(导学案)九年级数学上册同步备课系列(人教版)(解析版)
22.1.1二次函数学习目标：1）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2）理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
学习重点：二次函数的概念和解析式。
学习难点：用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
1）学习过程一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.目前，我们已经学习了哪种类型的函数？问题一正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S，则S与a之间有什么关系？问题二n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。
比赛的场次数m与球队数有什么关系？问题三某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。
如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？观察这三个式子你发现了什么？等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是22)归纳小结一般地，形如�=ax2+푏 +�(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c2)当c＝0时，y＝ax2＋bx3)当b＝0，c＝0时，y＝ax23)自我测试（基础）1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x 的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．2．线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+c C．h＝t22D．y＝x2+1x【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．4．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．5．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．6．y=mx m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣1【详解】解：∵y=mx m2+1是二次函数，∴m≠0且m2+1=2，解得：m＝±1．故选：B．7．已知函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数【详解】解：∵函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数∴m-2≠0，m2−2=2，解得：m=-2．故选：C．4）巩固练习（提高）8．一个二次函数y=(k−1)x k2−3k+4+2x−1．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有k2−3k+4=2k−1≠0，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x−1，当x=3时，y=14，∴y的值为14．5）本节课的收获、体会及存在问题。
九年级数学《二次函数》单元复习(导学案)
九年级数学《二次函数》单元复习（导学案）复习目标:1.体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并会确定最值.3.会运用待定系数法求二次函数的解析式.4.能根据图象判断二次函数a、b、c的符号及一些特殊方程或不等式是否成立.5.会将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.一、基础知识归类和整理1.二次函数的概念及图象特征:(1)二次函数:如果 ,那么y叫做x的二次函数,图象是线(2)二次函数顶点式:通过配方y=ax²+bx+c可写成 ,它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。
a值函数的图象及性质a>0 （1）开口向上，并向上无限伸展；（2）当时，函数有最小值当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.a<0 （1）开口向下，并向下无限伸展；（2）当时，函数有最大值当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.3.二次函数图象的平移规律:y=ax²⟺y=ax²+k ⟺y=a(x+h)²+k,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)可由抛物线y=ax²(a≠0)平移得到.由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况,因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论。
4.二次函数解析式的确定:用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:(1)设一般形式: ；(2)设顶点形式: ；(3)设交点式: 。
a 的作用决定开口方向a>0开口 ；a<0开口 决定开口的大小 ︳a| 越大，抛物线的开口b 的作用b 与a 同号ab2-＜0，顶点在y 轴的 侧 b 与a 异号ab2-＞0，顶点在y 轴的 侧 顶点在y 轴上c 的作用 c>0抛物线与y 轴的交点在y 轴的 c<0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的c=0 抛物线过 点 b ²-4ac b ²-4ac>0抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac<0 抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac=0抛物线与x 轴有 交点解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景。
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。
二次函数(2)导学案
二次函数（2）导学案一、学习目标1．使学生会用描点法画出二次函数c bx ax y ++=2的图象； 2．使学生能结合图象确定抛物线c bx ax y ++=2的对称轴与顶点坐标； 二、课前准备：（一） 自主学习： 下面通过画二次函数216212+-=x x y 的图像，讨论一般的怎样画二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像。
配方可得：216212+-=x x y ）（）（+=221x y由此可知，抛物线216212+-=x x y 开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是利用对称性画21612+-=x x y 的图像。
（二)交流合作：（1）列表时选值，应以 为中心，函数值y 可由对称性得到． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出 ，并用虚线画 ，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索:对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？配方可得：c bx ax y ++=2 ）（）（+=2xa y 由此可知，抛物线c bx ax y ++=2对称轴 ，顶点坐标 ．（三）尝试运用：1．二次函数x x y 22--=的对称轴是 ． 2.二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ， 当x 时，y 随x 的增大而减小．3.抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a = ．c= ．（四）性质归纳：（1）c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标（2）抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象上： ①当a>0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向 ．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ．对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 函数有最 值，最 值y= ．②当a<0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向 ．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 函数有最 值，最 值y= ． （五）尝试运用：1.抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求抛物线方程。
二次函数(1)导学案
mm xm y -+=2)1(二次函数——导学案一、学习目标：1、理解并掌握二次函数的概念；2、会用描点法和平移法画出二次函数2ax y =的图象；3、结合图像归纳并记住二次函数2ax y =性质；二、学前准备 （一）梳理知识点1、概念：二次函数：我们把形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
其中：ax 2叫做 ，a ，bx 叫做 ;b 为 ;c 为2、思考：（1）“一元二次方程”和“二次函数”在形式上有什么异同？ （2）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)中，为什么要规定a ≠0，b 和c 是否可以为零？（3）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0) 当a,b,c 满足什么条件时(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x 3+2x 2; (2)y=2x 2-2x+1; (3)y=x 2-x(1+x); (4)y=x -2+x. (5)y ＝(x ＋2)(2-x) (6) 652++=x x y (7)12312++=x x y 4、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;例1: 关于x 的函数是二次函数求m 的值.（一） 自主探究：利用描点法画二次函数2x y =、221x y =和22x y =的图像。
注意：列表时自变量取值要均匀和对称。
练习：画二次函数2x y -=、221x y -=和22x y -=的图像。
… -2 -1 0 1 2 …2x y -=22x y -=221x y -=… -2 -1 0 1 2 … 2x y =22x y =221x y =结合所画图像填空： 1、二次函数图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做 ；这些抛物线都关于 轴对称， 轴是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点叫做 。
(导学案)1.1二次函数
第一章二次函数1.1二次函数【教学目标】知识与技能1．探索并归纳二次函数的概念，熟练掌握二次函数的一般形式及自变量的取值范围。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
过程与方法：通过用二次函数表示变量之间关系的体验过程，增强对函数的感性认识，培养学生分析问题，解决问题的能力。
情感态度价值观：通过学生之间的交流合作的过程，培养学生的合作意识，体验与他人交流合作的重要性。
【教学重难点】重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念。
难点：建立二次函数数学模型。
【导学过程】【情景导入】我们已知道，可以建立数学模型一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）来刻画直线，反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ≠０）来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系———二次函数．【新知探究】探究一、植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园。
如下图所示，已知篱笆墙的总长度为100m。
大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化. 解:设与围墙相邻的每一面墙的长度都为xm，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积S为１）学生阅读审题，独立思考，自主探索．设与围墙相邻的每一面墙的长都为ｘｍ，则与围墙相对的一面墙的长为（１００－２ｘ）ｍ，于是矩形植物园的面积Ｓ＝ｘ(１００－２ｘ），即Ｓ＝－２ｘ２＋１００ｘ．（２）学生合作讨论ｘ的取值范围．由ｘ＞０，１００－２ｘ＞０，得０＜ｘ＜５０．（３）概括．由上述（1）、（2）可得关系式Ｓ=-２ｘ２+100ｘ，０＜ｘ＜５０，有了这个关系式，我们对植物园的面积Ｓ随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了．S=-2x2+100x,0<x<50 ①①式表示植物园的面积S与围墙相邻的一面篱笆墙长度x之间的关系，而且对于X的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是X的函数。
苏科版九年级数学第六章《二次函数》全章导学案
《6.1 二次函数》导学案学习目标：1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
一、知识准备：1.设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中 的图像是直线， 的图像是双曲线。
我们得到它们图像的方法和步骤是：① ；② ；③ 。
3. 形如___________y =，（ ）的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数，图像是经过 的直线；形如k y x=，（ ）的函数是 函数，它的表达式还可以写成：① 、② 二、提出问题（展示交流）：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。
三、归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。
一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量， 函数。
四、例题精讲（小组讨论交流）： 例1 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m 的取值例2．下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系五、课堂训练1．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋12．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） AS=2π（x ＋3）2B.S=9π＋xC.S=4πx 2＋12x ＋9 D S=4πx 2＋12πx ＋9π4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.5.已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系_________．6.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2，则___________y =，其中x 的取值范围是 。
苏教版九年级上册《二次函数》导学案
二次函数§1 二次函数所描述的关系◆导学目标1、二次函数的定义2、能够表示简单变量之间的二次函数关系3、（1）创设情景，激发学生学习兴趣与热情，体会“生活中处处留心皆数学”的真理。
（2）让学生能够全身心地投入到数学活动中去，能积极与同伴合作交流，培养学生自主探索的意识和团结协作的精神。
◆课堂导学例1、某果园有100颗橙子树，每一颗树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一颗树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一颗树，平均每颗树就会少结5个橙子。
⑴问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？⑵假设果园增种x 颗橙子树，那么果园共有多少颗橙子树？这时平均每颗树结多少个橙子？⑶如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式。
知识点：一般地，形如_________________________的函数叫做二次函数 例2、下列各函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）（A ）01=-+y x （B ）2)1()1)(1(---+=x x x y （C ）211x y ++= （D ）023)1(22=-+-y x 思路点拨：以二次函数定义的一般形式y=ax 2+bx+c (a ≠0)例3、在例1问题中，种多少颗橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？◆当堂导练1、下列函数中，哪些是二次函数？2232251,22,2521,321t t s x y x x y x y ++=+=+-=+-=2、圆的半径是1㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝2， ⑴写出y 与x 之间的关系式；⑵当圆的半径分别增加1㎝，2㎝，2㎝时，圆的面积增加多少？3、某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m. ⑴长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？⑵如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？右手栏◆课后练习基础训练1、下列函数中，是二次函数的是（ ） （A ）162+=x y （B ）16+=x y （C ）16+=x y （D ）162+=xy 2、已知二次函数)0(2≠=a ax y ，若当5=x 时，25=y ，则当1=x 时，y 的值为________。
6.1 二次函数导学案
6.1 二次函数学习目标：1、掌握二次函数的定义2、能根据实际问题列出二次函数关系式。
学习过程：一、情境创设1、用16m 长的篱笆围成长方形的生物圈饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 设长方形的长为x m ，则宽为________，设面积为y m 2，则y 与x 之间的函数关系式为______________。
2、要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？3、设圆的半径为r ，面积为S ，则S 与r 之间的函数关系式为__________。
二、概念1、观察刚才得出的关系式，它们有哪些共同点？2、一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的函数，称为二次函数，其中x 为自变量，y 是x 的函数。
3、下列函数中是二次函数的是（ ）A 、2213y x =-B 、221y x x =+C 、22(1)y x x =+-D、y 4、已知函数22(2)ky k x -=+是关于x 的二次函数，求k 的值。
三、典型例题： 例、如图，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏。
设每间羊圈的一边长为x m. ⑴请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L 以及三间羊圈的总面积S 。
⑵请计算，当x 分别为2m 、3m 、4m 和5m 时，羊圈的总面积分别是多少？四、随堂练习：1、写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体的棱长a （cm ）之间的函数关系式。
2、已知圆柱的高14cm ，写出圆柱的体积V （cm 3）与底面半径r （cm ）之间的函数关系式。
3、如图，学校准备将一块长20m 、宽14m 的矩形绿地扩建。
如果长、宽都增加xm ，写出扩建面积S （m 2）与x （m ）之间的函数关系式。
二次函数导学案(党寨中学王锋)
第1课时 课题：二次函数所描述的关系课时：第1课时 主备人：王锋【学习目标】1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【教学过程】： （一）、创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）．自主探究、合作交流：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,写出y 与x 的关系。
问题2: n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系?问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。
问题5：什么是二次函数？形如 。
问题6：函数y=ax²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ （三）．尝试应用：【例1】 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（四）．巩固提高：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
3、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。
写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。
4、若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，求m 的值。
二次函数的定义导学案
二次函数的定义主备人：李江华 审核人：叶天明 柯琼英 时间：2010-12-_____一、教学目标1、理解并掌握二次例函数的概念；2、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；3、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、重点难点学习重点：理解二次例函数的概念； 学习难点：能根据已知条件写出函数解析式三、前置学习（一）、复习： 什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）．自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。
问题2：n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系？问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示？问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点？结论：经化简后都具有 的形式。
四、展示交流问题5：什么是二次函数？ 形如 。
问题6：函数y=ax²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？五、合作探究例1：关于x 的函数m m x m y -+=2)1(是二次函数，求m 的值。
（注意：二次函数的二次项系数必须是 的数）例2：已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式。
(待定系数法)六、达标拓展1、二次函数的一般形式是 2．一般用 法求二次函数解析式。
3、下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 (2)y=3x 2+2 (3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1 (5)y=x 2-x(1+x) (6)y=x -2+x4、一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式是_______________5、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛，则比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式是________________6、若函数 为二次函数，则m=__________。
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二次函数的定义
一、教学目标
1、理解并掌握二次例函数的概念；
2、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；
3、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、重点难点
学习重点：理解二次例函数的概念； 学习难点：能根据已知条件写出函数解析式
三、前置学习
（一）、复习： 什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？
（二）．自主探究、合作交流：
问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。
问题2：n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系？
问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示？
问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点？
结论：经化简后都具有 的形式。
四、展示交流
问题5：什么是二次函数？ 形如 。
问题6：函数y=ax²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
五、合作探究
例1：关于x 的函数m m x m y -+=2)1(是二次函数，求m 的值。
（注意：二次函数的二次项系数必须是 的数）
例2：已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式。
(待定系数法)
六、达标拓展
1、二次函数的一般形式是 2．一般用 法求二次函数解析式。
3、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x 2+2 (3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1 (5)y=x 2-x(1+x) (6)y=x -2+x
4、一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式是_______________
5、n 支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛，则比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式是________________
6、若函数 为二次函数，则m=__________。
7、下列函数中属于二次函数的是（ ）
m
m 221)x (m y --=
A ．y ＝x （x ＋1）
B ．2x y ＝1
C ．y ＝22x －2（2x ＋1）
D ．y 8、函数y ＝a 2x ＋b x ＋c(a,b,c 是常数)是二次函数的条件是( )
A ．a ≠0且b ≠0
B ．a ≠0且b ≠0,c ≠0
C ．a ≠0
D ．a,b,c 为任意实数
9、若2221y=(m )m m m x --+是二次函数，则m 的值是（ ）
A ．m ＝1±
B ．m ＝2
C ．m ＝-1或m ＝3
D ．m ＝3
10、下面给出了6个函数（ ）①y ＝32x －1；②y ＝-2x -3x ；③y y ＝x(2x ＋x ＋1)；
⑤y ＝211x +；⑥y ＝323x x x x
++，其中是二次函数的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11、某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。
若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（ ）
A ．y ＝-102x -560x+7350
B ．y ＝-102x +560x-7350
C ．y ＝-102x +350x
D ．y ＝-102x +350x-7350 12、圆的半径是1cm ，当半径增加xcm 时，圆的面积将增加y 2cm ，则y 与x 之间的函数关系为＿＿＿＿. 13、已知y ＝n 22n x -是二次函数，则n 的值为＿＿＿. 14、函数y ＝22x 中，自变量x 的取值范围是＿＿＿，函数值y 的取值范围是＿＿＿。
15、已知等边三角形的边长为x(cm)，则此三角形的面积S(2cm )关于x 的函数关系式是＿＿＿. 16、二次函数y ＝a 2x 的图象过（2，1），则二次函数的表达式为＿＿＿.
17、若函数y ＝(m-4)23238m
m x --是二次函数，求m 的值。
18、y ＝(2m －2m －3)2x ＋(m －1)x ＋2m 是关于x 的二次函数，则m 满足的条件是什么？
七、教学评价 已知二次函数y=x²
+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为-5，求这个二次函数的解析式。
八、学后反思
通过这节课的学习，我提出以下几点个人的想法：
____________________________________________。